Permütasyon Tanımı

Bir \( A \) kümesinin elemanlarının bir sıra gözetilerek farklı dizilişlerinin her birine \( A \) kümesinin bir permütasyonu denir. Permütasyonda elemanların diziliş sırası önemlidir, yani aynı elemanların her farklı dizilişi yeni bir permütasyon oluşturur.

\( n \) elemanlı \( A \) kümesinin permütasyonlarının sayısı \( n! \) formülü ile hesaplanır.

Küme tanımı gereği bir eleman bir kümede yalnız bir kez bulunabildiği için belirli bir permütasyonda da sadece bir kez yer alabilir, dolayısıyla aşağıdaki dizilişler \( A \) kümesinin birer permütasyonu değildir.

Bununla birlikte, önümüzdeki bölümlerde inceleyeceğimiz çoklu kümelerde (tekrarlı) permütasyonda kümeler belirli elemanları birden fazla kez içerebilirler ve bu kümelerin permütasyonlarında bu elemanlar çoklu kümede bulundukları sayıda bir dizilişte yer alabilirler.

r'li Permütasyon

\( n \) elemanlı bir \( A \) kümesinin \( r \) sayıda elemanının bir sıra gözetilerek farklı dizilişlerinin her birine \( A \) kümesinin \( r \)'li permütasyonu denir.

\( n \) elemanlı bir \( A \) kümesinin \( r \)'li permütasyonu \( P(n, r) \) ile gösterilir ve aşağıdaki formülle hesaplanır.

Pratik bir yöntem olarak, \( P(n, r) \) ifadesini hesaplamak için \( n \)'den başlayarak ve birer geriye giderek \( r \) sayının çarpımı alınır.

\( n \) elemanlı bir kümenin \( n \)'li ve \( r \)'li permütasyonları arasındaki matematiksel ilişkiyi aşağıdaki şekilde ifade edebiliriz.

n'li ve r'li permütasyon arasındaki ilişki
n'li ve r'li permütasyon arasındaki ilişki

Permütasyon İşlem Kuralları

Hatırlatma olarak, 0 ve 1'in faktöriyel değerleri 1'dir.

\( r \)'li permütasyon formülünde \( r = n \) konduğunda permütasyon formülü elde edilir.

\( n \) elemanlı bir kümenin \( (n - 1) \)'li ve \( n \)'li permütasyon sayıları birbirine eşittir. Mantıksal bir açıklama olarak, bir kümenin her \( n - 1 \)'li permütasyonunun sonuna permütasyonda bulunmayan 1 eleman tek bir şekilde eklenebileceği için, \( n - 1 \)'li permütasyon ve \( n \)'li permütasyon sayıları birbirine eşit olur.

\( n \) elemanlı bir kümenin 1'li permütasyonlarının sayısı \( n \)'dir ve bu permütasyonların her biri kümenin bir elemanından oluşur.

\( n \) elemanlı bir kümenin 0'lı permütasyonlarının sayısı 1'dir ve bu permütasyon boş kümedir.

SORU 1:

\( \dfrac{P(4, 3) \cdot P(7, 1)}{P(3, 2) + P(8, 0)} \) işleminin sonucu kaçtır?

Çözümü Göster
SORU 2:

\( P(n + 1, 4) = 9P(n,3) \) ise \( n \) kaçtır?

Çözümü Göster
SORU 3:

\( P(n + 2, 3) = 4P(n, 2) + 18P(n, 1) \) ise \( n \) kaçtır?

Çözümü Göster
SORU 4:

\( P(17, m) = 16^3 - 16 \) olduğuna göre \( m \) kaçtır?

Çözümü Göster
SORU 5:

\( P(n + 4, 2) + P(n + 2, n) = n^2 + 7n + 72 \)

olduğuna göre \( n \) kaçtır?

Çözümü Göster

« Önceki
Permütasyon
Sonraki »
Bir Örnekle Permütasyon


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır