Olasılık Hesaplama
Olasılık Fonksiyonu
Belirli bir olayı o olayın gerçekleşme olasılığı ile eşleyen fonksiyona olasılık fonksiyonu denir ve \( P \) ile gösterilir. \( P \) fonksiyonunun tanım kümesi \( S \) örnek uzayının tüm alt kümelerinden oluşan küme (kuvvet kümesi), değer kümesi de bir olayın gerçekleşme ihtimalini gösteren \( [0, 1] \) kapalı aralığıdır.
\( P_S \), \( S \) örnek uzayının tüm alt kümelerinden oluşan kuvvet kümesi olmak üzere,
\( P: P_S \to [0, 1] \)
\( P(A) \), \( A \) olayı ile olayın gerçekleşme olasılığını eşleyen olasılık fonksiyonudur.
Bir olasılık fonksiyonunun sağlaması gereken üç koşul vardır.
Birincisi, bir olayın gerçekleşme olasılığı 0 ve 1 kapalı aralığında bir reel sayıdır. Buna göre bir olayın olasılığı negatif olamaz.
\( 0 \le P(A) \le 1 \)
İkincisi, bir deneyin tüm olası sonuçlarını içeren örnek uzayın gerçekleşme olasılığı 1'e eşittir.
\( P(S) = 1 \)
Bir zar atışı deneyi için:
\( S = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \} \)
\( P(S) = 1 \)
Üçüncüsü, birbirinden ikişerli ayrık olayların birleşiminin olasılığı olayların olasılıkları toplamına eşittir.
\( A_1, A_2, \ldots, A_n \) birbirinden ikişerli ayrık olaylar olmak üzere,
\( P(A_1 \cup A_2 \cup \ldots \cup A_n) \) \( = P(A_1) + P(A_2) \) \( + \ldots + P(A_n) \)
Olasılık Doğrusu
Bir olayın gerçekleşme olasılığı 0 ve 1 kapalı aralığında bir reel sayıdır ve tüm reel sayılar gibi bu değeri sayı doğrusu üzerinde 0-1 aralığında bir nokta olarak gösterebiliriz.
Bir olayın olasılığını kesir (\( \frac{1}{4} \)), ondalık sayı (\( 0,25 \)) ve yüzde (\( \% 25 \)) şeklinde ifade edebiliriz.
Olasılığı 0 (%0) olan olaylara imkansız olay denir. Atılan bir zarın 7 gelmesini imkansız olaylara örnek olarak verebiliriz.
Olasılığı 1 (%100) olan olaylara kesin olay denir. İçinde sadece kırmızı bilyeler olan bir torbadan çekilen bir bilyenin kırmızı olmasını kesin olaylara örnek olarak verebiliriz.
İki olayın olasılıklarının birbirine göre durumları üç farklı şekilde olabilir.
\( P(A) \gt P(B) \): \( A \) \( B \)'den daha yüksek olasılıklı bir olaydır.
\( P(A) \lt P(B) \): \( A \) \( B \)'den daha düşük olasılıklı bir olaydır.
\( P(A) = P(B) \): \( A \) ve \( B \) eşit olasılıklı olaylardır.
Bir Sonucun Gerçekleşme Olasılığı
Bir rastgele deneyin her bir sonucunun bir gerçekleşme olasılığı vardır ve aksi belirtilmedikçe sonuçlardan her birinin gerçekleşme olasılığının eşit olduğunu varsayarız. Bu eşit olasılık kimi zaman deneyde kullanılan nesnenin (zar, para, iskambil destesi vb.) hilesiz olduğu şeklinde belirtilir.
Örnek vermek gerekirse, hilesiz bir yazı-tura atışında her bir sonucun gerçekleşme olasılığı \( \frac{1}{2} \), yine hilesiz bir zar atışında her bir sonucun gerçekleşme olasılığı \( \frac{1}{6} \)'dır.
Aynı örnek uzayda tanımlı tüm sonuçların gerçekleşme olasılıklarının toplamı 1'dir.
\( s_1, s_2, \ldots, s_n \) bir \( S \) örnek uzayında tanımlı sonuçlar olmak üzere,
\( S = \{ s_1, s_2, \ldots, s_n \} \)
\( P(S) = P(\{s_1\}) + P(\{s_2\}) + \ldots \) \( + P(\{s_n\}) = 1 \)
Bir zar atışını örnek olarak alırsak:
\( S = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \} \)
\( P(S) = P(\{1\}) + P(\{2\}) + P(\{3\}) \) \( + P(\{4\}) + P(\{5\}) \) \( + P(\{6\}) \)
\( P(S) = \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} \) \( + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} \) \( + \dfrac{1}{6} = 1 \)
Aynı örnek uzayda tanımlı gerçekleşme olasılığı eşit olan sonuçlara eş olasılıklı sonuçlar denir.
Bir Olayın Gerçekleşme Olasılığı
Bir örnek uzayda tanımlı bir olayın gerçekleşme olasılığı o olayın elemanı olan sonuçların olasılıklarının toplamına eşittir.
\( s_1, s_2, \ldots, s_n \) bir \( S \) örnek uzayında tanımlı sonuçlar olmak üzere,
\( S = \{ s_1, s_2, \ldots, s_n \} \)
\( P(A) = \sum_{\forall s_i \in A}^{} P(\{s_i\}) \)
Bir zar atışında çift gelme olasılığı:
\( S = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \} \)
\( A = \{ 2, 4, 6 \} \)
\( P(\{ 2 \}) = P(\{ 4 \}) = P(\{ 6 \}) = \dfrac{1}{6} \)
\( P(A) = P(\{ 2 \}) + P(\{ 4 \}) + P(\{ 6 \}) = \dfrac{1}{2} \)
Bir örnek uzayda tanımlı sonuçlar eş olasılıklı ise yukarıdaki formüle ek olarak bir olayın olasılığını aşağıdaki formülle hesaplayabiliriz.
\( P(A) = \dfrac{\text{A olayındaki sonuç sayısı}}{\text{Örnek uzaydaki sonuç sayısı}} \)
\( P(A) = \dfrac{s(A)}{s(S)} \)
Bir zar atışını örnek olarak alırsak:
\( S = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \} \)
\( A \) zarın çift gelme olayı olmak üzere,
\( A = \{ 2, 4, 6 \} \)
\( P(A) = \dfrac{s(A)}{s(S)} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2} \)
Karşılaşacağımız durumların çoğunda olacağı gibi bir örnek uzayda tanımlı sonuçlar eş olasılıklı ise olasılık hesaplamaları örnek uzayın ve olayların elemanı olan sonuçları sayma problemlerine dönüşmektedir. Dolayısıyla önceki bölümlerde gördüğümüz toplama/çarpma/çıkarma kuralları, permütasyon ve kombinasyon ile sayma yöntemlerini olasılık problemlerinde sıklıkla kullanıyor olacağız.
Olasılık Fonksiyonunun Özellikleri
Olasılık fonksiyonunun diğer bazı özellikleri aşağıdaki gibidir.
Boş kümenin gerçekleşme olasılığı 0, örnek uzayın gerçekleşme olasılığı 1'dır.
\( P(\emptyset) = 0 \)
\( P(S) = 1 \)
Bir Olayın Tümleyeni
Bir olay ve tümleyeni ayrık olaylar oldukları ve birleşimleri örnek uzaya eşit olduğu için olasılıklarının toplamı her zaman 1'dir.
\( A \cup A' = S \)
\( P(A \cup A') = P(A) + P(A') \) \( = P(S) = 1 \)
\( P(A) = 1 - P(A') \)
\( A \) belirli bir günde yağmur yağma olayı olmak üzere,
O gün yağmur yağma ve yağmama olaylarının olasılıkları toplamı 1'dir.
\( P(A) + P(A') = 1 \)
Birbirini Kapsayan Olaylar
Bir \( A \) olayı diğer bir \( B \) olayını kapsıyorsa, \( A \) olayının gerçekleşme olasılığı \( B \) olayının gerçekleşme olasılığından büyüktür (ya da büyük eşittir).
\( B \subset A \Longrightarrow P(B) \lt P(A) \)
\( B \subseteq A \Longrightarrow P(B) \le P(A) \)
\( A \): Bir takımın bir maçta 2 ya da daha fazla gol atma olayı
\( B \): Bir takımın bir maçta 3 ya da daha fazla gol atma olayı
\( B \subset A \) olmak üzere,
Bu takımın 2 ya da daha fazla gol atma olasılığı 3 ya da daha fazla gol atma olasılığından büyük olacaktır.
\( P(B) \lt P(A) \)
Ayrıca bu durumda \( A \) olayının \( B \) olayından farkının olasılığı olayların olasılıklarının farkına eşittir.
\( B \subset A \) ise,
\( P(A - B) = P(A) - P(B) \)
Ayrık Olmayan Olaylar
Ayrık olmayan olaylardan herhangi birinin gerçekleşme olasılığını hesaplamak için sayma konusunda gördüğümüz Dahil Etme - Hariç Tutma Prensibi'ni kullanmamız gerekir.
İki kümeli durum için bu formül aşağıdaki gibidir.
\( P(A \cup B) = P(A) + P(B) \) \( - P(A \cap B) \)