Koşullu Olasılık

Önceki bölümde bir olayın gerçekleşme olasılığını diğer olayların gerçekleşmesinden bağımsız şekilde inceledik. Bir olayın başka olayların gerçekleşmesine bağlı olmadan hesaplanan olasılığına marjinal olasılık denir.

Bazı durumlarda deneyin gerçekleşen (ya da gerçekleşecek) sonucu hakkında ek bazı bilgiler biliniyor ve bu bilgiler ışığında bir olayın olasılığı isteniyor olabilir. Bir örnek vermek gerekirse, bir zarın çift sayı gelme olayına \( A \) dersek, \( A \)'nın gerçekleşme olasılığının \( \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \) olduğunu hesaplamıştık.

Farklı bir \( B \) olayını sonucun bir asal sayı olması şeklinde tanımlayalım.

Eğer \( B \) olayının gerçekleştiği ek bir bilgi olarak verilmişse, \( A \) olayının gerçekleşme olasılığı artık \( \frac{1}{2} \) olmayacaktır, çünkü yukarıda kullandığımız olasılık formülünün hem payı hem de paydası bu ek bilgi doğrultusunda değişecektir.

  • Olasılık formülünün paydası: \( B \) olayının gerçekleştiğini biliyor olmamız \( B \)'nin elemanı olmayan sonuçların (\( B' \)) gerçekleşmediği anlamına gelir, dolayısıyla deneyin örnek uzayı bir bakıma artık \( S \) yerine \( B \) olmaktadır.
  • Olasılık formülünün payı: \( B \)'nin elemanı olmayan sonuçların gerçekleşmemiş olması, bu elemanlardan \( A \) olayında tanımlı olanların da gerçekleşmediği anlamına gelir, dolayısıyla \( A \) kümesinde sadece \( B \)'nin de elemanı olan sonuçlar olası birer sonuç olmaktadır, bu da iki olayın kesişim olayına karşılık gelmektedir.

\( P(B) \gt 0 \) olmak üzere, \( B \) olayının gerçekleştiği bilindiği durumda \( A \) olayının gerçekleşme olasılığına \( B \) biliniyorken \( A \) olayının koşullu olasılığı denir ve \( P(A | B) \) şeklinde gösterilir.

\( B \) olayının bilindiği durum için \( A \) olayının koşullu olasılığını aşağıdaki formülle hesaplayabiliriz.

Görebileceğimiz gibi koşullu olasılık formülünde pay iki olayın kesişim olayı, payda da örnek uzay yerine gerçekleştiği bilinen \( B \) olayı olmaktadır.

\( B \) olayının gerçekleştiğinin bilinmediği ve bilindiği durumlar arasındaki fark aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.

Koşullu olasılık
Koşullu olasılık

\( A \) olayının gerçekleştiği biliniyorsa aşağıdaki iki koşullu olasılığın gerçekleşme olasılığı 1 olur.

Bayes Teoremi

Yukarıda tanımladığımız \( B \) biliniyorken \( A \) olayının koşullu olasılık formülünü \( A \) biliniyorken \( B \) olayının koşullu olasılığı için de yazarsak aşağıdaki Bayes Teoremi formülünü elde ederiz.

Bu formül aynı zamanda \( A \) ve \( B \) olaylarının olasılıkları birbirine eşit olmadığı sürece \( B \) biliniyorken \( A \) olayının koşullu olasılığının \( A \) biliniyorken \( B \) olayının koşullu olasılığına eşit olmadığını göstermektedir.

SORU:

Bir hastanede bir yıl boyunca Covid olduğu bilinen 6.800 hastaya yapılan testlerin 5.700'ü pozitif çıkmıştır. Aynı süre boyunca Covid olmadığı bilinen 3.200 hastaya yapılan testlerin 2.300'ü negatif çıkmıştır.

Buna göre bu hastaneye Covid testi için giden bir kişinin testi negatif çıktıysa gerçekten Covid olmama olasılığı nedir?

Çözümü Göster


SORU:

Bir şirket çalışanları arasında üniversite mezunu olan 46 personelin 6'sının, üniversite mezunu olmayan 54 personelin 22'sinin sigara içtiği biliniyor. Buna göre şirketteki sigara odasında sigara içtiği görülen bir çalışanın üniversite mezunu olma olasılığı nedir?

Çözümü Göster

Bağımsız Olaylar

Bir zar ve bir yazı-tura atışından oluşan bir deney yapıyor olalım.

\( A \) olayının gerçekleşme olasılığını aşağıdaki gibi hesaplayabiliriz.

\( B \) olayının gerçekleştiği durumda \( A \) olayının gerçekleşme olasılığını da aşağıdaki gibi hesaplayabiliriz.

Görebileceğimiz gibi, \( A \) olayının tek başına gerçekleşme olasılığı ile \( B \) biliniyorken koşullu olasılığı aynıdır. Bu şekilde bir olayın gerçekleştiğinin biliniyor olması diğer bir olayın olasılığını değiştirmiyorsa, bu iki olaya bağımsız olaylar denir. Buna göre iki olay bağımsız ise birinin sonucunu biliyor olmamız diğerinin gerçekleşme olasılığını etkilemez.

\( A \) ve \( B \) bağımsız olay değillerse bağımlı olaylardır.

Bağımsız \( A \) ve \( B \) olayları için aşağıdaki ifadeler doğrudur.

Bu eşitliği koşullu olasılık formülünde yerine koyarsak bağımsız olayların tanımı olan koşullu olasılığın marjinal olasılığa eşitliğini elde ederiz.

İkiden fazla olay bağımsız ise olasılıkları arasındaki ilişkiyi aşağıdaki şekilde gösterebiliriz.


« Önceki
Olasılık Hesaplama
Ana Sayfa »
Konu Tamamlandı!


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır