Koşullu Olasılık
Önceki bölümlerde bir olayın gerçekleşme olasılığını diğer olayların gerçekleşmesinden bağımsız şekilde inceledik. Bir olayın başka olayların gerçekleşmesine bağlı olmadan hesaplanan olasılığına marjinal olasılık denir.
Bazı durumlarda deneyin gerçekleşen (ya da gerçekleşecek) sonucu hakkında ek bazı bilgiler biliyor ve bu bilgiler ışığında bir olayın olasılığı hesaplamak istiyor olabiliriz. Bir örnek vermek gerekirse, bir zarın çift sayı gelme olasılığını \( \frac{1}{2} \) olarak hesaplamıştık.
\( S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \)
\( A \): Zarın çift gelme olayı
\( A = \{ 2, 4, 6 \} \)
\( P(A) = \dfrac{s(A)}{s(S)} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2} \)
Farklı bir \( B \) olayını sonucun asal sayı olması şeklinde tanımlayalım.
\( B \): Zarın asal sayı gelme olayı
\( B = \{2, 3, 5\} \)
Eğer zarın atıldığını ve kesin sonucu bilmesek de \( B \) olayının gerçekleştiğini biliyorsak \( A \) olayının gerçekleşme olasılığı artık \( \frac{1}{2} \) olmayacaktır, çünkü kullandığımız olasılık formülünün hem payı hem de paydası bu ek bilgi doğrultusunda değişecektir.
- Payda: \( B \) olayının gerçekleştiğini biliyor olmamız \( B \)'nin elemanı olmayan sonuçların (\( B' \)) gerçekleşmediği anlamına gelir, dolayısıyla deneyin tüm olası sonuçlarını içeren örnek uzay artık \( S \) yerine \( B \) olur.
- Pay: \( B \)'nin elemanı olmayan sonuçların gerçekleşmemiş olması, bu elemanlardan \( A \) olayında tanımlı olanların da gerçekleşmediği anlamına gelir, dolayısıyla \( A \) kümesinde sadece \( B \)'nin de elemanı olan sonuçlar olası birer sonuç olur, bu da iki olayın kesişim olayına karşılık gelir.
\( B \) olayının gerçekleştiği bilindiği durumda \( A \) olayının gerçekleşme olasılığına \( B \) biliniyorken \( A \) olayının koşullu olasılığı denir ve \( P(A \mid B) \) şeklinde gösterilir.
\( B \) olayının bilindiği durum için \( A \) olayının koşullu olasılığı aşağıdaki formülle hesaplanır.
\( P(B) \gt 0 \) olmak üzere,
\( P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} \)
\( B \) olayının gerçekleştiğinin bilinmediği (solda) ve bilindiği (sağda) iki durum arasındaki fark aşağıdaki şekilde gösterilmiştir. Her iki durumda yeşil bölge olasılık formülünde paydaya, kırmızı kenarlı bölge paya karşılık gelmektedir.
Bu formülü kullanarak \( A \) olayı ve örnek uzayla ilgili aşağıdaki sonuçları çıkarabiliriz.
\( A \) olayının gerçekleştiği biliniyorsa \( A \) olayının gerçekleşme olasılığı 1'dir.
\( P(A \mid A) = \dfrac{P(A \cap A)}{P(A)} = \dfrac{P(A)}{P(A)} = 1 \)
Örnek uzayın gerçekleştiği biliniyorsa \( A \) olayının gerçekleşme olasılığı \( p(A) \)'dır.
\( P(A \mid S) = \dfrac{P(A \cap S)}{P(S)} = \dfrac{P(A)}{P(S)} = P(A) \)
\( A \) olayının gerçekleştiği biliniyorsa örnek uzayın gerçekleşme olasılığı 1'dir.
\( P(S \mid A) = \dfrac{P(S \cap A)}{P(A)} = \dfrac{P(A)}{P(A)} = 1 \)
Bayes Teoremi
Yukarıda tanımladığımız \( P(A \mid B) \) formülünü \( P(B \mid A) \) için de yazdığımızda aşağıdaki Bayes teoremi formülü elde edilir.
Bu formül aynı zamanda \( A \) ve \( B \) olaylarının olasılıkları birbirine eşit olmadığı sürece \( P(A \mid B) \) ve \( P(B \mid A) \) koşullu olasılıklarının birbirine eşit olmadığını gösterir.
\( P(A) \ne P(B) \) ise,
\( \dfrac{P(B \mid A)P(A)}{P(B)} \ne \dfrac{P(A \mid B)P(B)}{P(A)} \)
\( P(A \mid B) \ne P(B \mid A) \)
Bağımsız Olaylar
Bir zar ve bir yazı - tura atışından oluşan bir deney yapıyor olalım.
\( S = \{1Y, 1T, \ldots, 6Y, 6T\} \)
\( s(S) = 6 \cdot 2 = 12 \)
\( A \): Zarın 4 gelme olayı
\( A = \{4Y, 4T\} \)
\( B \): Paranın yazı gelme olayı
\( B = \{1Y, 2Y, \ldots, 6Y\} \)
\( A \) olayının gerçekleşme olasılığını aşağıdaki gibi hesaplayabiliriz.
\( P(A) = \dfrac{s(A)}{s(S)} = \dfrac{2}{12} = \dfrac{1}{6} \)
\( B \) olayının gerçekleştiği durumda \( A \) olayının gerçekleşme olasılığını aşağıdaki gibi hesaplayabiliriz.
\( A \cap B = \{ 4Y \} \)
\( P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} \)
\( = \dfrac{s(A \cap B)}{s(B)} = \dfrac{1}{6} \)
Görebileceğimiz gibi, \( A \) olayının tek başına gerçekleşme olasılığı \( B \)'nin bilindiği durumdaki koşullu olasılığına eşit olmaktadır. Bu şekilde bir olayın gerçekleştiğinin biliniyor olması diğer bir olayın olasılığını değiştirmiyorsa bu iki olaya bağımsız olaylar denir. İki olay bağımsız ise birinin sonucunu biliyor olmamız diğerinin gerçekleşme olasılığını etkilemez.
\( A \) ve \( B \) bağımsız olay değillerse bağımlı olaylardır.
Bağımsız \( A \) ve \( B \) olayları için aşağıdaki ifadeler doğrudur.
\( A \) ve \( B \) bağımsız olaylar ise,
\( P(A \cap B) = P(A)P(B) \)
Bu eşitliği koşullu olasılık formülünde yerine koyduğumuzda bağımsız olayların tanımı olan koşullu olasılığın marjinal olasılığa eşitliğini elde ederiz.
\( P(A \mid B) = P(A) \)
\( P(B \mid A) = P(B) \)
İkiden fazla olay bağımsız ise olasılıkları arasındaki ilişki aşağıdaki şekilde gösterilir.
\( A_1, A_2, \ldots, A_n \) bağımsız olaylar ise,
\( P(A_1 \cap A_2 \cap \ldots \cap A_n) \) \( = P(A_1) \cdot P(A_2) \cdot \) \( \ldots \cdot P(A_n) \)
Bir hastanede bir yıl boyunca Covid olduğu bilinen 6.800 hastaya yapılan testlerin 5.700'ü pozitif, Covid olmadığı bilinen 3.200 hastaya yapılan testlerin 2.300'ü negatif sonuçlanmıştır.
Buna göre bu hastaneye Covid testi için giden bir kişinin testi negatif çıktıysa gerçekten Covid olmama olasılığı nedir?
Çözümü Göster
Bir şirket çalışanları arasında üniversite mezunu olan 46 personelin 6'sının, üniversite mezunu olmayan 54 personelin 22'sinin sigara içtiği biliniyor.
Buna göre şirketteki sigara odasında sigara içtiği görülen bir çalışanın üniversite mezunu olma olasılığı nedir?
Çözümü Göster
Belirli bir markaya ait telefonların \( \% 40 \)'ı A ülkesinde, \( \%60 \)'ı B ülkesinde üretilmektedir. A ülkesinde üretilen telefonların \( \%15 \)'i, B ülkesinde üretilen telefonların \( \%20 \)'si bozuk çıkmaktadır.
Bu telefonlardan rastgele seçilen biri bozuk çıktığına göre, bu telefonun B ülkesinde üretilmiş olma olasılığı A ülkesinde üretilmiş olma olasılığının kaç katıdır?
Çözümü Göster
Bir çift zar birlikte atılıyor. Gelen zarların toplamının 7 olduğu bilindiğine göre, zarlardan birinin 2 gelmiş olma olasılığı kaçtır?
Çözümü Göster42 kişilik bir sınıfta matematik dersinden geçenlerin sayısı, türkçe dersinden geçenlerin 2 katıdır.
Her iki dersten geçenlerin sayısı her iki dersten kalanların sayısına eşittir. Yalnız türkçe dersinden geçenlerin sayısı 3 kişidir.
Sınıfta rastgele seçilen bir kişinin türkçeden kaldığı bilindiğine göre, matematikten geçme olasılığı kaçtır?
Çözümü Göster
Sena'nın 3 madeni parası vardır. Bu paralardan ikisinin bir yüzü yazı bir yüzü tura, diğerinin her iki yüzü de turadır.
Sena bu paralardan rastgele birini seçiyor ve havaya atıyor. Para tura geldiğine göre, paranın diğer yüzünün de tura olma olasılığı nedir?
Çözümü Göster1 milyonda bir kişide görülen bir hastalığın teşhisinde kullanılan bir test %99 oranında doğru sonuç vermektedir (hastalığa sahip kişi için pozitif, hastalığa sahip olmayan kişi için negatif sonuç).
Bu testi yaptıran bir kişinin sonucu pozitif ise kişinin gerçekten hasta olma olasılığı kaçtır?
Çözümü Göster