Olaylarla İşlemler
Bir örnek uzay ve bu örnek uzayın alt kümesi olan tüm olaylar, elemanları örnek uzayda tanımlı sonuçlar olan birer kümedir. Buna göre, \( S \) örnek uzayında tanımlı \( A \) ve \( B \) olaylarını kullanarak oluşturabileceğimiz kesişim (\( A \cap B \)), birleşim (\( A \cup B \)), tümleyen (\( A' \)) ve fark (\( A - B \)) kümelerinin de yine \( S \) örnek uzayında tanımlı birer olay olacağını söyleyebiliriz.
Bu açıdan bakınca, kümeler konusunda öğrendiğimiz işlemlerin tümü örnek uzay ve olaylar için de geçerli işlemlerdir. Bu bölümde olasılık hesaplamalarında sıklıkla kullanacağımız bu küme işlemlerini olaylar bağlamında tekrar edeceğiz.
İki Olayın Kesişimi
\( A \) ve \( B \) olaylarının ikisinin de elemanı olan ortak sonuçlardan oluşan olaya \( A \) ve \( B \) olaylarının kesişim olayı denir ve \( A \cap B \) ile gösterilir. \( A \cap B \) olayı \( A \) ve \( B \) olaylarının ikisinin de gerçekleştiği durumlarda gerçekleşmiş olur.
\( A \cap B \) olayının küme gösterimi aşağıdaki gibidir.
\( A \cap B = \{ x: x \in A \land x \in B \} \)
Bir zar atışında zarın 6 gelme durumunda aşağıdaki gibi tanımlı iki olay gerçekleşmiş olur, dolayısıyla iki olayın kesişim olayı da gerçekleşmiş olur.
\( S = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \} \)
\( A \) zarın çift gelme olayı olmak üzere,
\( A = \{ 2, 4, 6 \} \)
\( B \) zarın 5 ya da daha büyük gelme olayı olmak üzere,
\( B = \{ 5, 6 \} \)
\( A \cap B = \{ 6 \} \)
Bu iki olayın kesişim olayı aşağıdaki Venn şemasında mavi ile gösterilmiştir.
Benzer şekilde, ikiden fazla olayın kesişim olayı tüm olayların elemanı olan ortak sonuçlardan oluşan olaydır. Bu kesişim olayı kesişimi alınan olayların tümünün gerçekleştiği durumlarda gerçekleşmiş olur.
İki Olayın Birleşimi
\( A \) veya \( B \) olaylarının en az birinin elemanı olan sonuçlardan oluşan olaya \( A \) ve \( B \) olaylarının birleşim olayı denir ve \( A \cup B \) ile gösterilir. \( A \cup B \) olayı \( A \) veya \( B \) olaylarının en az birinin gerçekleştiği durumlarda gerçekleşmiş olur.
\( A \cup B \) olayının küme gösterimi aşağıdaki gibidir.
\( A \cup B = \{ x: x \in A \lor x \in B \} \)
Bir zarın iki kez atışında zarın iki seferde de 1 gelme durumunda (sonuç: 11) aşağıdaki gibi tanımlı iki olaydan en az biri gerçekleşmiş olur, dolayısıyla iki olayın birleşim olayı da gerçekleşmiş olur.
\( S = \{ 11, 12, 13, \ldots, 65, 66 \} \)
\( A \) iki zarın aynı gelme olayı olmak üzere,
\( A = \{ 11, 22, 33, 44, 55, 66 \} \)
\( B \) iki zarın toplamının 10 ya da daha büyük gelme olayı olmak üzere,
\( B = \{ 46, 55, 56, 64, 65, 66 \} \)
\( A \cup B = \{ 11, 22, 33, 44, 46, 55, \) \( 56, 64, \) \( 65, 66 \} \)
Bu iki olayın ve birleşim olaylarının tablo şeklinde gösterimi aşağıdaki gibidir. Bu gösterimde satırlar birinci zarın sonucunu, sütunlar ikinci zarın sonucunu göstermekte olup, mavi kutular \( A \) olayında tanımlı, yeşil kutular \( B \) olayında tanımlı, sarı kutular her iki olayda da tanımlı sonuçlardır. Buna göre mavi, yeşil ve sarı ile işaretli kutuların tümü iki olayın birleşim olayına karşılık gelmektedir.
Benzer şekilde, ikiden fazla olayın birleşim olayı bu olayların en az birinin elemanı olan sonuçlardan oluşan olaydır. Bu birleşim olayı birleşimi alınan olaylardan en az birinin gerçekleştiği durumlarda gerçekleşmiş olur.
Birleşim Olayının Eleman Sayısı
İki olayın birleşiminin eleman sayısını aşağıdaki formülle hesaplayabiliriz. Bu formülde olayların eleman sayılarının toplamından kesişim kümesinin eleman sayısını çıkarmamızın sebebi, kesişim olayının iki olayda ortak olmasıdır. Bu yüzden bu çıkarma işlemi kesişim olayının iki kez sayılmasının önüne geçmektedir.
\( s(A \cup B) = s(A) + s(B) \textcolor{red}{- s(A \cap B)} \)
Yukarıdaki zar örneği için birleşim kümesinin eleman sayısı:
\( A \cap B = \{ 55, 66 \} \)
\( s(A \cup B) = 6 + 6 - 2 = 10 \)
Eğer bu iki olay ayrık olaylarsa kesişim kümeleri boş kümedir, dolayısıyla formül aşağıdaki şekilde olur.
\( A \) ve \( B \) ayrık olaylar ise,
\( A \cap B = \emptyset \)
\( s(A \cup B) = s(A) + s(B) \)
Üç ve daha fazla sayıda olayın birleşiminin eleman sayısını bulmak için kümeler konusunda gördüğümüz Dahil Etme - Hariç Tutma Prensibi'ni kullanabiliriz. Örnek olarak üç olayın birleşiminin eleman sayısını aşağıdaki formülle bulabiliriz.
\( s(A \cup B \cup C) \) \( = s(A) + s(B) + s(C) \) \( \textcolor{red}{- s(A \cap B) - s(A \cap C) - s(B \cap C)} \) \( \textcolor{blue}{+ s(A \cap B \cap C)} \)
Bir Olayın Tümleyeni
\( S \) örnek uzayında bir \( A \) olayının elemanı olan sonuçlar dışında kalan sonuçları içeren olaya \( A \) olayının tümleyeni denir ve \( A' \) ile gösterilir. \( A' \) olayı \( A \) olayının gerçekleşmediği durumlarda gerçekleşmiş, \( A \) olayının gerçekleştiği durumlarda gerçekleşmemiş olur.
\( A \) olayının tümleyeninin küme gösterimi aşağıdaki gibidir.
\( A' = \{ x: x \notin A \land x \in S \} \)
Tek bir zar atışında zarın 3 gelmesi durumunda aşağıdaki gibi tanımlı \( A \) olayı gerçekleşmemiş olur, dolayısıyla \( A' \) olayı gerçekleşmiş olur.
\( S = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \} \)
\( A \) zarın çift gelme olayı olmak üzere,
\( A = \{ 2, 4, 6 \} \)
\( A' = \{ 1, 3, 5 \} \)
Bu olayın tümleyeni olan olay aşağıdaki Venn şemasında mavi ile gösterilmiştir.
Bir olay ve tümleyeninin kesişimi boş kümedir, dolayısıyla bir olay ve tümleyeni ayrık olaylardır.
\( A \cap A' = \emptyset \)
Bir olay ve tümleyeninin birleşimi örnek uzaya eşittir.
\( A \cup A' = S \)
\( A' = S - A \)
İki Olayın Farkı
\( A \) olayının \( B \) olayından farkı, \( A \) olayının elemanı olan ama \( B \) olayının elemanı olmayan sonuçlardan oluşur ve \( A - B \) ile gösterilir. \( A - B \) olayı \( A \) olayının gerçekleştiği ve \( B \) olayının gerçekleşmediği durumlarda gerçekleşmiş olur.
\( A \) olayının \( B \) olayından farkının küme gösterimi aşağıdaki gibidir.
\( A - B = \{ x: x \in A \land x \notin B \} \)
Bir zar atışında zarın 4 gelme durumunda aşağıdaki gibi tanımlı iki olaydan \( A \) gerçekleşmiş \( B \) gerçekleşmemiş olur, dolayısıyla \( A - B \) olayı gerçekleşmiş olur.
\( S = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \} \)
\( A \) zarın çift gelme olayı olmak üzere,
\( A = \{ 2, 4, 6 \} \)
\( B \) zarın asal sayı gelme olayı olmak üzere,
\( B = \{ 2, 3, 5 \} \)
\( A - B = \{ 4, 6 \} \)
\( A \) olayının \( B \) olayından farkı olan olay aşağıdaki Venn şemasında mavi ile gösterilmiştir.
\( A \) olayının \( B \) olayından farkını aşağıdaki şekilde de ifade edebiliriz.
\( A - B = A \cap B' \)
Ayrık Olaylar
\( A \) ve \( B \) olaylarının ortak elemanı olan hiçbir sonuç yoksa, bir diğer ifadeyle iki olayın kesişim kümeleri boş küme ise bu olaylara ayrık olaylar denir. Ayrık olaylar aynı anda gerçekleşemezler, ya sadece biri gerçekleşir ya da ikisi de gerçekleşmez.
Bir zar atışında aşağıdaki gibi tanımlı \( A \) ve \( B \) olayları ayrık olaylardır, dolayısıyla aynı anda gerçekleşemezler.
\( S = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \} \)
\( A \) zarın tek gelme olayı olmak üzere,
\( A = \{ 1, 3, 5 \} \)
\( B \) zarın çift gelme olayı olmak üzere,
\( B = \{ 2, 4, 6 \} \)
\( A \cap B = \emptyset \)
Bu iki ayrık olayın Venn şeması şeklinde gösterimi aşağıdaki gibidir.
Ayrık olayların kesişim kümesi boş kümedir.
\( A \) ve \( B \) ayrık olaylar ise,
\( A \cap B = \emptyset \)
İkiden fazla olay ikişerli ayrık olaylarsa, bu olayların arasından seçebileceğimiz tüm ikili olaylar aralarında ayrıktır, dolayısıyla bu olayların sadece tümünün ortak kesişim olayı boş küme değildir, aynı zamanda tüm ikili kesişimleri de birer boş kümedir.
Birbirini Kapsayan Olaylar
\( B \) olayının elemanı olan tüm sonuçlar \( A \) olayının da elemanı ise \( A \) olayı \( B \) olayını kapsıyordur ya da bir diğer ifadeyle \( B \) olayı \( A \) olayının bir alt kümesidir. Bu durumda \( A \) ve \( B \) olayları arasındaki ilişki iki olayın birbirine eşit olabilme ya da olamama durumuna göre \( B \subset A \) ya da \( B \subseteq A \) şeklinde gösterilir. \( A \) olayı \( B \) olayını kapsıyorsa, \( B \) olayı gerçekleştiğinde \( A \) olayı da gerçekleşmiş olur.
Bir zar atışında zarın 6 gelme durumunda aşağıdaki gibi tanımlı iki olaydan \( B \) olayı gerçekleşmiş olur, dolayısıyla \( B \) olayını kapsayan \( A \) olayı da gerçekleşmiş olur.
\( S = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \} \)
\( A \) zarın çift gelme olayı olmak üzere,
\( A = \{ 2, 4, 6 \} \)
\( B \) zarın 6 gelme olayı olmak üzere,
\( B = \{ 6 \} \)
\( B \subset A \)
Biri diğerini kapsayan bu iki olay aşağıda Venn şeması şeklinde gösterilmiştir.
Bütünü Kapsayıcı Olaylar
Birleşimleri örnek uzaya eşit olan olaylara bütünü kapsayıcı olaylar denir. Bir deney gerçekleştirildiğinde bütünü kapsayıcı olaylardan en az biri gerçekleşmiş olur.
\( A_1 \cup A_2 \cup \ldots \cup A_n = S \) ise,
\( A_1, A_2, \ldots, A_n \) bütünü kapsayıcı olaylardır.
Aşağıdaki iki olay bütünü kapsayıcı olaylardır.
\( S = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \} \)
\( A \) zarın tek gelme olayı olmak üzere,
\( A = \{ 1, 3, 5 \} \)
\( B \) zarın çift gelme olayı olmak üzere,
\( B = \{ 2, 4, 6 \} \)
\( A \cup B = S \)