Olaylarla İşlemler

Bir örnek uzay ve bu örnek uzayın alt kümesi olan tüm olaylar, elemanları örnek uzayda tanımlı sonuçlar olan birer kümedir. Buna göre, \( S \) örnek uzayında tanımlı \( A \) ve \( B \) olaylarını kullanarak oluşturabileceğimiz kesişim (\( A \cap B \)), birleşim (\( A \cup B \)), tümleyen (\( A' \)) ve fark (\( A - B \)) kümelerinin de yine \( S \) örnek uzayında tanımlı birer olay olacağını söyleyebiliriz.

Bu açıdan bakınca, kümeler konusunda öğrendiğimiz işlemlerin tümü örnek uzay ve olaylar için de geçerli işlemlerdir. Bu bölümde olasılık hesaplamalarında sıklıkla kullanacağımız bu küme işlemlerini olaylar bağlamında tekrar edeceğiz.

İki Olayın Kesişimi

\( A \) ve \( B \) olaylarının ikisinin de elemanı olan ortak sonuçlardan oluşan olaya \( A \) ve \( B \) olaylarının kesişim olayı denir ve \( A \cap B \) ile gösterilir. \( A \cap B \) olayı \( A \) ve \( B \) olaylarının ikisinin de gerçekleştiği durumlarda gerçekleşmiş olur.

\( A \cap B \) olayının küme gösterimi aşağıdaki gibidir.

Bir zar atışında zarın 6 gelme durumunda aşağıdaki gibi tanımlı iki olay gerçekleşmiş olur, dolayısıyla iki olayın kesişim olayı da gerçekleşmiş olur.

Bu iki olayın kesişim olayı aşağıdaki Venn şemasında mavi ile gösterilmiştir.

İki olayın kesişim olayı
İki olayın kesişim olayı

Benzer şekilde, ikiden fazla olayın kesişim olayı tüm olayların elemanı olan ortak sonuçlardan oluşan olaydır. Bu kesişim olayı kesişimi alınan olayların tümünün gerçekleştiği durumlarda gerçekleşmiş olur.

İki Olayın Birleşimi

\( A \) veya \( B \) olaylarının en az birinin elemanı olan sonuçlardan oluşan olaya \( A \) ve \( B \) olaylarının birleşim olayı denir ve \( A \cup B \) ile gösterilir. \( A \cup B \) olayı \( A \) veya \( B \) olaylarının en az birinin gerçekleştiği durumlarda gerçekleşmiş olur.

\( A \cup B \) olayının küme gösterimi aşağıdaki gibidir.

Bir zarın iki kez atışında zarın iki seferde de 1 gelme durumunda (sonuç: 11) aşağıdaki gibi tanımlı iki olaydan en az biri gerçekleşmiş olur, dolayısıyla iki olayın birleşim olayı da gerçekleşmiş olur.

Bu iki olayın ve birleşim olaylarının tablo şeklinde gösterimi aşağıdaki gibidir. Bu gösterimde satırlar birinci zarın sonucunu, sütunlar ikinci zarın sonucunu göstermekte olup, mavi kutular \( A \) olayında tanımlı, yeşil kutular \( B \) olayında tanımlı, sarı kutular her iki olayda da tanımlı sonuçlardır. Buna göre mavi, yeşil ve sarı ile işaretli kutuların tümü iki olayın birleşim olayına karşılık gelmektedir.

İki olayın birleşim olayı
İki olayın birleşim olayı

Benzer şekilde, ikiden fazla olayın birleşim olayı bu olayların en az birinin elemanı olan sonuçlardan oluşan olaydır. Bu birleşim olayı birleşimi alınan olaylardan en az birinin gerçekleştiği durumlarda gerçekleşmiş olur.

Birleşim Olayının Eleman Sayısı

İki olayın birleşiminin eleman sayısını aşağıdaki formülle hesaplayabiliriz. Bu formülde olayların eleman sayılarının toplamından kesişim kümesinin eleman sayısını çıkarmamızın sebebi, kesişim olayının iki olayda ortak olmasıdır. Bu yüzden bu çıkarma işlemi kesişim olayının iki kez sayılmasının önüne geçmektedir.

Eğer bu iki olay ayrık olaylarsa kesişim kümeleri boş kümedir, dolayısıyla formül aşağıdaki şekilde olur.

Üç ve daha fazla sayıda olayın birleşiminin eleman sayısını bulmak için kümeler konusunda gördüğümüz Dahil Etme - Hariç Tutma Prensibi'ni kullanabiliriz. Örnek olarak üç olayın birleşiminin eleman sayısını aşağıdaki formülle bulabiliriz.

Bir Olayın Tümleyeni

\( S \) örnek uzayında bir \( A \) olayının elemanı olan sonuçlar dışında kalan sonuçları içeren olaya \( A \) olayının tümleyeni denir ve \( A' \) ile gösterilir. \( A' \) olayı \( A \) olayının gerçekleşmediği durumlarda gerçekleşmiş, \( A \) olayının gerçekleştiği durumlarda gerçekleşmemiş olur.

\( A \) olayının tümleyeninin küme gösterimi aşağıdaki gibidir.

Tek bir zar atışında zarın 3 gelmesi durumunda aşağıdaki gibi tanımlı \( A \) olayı gerçekleşmemiş olur, dolayısıyla \( A' \) olayı gerçekleşmiş olur.

Bu olayın tümleyeni olan olay aşağıdaki Venn şemasında mavi ile gösterilmiştir.

Bir olayın tümleyeni
Bir olayın tümleyeni

Bir olay ve tümleyeninin kesişimi boş kümedir, dolayısıyla bir olay ve tümleyeni ayrık olaylardır.

Bir olay ve tümleyeninin birleşimi örnek uzaya eşittir.

İki Olayın Farkı

\( A \) olayının \( B \) olayından farkı, \( A \) olayının elemanı olan ama \( B \) olayının elemanı olmayan sonuçlardan oluşur ve \( A - B \) ile gösterilir. \( A - B \) olayı \( A \) olayının gerçekleştiği ve \( B \) olayının gerçekleşmediği durumlarda gerçekleşmiş olur.

\( A \) olayının \( B \) olayından farkının küme gösterimi aşağıdaki gibidir.

Bir zar atışında zarın 4 gelme durumunda aşağıdaki gibi tanımlı iki olaydan \( A \) gerçekleşmiş \( B \) gerçekleşmemiş olur, dolayısıyla \( A - B \) olayı gerçekleşmiş olur.

\( A \) olayının \( B \) olayından farkı olan olay aşağıdaki Venn şemasında mavi ile gösterilmiştir.

Bir olayın diğer bir olaydan farkı
Bir olayın diğer bir olaydan farkı

\( A \) olayının \( B \) olayından farkını aşağıdaki şekilde de ifade edebiliriz.

Ayrık Olaylar

\( A \) ve \( B \) olaylarının ortak elemanı olan hiçbir sonuç yoksa, bir diğer ifadeyle iki olayın kesişim kümeleri boş küme ise bu olaylara ayrık olaylar denir. Ayrık olaylar aynı anda gerçekleşemezler, ya sadece biri gerçekleşir ya da ikisi de gerçekleşmez.

Bir zar atışında aşağıdaki gibi tanımlı \( A \) ve \( B \) olayları ayrık olaylardır, dolayısıyla aynı anda gerçekleşemezler.

Bu iki ayrık olayın Venn şeması şeklinde gösterimi aşağıdaki gibidir.

Ayrık olaylar
Ayrık olaylar

Ayrık olayların kesişim kümesi boş kümedir.

İkiden fazla olay ikişerli ayrık olaylarsa, bu olayların arasından seçebileceğimiz tüm ikili olaylar aralarında ayrıktır, dolayısıyla bu olayların sadece tümünün ortak kesişim olayı boş küme değildir, aynı zamanda tüm ikili kesişimleri de birer boş kümedir.

İkişerli ayrık olaylar
İkişerli ayrık olaylar

Birbirini Kapsayan Olaylar

\( B \) olayının elemanı olan tüm sonuçlar \( A \) olayının da elemanı ise \( A \) olayı \( B \) olayını kapsıyordur ya da bir diğer ifadeyle \( B \) olayı \( A \) olayının bir alt kümesidir. Bu durumda \( A \) ve \( B \) olayları arasındaki ilişki iki olayın birbirine eşit olabilme ya da olamama durumuna göre \( B \subset A \) ya da \( B \subseteq A \) şeklinde gösterilir. \( A \) olayı \( B \) olayını kapsıyorsa, \( B \) olayı gerçekleştiğinde \( A \) olayı da gerçekleşmiş olur.

Bir zar atışında zarın 6 gelme durumunda aşağıdaki gibi tanımlı iki olaydan \( B \) olayı gerçekleşmiş olur, dolayısıyla \( B \) olayını kapsayan \( A \) olayı da gerçekleşmiş olur.

Biri diğerini kapsayan bu iki olay aşağıda Venn şeması şeklinde gösterilmiştir.

Birbirini kapsayan olaylar
Birbirini kapsayan olaylar

Bütünü Kapsayıcı Olaylar

Birleşimleri örnek uzaya eşit olan olaylara bütünü kapsayıcı olaylar denir. Bir deney gerçekleştirildiğinde bütünü kapsayıcı olaylardan en az biri gerçekleşmiş olur.

Aşağıdaki iki olay bütünü kapsayıcı olaylardır.


« Önceki
Olasılık Kavramları
Sonraki »
Olasılık Hesaplama


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır