Kombinasyon Tanımı

\( n \) elemanlı bir \( A \) kümesinin elemanlarıyla sıra gözetmeksizin oluşturulan \( r \) elemanlı alt kümelerin her birine kombinasyon denir. Kombinasyonda seçim önemlidir, elemanlar seçildikten sonraki diziliş önemli değildir.

\( n \) elemanlı bir kümenin \( r \) elemanlı kombinasyonu \( C(n, r) \) ya da \( \binom{n}{r} \) ile gösterilir ve aşağıdaki formülle hesaplanır.

Kombinasyon hesaplamasında kullanabileceğimiz kısa bir yol şu şekildedir: \( n \)'nin \( r \)'li kombinasyonunu hesaplarken, paya \( n \)'den başlayarak ve birer eksilterek \( r \) sayının çarpımı yazılır (son sayının faktöriyeli alınmaz), paydaya ise \( r \)'nin faktöriyelinin açılımı yazılır. Aşağıda bu yönteme iki örnek verilmiştir.

Kombinasyon İşlem Kuralları

0 sayısının faktöriyeli tanım gereği 1'e eşittir.

\( n \) elemanlı bir kümenin \( 0 \)'lı ve \( n \)'li kombinasyonları her zaman 1'e eşittir. \( n \) elemanlı bir küme içinden seçilebilecek 0 elemanlı tek alt küme boş kümedir. \( n \) elemanlı bir küme içinden seçilebilecek \( n \) elemanlı tek alt küme kümenin kendisidir.

\( n \) elemanlı bir kümenin \( 1 \)'li ve \( (n - 1) \)'li kombinasyonları her zaman \( n \)'e eşittir. \( n \) elemanlı bir küme içinden seçilebilecek 1 elemanlı alt kümeler ayrı ayrı her bir elemandan oluşan alt kümelerdir. \( n \) elemanlı bir küme içinden seçilebilecek \( (n - 1) \) elemanlı alt kümeler de kümenin kendisinden ayrı ayrı her bir elemanın çıkartıldığı alt kümelerdir.

Yukarıdaki iki kuralın bir uzantısı olarak, \( n \) elemanlı bir kümenin \( r \)'li ve \( (n - r) \)'li kombinasyonları birbirine eşittir.

Bu kuralı tersten şu şekilde de ifade edebiliriz: \( n \) elemanlı bir kümenin \( r \)'li ve \( k \)'lı kombinasyonları birbirine eşitse bu sayılar ya birbirine eşittir ya da toplamları \( n \)'ye eşittir.

Pascal Üçgeni konusunda görsel olarak da göreceğimiz aşağıdaki kuralı burada formül olarak paylaşıyoruz.

Belirli bir \( n \) sayısının çift sayı kombinasyonlarının toplamı tek sayı kombinasyonlarının toplamına eşittir.

Kombinasyonun Kullanım Alanları

Kombinasyon sayma konusu dışında aşağıdaki konularda da karşımıza çıkmaktadır.

Alt Küme Sayısı

\( n \) elemanlı bir kümenin \( r \)'li kombinasyonu aynı zamanda o kümenin \( r \) elemanlı alt küme sayısını verir.

\( n \) elemanlı bir kümenin \( 0 \le r \le n \) olmak koşuluyla tüm \( r \) elemanlı alt kümelerinin toplamı \( 2^n \)'e, yani kümeler konusunda gördüğümüz toplam alt küme sayı formülüne eşittir.

Pascal Üçgeni

"Binom Açılımı" konusunda göreceğimiz Pascal Üçgeni'nin her kutusundaki değerler o kutunun karşılık geldiği satır (\( n \)) ve sütun (\( r \)) için \( C(n, r) \) değerini verir. Ayrıca bir satırdaki tüm değerlerin toplamı bize yine \( 2^n \) değerini verir.

Pascal üçgeni ve kombinasyon
Pascal üçgeni ve kombinasyon

Binom Katsayıları

"Binom Açılımı" konusunda göreceğimiz iki terimli ifadelerin kuvvetlerinin açılımındaki katsayılar da kombinasyon formülleri ile hesaplanabilir. Bir binom ifadenin açılımını aşağıdaki şekilde ifade edebiliriz.


« Önceki
Kombinasyon
Sonraki »
Bir Örnekle Kombinasyon


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır