Tam Kareye Tamamlama Uygulamaları
Önceki bölümde gördüğümüz tam kareye tamamlama yöntemi matematiğin birçok alanında kullanılır. Bu sitede de yararlanacağımız bazı uygulamaları şunlardır.
İkinci Dereceden Denklemlerin Çözümü
İkinci dereceden bir denklemin reel olan ya da olmayan tüm kökleri tam kareye tamamlama yöntemi ile aşağıdaki adımlarla bulunabilir.
- \( ax^2 + bx + c = 0 \) formundaki denklem \( a(x - r)^2 + k = 0 \) formuna dönüştürülür.
- Bu eşitlikte önce \( (x - r)^2 \) ifadesi yalnız bırakılır.
- Parantez karesinden kurtulmak için tarafların karekökü alınır. Bu adımda eşitliğin sağ tarafında pozitif ve negatif işaretli iki değer oluşur.
- Elde edilen eşitlikte \( x \) yalnız bırakıldığında denklemin iki farklı ya da tek (çift katlı) kökü bulunur.
Üçüncü adımda tarafların karekökü alınırken eşitliğin sağ tarafı negatif ise denklemin birbirinin eşleniği olan iki reel olmayan karmaşık kökü vardır. Sağ taraf pozitifse denklemin iki farklı reel kökü, sıfırsa tek bir (çift katlı) reel kökü vardır.
Tam kareye tamamlama yöntemi ile ikinci dereceden bir denklemin çözüm kümesini bulmayı bir örnek üzerinde gösterelim.
\( x^2 + 22x + 105 = 0 \) denkleminin çözüm kümesini tam kareye tamamlama yöntemiyle bulalım.
\( x \)'li terimin katsayısının (\( 22 \)) yarısının karesini ifadeye ekleyip çıkaralım.
\( x^2 + 22x + 105 + \textcolor{red}{11^2} - \textcolor{blue}{11^2} = 0 \)
Terimleri düzenleyelim.
\( (x^2 + 22x + \textcolor{red}{121}) + 105 - \textcolor{blue}{121} = 0 \)
Parantez içindeki ifade iki terimli bir ifadenin tam kare açılımıdır.
\( (x + 11)^2 - 16 = 0 \)
Tam kare ifadeyi yalnız bırakalım.
\( (x + 11)^2 = 16 \)
Eşitliğin taraflarının karekökünü alalım.
\( x + 11 = \pm 4 \)
\( x = -11 \pm 4 \)
Çözüm kümesi: \( \{ -15, -7 \} \)
Şimdi de irrasyonel kökleri olan bir denklem örneği verelim.
\( 2x^2 - 8x - 3 = 0 \) denkleminin çözüm kümesini tam kareye tamamlama yöntemiyle bulalım.
Başkatsayıyı 1 yapmak için eşitliğin taraflarını 2'ye bölelim.
Denklemin sağ tarafı sıfır olduğu için tarafları 2'ye bölebiliriz. Bir ifadeyi tam kareye tamamlarken ise bölme yapılamaz, başkatsayı parantezine alınır.
\( x^2 - 4x - \dfrac{3}{2} = 0 \)
\( x \)'li terimin katsayısının (\( -4 \)) yarısının karesini ifadeye ekleyip çıkaralım.
\( x^2 - 4x - \dfrac{3}{2} + \textcolor{red}{(-2)^2} - \textcolor{blue}{(-2)^2} = 0 \)
Terimleri düzenleyelim.
\( (x^2 - 4x + \textcolor{red}{4}) - \dfrac{3}{2} - \textcolor{blue}{4} = 0 \)
Parantez içindeki ifade iki terimli bir ifadenin tam kare açılımıdır.
\( (x - 2)^2 - \dfrac{11}{2} = 0 \)
Tam kare ifadeyi yalnız bırakalım.
\( (x - 2)^2 = \dfrac{11}{2} \)
Eşitliğin taraflarının karekökünü alalım.
\( x - 2 = \pm \sqrt{\dfrac{11}{2}} = \pm \dfrac{\sqrt{22}}{2} \)
\( x = 2 \pm \dfrac{\sqrt{22}}{2} \)
Çözüm kümesi: \( \left\{ 2 - \dfrac{\sqrt{22}}{2}, 2 + \dfrac{\sqrt{22}}{2} \right\} \)
Aşağıdaki ikinci dereceden denklemlerin çözüm kümelerini tam kareye tamamlama yöntemiyle bulunuz.
(a) \( 3x^2 + 10x - 8 = 0 \)
(b) \( 6x^2 - 7x - 24 = 0 \)
(c) \( -2x^2 + 4x + 3 = 0 \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( 3x^2 + 10x - 8 = 0 \)
Başkatsayıyı 1 yapmak için eşitliğin taraflarını 3'e bölelim.
\( x^2 + \dfrac{10}{3}x - \dfrac{8}{3} = 0 \)
\( x \)'li terimin katsayısının (\( \frac{10}{3} \)) yarısının karesini ifadeye ekleyip çıkaralım.
\( x^2 + \dfrac{10}{3}x - \dfrac{8}{3} + \textcolor{red}{\left( \dfrac{5}{3} \right)^2} - \textcolor{blue}{\left( \dfrac{5}{3} \right)^2} = 0 \)
Terimleri düzenleyelim.
\( \left( x^2 + \dfrac{10}{3}x + \textcolor{red}{\dfrac{25}{9}} \right) - \dfrac{8}{3} - \textcolor{blue}{\dfrac{25}{9}} = 0 \)
Parantez içindeki ifade iki terimli bir ifadenin tam kare açılımıdır.
\( \left( x + \dfrac{5}{3} \right)^2 - \dfrac{49}{9} = 0 \)
Tam kare ifadeyi yalnız bırakalım.
\( \left( x + \dfrac{5}{3} \right)^2 = \dfrac{49}{9} \)
Eşitliğin taraflarının karekökünü alalım.
\( x + \dfrac{5}{3} = \pm \dfrac{7}{3} \)
\( x = -\dfrac{5}{3} \pm \dfrac{7}{3} \)
Çözüm kümesi: \( \left\{ -4, \dfrac{2}{3} \right\} \)
(b) seçeneği:
\( 6x^2 - 7x - 24 = 0 \)
Başkatsayıyı 1 yapmak için eşitliğin taraflarını 6'ya bölelim.
\( x^2 - \dfrac{7}{6}x - 4 = 0 \)
\( x \)'li terimin katsayısının (\( -\frac{7}{6} \)) yarısının karesini ifadeye ekleyip çıkaralım.
\( x^2 - \dfrac{7}{6}x - 4 + \textcolor{red}{\left( -\dfrac{7}{12} \right)^2} - \textcolor{blue}{\left( -\dfrac{7}{12} \right)^2} = 0 \)
Terimleri düzenleyelim.
\( \left( x^2 - \dfrac{7}{6}x + \textcolor{red}{\dfrac{49}{144}} \right) - 4 - \textcolor{blue}{\dfrac{49}{144}} = 0 \)
Parantez içindeki ifade iki terimli bir ifadenin tam kare açılımıdır.
\( \left( x - \dfrac{7}{12} \right)^2 - \dfrac{625}{49} = 0 \)
Tam kare ifadeyi yalnız bırakalım.
\( \left( x - \dfrac{7}{12} \right)^2 = \dfrac{625}{49} \)
Eşitliğin taraflarının karekökünü alalım.
\( x - \dfrac{7}{12} = \pm \dfrac{25}{7} \)
\( x = \dfrac{7}{12} \pm \dfrac{25}{12} \)
Çözüm kümesi: \( \left\{ -\dfrac{3}{2}, \dfrac{8}{3} \right\} \)
(c) seçeneği:
\( -2x^2 + 4x + 3 = 0 \)
Başkatsayıyı 1 yapmak için eşitliğin taraflarını -2'ye bölelim.
\( x^2 - 2x - \dfrac{3}{2} = 0 \)
\( x \)'li terimin katsayısının (\( -2 \)) yarısının karesini ifadeye ekleyip çıkaralım.
\( x^2 - 2x - \dfrac{3}{2} + \textcolor{red}{(-1)^2} - \textcolor{blue}{(-1)^2} = 0 \)
Terimleri düzenleyelim.
\( (x^2 - 2x + \textcolor{red}{1}) - \dfrac{3}{2} - \textcolor{blue}{1} = 0 \)
Parantez içindeki ifade iki terimli bir ifadenin tam kare açılımıdır.
\( (x - 1)^2 - \dfrac{5}{2} = 0 \)
Tam kare ifadeyi yalnız bırakalım.
\( (x - 1)^2 = \dfrac{5}{2} \)
Eşitliğin taraflarının karekökünü alalım.
\( x - 1 = \pm \sqrt{\dfrac{5}{2}} \)
\( x = 1 \pm \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} = 1 \pm \dfrac{\sqrt{10}}{2} \)
Çözüm kümesi: \( \left\{ 1 - \dfrac{\sqrt{10}}{2}, 1 + \dfrac{\sqrt{10}}{2} \right\} \)
Parabolde Tepe Noktası Bulma
Tepe noktası \( T(r, k) \) olan bir parabolün denklemi \( y = a(x - r)^2 + k \) formunda yazılabilir. Bu nedenle \( y = ax^2 + bx + c \) denklemi tam kareye tamamlanarak parabölün tepe noktası bulunabilir.
\( y = 4x^2 - 24x + 13 \) parabolünün tepe noktasını tam kareye tamamlama yöntemiyle bulalım.
İfadenin ilk iki terimini başkatsayı (\( a = 4 \)) parantezine alalım.
\( y = 4(x^2 - 6x) + 13 \)
\( x \)'li terimin katsayısının (\( -6 \)) yarısının karesini ifadeye ekleyip çıkaralım.
\( = 4(x^2 - 6x + \textcolor{red}{(-3)^2} - \textcolor{blue}{(-3)^2}) + 13 \)
Parantez içinde çıkardığımız terim dışarıya 4 katsayısı ile çarpılarak çıkar.
\( = 4(x^2 - 6x + \textcolor{red}{9}) - 4 \cdot \textcolor{blue}{9} + 13 \)
Parantez içindeki ifade iki terimli bir ifadenin tam kare açılımıdır.
\( y = 4(x - 3)^2 - 23 \)
Buna göre parabolün tepe noktası \( T(3, -23) \) noktasıdır.
\( y = -2x^2 + 12x + 11 \) parabolünün tepe noktasını tam kareye tamamlama yöntemiyle bulunuz.
Çözümü Gösterİfadenin ilk iki terimini başkatsayı (\( a = -2 \)) parantezine alalım.
\( -2x^2 + 12x + 11 = -2(x^2 - 6x) + 11 \)
Parantez içindeki ifadeyi tam kareye tamamlayalım.
\( x \)'li terimin katsayısının (\( -6 \)) yarısının karesini ifadeye ekleyip çıkaralım.
\( = -2(x^2 - 6x + \textcolor{red}{(-3)^2} - \textcolor{blue}{(-3)^2}) + 11 \)
Parantez içinde çıkardığımız terim dışarıya \( -2 \) katsayısı ile çarpılarak çıkar.
\( = -2(x^2 - 6x + \textcolor{red}{9}) - (-2) \cdot \textcolor{blue}{9} + 11 \)
Parantez içindeki ifade iki terimli bir ifadenin tam kare açılımıdır.
\( = -2(x - 3)^2 + 29 \)
Buna göre parabolün tepe noktası \( T(r, k) = T(3, 29) \) noktasıdır.
Minimum/Maksimum Değer Bulma
Tanım kümesi tüm reel sayılar olmak üzere, pozitif başkatsayılı bir parabol en küçük değerini, negatif başkatsayılı bir parabol ise en büyük değerini tepe noktasında alır. Buna göre \( y = a(x - r)^2 + k \) formundaki denklemi bilinen (dolayısıyla tepe noktasının koordinatları \( T(r, k) \) olan) bir parabol en küçük/en büyük değerini \( x = r \) apsisli noktada alır ve bu değer \( f(r) = k \) olur.
\( f(x) = 3x^2 + 15x + 23 \) fonksiyonunun aldığı en küçük değeri tam kareye tamamlama yöntemiyle bulalım.
İfadenin ilk iki terimini başkatsayı (\( a = 3 \)) parantezine alalım.
\( f(x) = 3(x^2 + 5x) + 23 \)
Parantez içindeki ifadeyi tam kareye tamamlayalım.
\( x \)'li terimin katsayısının (\( 5 \)) yarısının karesini ifadeye ekleyip çıkaralım.
\( = 3\left( x^2 + 5x + \textcolor{red}{\left( \dfrac{5}{2} \right)^2} - \textcolor{blue}{\left( \dfrac{5}{2} \right)^2} \right) + 23 \)
Parantez içinde çıkardığımız terim dışarıya 3 katsayısı ile çarpılarak çıkar.
\( = 3\left( x^2 + 5x + \textcolor{red}{\dfrac{25}{4}} \right) - 3 \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{25}{4}} + 23 \)
Parantez içindeki ifade iki terimli bir ifadenin tam kare açılımıdır.
\( = 3\left( x + \dfrac{5}{2} \right)^2 + \dfrac{17}{4} \)
Bu ifade en küçük değerini parantez karesi ifadesi en küçük değerini aldığında alır.
Parantez karesi ifadesi hiçbir \( x \) için negatif olamayacağı için en küçük değerini \( x = -\frac{5}{2} \) noktasında sıfır olarak alır.
Buna göre fonksiyonun aldığı en küçük değer bu noktada aldığı \( f(-\frac{5}{2}) = \frac{17}{4} \) değeridir.
Benzer bir örneği negatif başkatsayılı bir parabolün en büyük değeri için yapalım.
\( f(x) = -2x^2 - 16x + 9 \) fonksiyonunun aldığı en büyük değeri tam kareye tamamlama yöntemiyle bulalım.
İfadenin ilk iki terimini başkatsayı (\( a = -2 \)) parantezine alalım.
\( f(x) = -2(x^2 + 8x) + 9 \)
Parantez içindeki ifadeyi tam kareye tamamlayalım.
\( x \)'li terimin katsayısının (\( 8 \)) yarısının karesini ifadeye ekleyip çıkaralım.
\( = -2(x^2 + 8x + \textcolor{red}{4^2} - \textcolor{blue}{4^2}) + 9 \)
Parantez içinde çıkardığımız terim dışarıya \( -2 \) katsayısı ile çarpılarak çıkar.
\( = -2(x^2 + 8x + \textcolor{red}{16}) - (-2) \cdot \textcolor{blue}{16} + 9 \)
Parantez içindeki ifade iki terimli bir ifadenin tam kare açılımıdır.
\( = -2(x + 4)^2 + 41 \)
Bu ifade en büyük değerini negatif katsayılı parantez karesi ifadesi en küçük değerini aldığında alır.
Parantez karesi ifadesi hiçbir \( x \) için negatif olamayacağı için en küçük değerini \( x = -4 \) noktasında sıfır olarak alır.
Buna göre fonksiyonun aldığı en büyük değer bu noktada aldığı \( f(-4) = 41 \) değeridir.
\( f(x) = 4x^2 - 24x - 17 \) fonksiyonunun aldığı en küçük değeri tam kareye tamamlama yöntemiyle bulunuz.
Çözümü Gösterİfadenin ilk iki terimini başkatsayı (\( a = 4 \)) parantezine alalım.
\( 4x^2 - 24x - 17 = 4(x^2 - 6x) - 17 \)
Parantez içindeki ifadeyi tam kareye tamamlayalım.
\( x \)'li terimin katsayısının (\( -6 \)) yarısının karesini ifadeye ekleyip çıkaralım.
\( = 4(x^2 - 6x + \textcolor{red}{(-3)^2} - \textcolor{blue}{(-3)^2}) - 17 \)
Parantez içinde çıkardığımız terim dışarıya \( 4 \) katsayısı ile çarpılarak çıkar.
\( = 4(x^2 - 6x + \textcolor{red}{9}) - 4 \cdot \textcolor{blue}{9} - 17 \)
Parantez içindeki ifade iki terimli bir ifadenin tam kare açılımıdır.
\( = 4(x - 3)^2 - 53 \)
Bu ifade en küçük değerini parantez karesi ifadesi en küçük değerini aldığında alır.
Parantez karesi ifadesi hiçbir \( x \) için negatif olamayacağı için en küçük değerini \( x = 3 \) noktasında sıfır olarak alır.
Buna göre fonksiyonun aldığı en küçük değer bu noktada aldığı \( f(3) = -53 \) değeridir.
\( f(x) = -3x^2 + 15x - 11 \) fonksiyonunun aldığı en büyük değeri tam kareye tamamlama yöntemiyle bulunuz.
Çözümü Gösterİfadenin ilk iki terimini başkatsayı (\( a = -3 \)) parantezine alalım.
\( -3x^2 + 15x - 11 = -3(x^2 - 5x) - 11 \)
Parantez içindeki ifadeyi tam kareye tamamlayalım.
\( x \)'li terimin katsayısının (\( -5 \)) yarısının karesini ifadeye ekleyip çıkaralım.
\( = -3\left( x^2 - 5x + \textcolor{red}{\left( -\dfrac{5}{2} \right)^2} - \textcolor{blue}{\left( \dfrac{5}{2} \right)^2} \right) - 11 \)
Parantez içinde çıkardığımız terim dışarıya \( -3 \) katsayısı ile çarpılarak çıkar.
\( = -3\left( x^2 - 5x + \textcolor{red}{\dfrac{25}{4}} \right) - (-3) \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{25}{4}} - 11 \)
Parantez içindeki ifade iki terimli bir ifadenin tam kare açılımıdır.
\( = -3\left(x - \dfrac{5}{2} \right)^2 + \dfrac{31}{4} \)
Bu ifade en büyük değerini negatif katsayılı parantez karesi ifadesi en küçük değerini aldığında alır.
Parantez karesi ifadesi hiçbir \( x \) için negatif olamayacağı için en küçük değerini \( x = \frac{5}{2} \) noktasında sıfır olarak alır.
Buna göre fonksiyonun aldığı en büyük değer bu noktada aldığı \( f(\frac{5}{2}) = \frac{31}{4} \) değeridir.
İntegral Alma
Tam kareye tamamlama yöntemi aşağıdaki formdaki ifadelerin integralini almakta da kullanılır.
- \( \dfrac{1}{ax^2 + bx + c} \): Bu formdaki bir ifadede, paydadaki ikinci dereceden ifade tam kareye tamamlanarak integral alınması daha kolay bir forma dönüştürülebilir. Özellikle diskriminantın negatif olduğu durumda (\( \Delta \lt 0 \)), integral uygun bir değişken dönüşümüyle ters tanjant formuna getirilir.
- \( \dfrac{1}{\sqrt{ax^2 + bx + c}} \): Bu formdaki bir ifadede, karekök içindeki ikinci dereceden ifade tam kareye tamamlandığında integral trigonometrik değişken değiştirme yöntemi yönteminde incelediğimiz standart formlardan birine dönüştürülebilir.
\( \displaystyle\int {\dfrac{dx}{x^2 - 6x + 13}} \) integralinin sonucunu bulalım.
Yukarıda gördüğümüz yöntemle paydadaki ifadeyi tam kareye tamamlayalım.
\( \displaystyle\int {\dfrac{dx}{x^2 - 6x + 13}} = \displaystyle\int {\dfrac{dx}{(x - 3)^2 + 2^2}} \)
Bu ifadenin integrali ters tanjant fonksiyonudur.
\( \displaystyle\int {\dfrac{dx}{a^2 + x^2}} = \dfrac{1}{a}\arctan{\frac{x}{a}} + C \)
\( = \dfrac{1}{2}\arctan{\dfrac{x - 3}{2}} + C \)