SORU 1:
Ali, 10 kişinin katıldığı bir koşu yarışına katılacaktır. Yarışı en önde bitiren üç kişi madalya alacaktır. Tüm koşucuların yarışı kazanma olasılığı eşit olduğuna göre, Ali'nin madalya kazanma olasılığı kaçtır?
Çözümü Göster
Örnek uzaya \( S \) diyelim.
Örnek uzay Ali'nin yarışta elde edebileceği tüm derecelerden oluşur.
\( S = \{1, 2, 3, \ldots, 10\} \)
Her sonucun gerçekleşme olasılığı eşittir.
Ali'nin madalya kazanma olayına \( A \) diyelim.
\( A \) olayı ilk 3 dereceden oluşur.
\( A = \{1, 2, 3\} \)
\( A \) olayının gerçekleşme olasılığı, \( A \) olayındaki sonuç sayısının örnek uzaydaki sonuç sayısına oranına eşittir.
\( P(A) = \dfrac{s(A)}{s(S)} \)
\( = \dfrac{3}{10} \) bulunur.
SORU 2:
15 kız ve 12 erkek öğrencinin bulunduğu bir sınıfta kız öğrencilerin beşte biri, erkek öğrencilerin üçte biri fen dersinden zayıf not almıştır.
Buna göre, sınıfta rastgele seçilecek bir öğrencinin fenden zayıf not almış olma olasılığı kaçtır?
Çözümü Göster
Örnek uzaya \( S \) diyelim.
Örnek uzay sınıftaki tüm öğrencilerden oluşur.
\( s(S) = 15 + 12 = 27 \)
Her sonucun gerçekleşme olasılığı eşittir.
Seçilecek öğrencinin fenden zayıf not almış olma olayına \( A \) diyelim.
Kız öğrencilerin beşte biri yani 3'ü, erkek öğrencilerin üçte biri yani 4'ü fenden zayıf not almıştır.
\( s(A) = 3 + 4 = 7 \)
\( A \) olayının gerçekleşme olasılığı, \( A \) olayındaki sonuç sayısının örnek uzaydaki sonuç sayısına oranına eşittir.
\( P(A) = \dfrac{s(A)}{s(S)} \)
\( = \dfrac{7}{27} \) bulunur.
SORU 3:
Mete ve Ezgi adlı iki okçunun hedefi vurma olasılıkları sırasıyla \( \frac{5}{8} \) ve \( \frac{7}{9} \)'dur. Her iki okçu birer atış yaptıklarında;
(a) ikisinin de hedefi vurma olasılığı nedir?
(b) ikisinin de hedefi vuramama olasılığı nedir?
(c) Mete'nin hedefi vurup Ezgi'nin vuramama olasılığı nedir?
(d) sadece birinin hedefi vurma olasılığı nedir?
Çözümü Göster
Mete'nin hedefi vurma olasılığı \( \frac{5}{8} \) ise hedefi vuramama olasılığı \( 1 - \frac{5}{8} = \frac{3}{8} \) olur.
Ezgi'nin hedefi vurma olasılığı \( \frac{7}{9} \) ise hedefi vuramama olasılığı \( 1 - \frac{7}{9} = \frac{2}{9} \) olur.
(a) seçeneği:
İkisinin de hedefi vurma olasılığı, ayrı ayrı hedefi vurma olasılıklarının çarpımına eşittir.
\( P = \dfrac{5}{8} \cdot \dfrac{7}{9} = \dfrac{35}{72} \)
(b) seçeneği:
İkisinin de hedefi vuramama olasılığı, ayrı ayrı hedefi vuramama olasılıklarının çarpımına eşittir.
\( P = \dfrac{3}{8} \cdot \dfrac{2}{9} = \dfrac{1}{12} \)
(c) seçeneği:
Mete'nin hedefi vurup Ezgi'nin vuramama olasılığı, Mete'nin hedefi vurma olasılığı ile Ezgi'nin hedefi vuramama olasılıklarının çarpımına eşittir.
\( P = \dfrac{5}{8} \cdot \dfrac{2}{9} = \dfrac{5}{36} \)
(d) seçeneği:
Sadece birinin hedefi vurma olasılığı, sadece Mete'nin hedefi vurma olasılığı ile sadece Ezgi'nin hedefi vurma olasılığının toplamına eşittir.
\( P = \dfrac{5}{8} \cdot \dfrac{2}{9} + \dfrac{3}{8} \cdot \dfrac{7}{9} \)
\( = \dfrac{10 + 21}{72} = \dfrac{31}{72} \)
SORU 4:
Bir matematik problemini Emre'nin çözme olasılığı \( \frac{3}{4} \), Özgür'ün çözme olasılığı \( \frac{2}{3} \), Murat'ın çözme olasılığı \( \frac{3}{5} \)'tir.
Öğretmenlerinin tahtaya yazdığı bir matematik problemini;
(a) üçünün de çözme olasılığı nedir?
(b) üçünün de çözememe olasılığı nedir?
(c) Murat'ın çözüp diğer ikisinin çözememe olasılığı nedir?
(d) en az birinin çözme olasılığı nedir?
(e) en az birinin çözememe olasılığı nedir?
(f) sadece birinin çözme olasılığı nedir?
(g) sadece ikisinin çözme olasılığı nedir?
Çözümü Göster
Emre'nin bir problemi çözme olasılığı \( \frac{3}{4} \) ise çözememe olasılığı \( 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4} \) olur.
Özgür'ün bir problemi çözme olasılığı \( \frac{2}{3} \) ise çözememe olasılığı \( 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} \) olur.
Murat'ın bir problemi çözme olasılığı \( \frac{3}{5} \) ise çözememe olasılığı \( 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5} \) olur.
(a) seçeneği:
Üçünün de problemi çözme olasılığı, ayrı ayrı problemi çözme olasılıklarının çarpımına eşittir.
\( P = \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{3}{5} = \dfrac{3}{10} \)
(b) seçeneği:
Üçünün de problemi çözememe olasılığı, ayrı ayrı problemi çözememe olasılıklarının çarpımına eşittir.
\( P = \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{2}{5} = \dfrac{1}{30} \)
(c) seçeneği:
Murat'ın problemi çözüp diğer ikisinin çözememe olasılığı, Murat'ın problemi çözme olasılığı ile diğer ikisinin ayrı ayrı çözememe olasılıklarının çarpımına eşittir.
\( P = \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{3}{5} = \dfrac{1}{20} \)
(d) seçeneği:
En az birinin problemi çözme olasılığı, (b) seçeneğinde hesapladığımız üçünün de problemi çözememe olasılığının tümleyenine eşittir.
\( P = 1 - \dfrac{1}{30} = \dfrac{29}{30} \)
(e) seçeneği:
En az birinin problemi çözememe olasılığı, (a) seçeneğinde hesapladığımız üçünün de problemi çözme olasılığının tümleyenine eşittir.
\( P = 1 - \dfrac{3}{10} = \dfrac{7}{10} \)
(f) seçeneği:
Sadece birinin problemi çözme olasılığı, ayrı ayrı sadece Emre'nin, sadece Özgür'ün ve sadece Murat'ın problemi çözme olasılıklarının toplamına eşittir.
\( P = \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{2}{5} \)
\( + \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{2}{5} \)
\( + \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{3}{5} \)
\( = \dfrac{6}{60} + \dfrac{4}{60} + \dfrac{3}{60} \)
\( = \dfrac{13}{60} \)
(g) seçeneği:
Sadece ikisinin problemi çözme olasılığı, ayrı ayrı sadece Emre ve Özgür'ün, sadece Emre ve Murat'ın ve sadece Özgür ve Murat'ın problemi çözme olasılıklarının toplamına eşittir.
\( P = \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{2}{5} \)
\( + \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{3}{5} \)
\( + \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{3}{5} \)
\( = \dfrac{12}{60} + \dfrac{9}{60} + \dfrac{6}{60} \)
\( = \dfrac{9}{20} \)
SORU 5:
Üç avcının belirli bir hedefi vurma olasılıkları sırasıyla \( \frac{7}{10} \), \( \frac{3}{4} \) ve \( \frac{4}{5} \)'tir.
Avcılar bu hedefe birer kez ateş ettiklerinde hedefi yalnızca birinin vurma olasılığı yüzde kaçtır?
Çözümü Göster
1. avcının hedefi vurma olasılığı \( \frac{7}{10} \) ise hedefi vuramama olasılığı \( 1 - \frac{7}{10} = \frac{3}{10} \) olur.
2. avcının hedefi vurma olasılığı \( \frac{3}{4} \) ise hedefi vuramama olasılığı \( 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4} \) olur.
3. avcının hedefi vurma olasılığı \( \frac{4}{5} \) ise hedefi vuramama olasılığı \( 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5} \) olur.
Hedefi yalnızca bir avcının vurma olayına \( A \) diyelim.
\( A \) olayını aşağıdaki üç ayrık olayın birleşimi olarak düşünebiliriz.
\( A_1 \): Hedefi sadece 1. avcının vurma olayı
\( A_2 \): Hedefi sadece 2. avcının vurma olayı
\( A_3 \): Hedefi sadece 3. avcının vurma olayı
\( A = A_1 \cup A_2 \cup A_3 \)
\( A_1 \) olayının olasılığı 1. avcının hedefi vurma, 2. ve 3. avcıların hedefi vuramama olasılıklarının çarpımına eşittir.
\( P(A_1) = \dfrac{7}{10} \cdot \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{5} = \dfrac{7}{200} \)
\( A_2 \) olayının olasılığı 2. avcının hedefi vurma, 1. ve 3. avcıların hedefi vuramama olasılıklarının çarpımına eşittir.
\( P(A_2) = \dfrac{3}{10} \cdot \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{1}{5} = \dfrac{9}{200} \)
\( A_3 \) olayının olasılığı 3. avcının hedefi vurma, 1. ve 2. avcıların hedefi vuramama olasılıklarının çarpımına eşittir.
\( P(A_3) = \dfrac{3}{10} \cdot \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{4}{5} = \dfrac{12}{200} \)
Üç olay ayrık olaylar olduğu için \( A \) olayının olasılığı bu üç olayın olasılıkları toplamına eşittir.
\( P(A) = P(A_1) + P(A_2) + P(A_3) \)
\( = \dfrac{7}{200} + \dfrac{9}{200} + \dfrac{12}{200} \)
\( = \dfrac{28}{200} = \%14 \) bulunur.
SORU 6:
6 yüzlü hilesiz bir zar bir kez masaya atılıyor. Zarın masaya bakan görünmeyen tek yüzü hariç, görünen 5 yüzündeki sayıların çarpımının 9'a tam bölünme olasılığı kaçtır?
Çözümü Göster
Örnek uzaya \( S \) diyelim.
Örnek uzay zarın masaya bakan yüzündeki sayılardan oluşur.
\( S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \)
Her sonucun gerçekleşme olasılığı eşittir.
Görünen 5 yüzdeki sayıların çarpımının 9'a tam bölünme olayına \( A \) diyelim.
Görünen 5 yüzdeki sayıların çarpımının 9'a tam bölünmesi için içinde iki tane 3 çarpanı bulunması, yani 3 ve 6'yı içermesi gerekir.
\( A \) olayı 3 ve 6'nın birlikte görünür olduğu, dolayısıyla görünmeyen yüzde bu iki sayıdan birinin olmadığı sonuçlardan oluşur.
\( A = \{1, 2, 4, 5\} \)
\( A \) olayının gerçekleşme olasılığı, \( A \) olayındaki sonuç sayısının örnek uzaydaki sonuç sayısına oranına eşittir.
\( P(A) = \dfrac{s(A)}{s(S)} \)
\( = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3} \) bulunur.
SORU 7:
6 yüzlü hilesiz iki zardan birincisinde 2 sayısı 3 olarak, ikincisinde 1 sayısı 4 olarak değiştiriliyor.
Zarlar atıldığında gelen sayıların toplamının çift sayı olma olasılığı kaçtır?
Çözümü Göster
İlk zarda tek sayı gelme olasılığı \( \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \), çift sayı gelme olasılığı \( \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \) olur.
İkinci zarda tek sayı gelme olasılığı \( \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \), çift sayı gelme olasılığı \( \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \) olur.
Gelen sayıların toplamın çift sayı olması için zarların ikisi de ya tek sayı ya da çift sayı gelmelidir.
İki zarın da tek sayı gelme olasılığı \( = \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{9} \)
İki zarın da çift sayı gelme olasılığı \( = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{2}{9} \)
Gelen sayıların toplamının çift sayı olma olasılığı bulduğumuz iki duruma ait olasılıkların toplamına eşittir.
\( \dfrac{2}{9} + \dfrac{2}{9} = \dfrac{4}{9} \) bulunur.
SORU 8:
Bir spor salonunda bulunan üç top sepetinin her birinde 6 basketbol ve 4 futbol topu vardır. Bu üç sepetin her birinden rastgele alınan birer topun aynı türden olma olasılığı kaçtır?
Çözümü Göster
Topların aynı olma olayı üç top da futbol topu ya da üç top da basketbol topu olduğu durumda gerçekleşir.
Durum 1: Üç top da basketbol topu
\( \dfrac{6}{10} \cdot \dfrac{6}{10} \cdot \dfrac{6}{10} = \dfrac{27}{125} \)
Durum 2: Üç top da futbol topu
\( \dfrac{4}{10} \cdot \dfrac{4}{10} \cdot \dfrac{4}{10} = \dfrac{8}{125} \)
Topların aynı olma olasılığı bu iki duruma ait olasılıkların toplamına eşittir.
\( \dfrac{27}{125} + \dfrac{8}{125} = \dfrac{35}{125} = \dfrac{7}{25} \) bulunur.
SORU 9:
A torbasında 3 sarı, 2 kırmızı top, B torbasında 4 sarı, 5 kırmızı top vardır. A torbasından rastgele bir top çekilerek rengine bakılmaksızın B torbasına atılıyor. Daha sonra B torbasından rastgele bir top çekilerek A torbasına atılıyor.
Bu işlem sonucunda her iki torbada da renk bakımından başlangıçtaki durumun elde edilme olasılığı kaçtır?
Çözümü Göster
Başlangıçtaki durumun elde edilmesi için iki torbadan da aynı renkte top çekilmelidir.
Buna göre istenen durum aşağıdaki iki olaydan birinin gerçekleşmesi ile elde edilir.
Durum 1: İki torbadan da çekilen top sarı renkte
Bu durumda birinci torbadan ikinci torbaya atılan top sarı olur.
\( \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{5}{10} = \dfrac{15}{50} \)
Durum 2: İki torbadan da çekilen top kırmızı renkte
Bu durumda birinci torbadan ikinci torbaya atılan top kırmızı olur.
\( \dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{6}{10} = \dfrac{12}{50} \)
Başlangıçtaki durumun elde edilme olasılığı bu iki olayın olasılıkları toplamına eşittir.
\( \dfrac{15}{50} + \dfrac{12}{50} = \dfrac{27}{50} \) bulunur.
SORU 10:
504 sayısının pozitif bölenleri arasından rastgele seçilen bir sayının 13'ten küçük olma olasılığı kaçtır?
Çözümü Göster
504 sayısını asal çarpanlarına ayıralım.
\( 504 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 7 \)
Örnek uzaya \( S \) diyelim.
Örnek uzay 504'ün tüm pozitif bölenlerinden oluşur.
Bir sayının pozitif bölenlerinin sayısı, asal çarpanlarının kuvvetlerinin birer fazlasının çarpımına eşittir.
PBS \( = (3 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 24 \)
\( s(S) = 24 \)
Her sonucun gerçekleşme olasılığı eşittir.
Seçilen sayının 13'ten küçük olma olayına \( A \) diyelim.
\( A \) olayı 504'ün 13'ten küçük pozitif bölenlerinden oluşur.
\( A = \{1, 2, 3, 4 = 2^2, 6 = 2 \cdot 3, 7, 8 = 2^3, 9 = 3^2, 12 = 2^2 \cdot 3\} \)
\( s(A) = 9 \)
\( A \) olayının gerçekleşme olasılığı, \( A \) olayındaki sonuç sayısının örnek uzaydaki sonuç sayısına oranına eşittir.
\( P(A) = \dfrac{s(A)}{s(S)} \)
\( = \dfrac{9}{24} = \dfrac{3}{8} \) bulunur.
SORU 11:
\( A = \{a, b\} \)
\( B = \{1, 2, 3\} \) kümeleri veriliyor.
\( A \) kümesinden \( B \) kümesine yazılabilecek tüm fonksiyonlar arasından rastgele seçilen bir fonksiyonun;
(a) sabit fonksiyon olma olasılığı nedir?
(b) birebir fonksiyon olma olasılığı nedir?
Çözümü Göster
Fonksiyonlar konusunda gördüğümüz bazı formülleri hatırlayalım.
\( f: A \to B \)
\( s(A) = n, \quad s(B) = k \) olmak üzere,
Fonksiyon sayısı \( = k^n \)
Sabit fonksiyon sayısı \( = k \)
Birebir fonksiyon sayısı \( = P(k, n) \)
Örnek uzaya \( S \) diyelim.
Örnek uzay bu iki küme arasında yazılabilecek tüm fonksiyonlardan oluşur.
\( s(S) = 3^2 = 9 \)
Fonksiyon rastgele seçileceği için her sonucun gerçekleşme olasılığı eşittir.
(a) seçeneği:
Fonksiyonun sabit fonksiyon olma olayına \( C \) diyelim.
\( C \) olayı iki küme arasında yazılabilecek sabit fonksiyonlardan oluşur.
\( s(C) = 3 \)
\( C \) olayının gerçekleşme olasılığı, \( C \) olayındaki sonuç sayısının örnek uzaydaki sonuç sayısına oranına eşittir.
\( P(C) = \dfrac{s(C)}{s(S)} \)
\( = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3} \)
(b) seçeneği:
Fonksiyonun birebir fonksiyon olma olayına \( D \) diyelim.
\( D \) olayı iki küme arasında yazılabilecek birebir fonksiyonlardan oluşur.
