Bir \( A \) kümesinin elemanlarının bir sıra gözetilerek farklı dizilişlerinin her birine \( A \) kümesinin bir permütasyonu denir. Permütasyonda elemanların diziliş sırası önemlidir, yani aynı elemanların her farklı dizilişi yeni bir permütasyon oluşturur.
\( n \) elemanlı \( A \) kümesinin permütasyonlarının sayısı \( n! \) formülü ile hesaplanır.
\( A = \{ a_1, a_2, \ldots, a_n \} \) olmak üzere,
Küme tanımı gereği bir eleman bir kümede yalnız bir kez bulunabildiği için belirli bir permütasyonda da sadece bir kez yer alabilir, dolayısıyla aşağıdaki dizilişler \( A \) kümesinin birer permütasyonu değildir.
\( A = \{a, b, c\} \) olmak üzere,
\( A \) kümesinin permütasyonu olmayan dizilişler:
aab, bbb, cac
Bununla birlikte, önümüzdeki bölümlerde inceleyeceğimiz çoklu kümelerde (tekrarlı) permütasyonda kümeler belirli elemanları birden fazla kez içerebilirler ve bu kümelerin permütasyonlarında bu elemanlar çoklu kümede bulundukları sayıda bir dizilişte yer alabilirler.
\( A = \{a, a, b\} \) bir çoklu küme olmak üzere,
\( A \) çoklu kümesinin (tekrarlı) permütasyonları:
aab, aba, baa
r'li Permütasyon
\( n \) elemanlı bir \( A \) kümesinin \( r \) sayıda elemanının bir sıra gözetilerek farklı dizilişlerinin her birine \( A \) kümesinin \( r \)'li permütasyonu denir.
\( n \) elemanlı bir \( A \) kümesinin \( r \)'li permütasyonu \( P(n, r) \) ile gösterilir ve aşağıdaki formülle hesaplanır.
\( n, r \in \mathbb{N}, \quad r \le n \) olmak üzere,
\( n \) elemanlı bir kümenin \( n \)'li ve \( r \)'li permütasyonları arasındaki matematiksel ilişkiyi aşağıdaki şekilde ifade edebiliriz.
\( P(n, n) = P(n, r) \cdot (n - r)! \)
\( n! = \dfrac{n!}{(n - r)!} \cdot (n - r)! \)
Permütasyon İşlem Kuralları
Hatırlatma olarak, 0 ve 1'in faktöriyel değerleri 1'dir.
\( 0! = 1! = 1 \)
\( r \)'li permütasyon formülünde \( r = n \) konduğunda permütasyon formülü elde edilir.
\( P(n, n) = \dfrac{n!}{(n - n)!} = n! \)
\( n \) elemanlı bir kümenin \( (n - 1) \)'li ve \( n \)'li permütasyon sayıları birbirine eşittir. Mantıksal bir açıklama olarak, bir kümenin her \( n - 1 \)'li permütasyonunun sonuna permütasyonda bulunmayan 1 eleman tek bir şekilde eklenebileceği için, \( n - 1 \)'li permütasyon ve \( n \)'li permütasyon sayıları birbirine eşit olur.