Olasılık Kavramları

Olasılık konusu sonucu kesin olarak bilinemeyen olayların belirli şekilde gerçekleşme ihtimallerinin tahmin edilebilmesi için matematiksel bir yaklaşım sunar.

Bu bölümde olasılık teorisini anlayabilmek için bilmemiz gereken kavramlardan bahsedeceğiz.

Deney

Olası sonuçları iyi tanımlanmış olan, gerçekleşen sonucu gözlemlenebilir olan ve pek çok kez tekrarlanabilen eylemlere deney denir. Birden fazla olası sonucu olan ve sonucu önceden tahmin edilemeyen deneylere rastgele deney denir.

Rastgele deneylere aşağıdaki örnekleri verebiliriz.

• Tek bir zar atışının sonucu
• Arka arkaya 10 kez atılan yazı-turanın sonuçları
• Bir iskambil destesinden çekilen 3 kart
• Farklı renklerde bilyeler içeren bir torbadan çekilen 2 bilyenin renkleri
• Bir piyango çekilişinde kazanan numara
• Bir sokaktan geçen araçların plakasının son rakamı
• Bir şeker ambalajının içinden çıkan şeker sayısı

Deneme

Pek çok kez tekrarlanan deneylerin her bir tekrarına deneme denir.

Pek çok kez atılan zarlardan ya da bir iskambil destesinden çekilen kartlardan her birini denemelere örnek olarak verebiliriz.

Sonuç

Bir deneyin olası neticelerinin her birine sonuç denir.

Kupa 8 bir iskambil destesinden kart çekilişinin, (Y, T) iki yazı-tura atışının, (3, 4, 1, 1, 5) arka arkaya beş zar atışının olası birer sonucudur.

Bir deney birden fazla denemeden oluşuyorsa, her bir denemenin değil tüm denemelerin tamamlanmasıyla elde edilen sonuç deneyin sonucudur. Örneğin bir zarın 2 kez atışından oluşan bir deneyin olası bir sonucu birinci atışın 3 ve ikinci atışın 4 geldiği (3, 4) sıralı ikilisidir.

Bu ders notlarında birden fazla denemeden oluşan bir deneyin sonuçlarını listelerken (Y, T) ya da (3, 4, 1, 1, 5) şeklinde sıralı n'li gösterimi yerine çoğunlukla daha kısa şekilde "YT" ya da "34115" gösterimini kullanıyor olacağız.

Örnek Uzay

Bir deneyin tüm olası sonuçlarından oluşan kümeye örnek uzay denir. Örnek uzay genellikle \( S \) ile gösterilir.

Tek bir denemeden oluşan bazı deneylerin örnek uzayı aşağıdaki gibidir.

Birden fazla denemeden oluşan deneylerin örnek uzayındaki sonuç sayısı, çarpma kuralı gereği tek bir deneyin sonuç sayısının deney sayısı kadar kuvvetine eşittir.

Olay

Örnek uzayın herhangi bir alt kümesine olay denir. Bir olay bir ya da birden fazla sonuçtan oluşabilir. Olaylar diğer kümeler gibi genellikle \( A \), \( B \), \( C \) gibi büyük harflerle isimlendirilirler.

İki zarın atıldığı bir deneyin \( S \) örnek uzayında tanımlı 3 olay aşağıdaki şekilde gösterilmiştir. Mavi kutular ilk zarın 1 geldiği, yeşil kutular zarların toplamının 10 ya da daha büyük geldiği, kenarlı kutular iki zarın aynı geldiği olaylara karşılık gelmektedir.

Örnek uzayın kendisi ve boş küme de örnek uzayın birer alt kümesi oldukları için aynı zamanda birer olaydırlar.

Belirli bir olay deneyin gerçekleşen sonucunu içeriyorsa o olay gerçekleşmiş olur. Örneğin atılan iki zarın ikisi de 4 geldiyse yukarıdaki \( B \) olayının gerçekleştiğini söyleriz.

Belirli bir olay deneyin gerçekleşen sonucunu içermiyorsa o olay gerçekleşmemiş olur. Örneğin üç yazı-tura atışının üçü de tura geldiyse yukarıdaki \( C \) olayının gerçekleşmediğini söyleriz.

Basit ve Bileşik Olaylar

Tek bir sonuçtan oluşan olaylara basit olay denir. Örneğin bir zar atışında 3 gelme olayı ve iki yazı-tura atışının ikisinde de yazı gelme olayı birer basit olaydır.

Birden fazla sonuçtan oluşan olaylara bileşik olay denir. Örneğin bir zar atışında çift gelme olayı ve iki yazı-tura atışında en az bir yazı gelme olayı birer bileşik olaydır.