\( s(D) = P(k, n) = 3 \cdot 2 = 6 \)
\( D \) olayının gerçekleşme olasılığı, \( D \) olayındaki sonuç sayısının örnek uzaydaki sonuç sayısına oranına eşittir.
\( P(D) = \dfrac{s(D)}{s(S)} \)
\( = \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3} \)
SORU 12:
Atakan, rastgele seçtiği iki basamaklı bir doğal sayının önce onlar basamağındaki rakamı sonra birler basamağındaki rakamı 3 ile çarpıp bulduğu değerleri sırasıyla yan yana yazarak yeni bir sayı elde ediyor.
Örnek: \( 28 \Longrightarrow 624 \)
Atakan'ın bu işlem sonucunda dört basamaklı bir sayı elde etme olasılığı kaçtır?
Çözümü Göster
Örnek uzaya \( S \) diyelim.
Örnek uzay iki basamaklı doğal sayılardan oluşur.
Toplam 90 adet iki basamaklı doğal sayı vardır.
\( s(S) = 90 \)
İşlem sonucunda dört basamaklı bir sayı elde etme olayına \( A \) diyelim.
İşlem sonucunda dört basamaklı bir sayı elde etmek için, seçilen sayının iki basamağındaki rakam da 3 ile çarpıldığında iki basamaklı sayı veren rakamlar olmalıdır.
\( 4, 5, 6, 7, 8, 9 \) rakamları 3 ile çarpıldığında iki basamaklı bir sayı oluşur.
İşlem sonucunda dört basamaklı bir sayı oluşması için seçilen sayının iki basamağı da bu 6 rakamdan biri olmalıdır, dolayısıyla işlem sonucu dört basamaklı olan \( 6 \cdot 6 = 36 \) farklı iki basamaklı sayı vardır.
\( s(A) = 36 \)
\( A \) olayının gerçekleşme olasılığı, \( A \) olayındaki sonuç sayısının örnek uzaydaki sonuç sayısına oranına eşittir.
\( P(A) = \dfrac{s(A)}{s(S)} \)
\( = \dfrac{36}{90} = \dfrac{2}{5} \) bulunur.
SORU 13:
1-100 aralığındaki tam sayılar arasından rastgele bir sayı seçiliyor. Bu sayının 3'e ve 4'e tam bölünen bir sayı olma olasılığı nedir?
Çözümü Göster
Örnek uzaya \( S \) diyelim.
Örnek uzay 1-100 aralığındaki tam sayılardan oluşur.
\( S = \{1, 2, 3, \ldots, 100\} \)
\( s(S) = 100 \)
Her sonucun gerçekleşme olasılığı eşittir.
Seçilen sayının 3'e ve 4'e tam bölünme olayına \( A \) diyelim.
\( A \) olayını aşağıdaki şekilde tanımlayabiliriz.
\( B_3 \): Sayının 3'e tam bölünme olayı
\( B_4 \): Sayının 4'e tam bölünme olayı
\( A = B_3 \cap B_4 \)
Bir sayının 3'e ve 4'e tam bölünmesi için gerekli ve yeterli koşul 12'ye tam bölünmesidir.
\( B_{12} \): Sayının 12'ye tam bölünme olayı
\( A = B_3 \cap B_4 = B_{12} \)
1-100 aralığındaki 12'ye tam bölünen sayıları taban (tam değer) fonksiyonu ile bulabiliriz.
\( s(B_{12}) = \floor{\dfrac{100}{12}} = 8 \)
\( s(A) = s(B_{12}) = 8 \)
\( A \) olayının gerçekleşme olasılığı, \( A \) olayındaki sonuç sayısının örnek uzaydaki sonuç sayısına oranına eşittir.
\( P(A) = \dfrac{s(A)}{s(S)} \)
\( = \dfrac{8}{100} = \dfrac{2}{25} \) bulunur.
SORU 14:
1-100 aralığındaki tam sayılar arasından rastgele bir sayı seçiliyor. Bu sayının 3'e veya 4'e tam bölünen bir sayı olma olasılığı nedir?
Çözümü Göster
Örnek uzaya \( S \) diyelim.
Örnek uzay 1-100 aralığındaki tam sayılardan oluşur.
\( S = \{1, 2, 3, \ldots, 100\} \)
\( s(S) = 100 \)
Her sonucun gerçekleşme olasılığı eşittir.
Seçilen sayının 3'e veya 4'e tam bölünme olayına \( A \) diyelim.
\( A \) olayını aşağıdaki şekilde tanımlayabiliriz.
\( B_3 \): Sayının 3'e tam bölünme olayı
\( B_4 \): Sayının 4'e tam bölünme olayı
\( A = B_3 \cup B_4 \)
Ayrık olmayan iki kümenin birleşim kümesinin eleman sayısı aşağıdaki formülle bulunur.
\( s(A) = s(B_3 \cup B_4) = s(B_3) + s(B_4) - s(B_3 \cap B_4) \)
1-100 aralığındaki 3'e (ve 4'e) tam bölünen sayıları taban (tam değer) fonksiyonu ile bulabiliriz.
\( s(B_3) = \floor{\dfrac{100}{3}} = 33 \)
\( s(B_4) = \floor{\dfrac{100}{4}} = 25 \)
Önceki soruda \( B_3 \cap B_4 = B_{12} \) olduğunu göstermiştik.
\( B_{12} \): Sayının 12'ye tam bölünme olayı
\( B_3 \cap B_4 = B_{12} \)
\( s(B_{12}) = \floor{\dfrac{100}{12}} = 8 \)
Bulduğumuz değerleri formülde yerine koyalım.
\( s(A) = s(B_3 \cup B_4) = s(B_3) + s(B_4) - s(B_3 \cap B_4) \)
\( = 33 + 25 - 8 = 50 \)
\( A \) olayının gerçekleşme olasılığı, \( A \) olayındaki sonuç sayısının örnek uzaydaki sonuç sayısına oranına eşittir.
\( P(A) = \dfrac{s(A)}{s(S)} \)
\( = \dfrac{50}{100} = \dfrac{1}{2} \) bulunur.
SORU 15:
\( A = \{ -4, -3, -1, 1, 2, 4 \} \)
\( B = \{ -2, -1, 0, 2, 3 \} \)
olduğuna göre, \( A \times B \) kartezyen çarpımının elemanları arasından rastgele seçilecek bir sıralı ikilinin bileşenleri toplamının sıfır olma olasılığı nedir?
Çözümü Göster
Örnek uzaya \( S \) diyelim.
Örnek uzay \( A \times B \) çarpımının elemanlarından oluşur.
\( S = \{(-4, -2), (-4, -1), \ldots, (4, 3)\} \)
\( A \times B \) çarpımının eleman sayısı iki kümenin eleman sayılarının çarpımına eşittir.
\( s(S) = s(A \times B) = s(A) \cdot s(B) \)
\( = 6 \cdot 5 = 30 \)
Kartezyen çarpımının bir elemanının bileşenleri toplamının sıfır olma olayına \( A \) diyelim.
Kartezyen çarpımının bu şekildeki elemanları aşağıdaki gibidir.
\( A = \{(-3, 3), (1, -1), (2, -2)\} \)
\( A \) olayının gerçekleşme olasılığı, \( A \) olayındaki sonuç sayısının örnek uzaydaki sonuç sayısına oranına eşittir.
\( P(A) = \dfrac{s(A)}{s(S)} \)
\( = \dfrac{3}{30} = \dfrac{1}{10} \) bulunur.
SORU 16:
Bozuk bir hesap makinesi "4" tuşuna basıldığında bunu \( \frac{1}{3} \) olasılıkla 3, \( \frac{1}{2} \) olasılıkla 4, \( \frac{1}{6} \) olasılıkla 6 olarak algılamaktadır.
Sadece "4" tuşu bozuk olan bu hesap makinesiyle \( 24 - \frac{12}{4} \) işlemini yapacak olan Vural'ın bu işlem sonucunu doğru bulma olasılığı kaçtır?
Çözümü Göster
\( 24 - \frac{12}{4} \) işleminin doğru sonucu 21'dir.
Verilen işlemde "4" rakamı iki kez bulunmaktadır. "4" tuşuna her basıldığında 3 farklı durum oluştuğu için toplamda \( 3^2 = 9 \) farklı durum oluşacaktır. Bu durumların her birinde doğru sonuç elde edilip edilmediğini kontrol edelim.
1. tuşlama "3", 2. tuşlama "3" algılanırsa:
\( 23 - \dfrac{12}{3} = 19 \)
1. tuşlama "3", 2. tuşlama "4" algılanırsa:
\( 23 - \dfrac{12}{4} = 20 \)
1. tuşlama "3", 2. tuşlama "6" algılanırsa:
\( 23 - \dfrac{12}{6} = 21 \)
1. tuşlama "4", 2. tuşlama "3" algılanırsa:
\( 24 - \dfrac{12}{3} = 20 \)
1. tuşlama "4", 2. tuşlama "4" algılanırsa:
\( 24 - \dfrac{12}{4} = 21 \)
1. tuşlama "4", 2. tuşlama "6" algılanırsa:
\( 24 - \dfrac{12}{6} = 22 \)
1. tuşlama "6", 2. tuşlama "3" algılanırsa:
\( 26 - \dfrac{12}{3} = 22 \)
1. tuşlama "6", 2. tuşlama "4" algılanırsa:
\( 26 - \dfrac{12}{4} = 23 \)
1. tuşlama "6", 2. tuşlama "6" algılanırsa:
\( 26 - \dfrac{12}{6} = 24 \)
Buna göre doğru cevap iki durumda elde edilir. Bu iki durumun oluşma olasılıklarını bulalım.
1. tuşlama "3", 2. tuşlama "6" algılanma olasılığı:
\( \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{18} \)
1. tuşlama "4", 2. tuşlama "4" algılanma olasılığı:
\( \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4} \)
Bu iki durumun olasılıkları toplamı, doğru sonuç elde etme olasılığını verir.
\( \dfrac{1}{18} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{11}{36} \) bulunur.
SORU 17:
\( A = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \} \) kümesinin boş küme hariç alt kümelerinden rastgele biri seçiliyor. Seçilen kümedeki elemanların çarpımının çift sayı olma olasılığı kaçtır?
Çözümü Göster
Örnek uzaya \( S \) diyelim.
Örnek uzay \( A \) kümesinin boş küme hariç tüm alt kümelerinden oluşur.
\( s(S) = 2^6 - 1 = 63 \)
Seçilen alt kümedeki elemanların çarpımının çift sayı olma olasılığı = 1 - Seçilen alt kümedeki elemanların çarpımının tek sayı olma olasılığı
Alt kümedeki elemanların çarpımının tek sayı olma olayına \( E \) diyelim.
Belirli sayıda sayının çarpımının tek sayı olması için sayıların tümü tek olmalıdır.
\( A \) kümesinde üç tek sayı bulunduğu için bu koşulu sağlayan alt kümeler \( \{1, 3, 5\} \) ve bu kümenin boş küme hariç alt kümeleridir.
\( s(E) = 2^3 - 1 = 7 \)
\( E \) olayının gerçekleşme olasılığı, \( E \) olayındaki sonuç sayısının örnek uzaydaki sonuç sayısına oranına eşittir.
\( P(E) = \dfrac{s(E)}{s(S)} \)
\( = \dfrac{7}{63} = \dfrac{1}{9} \)
Seçilen alt kümedeki elemanların çarpımının çift sayı olma olasılığı = 1 - Seçilen alt kümedeki elemanların çarpımının tek sayı olma olasılığı
\( = 1 - \dfrac{1}{9} = \dfrac{8}{9} \) bulunur.
SORU 18:
Konveks bir altıgenin bütün köşegenleri çiziliyor ve oluşan şekildeki kenar ve köşegenler içinden rastgele bir doğru parçası seçiliyor. Seçilen doğru parçasının altıgenin bir kenarı olma olasılığı kaçtır?
Çözümü Göster
Örnek uzaya \( S \) diyelim.
Örnek uzay altıgenin tüm kenar ve köşegenlerinden oluşur.
\( n \) köşeli konveks bir çokgenin köşegen sayısı \( = \dfrac{n(n - 3)}{2} \)
Buna göre konveks altıgenin \( \dfrac{6(6 - 3)}{2} = 9 \) köşegeni vardır.
\( s(S) = 6 + 9 = 15 \)
Seçilen doğru parçasının altıgenin bir kenarı olma olayına \( A \) diyelim.
\( s(A) = 6 \)
\( A \) olayının gerçekleşme olasılığı, \( A \) olayındaki sonuç sayısının örnek uzaydaki sonuç sayısına oranına eşittir.
\( P(A) = \dfrac{s(A)}{s(S)} \)
\( = \dfrac{6}{15} = \dfrac{2}{5} \) bulunur.
SORU 19:
Rastgele seçilen üç basamaklı bir pozitif tam sayının karesi alındığında elde edilen sayının birler basamağının 4 olma olasılığı kaçtır?
Çözümü Göster
Rastgele seçilen üç basamaklı bir pozitif tam sayının birler basamağı, her biri eşit olasılıkla olmak üzere, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 olur.
Seçilen sayının karesi alındığında elde edilen sayının birler basamağı ise sırasıyla 0, 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1 olur.
Buna göre seçilen sayının karesinin birler basamağı iki durumda (birler basamağı 2 ya da 8 olduğunda) 4 olur.
Üç basamaklı bir pozitif tam sayının karesinin birler basamağının 4 olma olasılığı:
\( = \dfrac{\text{İstenen durumların sayısı}}{\text{Tüm durumların sayısı}} = \dfrac{2}{10} = \dfrac{1}{5} \) bulunur.
SORU 20:
\( 61! \) sayısının pozitif bölenleri arasından rastgele seçilen bir sayının çift sayı olma olasılığı kaçtır?
Çözümü Göster
Bir bölenin çift sayı olması için sayının içinde en az bir tane 2 çarpanı bulunmalıdır.
\( 61! \) sayısının içinde kaç tane 2 çarpanı olduğunu bulalım.
\( 61! \) sayısının içinde;
2'nin her katı için \( \floor{61 / 2} = 30 \) tane
4'ün her katı için \( \floor{30 / 2} = 15 \) tane daha
8'in her katı için \( \floor{15 / 2} = 7 \) tane daha
16'nın her katı için \( \floor{7 / 2} = 3 \) tane daha
32'nin her katı için \( \floor{3 / 2} = 1 \) tane daha
olmak üzere, toplamda \( 30 + 15 + 7 + 3 + 1 = 56 \) tane 2 çarpanı vardır.
\( 61! \) sayısının asal çarpanlarına aşağıdaki şekilde ayrıldığını varsayalım.
\( 61! = 2^{56} \cdot 3^a \cdot 5^b \cdot 7^c \cdot \ldots \)
\( 61! \) sayısının 2 çarpanı içermeyen tek sayı bölenlerinin sayısına \( n \) diyelim.
\( n = (a + 1)(b + 1)(c + 1)\ldots \)
Bu tek sayı bölenlerin her birini \( 2^0 \) ile \( 2^{56} \) arasındaki 57 çarpanla çarparak \( 61! \) sayısının tüm \( 57n \) tane pozitif böleni elde edilir. Bu \( 57n \) bölenden \( 56n \) tanesi \( 2^1 \) ile \( 2^{56} \) arasında çarpan içerdiği için çift sayıdır, \( n \) tanesi ise \( 2^0 \) ile çarpıldığı, dolayısıyla 2 çarpanı içermediği için tek sayıdır.
Buna göre \( 61! \) sayısının toplam \( 56n + n = 57n \) farklı pozitif böleni olup bunların \( 56n \) tanesi çift sayıdır.
\( \dfrac{56n}{57n} = \dfrac{56}{57} \) bulunur.
SORU 21:
\( a, b, c, d \) değişkenlerine \( [1, 200] \) aralığında rastgele birer tam sayı değer atanıyor.
\( ad - bc \) işleminin sonucunun tek sayı olma olasılığı kaçtır?
Çözümü Göster
İki sayının çarpımının tek sayı olması için iki sayı da tek olmalıdır.
İki sayının çarpımının çift sayı olması için sayılardan en az biri çift olmalıdır.
\( ad - bc \) işleminin sonucunun tek sayı olabilmesi için terimlerden biri tek, diğeri çift sayı olmalıdır.
Durum 1: \( ad \) tek, \( bc \) çift
\( ad \) ifadesinin tek olma olasılığı, iki sayının da ayrı ayrı tek olma olasılıklarının çarpımına eşittir.
Verilen aralıkta tek ve çift sayılar eşit sayıdadır.
\( P_1 = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4} \)
\( bc \) ifadesinin çift olma olasılığı, tek olma olasılığının tümleyenine eşittir.
\( P_2 = 1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4} \)
\( ad \) ifadesinin tek ve \( bc \) ifadesinin çift olma olma olasılığı, bulduğumuz iki olasılığın çarpımına eşittir.
\( P_1 \cdot P_2 = \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{3}{4} = \dfrac{3}{16} \)
Durum 2: \( ad \) çift, \( bc \) tek
Benzer bir hesaplamayla 2. durumun olasılığının 1. durumla aynı olduğu görülebilir.
Buna göre istenen olasılık \( 2 \cdot \dfrac{3}{16} = \dfrac{3}{8} \) olarak bulunur.
SORU 22:
4 basamaklı palindromik sayılar arasından rastgele seçilen bir sayının 9'a tam bölünme olasılığı nedir?
Çözümü Göster
Soldan sağa ve sağdan sola okunuşları aynı olan sayılara palindromik sayı denir.
Yani 4 basamaklı bir \( (abcd) \) sayısının palindromik bir sayı olabilmesi için \( a = d \) ve \( b = c \) olmalıdır. Bu durumda bu 4 basamaklı sayı \( (abba) \) formatında olur.
Örnek uzaya \( S \) diyelim.
Örnek uzay 4 basamaklı tüm palindromik sayılardan oluşur.
Bir \( (abba) \) palindromik sayısında \( a \) yerine 0 hariç 9 rakam, \( b \) yerine ise 10 rakam gelebilir.
\( a \in \{1, 2, 3, \ldots, 9\} \)
\( b \in \{0, 1, 2, \ldots, 9\} \)
\( s(S) = 9 \cdot 10 = 90 \)
Bu sayılardan 9'a tam bölünme olayına \( A \) diyelim.
Bir \( (abba) \) palindromik sayısının 9'a tam bölünmesi için rakamları toplamı 9'un tam sayı katı olmalıdır.
\( k \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( a + b + b + a = 9k \)
\( 2(a + b) = 9k \)
\( a \) ve \( b \) birer rakam olduğu için, bu eşitliğin sağlanması için \( k \) sadece çift sayı değer alabilir.
\( k = 2 \) için:
\( 2(a + b) = 18 \Longrightarrow a + b = 9 \)
Bu durumda \( a \) 0 hariç 9 farklı değer alabilir, \( b \) ise \( a \)'nın her değeri için tek bir değer alabilir.
\( k = 4 \) için:
\( 2(a + b) = 36 \Longrightarrow a + b = 18 \)
Bu durumda \( a \) ve \( b \) sadece 9 değerini alabilir.
\( k \)'nın daha büyük değerleri \( a \) ve \( b \) için geçerli birer değer üretmez.
Buna göre istenen koşulu sağlayan \( 9 + 1 = 10 \) farklı durum vardır ve bu durumlarda aşağıdaki palindromik sayılar oluşur.
1881, 2772, 3663, 4554, 5445, 6336, 7227, 8118, 9009, 9999
\( s(A) = 10 \)
\( A \) olayının gerçekleşme olasılığı, \( A \) olayındaki sonuç sayısının örnek uzaydaki sonuç sayısına oranına eşittir.
\( P(A) = \dfrac{s(A)}{s(S)} \)
\( = \dfrac{10}{90} = \dfrac{1}{9} \) bulunur.
SORU 23:
İki basamaklı pozitif tam sayılar arasından rastgele seçilen bir sayının basamakları toplamının bir tam sayının küpü olma olasılığı nedir?
Çözümü Göster
Örnek uzaya \( S \) diyelim.
Örnek uzay iki basamaklı pozitif tam sayılardan oluşur.
10-99 aralığında \( 99 - 10 + 1 = 90 \) tam sayı vardır.
\( s(S) = 90 \)
Basamakları toplamının bir tam sayının küpü olma olayına \( A \) diyelim.
Tam küp sayılar aşağıdaki gibidir.
1, 8, 27, 64, 125, ...
Basamakları toplamı 1 olan iki basamaklı sayı sadece 10'dur.
Basamakları toplamı 8 olan iki basamaklı sayılar 8 tanedir.
17, 26, 35, 44, 53, 62, 71, 80
İki basamaklı bir sayının basamakları toplamı en çok \( 9 + 9 = 18 \) olabileceği için bu toplam 27 ya da daha büyük bir tam küp sayı olamaz.
\( s(A) = 1 + 8 = 9 \)
\( A \) olayının gerçekleşme olasılığı, \( A \) olayındaki sonuç sayısının örnek uzaydaki sonuç sayısına oranına eşittir.
\( P(A) = \dfrac{s(A)}{s(S)} \)
\( = \dfrac{9}{90} = \dfrac{1}{10} \) bulunur.
SORU 24:
Her gün aynı sayıda kişinin doğduğu ve kimsenin ölmediği Garipistan ülkesinde, 01.01.2000 ve 31.12.2009 tarihleri arasında doğduğu bilinen bir kişinin şubat ayında doğmuş olma olasılığı nedir?
Çözümü Göster
Örnek uzaya \( S \) diyelim.
Örnek uzay verilen iki tarih arasındaki tüm günlerden oluşur.
Şubat ayı artık yıllarda 29, diğer yıllarda 28 gün çektiğinden öncelikle bu iki tarih arasında kaç artık yıl olduğunu bulalım.
Artık yıllar 4'ün katları olan yıllardır. Bu yüzden 2000 - 2009 yılları arasında 2000, 2004 ve 2008 olmak üzere 3 artık yıl vardır.
Verilen tarihler arasında bulunan 10 yılda şubat ayı 7 yılda 28 gün, 3 yılda 29 gün çeker.
10 yıldaki toplam gün sayısı \( 365 \cdot 10 + 3 \cdot 1 = 3653 \) olur.
\( s(S) = 3653 \)
İki tarih arasındaki bir günün şubat ayında olma olayına \( A \) diyelim.
\( A \) olayı verilen iki tarih arasında şubat ayında bulunan günlerden oluşur.
10 yılda şubat aylarındaki toplam gün sayısı \( 10 \cdot 28 + 3 \cdot 1 = 283 \) olur.
\( s(A) = 283 \)
\( A \) olayının gerçekleşme olasılığı, \( A \) olayındaki sonuç sayısının örnek uzaydaki sonuç sayısına oranına eşittir.
\( P(A) = \dfrac{s(A)}{s(S)} \)
\( = \dfrac{283}{3653} \) bulunur.
SORU 25:
Üç torbada aşağıda belirtilen renk ve sayılarda bilyeler vardır.
1. torba : 6 siyah ve 3 beyaz bilye
2. torba : 2 siyah ve 4 beyaz bilye
3. torba : 1 siyah ve 5 beyaz bilye
Bu üç torbadan rastgele bir torba seçiliyor ve içinden rastgele bir bilye çekiliyor. Çekilen bilyenin beyaz olma olasılığı kaçtır?
Çözümü Göster
Her bir torbanın seçilme olasılığı \( \frac{1}{3} \) olur.
1. torbanın seçilme ve bu torbadan çekilen bilyenin beyaz olma olasılığı:
\( = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{9}\)
2. torbanın seçilme ve bu torbadan çekilen bilyenin beyaz olma olasılığı:
\( = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{9}\)
3. torbanın seçilme ve bu torbadan çekilen bilyenin beyaz olma olasılığı:
\( = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{5}{6} = \dfrac{5}{18}\)
Her bir torbanın seçilmesi birbirinden ayrık olaylar olduğu için, toplam beyaz bilye çekilme olasılığı bu üç olasılığın toplamına eşittir.
\( \dfrac{1}{9} + \dfrac{2}{9} + \dfrac{5}{18} = \dfrac{11}{18} \) bulunur.
SORU 26:
Mina'nın elindeki kutuda 2 mavi, 1 turuncu, 3 yeşil ve 2 beyaz top vardır. Leyla'nın elindeki kutuda ise 3 mavi, 2 turuncu ve 1 yeşil top vardır.
İkisi de kutunun içine bakmadan rastgele birer top çekiyorlar ve birbirlerine gösteriyorlar. Çektikleri topların renklerinin aynı olma olasılığı nedir?
Çözümü Göster
Mina'nın elindeki kutuda 4 farklı renkte 8 top, Leyla'nın elindeki kutuda 3 farklı renkte 6 top vardır.
Çekilen topların üç farklı durumda aynı renkte olur. Leyla'nın elindeki kutuda beyaz top bulunmadığı için ikisinin de beyaz çekme olasılığı sıfırdır.
Durum 1: İki top da mavi renkte
İki kutudan da mavi top çekilme olasılığı:
\( \dfrac{2}{8} \cdot \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{8} \)
Durum 2: İki top da turuncu renkte
İki kutudan da turuncu top seçilme olasılığı:
\( \dfrac{1}{8} \cdot \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{24} \)
Durum 3: İki top da yeşil renkte
İki kutudan da yeşil top seçilme olasılığı:
\( \dfrac{3}{8} \cdot \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{16} \)
İki kutudan da aynı renk top çekilme olasılığı bu üç duruma ait olasılıkların toplamına eşittir.
\( \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{24} + \dfrac{1}{16} = \dfrac{6}{48} + \dfrac{2}{48} + \dfrac{3}{48} \)
\( = \dfrac{11}{48} \) bulunur.
Aşağıdaki sorular birden fazla denemeden oluşan durumlar içerir.
SORU 27:
Bir zar peş peşe iki kez atıldığında ilk zarın ikinciden büyük gelme olasılığı nedir?
Çözümü Göster
Örnek uzaya \( S \) diyelim.
Örnek uzay 2 zar atışının tüm farklı sonuçlarından oluşur.
\( S = \{11, 12, 13, \ldots, 66\} \)
\( s(S) = 6^2 = 36 \)
İlk zarın ikinciden büyük gelme olayına \( A \) diyelim.
Sonuçların 6'sında iki zar eşit gelir.
\( \{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)\} \)
Kalan sonuçların yarısında ilk zar, diğer yarısında ikinci zar büyük gelir.
Buna göre ilk zarın ikinci zardan büyük geldiği sonuçlar \( \frac{36 - 6}{2} = 15 \) tanedir.
\( s(A) = 15 \)
\( A \) olayının gerçekleşme olasılığı, \( A \) olayındaki sonuç sayısının örnek uzaydaki sonuç sayısına oranına eşittir.
\( P(A) = \dfrac{s(A)}{s(S)} \)
\( = \dfrac{15}{36} = \dfrac{5}{12} \) bulunur.
Örnek uzaydaki tüm sonuçlar aşağıdaki tabloda gösterilmiştir ve \( A \) olayına ait 15 sonuç yeşil ile işaretlenmiştir.
SORU 28:
Altı yüzünden birinde 1, ikisinde 2, üçünde 3 rakamı bulunan iki zar atılıyor. Bu iki zarın aynı gelme olasılığı kaçtır?
Çözümü Göster
Örnek uzaya \( S \) diyelim.
Örnek uzay 2 zar atışının tüm farklı sonuçlarından oluşur. Zarlar üzerinde bazı rakamlar tekrar etse de bu yüzleri örnek uzay açısından ayrı sonuçlar olarak düşünelim.
\( s(S) = 6^2 = 36 \)
Zarların aynı gelme olayına \( A \) diyelim.
\( A \) olayını ayrık 3 olayın birleşimi şeklinde tanımlayalım.
\( A_1 \): İki zarın da 1 gelme olayı (\( \{11\} \))
\( A_2 \): İki zarın da 2 gelme olayı (\( \{22\} \))
\( A_3 \): İki zarın da 3 gelme olayı (\( \{33\} \))
\( A = A_1 \cup A_2 \cup A_3 \)
Zarlarda birer tane 1 bulunduğu için \( A_1 \) olayı \( 1 \cdot 1 = 1 \) tane \( \{11\} \) sonucundan oluşur.
\( s(A_1) = 1 \)
Zarlarda ikişer tane 2 bulunduğu için \( A_2 \) olayı \( 2 \cdot 2 = 4 \) tane \( \{22\} \) sonucundan oluşur.
\( s(A_2) = 4 \)
Zarlarda üçer tane 3 bulunduğu için \( A_3 \) olayı \( 3 \cdot 3 = 9 \) tane \( \{33\} \) sonucundan oluşur.
\( s(A_3) = 9 \)
\( A \) olayının eleman sayısını bulalım.
\( s(A) = s(A_1) + s(A_2) + s(A_3) \)
\( = 1 + 4 + 9 = 14 \)
\( A \) olayının gerçekleşme olasılığı, \( A \) olayındaki sonuç sayısının örnek uzaydaki sonuç sayısına oranına eşittir.
\( P(A) = \dfrac{s(A)}{s(S)} \)
\( = \dfrac{14}{36} = \dfrac{7}{18} \) bulunur.
SORU 29:
Hileli bir zarın çift sayı gelme olasılığı tek sayı gelme olasılığının 2 katıdır.
Bu zar 2 kere atıldığında gelen sayıların toplamının tek sayı olma olasılığı kaçtır?
Çözümü Göster
Hileli zarın tek sayı gelme olasılığına \( p \), çift sayı gelme olasılığına \( 2p \) diyelim.
Tek ya da çift gelme olasılıkları toplamı 1 olmalıdır.
\( p + 2p = 1 \)
\( p = \dfrac{1}{3} \)
Buna göre tek sayı gelme olasılığı \( \frac{1}{3} \), çift sayı gelme olasılığı \( \frac{2}{3} \) olur.
Atılan iki zarın toplamı iki durumda tek olur.
Durum 1: İlk zar tek, ikinci zar çift
Bu durumda zarların toplamının tek sayı olma olasılığı:
\( = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{2}{9} \)
Durum 2: İlk zar çift, ikinci zar tek
Bu durumda zarların toplamının tek sayı olma olasılığı:
\( = \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{9} \)
İki zarın toplamının tek sayı olma olasılığı, iki duruma ait olasılıkların toplamına eşittir.
\( \dfrac{2}{9} + \dfrac{2}{9} = \dfrac{4}{9} \) bulunur.
SORU 30:
İçinde 7 beyaz 3 kırmızı bilye bulunan bir torbadan tekrar torbaya atılmaksızın art arda 2 bilye çekiliyor. Çekilen bilyelerin farklı renkte olma olasılığı kaçtır?
Çözümü Göster
İstenen durum iki farklı şekilde gerçekleşebilir.
Durum 1: 1. bilye beyaz, 2. bilye kırmızı
\( \dfrac{7}{10} \cdot \dfrac{3}{9} = \dfrac{7}{30} \)
Durum 2: 1. bilye kırmızı, 2. bilye beyaz
\( \dfrac{3}{10} \cdot \dfrac{7}{9} = \dfrac{7}{30} \)
Bilyelerin farklı renkte olma olasılığı bu iki duruma ait olasılıkların toplamına eşittir.
\( \dfrac{7}{30} + \dfrac{7}{30} = \dfrac{7}{15} \) bulunur.
SORU 31:
Bir torbada üzerlerinde 0-9 arası rakamların yazılı olduğu 10 top bulunmaktadır. Torbadan rastgele çekilen topun üzerindeki sayı tek ise top dışarda bırakılıyor, çift ise torbaya geri atılıyor.
Buna göre torbadan arka arkaya iki top çekildiğinde, ikinci topun üzerinde tek sayı olma olasılığı kaçtır?
Çözümü Göster
Torbada en başta 5'i tek sayı 5'i çift sayı olmak üzere 10 top vardır.
Belirtilen durum iki farklı şekilde gerçekleşebilir.
Durum 1: 1. top tek sayı
Bu durumda 1. top dışarıda bırakılacağı için 2. çekilişte torbada 4'ü tek sayı olmak üzere 9 top bulunur.
2. çekilişte tek sayı gelme olasılığı:
\( \dfrac{5}{10} \cdot \dfrac{4}{9} = \dfrac{2}{9} \)
Durum 2: 1. top çift sayı
Bu durumda 1. top torbaya geri atılacağı için 2. çekilişte torbada 5'i tek sayı olmak üzere 10 top bulunur.
2. çekilişte tek sayı gelme olasılığı:
\( \dfrac{5}{10} \cdot \dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{4} \)
Bu iki durum ayrık olaylar olduğu için, 2. çekilişte tek sayı gelme olasılığı bu iki duruma ait olasılıkların toplamına eşittir.
\( \dfrac{2}{9} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{17}{36}\) bulunur.
SORU 32:
Ege'nin çantasında biri metro kartı olmak üzere 5 adet kart vardır. Ege metroya girerken çantasından rastgele bir kart çekiyor ve çektiği kart metro kartı değilse çektiği kartı elinde tutarak çantadan yeni bir kart çekiyor.
Buna göre Ege'nin metro kartını 3. denemede bulma olasılığı kaçtır?
Çözümü Göster
Ege'nin metro kartını 3. denemede çekmesi için ilk iki denemede farklı kart, üçüncü denemede metro kartını çekmesi gerekmektedir.
İlk 2 denemede yanlış kartı, 3. denemede doğru kartı çekme olasılığını bulalım.
\( \dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{5} \) bulunur.
SORU 33:
Özel imal edilen bir zarın 1, 2, 3, 4, 5, 6 gelme olasılıkları sırasıyla \( 3:3:2:2:1:1 \) ile doğru orantılıdır.
Bu zar art arda iki kere atıldığında gelen sayıların toplamının 6 olma olasılığı kaçtır?
Çözümü Göster
Verilen oranları kullandığımızda atılan bir zarın 1, 2, 3, 4, 5, 6 gelme olasılıkları sırasıyla aşağıdaki gibi olur.
\( \dfrac{3}{12}, \dfrac{3}{12}, \dfrac{2}{12}, \dfrac{2}{12}, \dfrac{1}{12}, \dfrac{1}{12} \)
\( \dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{6}, \dfrac{1}{6}, \dfrac{1}{12}, \dfrac{1}{12} \)
Gelen sayıların toplamının 6 olduğu 5 durum vardır.
\( (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1) \)
\( (1, 5) \) gelme olasılığını bulalım.
\( \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{12} = \dfrac{1}{48} \)
\( (2, 4) \) gelme olasılığını bulalım.
\( \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{24} \)
\( (3, 3) \) gelme olasığını bulalım.
\( \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{36} \)
\( (5, 1) \) gelme olasılığı \( (1, 5) \) gelme olasılığına, \( (4, 2) \) gelme olasılığı \( (2, 4) \) gelme olasılığına eşittir.
İki zarın toplamının 6 gelme olasılığı bu 5 duruma ait olasılıkların toplamına eşittir.
\( 2 \cdot \dfrac{1}{48} + 2 \cdot \dfrac{1}{24} + \dfrac{1}{36} = \dfrac{3}{72} + \dfrac{6}{72} + \dfrac{2}{72} \)
\( = \dfrac{11}{72} \) bulunur.
SORU 34:
Özdeş kağıtlardan 6'sına "evet", 4'üne "hayır" yazılıp boş bir kutuya atılıyor. Kutudan rastgele bir kağıt çekilip onun yerine zıt anlamlısı konuyor.
Buna göre, ikinci çekilişte kağıtta "hayır" yazma olasılığı kaçtır?
Çözümü Göster
İlk çekilen kağıtta \( \frac{6}{10} \) olasılıkla "evet", \( \frac{4}{10} \) olasılıkla "hayır" yazar.
İkinci çekilişte "hayır" gelme olasılığını birinci çekilişin iki farklı sonucuna göre ayrı ayrı hesaplayalım.
Durum 1: Birinci çekilişte "evet" gelir.
Birinci çekilişte \( \frac{6}{10} \) olasılıkla "evet" yazan kağıt çekilip kutuya zıt anlamlısı konduğunda kutuda 5 "evet" ve 5 "hayır" yazan kağıt olur.
Bu durumda ikinci çekilişte "hayır" çekme olasılığını hesaplayalım.
\( \dfrac{6}{10} \cdot \dfrac{5}{10} = \dfrac{3}{10} \)
Durum 2: Birinci çekilişte "hayır" gelir.
Birinci çekilişte \( \frac{4}{10} \) olasılıkla "hayır" yazan kağıt çekilip kutuya zıt anlamlısı konduğunda kutuda 7 "evet" ve 3 "hayır" yazan kağıt olur.
Bu durumda ikinci çekilişte "hayır" çekme olasılığını hesaplayalım.
\( \dfrac{4}{10} \cdot \dfrac{3}{10} = \dfrac{3}{25} \)
İkinci çekilişte kağıtta "hayır" yazma olasılığı bu iki duruma ait olasılıkların toplamına eşittir.
\( \dfrac{3}{10} + \dfrac{3}{25} = \dfrac{21}{50} \) bulunur.
SORU 35:
Doğan kardeşi Ilgın'la bir zar oyunu oynuyor. Doğan kardeşinin oyunu daha çok kazanmasını istediği için kendisi 1, kardeşi 2 zar atıyor ve gelen zarların toplamı daha yüksek olan oyunu kazanıyor, eşit gelirse berabere kalıyorlar.
Buna göre bu oyunu Doğan'ın kazanma olasılığı kaçtır?
Çözümü Göster
Örnek uzaya \( S \) diyelim.
Örnek uzay 3 zar atışının tüm farklı sonuçlarından oluşur.
\( s(S) = 6^3 = 216 \)
Doğan'ın oyunu kazanma olayına \( A \) diyelim.
\( A \) olayı Doğan'ın attığı tek zarın, Ilgın'ın attığı iki zarın toplamından büyük olduğu sonuçlardan oluşur.
Ilgın'ın attığı iki zar atışında ortaya çıkan 36 farklı sonuç ve her biri için zarların toplamını gösteren tablo aşağıdaki gibidir.
Ilgın'ın attığı 2 zarın toplamı en az 2 olacağı için Doğan 1 ya da 2 attığında oyunu kazanamaz.
Doğan 3 attığında Ilgın'ın sadece "11" attığı 1 durumda oyunu kazanır.
Doğan 4 attığında Ilgın'ın "11", "12" ve "21" attığı 3 durumda oyunu kazanır.
Doğan 5 attığında Ilgın'ın "11", "12", "21", "31", "13" ve "22" attığı 6 durumda oyunu kazanır.
Doğan 6 attığında Ilgın'ın "11", "12", "21", "31", "13", "22", "14", "41", "23", "32" attığı 10 durumda oyunu kazanır.
\( s(A) = 1 + 3 + 6 + 10 = 20 \)
\( A \) olayının gerçekleşme olasılığı, \( A \) olayındaki sonuç sayısının örnek uzaydaki sonuç sayısına oranına eşittir.
\( P(A) = \dfrac{s(A)}{s(S)} \)
\( = \dfrac{20}{216} = \dfrac{5}{54} \) bulunur.
SORU 36:
Berke ve Berk tuttukları basketbol takımının evindeki 10 maç için sezon bileti alıyorlar. Berke'nin herhangi bir maçı hatırlama olasılığı %60, Berk'in ise %70'dir. İkisinden biri bir maçı hatırladığında diğerine hatırlatıyor ve maça birlikte gidiyorlar.
Buna göre Berke ve Berk'in hiçbirini kaçırmadan 10 maça da gitme olasılıkları kaçtır?
Çözümü Göster
Berke ve Berk'in ikisi de bir maçı unuttuklarında o maçı kaçırırlar.
İkisinin de bir maçı unutma olasılığı \( (1 - \frac{60}{100})(1 - \frac{70}{100}) = \frac{12}{100} \) olur.
Buna göre en az birinin maçı hatırlama ve o maça gitme olasılıkları \( 1 - \frac{12}{100} = \frac{88}{100} \) olur.
Hiçbirini unutmadan 10 maça da gitme olasılıkları bu durumda \( \underbrace{\frac{88}{100} \cdot \ldots \cdot \frac{88}{100}}_\text{10 adet} \) olur.
Hiçbirini unutmadan 10 maça da gitme olasılıkları:
\( = (\frac{88}{100})^{10} = (\frac{22}{25})^{10} \) bulunur.
SORU 37:
Alp elindeki madeni parayı 2 kez, Bora elindeki madeni parayı 3 kez atıyor. İki arkadaşa aynı sayıda tura gelme olasılığı kaçtır?
Çözümü Göster
Alp'e \( n \) kez tura gelme olasılığına \( A(n) \), Bora'ya \( n \) kez tura gelme olasılığına \( B(n) \) diyelim.
Her para atışında yazı ve tura gelme olasılıklarının eşit olduğunu varsayarak olasılıkları yazalım.
\( A(0) \) "YY" gelme olasılığına eşittir.
\( A(0) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4} \)
\( A(1) \) "TY" ya da "YT" gelme olasılığına eşittir.
\( A(1) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot 2 = \dfrac{1}{2} \)
\( A(2) \) "TT" gelme olasılığına eşittir.
\( A(2) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4} \)
Alp parayı 2 kez attığı için 3 kez tura gelemez.
\( A(3) = 0 \)
\( B(0) \) "YYY" gelme olasılığına eşittir.
\( B(0) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{8} \)
\( B(1) \) "TYY", "YTY" ya da "YYT" gelme olasılığına eşittir.
\( B(1) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot 3 = \dfrac{3}{8} \)
\( B(2) \) "TTY", "TYT" ya da "YTT" gelme olasılığına eşittir.
\( B(2) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot 3 = \dfrac{3}{8} \)
\( B(3) \) "TTT" gelme olasılığına eşittir.
\( B(3) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{8} \)
İki arkadaşa aynı sayıda tura gelme olasılığı, ikisine aynı anda 0, 1, 2 ve 3 tura gelme olasılıklarının toplamına eşittir.
\( A(0) \cdot B(0) + A(1) \cdot B(1) + A(2) \cdot B(2) + A(3) \cdot B(3) \)
\( = \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{3}{8} + \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{3}{8} + 0 \cdot \dfrac{1}{8} \)
\( = \dfrac{1}{32} + \dfrac{3}{16} + \dfrac{3}{32} \)
\( = \dfrac{5}{16} \) bulunur.
SORU 38:
Bir zar 3 kez atılıyor ve gelen rakamların soldan sağa doğru yan yana yazılmasıyla 3 basamaklı sayılar oluşturuluyor. Bu şekilde oluşturulan bir sayının 3'e tam bölünme olasılığı nedir?
Çözümü Göster
Bir sayının rakamlarının toplamı 3'e tam bölünüyorsa o sayı 3'e tam bölünür. Rakamların dizilişinin 3'e bölünebilirliğe bir etkisi olmadığı için gelen zarların sırasının bir önemi yoktur.
Atılan ilk 2 zarın toplamını 3'e böldüğümüzde kalan 0, 1 ya da 2 olabilir. 2 zar atıldığında oluşan 36 farklı sonuçtan bu 3 kalandan her birinin oluştuğu durumlara sırasıyla \( a \), \( b \) ve \( c \) diyelim.
\( a + b + c = 36 \)
İlk 2 zar sonucunda elde edilen kalan 0 ise 3. zar 3 ve 6 geldiğinde rakamların toplamı 3'e tam bölünür.
İlk 2 zar sonucunda elde edilen kalan 1 ise 3. zar 2 ve 5 geldiğinde rakamların toplamı 3'e tam bölünür.
İlk 2 zar sonucunda elde edilen kalan 2 ise 3. zar 1 ve 4 geldiğinde rakamların toplamı 3'e tam bölünür.
Buna göre ilk 2 zar sonucunda elde edilen kalanı 3. zarda eşit sayıda sonuç 3'ün katına tamamlamaktadır.
Bu doğrultuda 3 zarın toplamının 3'ün bir katı olma olasılığını hesaplayalım.
\( \dfrac{a}{36} \cdot \dfrac{1}{3} + \dfrac{b}{36} \cdot \dfrac{1}{3} + \dfrac{c}{36} \cdot \dfrac{1}{3} \)
\( = \dfrac{a + b + c}{36} \cdot \dfrac{1}{3} \)
\( = \dfrac{36}{36} \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{3} \) bulunur.
SORU 39:
Ufuk aynı anda 4 zar atıyor ve gelen sayıların çarpımını alıyor. Elde ettiği çarpımın 8'e tam bölünüyor olma olasılığı kaçtır?
Çözümü Göster
Bir sayının 8'e tam bölünmesi için sayı en az üç tane 2 çarpanı içermelidir, 8'e tam bölünmemesi için ise en fazla iki tane 2 çarpanı içermelidir.
4 zar atıldığında gelen sayıların en fazla iki tane 2 çarpanı içerdiği durumların olasılığını bulup 1'den çıkaralım.
1 ve 6 arası sayılardan 2 ve 6 birer tane, 4 iki tane 2 çarpanı içerir.
Buna göre 4 zar atıldığında en fazla iki tane 2 çarpanı üç farklı şekilde gelebilir.
Durum 1: 0 tane 2 çarpanı
Bunun için 4 zar da 1, 3 ya da 5 gelmelidir.
\( \dfrac{3}{6} \cdot \dfrac{3}{6} \cdot \dfrac{3}{6} \cdot \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{16} \)
Durum 2: 1 tane 2 çarpanı
Bunun için 1 zar 2 ya da 6; 3 zar 1, 3 ya da 5 gelmelidir.
Ayrıca 4 zar atıldığında bunun gibi \( C(4, 1) = 4 \) farklı durum oluşur.
\( \dfrac{2}{6} \cdot \dfrac{3}{6} \cdot \dfrac{3}{6} \cdot \dfrac{3}{6} \cdot 4 = \dfrac{1}{6} \)
Durum 3: 2 tane 2 çarpanı
Bu durumu iki alt durum altında inceleyelim.
Durum 3.1: 2 tane 2 çarpanı (1'er tane 2 ve 6)
Bunun için iki zar 2 ya da 6; iki zar 1, 3 ya da 5 gelmelidir.
Ayrıca 4 zar atıldığında bunun gibi \( C(4, 2) = 6 \) farklı durum oluşur.
\( \dfrac{2}{6} \cdot \dfrac{2}{6} \cdot \dfrac{3}{6} \cdot \dfrac{3}{6} \cdot 6 = \dfrac{1}{6} \)
Durum 3.2: 2 tane 2 çarpanı (1 tane 4)
Bunun için 1 zar 4; 3 zar 1, 3 ya da 5 gelmelidir.
Ayrıca 4 zar atıldığında bunun gibi \( C(4, 1) = 4 \) farklı durum oluşur.
\( \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{3}{6} \cdot \dfrac{3}{6} \cdot \dfrac{3}{6} \cdot 4 = \dfrac{1}{12} \)
Bulduğumuz olasılıkların toplamı gelen 4 zarın çarpımının en fazla 2 tane 2 çarpanı içerme olasılığına eşittir.
\( \dfrac{1}{16} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{12} = \dfrac{23}{48} \)
4 zarın çarpımının 8'e bölünme, yani en az üç tane 2 çarpanı içerme olasılığını bulmak için bu olasılığı 1'den çıkaralım.
\( 1 - \dfrac{23}{48} = \dfrac{25}{48} \) bulunur.
SORU 40:
Rastgele seçilen iki basamaklı iki pozitif tam sayının toplamının 65 olma olasılığı kaçtır?
Çözümü Göster
Örnek uzaya \( S \) diyelim.
Örnek uzay iki basamaklı pozitif tam sayı ikililerinden oluşur.
10-99 aralığında 90 tane tam sayı vardır.
Bu sayılar arasından iki sayı \( 90 \cdot 90 \) farklı şekilde seçilebilir.
\( s(S) = 90 \cdot 90 \)
Seçilen iki sayının toplamının 65 olma olayına \( A \) diyelim.
\( A \) olayı toplamları 65 olan iki basamaklı sayı ikililerinden oluşur.
\( A = \{(10, 55), (11, 54), (12, 53), \ldots, (55, 10)\} \)
Sayı ikililerinin birinci bileşenini baz alırsak 10'dan 55'e kadar \( 55 - 10 + 1 = 46 \) tam sayı vardır, buna göre toplamları 65 olan 46 sayı ikilisi vardır.
\( s(A) = 46 \)
\( A \) olayının gerçekleşme olasılığı, \( A \) olayındaki sonuç sayısının örnek uzaydaki sonuç sayısına oranına eşittir.
\( P(A) = \dfrac{s(A)}{s(S)} \)
\( = \dfrac{46}{90 \cdot 90} \) bulunur.
SORU 41:
Nisa \( \{4, 7, 11\} \) kümesinin elemanları arasından rastgele iki sayı seçip birbiriyle topluyor. Miray ise \( \{2, 5, 7\} \) kümesinin elemanları arasından rastgele iki sayı seçip birbiriyle çarpıyor.
Nisa'nın bulduğu sonucun Miray'ın bulduğu sonuçtan büyük olma olasılığı kaçtır?
Çözümü Göster
Nisa ve Miray ikişer sayıyı \( C(3, 2) = 3 \) farklı şekilde seçebilir.
Nisa için bu üç farklı durumdaki toplamları bulalım.
\( 4 + 7 = 11 \)
\( 4 + 11 = 15 \)
\( 7 + 11 = 18 \)
Miray için bu üç farklı durumdaki çarpımları bulalım.
\( 2 \cdot 5 = 10 \)
\( 2 \cdot 7 = 14 \)
\( 5 \cdot 7 = 35 \)
Nisa ve Miray'ın her bir sonucu elde etme olasılıkları eşit ve \( \frac{1}{3} \) olur.
Nisa'nın bulduğu sonucun Miray'ın bulduğu sonuçtan büyük olduğu durumları bulalım.
Durum 1: Nisa'nın toplamı = 11
Bu durumda Nisa'nın toplamı Miray'ın çarpımından 1 durumda büyük olur.
\( 11 \gt 10 \)
\( \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{9} \)
Durum 2: Nisa'nın toplamı = 15
Bu durumda Nisa'nın toplamı Miray'ın çarpımından 2 durumda büyük olur.
\( 15 \gt 14 \) ve \( 15 \gt 10 \)
\( \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{2}{9} \)
Durum 3: Nisa'nın toplamı = 18
Bu durumda Nisa'nın toplamı Miray'ın çarpımından 2 durumda büyük olur.
\( 18 \gt 10 \) ve \( 18 \gt 14 \)
\( \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{2}{9} \)
Nisa'nın bulduğu sonucun Miray'ın bulduğu sonuçtan büyük olma olasılığı her bir duruma ait olasılıkların toplamına eşittir.
\( \dfrac{1}{9} + \dfrac{2}{9} + \dfrac{2}{9} = \dfrac{5}{9} \) bulunur.
SORU 42:
Bir öğretmen kız ve erkek öğrencilerin karışık olduğu bir sınıfta yoklama listesinden rastgele 3 öğrencinin numarasını okuyor.
Birinci öğrencinin kız öğrenci olma olasılığı \( P_1 \), tüm öğrencilerin kız öğrenci olma olasılığı \( P_2 \), en az bir öğrencinin kız öğrenci olma olasılığı da \( P_3 \) olsun.
Buna göre \( P_1, P_2, P_3 \) değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayın.
Çözümü Göster
Soru mantık yürüterek de çözülebilecek olsa da biz matematiksel bir yol izleyelim.
Sınıftaki kız öğrencilerin toplam öğrenci sayısına oranına \( p \) diyelim.
Bu durumda rastgele seçilen bir öğrencinin kız öğrenci olma olasılığı \( p \) olur.
\( 0 \lt p \lt 1 \)
Birinci seçilen öğrencinin kız öğrenci olma olasılığı \( p \) olur.
\( P_1 = p \)
Seçilen üç öğrencinin de kız öğrenci olma olasılığı \( p \cdot p \cdot p = p^3 \) olur.
\( P_2 = p^3 \)
\( 0 \lt p \lt 1 \) olduğu için \( P_1 \gt P_2 \) olur.
En az bir öğrencinin kız öğrenci olma olasılığını tüm öğrencilerin erkek öğrenci olma olasılığını 1'den çıkararak bulabiliriz.
\( P_3 = 1 - (1 - p)^3 \)
\( = 1 - (1 - 3p + 3p^2 - p^3) \)
Bu ifadeyi iki şekilde sadeleştirebiliriz.
Aşağıdaki eşitliği \( P_3 \) değerini \( P_2 \) ile karşılaştırmakta kullanacağız.
\( = p^3 + 3p(1 - p) \)
Aşağıdaki eşitliği \( P_3 \) değerini \( P_1 \) ile karşılaştırmakta kullanacağız.
\( = p(3 - 3p + p^2) \)
\( P_2 \) ve \( P_3 \)'ü karşılaştıralım.
\( P_3 = p^3 + 3p(1 - p) \) ifadesi \( p^3 \) üzerine pozitif bir sayının eklenmesiyle elde edildiği için \( P_2 \)'den büyüktür.
\( P_3 \gt P_2 \)
\( P_1 \) ve \( P_3 \)'ü karşılaştıralım.
\( P_3 = p(3 - 3p + p^2) \) eşitliğindeki \( 3 - 3p + p^2 \) ifadesinin 1'den büyük olduğunu gösterebilirsek \( P_3 \gt P_1 \) olduğunu göstermiş oluruz.
\( 3 - 3p + p^2 \stackrel{?}{\gt} 1 \)
\( p^2 - 3p + 2 \stackrel{?}{\gt} 0 \)
\( (p - 1)(p - 2) \stackrel{?}{\gt} 0 \)
\( 0 \lt p \lt 1 \) aralığında bu ifade pozitiftir.
\( P_3 \gt P_1 \)
Buna göre üç olasılığın sıralaması aşağıdaki gibi bulunur.
\( P_2 \lt P_1 \lt P_3 \)