Permütasyon Tanımı

n'li Permütasyon

Bir \( A \) kümesinin elemanlarının bir sıra gözeterek farklı dizilişlerinin her birine \( A \) kümesinin bir permütasyonu denir. Permütasyonda elemanların diziliş sırası önemlidir, yani aynı elemanların her farklı dizilişi farklı bir permütasyon oluşturur.

\( n \) elemanlı \( A \) kümesinin permütasyonlarının sayısı \( n! \) formülü ile hesaplanır.

n'li Permütasyon Formülünün Mantığı

Permütasyon formülünü çarpma yoluyla sayma yöntemini kullanarak türetebiliriz. Buna göre, 1. kutuya \( A \) kümesinin \( n \) elemanından herhangi birini yerleştirebiliriz. Bir elemanı 1. kutuda kullandıktan sonra 2. kutu için elimizde \( n - 1 \) farklı seçenek kalır. Bu şekilde her kutuda seçenek sayısını bir eksilterek sağa doğru ilerlediğimizde her kutu için sırasıyla \( n, (n - 1), (n - 2), \ldots, 2, 1 \) sayıda seçenek olur. Bu seçenek sayılarına çarpma kuralını uygularsak toplam farklı diziliş sayısı olarak \( n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) \ldots 2 \cdot 1 = n! \) formülünü elde ederiz.

n'li permütasyon
n'li permütasyon

Sayma konusunda çarpma kuralını kullanabilmemiz için her kutuda yaptığımız seçimlerin birbirinden bağımsız olması gerektiğinden bahsetmiştik. Her ne kadar permütasyon hesaplamasında bir kutuda yaptığımız seçim sonraki kutuların seçenek sayısını etkiliyor (azaltıyor) olsa da, her kutu için seçenek sayılarını matematiksel olarak ifade edebildiğimiz için çarpma kuralını kullanmamıza engel bir durum oluşmamaktadır.

Bazı problemlerde elemanları kutulara yerleştirme sırası önemli olmakla birlikte, herhangi bir koşulun belirtilmediği standart bir permütasyon probleminde elemanları kutulara hangi sırada yerleştirdiğimizin bir önemi yoktur.

r'li Permütasyon

\( n \) elemanlı bir \( A \) kümesinin \( r \) sayıda elemanının bir sıra gözeterek farklı dizilişlerinin her birine \( n \) elemanlı \( A \) kümesinin \( r \)'li permütasyonü denir.

\( n \)'nin \( r \)'li permütasyonu \( P(n, r) \) ile gösterilir ve aşağıdaki formülle hesaplanır.

Pratik bir yol olarak, \( n \)'nin \( r \)'li permütasyonunu hesaplamak için \( n \)'den başlayarak ve geriye giderek \( r \) sayının çarpımını alabiliriz.

r'li Permütasyon Formülünün Mantığı

Permütasyon formülünü çarpma yoluyla sayma yöntemini kullanarak türetebiliriz. Buna göre, 1. kutuya \( A \) kümesinin \( n \) elemanından herhangi birini yerleştirebiliriz. Bir elemanı 1. kutuda kullandıktan sonra 2. kutu için elimizde \( n - 1 \) farklı seçenek kalır. Bu şekilde her kutuda seçenek sayısını bir eksilterek sağa doğru ilerlediğimizde \( r \) kutu için sırasıyla \( n, (n - 1), (n - 2), \ldots, (n - r + 2), (n - r + 1) \) sayıda seçenek olur. Bu seçenek sayılarına çarpma kuralını uygularsak toplam farklı diziliş sayısı olarak \( n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) \ldots (n - r + 2) \cdot (n - r + 1) = \dfrac{n!}{(n - r)!} \) formülünü elde ederiz.

n'in r'li permütasyonu
n'in r'li permütasyonu

Aşağıdaki şekilde \( n \) elemanlı bir kümenin \( n \)'li permütasyonu ile \( r \)'li permütasyonu arasındaki matematiksel ilişki gösterilmiştir.

n'li ve r'li permütasyon arasındaki ilişki
n'li ve r'li permütasyon arasındaki ilişki

Permütasyon İşlem Kuralları

Hatırlatma olarak sıfır ve birin faktöriyel değerleri 1'dir.

\( r \) permütasyon formülünde \( r = n \) koyarsak \( n \)'li permütasyon formülünü elde ederiz.

\( n \) elemanlı bir kümenin \( (n - 1) \)'li permütasyon sayısı \( n \)'li permütasyon sayısına eşittir.

\( n \) elemanlı bir kümenin 1'li permütasyon sayısı \( n \)'dir (her eleman için bir permütasyon).

\( n \) elemanlı bir kümenin 0'lı permütasyon sayısı 1'dir (boş küme).

SORU:

\( \dfrac{P(4, 2) + P(6, 1)}{P(3, 2)} \) işleminin sonucu kaçtır?

Çözümü Göster


SORU:

\( P(n + 1, 4) = 9 \cdot P(n,3) \) ise \( n \) kaçtır?

Çözümü Göster


« Önceki
Permütasyon
Sonraki »
Bir Örnekle Permütasyon


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır