Nesnelerin Dağıtımı

Nesnelerin dağıtımı konusu özdeş ya da birbirinden farklı nesnelerin özdeş ya da birbirinden farklı kutulara belirli kriterler dahilinde dağıtımını inceler ve permütasyon ve kombinasyon tekniklerini birlikte kullanabileceğimiz soru tipleri içerir.

Dağıtılacak nesneler farklı sorularda oyuncak, mektup, muz, kişi gibi farklı şekillerde, bu nesnelerin dağıtıldığı kutular da gerçek kutu, koltuk ya da kişi olarak karşımıza çıkabilir.

Bu konu oldukça geniş ve yer yer karmaşık olabileceği için burada konunun sadece bazı başlıklarını inceleyeceğiz.

Farklı Nesnelerin Farklı Kutulara Dağıtımı

Her Kutuda Herhangi Bir Sayıda Nesne

Bu problem tipi \( n \) farklı nesnenin \( r \) farklı kutuya herhangi bir koşul olmaksızın (bazı kutular boş kalabilecek ya da birden fazla nesne alabilecek şekilde) farklı dağıtım sayısını hesaplar.

Bu soruları çarpma yoluyla sayma konusunda tekrarlayan olaylar başlığı altında incelemiştik. Buna göre her nesnenin dağıtımı birbirinden bağımsız olaylar olup \( r \) farklı kutudan herhangi biri seçilebilir. Bu bağımsız seçimler \( n \) farklı nesne için tekrarlandığında oluşan farklı dağıtım sayısı çarpma kuralı gereği \( \underbrace{r \cdot r \ldots r}_\text{n adet} = r^n \) olur.

Bu farklı dağıtım sayısı \( n \) elemanlı bir kümeden \( r \) elemanlı bir kümeye yazılabilecek fonksiyon sayısı ile aynıdır.

Her Kutuda En Fazla Bir Nesne

Bu problem tipi \( n \) farklı nesnenin \( r \) farklı kutuya her kutuda en fazla bir nesne olacak şekilde farklı dağıtım sayısını hesaplar. Her kutuda en fazla bir nesne olabileceği için, bu problemlerde \( n \le r \) koşulunun sağlanması gerekir (nesne sayısı kutu sayısından fazla olamaz).

Her Kutuda En Az Bir Nesne

Bu problem tipi \( n \) farklı nesnenin \( r \) farklı kutuya her kutuda en az bir nesne olacak şekilde farklı dağıtım sayısını hesaplar. Her kutuda en az bir nesne olabileceği için, bu problemlerde \( n \ge r \) koşulunun sağlanması gerekir (nesne sayısı kutu sayısından az olamaz).

Bu problemin çözümünde permütasyon konusunda değindiğimiz dahil etme / hariç tutma prensibi kullanılır. Şu aşamada bu problem tipini kapsamımızın dışında tutuyoruz.

Her Kutuda Tek Bir Nesne

Bu problem tipi \( n \) farklı nesnenin \( r \) farklı kutuya her kutuda tek bir nesne olacak şekilde farklı dağıtım sayısını hesaplar. Her kutuda tek bir nesne olabileceği için, bu problemlerde \( n = r \) koşulunun sağlanması gerekir (nesne sayısı kutu sayısına eşit olmalıdır).

Bu problem \( n \) farklı nesnenin farklı diziliş problemi ile aynıdır, dolayısıyla farklı dağıtım sayısı \( P(n, n) = n! \) olur.

Özdeş Nesnelerin Farklı Kutulara Dağıtımı

Her Kutuda Herhangi Bir Sayıda Nesne

Bu problem tipi \( n \) özdeş nesnenin \( r \) farklı kutuya herhangi bir koşul olmaksızın (bazı kutular boş kalabilecek ya da birden fazla nesne alabilecek şekilde) farklı dağıtım sayısını hesaplar.

Bu tip problemleri "ayraç yöntemi" adı verilen bir yöntemle çözebiliriz. Bu yöntemde dağıtılacak nesne sayısı kadar yıldız işaretini ve dağıtımın yapılacağı kutu sayısının bir eksiği kadar da bölü işaretini yanyana dizeriz. Bu dizilişte bölü işaretleri yıldızları kutu sayısı kadar gruba ayıracak birer ayraç görevi görmektedir. Ayraçlar aralarında yıldız işareti olmayacak şekilde yanyana da gelebilir, bu da bir kutuya hiçbir nesne dağılmama durumuna karşılık gelir.

Soruyu bu şekilde kurguladığımız zaman problemi \( n \) özdeş nesne ve \( (r - 1) \) özdeş kutunun farklı dizilişi (permütasyonu) sorusuna dönüştürmüş oluruz. Çoklu kümelerde permütasyon formülünü bu soruya uygularsak \( n \) ve \( (r - 1) \) nesne kendi aralarında özdeş olmak üzere toplamda \( (n + r - 1) \) nesnenin farklı diziliş sayısını \( \dfrac{(n + r - 1)!}{n! \cdot (r - 1)!} \) formülü ile hesaplayabiliriz.

Her Kutuda En Fazla Bir Nesne

Bu problem tipi \( n \) özdeş nesnenin \( r \) farklı kutuya her kutuda en fazla bir nesne olacak şekilde dağıtım sayısını hesaplar. Her kutuda en fazla bir nesne olabileceği için, bu problemlerde \( n \le r \) koşulunun sağlanması gerekir (nesne sayısı kutu sayısından fazla olamaz).

Dağıtım sonunda her kutuda sıfır ya da bir nesne olacağı için bu problemi \( r \) farklı kutu içinden nesneleri dağıtacak \( n \) kutunun seçimi, yani bir kombinasyon problemi olarak kurgulayabiliriz.

Her Kutuda En Az Bir Nesne

Bu problem tipi \( n \) özdeş nesnenin \( r \) farklı kutuya her kutuda en az bir nesne olacak şekilde dağıtım sayısını hesaplar. Her kutuda en az bir nesne olabileceği için, bu problemlerde \( n \ge r \) koşulunun sağlanması gerekir (nesne sayısı kutu sayısından az olamaz).

Bu tip problemleri de yukarıda kullandığımız "ayraç yöntemi" ile çözebiliriz. Önce dağıtılacak nesne sayısı (\( n \)) kadar yıldız işaretini aralarında birer boşluk (alt çizgi) olacak şekilde yan yana dizeriz. Aşağıda 10 nesne için böyle bir diziliş örnek olarak verilmiştir.

Bu \( n \) yıldız işaretinin arasında kalan \( (n - 1) \) boşluğun arasından ayraçları yerleştirmek için \( (r - 1) \) sayıda boşluğu kaç farklı şekilde seçebileceğimiz bize problemin cevabını verecektir (seçilecek \( (r - 1) \) boşluk \( r \) sayıda kutu oluşturacaktır). Problemin kurgusu gereği herhangi iki boşluk arasında mutlaka en az bir nesne olacağı için her kutuda en az bir nesne olma koşulu da sağlanmış olacaktır. Aşağıdaki şekilde ayraçları yerleştirmek için boşlukların örnek bir seçimi verilmiştir. Aşağıdaki diziliş 5 farklı kutuya nesnelerin sırasıyla 2-3-2-2-1 adet dağıldığı duruma karşılık gelmektedir.

Her Kutuda Tek Bir Nesne

Bu problem tipi \( n \) özdeş nesnenin \( r \) farklı kutuya her kutuda tek bir nesne olacak şekilde dağıtım sayısını hesaplar. Her kutuda tek bir nesne olabileceği için, bu problemlerde \( n = r \) koşulunun sağlanması gerekir (nesne sayısı kutu sayısına eşit olmalıdır).

\( n \) özdeş nesnenin \( n \) farklı kutuya dağıtımını tek bir şekilde yapabiliriz, bu yüzden cevap 1 olacaktır.