Düzensiz Dizilişler

Düzensiz diziliş (İngilizce: derangement) problemleri, bir kümenin belirli bir dizilişte olması beklenen elemanlarının hiçbirinin doğru pozisyonda bulunmadığı farklı diziliş sayısını hesaplar. Örnek vermek gerekirse, "54132" sayısı "12345" sayısının bir düzensiz dizilişidir, çünkü rakamların hiçbiri doğru pozisyonda değildir. "54312" sayısı ise "12345" sayısının bir düzensiz dizilişi değildir, çünkü diğer rakamlar farklı pozisyonlarda olsa da "3" rakamı doğru pozisyondadır.

\( n \) elemanlı bir küme ile oluşturulabilecek düzensiz diziliş sayısı \( D_n \) ya da \( !n \) ile gösterilir. \( !n \) ifadesine alt faktöriyel de denir.

\( n \) elemanlı bir küme ile oluşturulabilecek düzensiz diziliş sayısı aşağıdaki formülle hesaplanır.

Faktöriyel tanımı gereği boş küme için farklı diziliş sayısı \( 0! = 1 \) olur. Bu 1 diziliş "elemanın" doğru pozisyonda olduğu bir diziliş olmadığı için düzensiz bir diziliş olarak kabul edilir.

1 elemanlı bir kümenin \( 1! = 1 \) farklı dizilişinde kümenin elemanı doğru pozisyonda olacağı için 1 elemanlı bir kümenin düzensiz dizilişi yoktur.

Yukarıdaki formül özyinelemeli olarak aşağıdaki şekilde de yazılabilir.

2 Elemanlı Kümelerde Düzensiz Dizilişler

2 elemanlı bir kümenin tüm ve düzensiz dizilişlerini bir örnek üzerinden gösterelim.

2 farklı permütasyon içinden 0, 1 ve 2 şemsiyenin doğru iade edildiği durumlar aşağıda listelenmiştir. Bu gösterimde A ve B şemsiyeleri için "AB" dizilişi her iki şemsiyenin de kişilere doğru iadesine karşılık gelmektedir. Kırmızı ile işaretli harfler ilgili şemsiyenin yanlış kişiye iadesini gösterir. Düzensiz dizilişler tüm iadelerin yanlış olduğu ilk satırdaki "0 Doğru" durumuna karşılık gelmektedir.

Doğru İade Sayısı Permütasyon Sayısı Permütasyonlar
0 Doğru (Düzensiz dizilişler) 1 \( \textcolor{red}{B}\textcolor{red}{A} \)
1 Doğru 0 \( \)
2 Doğru 1 \( AB \)

3 Elemanlı Kümelerde Düzensiz Dizilişler

3 elemanlı bir kümenin tüm ve düzensiz dizilişlerini bir örnek üzerinden gösterelim.

6 farklı permütasyon içinden 0, 1, 2 ve 3 harfin doğru yerinde olduğu permütasyonlar aşağıda listelenmiştir. Kırmızı ile işaretli harfler ilgili harfin yanlış pozisyonda olduğunu gösterir. Düzensiz dizilişler tüm harflerin yanlış pozisyonda olduğu ilk satırdaki "0 Doğru" durumuna karşılık gelmektedir.

Doğru Harf Sayısı Permütasyon Sayısı Permütasyonlar
0 Doğru (Düzensiz dizilişler) 2 \( \textcolor{red}{E}\textcolor{red}{S}\textcolor{red}{Y}, \textcolor{red}{S}\textcolor{red}{Y}\textcolor{red}{E} \)
1 Doğru 3 \( Y\textcolor{red}{S}\textcolor{red}{E}, \textcolor{red}{S}E\textcolor{red}{Y}, \textcolor{red}{E}\textcolor{red}{Y}S \)
2 Doğru 0 \( \)
3 Doğru 1 \( YES \)

4 Elemanlı Kümelerde Düzensiz Dizilişler

4 elemanlı bir kümenin tüm ve düzensiz dizilişlerini bir örnek üzerinden gösterelim.

24 farklı permütasyon içinden 0, 1, 2, 3 ve 4 kimliğin doğru iade edildiği durumlar aşağıda listelenmiştir. Bu gösterimde A, B, C, D kimlikleri için "ABCD" dizilişi tüm kimliklerin kişilere doğru iadesine karşılık gelmektedir. Kırmızı ile işaretli harfler ilgili kimliğin yanlış kişiye iadesini gösterir. Düzensiz dizilişler tüm iadelerin yanlış olduğu ilk satırdaki "0 Doğru" durumuna karşılık gelmektedir.

Doğru İade Sayısı Permütasyon Sayısı Permütasyonlar
0 Doğru (Düzensiz dizilişler) 9 \( \textcolor{red}{B}\textcolor{red}{A}\textcolor{red}{D}\textcolor{red}{C}, \textcolor{red}{B}\textcolor{red}{C}\textcolor{red}{D}\textcolor{red}{A}, \textcolor{red}{B}\textcolor{red}{D}\textcolor{red}{A}\textcolor{red}{C}, \) \( \textcolor{red}{C}\textcolor{red}{A}\textcolor{red}{D}\textcolor{red}{B}, \textcolor{red}{C}\textcolor{red}{D}\textcolor{red}{A}\textcolor{red}{B}, \textcolor{red}{C}\textcolor{red}{D}\textcolor{red}{B}\textcolor{red}{A}, \) \( \textcolor{red}{D}\textcolor{red}{A}\textcolor{red}{B}\textcolor{red}{C}, \textcolor{red}{D}\textcolor{red}{C}\textcolor{red}{A}\textcolor{red}{B}, \textcolor{red}{D}\textcolor{red}{C}\textcolor{red}{B}\textcolor{red}{A} \)
1 Doğru 8 \( A\textcolor{red}{C}\textcolor{red}{D}\textcolor{red}{B}, A\textcolor{red}{D}\textcolor{red}{B}\textcolor{red}{C}, \textcolor{red}{C}B\textcolor{red}{D}\textcolor{red}{A}, \) \( \textcolor{red}{D}B\textcolor{red}{A}\textcolor{red}{C}, \textcolor{red}{B}\textcolor{red}{D}C\textcolor{red}{A}, \textcolor{red}{D}\textcolor{red}{A}C\textcolor{red}{B}, \) \( \textcolor{red}{B}\textcolor{red}{C}\textcolor{red}{A}D, \textcolor{red}{C}\textcolor{red}{A}\textcolor{red}{B}D \)
2 Doğru 6 \( AB\textcolor{red}{D}\textcolor{red}{C}, A\textcolor{red}{D}C\textcolor{red}{B}, A\textcolor{red}{C}\textcolor{red}{B}D, \) \( \textcolor{red}{D}BC\textcolor{red}{A}, \textcolor{red}{C}B\textcolor{red}{A}D, \textcolor{red}{B}\textcolor{red}{A}CD \)
3 Doğru 0 \( \)
4 Doğru 1 \( ABCD \)

5 Elemanlı Kümelerde Düzensiz Dizilişler

5 elemanlı bir kümenin tüm ve düzensiz dizilişlerini bir örnek üzerinden gösterelim.

Daha Büyük Elemanlı Kümeler

Farklı sayıda elemandan oluşan kümeler için toplam diziliş ve düzensiz diziliş sayıları aşağıdaki tabloda verilmiştir.

\( n \) \( n! \) \( D_n = !n \) \( D_n / n! \)
1 \( 1! = 1 \) \( 0 \) \( 0,0000 \)
2 \( 2! = 2 \) \( 1 \) \( 0,5000 \)
3 \( 3! = 6 \) \( 2 \) \( 0,3333 \)
4 \( 4! = 24 \) \( 9 \) \( 0,3750 \)
5 \( 5! = 120 \) \( 44 \) \( 0,3667 \)
6 \( 6! = 720 \) \( 265 \) \( 0,3681 \)
7 \( 7! = 5040 \) \( 1854 \) \( 0,3679 \)
8 \( 8! = 40320 \) \( 14833 \) \( 0,3679 \)
9 \( 9! = 362880 \) \( 133496 \) \( 0,3679 \)
10 \( 10! = 3628800 \) \( 1334961 \) \( 0,3679 \)

Bu tabloda görebileceğimiz gibi, \( n \)'nin 4 ve daha büyük değerlerinde düzensiz dizilişlerin toplam dizilişlere oranı \( 0,37 \) düzeylerinde sabitlenmektedir, dolayısıyla çok daha büyük elemanlı problemlerde de oranın bu düzeyde gerçekleşeceğini söyleyebiliriz.

\( n \) sonsuza giderken bu oranın limiti \( e \) sayısının tersine ve bulduğumuz bu orana eşittir.

Daha büyük elemanlı bir kümenin tüm ve düzensiz dizilişlerini bir örnek üzerinden gösterelim.

SORU 1:

6 arkadaş yılbaşında birbirlerine hediye almak istiyorlar. Kimin kime hediye alacağına karar vermek için isimlerini birer kağıda yazıyorlar ve herkes sırayla bir kağıt çekiyor.

Bu çekiliş kimse kendi ismini çekmemek koşuluyla kaç farklı şekilde sonuçlanabilir?

Çözümü Göster
SORU 2:

Bir postacı 7 dairelik bir apartmanda 7 elektrik faturasını posta kutularına üçünü doğru, dördünü hatalı olacak olacak şekilde kaç farklı şekilde atabilir?

Çözümü Göster

« Önceki
Sayma II
Sonraki »
Tam Sayıların Parçalanışı


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır