Farklı Nesnelerin Farklı Kutulara Dağıtımı

Bu problem tipinde amaç birbirinden farklı \( n \) nesnenin birbirinden farklı \( k \) kutuya dağıtım sayısını hesaplamaktır. Nesneler birbirinden farklı olduğu için farklı kutulardaki iki nesnenin aralarında yer değiştirmesi yeni bir dağıtıma karşılık gelir. Bu problem tipinde nesnelerin bulundukları kutu içindeki dizilişleri önemli değildir.

Farklı nesnelerin farklı kutulara dağıtımı
Farklı nesnelerin farklı kutulara dağıtımı

Bu problem tipini her kutuya dağıtılabilecek nesne sayısına göre dört başlık altında inceleyebiliriz.

Her Kutuda Herhangi Bir Sayıda Nesne

Bu problem tipinde nesneler kutulara herhangi bir koşul olmaksızın dağıtılır (bazı kutular boş kalabilir ya da bir kutuya birden fazla nesne konabilir).

Her nesnenin dağıtımı birbirinden bağımsız olaylar olup her nesne için \( k \) kutudan herhangi biri seçilebilir. Bu bağımsız seçimler \( n \) farklı nesne için tekrarlandığında oluşan farklı dağıtım sayısı çarpma yoluyla sayma konusunda tekrarlayan olaylar başlığı altında incelediğimiz gibi \( \underbrace{k \cdot k \ldots k}_\text{n adet} = k^n \) olur.

SORU 1:

4 farklı renkteki top 6 farklı kutuya kaç farklı şekilde atılabilir?

Çözümü Göster
SORU 2:

5 farklı oyuncak 3 çocuğa herhangi bir koşul olmadan kaç farklı şekilde dağıtılabilir?

Çözümü Göster
SORU 3:

8 elemanlı bir kümeden 6 elemanlı bir kümeye kaç farklı fonksiyon tanımlanabilir?

Çözümü Göster
SORU 4:

4 mektup 9 posta kutusuna kaç farklı şekilde atılabilir?

Çözümü Göster
SORU 5:

Elemanları \( A = \{1, 2, 3, 4, 5\} \) kümesinin elemanları arasından seçilen \( K \), \( L \) ve \( M \) kümeleri aşağıdaki iki koşul sağlanacak şekilde kaç farklı şekilde oluşturulabilir?

\( K \cup L \cup M = A \)

\( K \cap L \cap M = \emptyset \)

Çözümü Göster

Her Kutuda En Fazla Bir Nesne

Bu problem tipinde nesneler kutulara her kutuda en fazla bir nesne olacak şekilde dağıtılır. Her kutuda en fazla bir nesne olabileceği için, bu problemlerde \( n \le k \) koşulunun sağlanması gerekir (nesne sayısı kutu sayısından fazla olamaz), aksi takdirde farklı dağıtım sayısı 0 olur.

Her kutuda en fazla bir nesne olabileceği için, bir nesnenin dağıtıldığı bir kutu sonraki dağıtımlar için bir seçenek olamaz, dolayısıyla problem bir permütasyon problemine dönüşmektedir. Buna göre, 1. nesne için \( k \) kutu seçeneği, 2. nesne için \( k - 1 \) kutu seçeneği, \( n \). nesne için de \( k - n + 1 \) kutu seçeneği bulunmaktadır. Birbirinden bağımsız bu seçeneklerin çarpımı sonucunda \( P(k, n) \) farklı dağıtım sayısı oluşur.

SORU 6:

8 kişilik bir grup 20 boş koltuk olan bir sinema salonunda kaç farklı şekilde oturabilir?

Çözümü Göster
SORU 7:

4 mektup 9 posta kutusuna bir posta kutusuna en fazla bir mektup atılmak koşuluyla kaç farklı şekilde atılabilir?

Çözümü Göster

Her Kutuda En Az Bir Nesne

Bu problem tipinde nesneler kutulara her kutuda en az bir nesne olacak şekilde dağıtılır. Her kutuda en az bir nesne olabileceği için, bu problemlerde \( n \ge k \) koşulunun sağlanması gerekir (nesne sayısı kutu sayısından az olamaz), aksi takdirde farklı dağıtım sayısı 0 olur.

Bu problemin çözümünde sayma konusunda gördüğümüz dahil etme / hariç tutma prensibi kullanılır.

SORU 8:

\( A = \{ 1, 2, 3, 4, 5 \} \)

\( B = \{ a, b, c, d \} \)

olmak üzere, \( A \) kümesinden \( B \) kümesine kaç farklı örten fonksiyon tanımlanabilir?

Çözümü Göster

Her Kutuda Tek Bir Nesne

Bu problem tipinde nesneler kutulara her kutuda sadece bir nesne olacak şekilde dağıtılır. Her kutuda sadece bir nesne olabileceği için, bu problemlerde \( n = k \) koşulunun sağlanması gerekir (nesne sayısı kutu sayısına eşit olmalıdır), aksi takdirde farklı dağıtım sayısı 0 olur.

"Her Kutuda En Fazla Bir Nesne" ve "Her Kutuda En Az Bir Nesne" problem tiplerinde \( k = n \) aldığımızda da aynı \( n! \) sonucunu elde ederiz.

SORU 9:

6 otomobil 6 park yerine kaç farklı şekilde parkedebilir?

Çözümü Göster

« Önceki
Nesnelerin Dağıtımı
Sonraki »
Özdeş Nesnelerin Farklı Kutulara Dağıtımı


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır