İkinci Dereceden Denklem Tanımı
\( a, b, c \in \mathbb{R} \) ve \( a \ne 0 \) olmak üzere,
\( ax^2 + bx + c = 0 \)
şeklindeki denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir.
İkinci dereceden denklemlerin bazı özellikleri aşağıdaki gibidir.
- \( x \) denklemin bilinmeyeni, \( a \), \( b \) ve \( c \) denklemin katsayılarıdır.
- İkinci dereceden denklemler \( x \)'in sadece ikinci (\( x^2 \)) ve birinci dereceden (\( x \)) kuvvetlerini içerebilir.
- \( a \) denklemin başkatsayısı, \( c \) sabit terimidir.
- \( a = 0 \) olması durumunda denklem birinci dereceden bir denkleme dönüşeceği için \( a \) sıfır olamaz.
- \( ax^2 + bx + c \) ifadesi aynı zamanda ikinci dereceden bir polinomdur.
İkinci Dereceden Denklemlerin Çözüm Kümesi
Bir \( x_1 \) değeri denklemde \( x \) yerine konduğunda eşitlik sağlanıyorsa bu değere denklemin bir çözümü ya da kökü denir.
\( ax^2 + bx + c = 0 \) denkleminde,
\( ax_1^2 + bx_1 + c = 0 \) ise,
\( x_1 \) denklemin bir çözümüdür.
\( 3x^2 + 5x - 2 = 0 \) denkleminde,
\( 3(-2)^2 + 5(-2) - 2 = 0 \) eşitliği sağlandığı için,
\( x = -2 \) denklemin bir çözümüdür.
Denklemi sağlayan tüm \( x \) değerlerinden oluşan kümeye denklemin çözüm kümesi denir.
\( 2x^2 + 3x - 2 = 0 \) denkleminin,
çözüm kümesi \( x \in \{-2, \frac{1}{2}\} \) ise,
\( 2(-2)^2 + 3(-2) - 2 = 0 \)
\( 2(\frac{1}{2})^2 + 3(\frac{1}{2}) - 2 = 0 \)
Önümüzdeki bölümlerde göreceğimiz üzere, reel katsayılı ikinci dereceden bir denklemin 1 ya da 2 reel sayı kökü olabilir ya da birbirinin eşleniği 2 karmaşık sayı kökü olabilir.
İkinci Dereceden Denklemlerin Çözümü
İkinci dereceden bir denklemin çözüm kümesini bulmak için kullanabileceğimiz yöntemler aşağıdaki gibidir.
- Çarpanlara ayırma yöntemi: Bu yöntemde tüm terimler tek tarafta toplanır ve ifade (ayrılabiliyorsa) çarpanlarına ayrılır. Bu çarpanları sıfır yapan \( x \) değerleri denklemin birer çözümüdür.
- Tam kareye tamamlama: Bu yöntemde denklem \( a(x - r)^2 + k \) formuna getirilir ve \( x \) için çözülür.
- Diskriminant yöntemi: Bu yöntemde diskriminant formülü ile tüm ikinci dereceden denklemlerin reel ya da karmaşık kökleri bulunur.
- Grafik yöntemi: \( f(x) = ax^2 + bx + c \) şeklindeki bir fonksiyonun grafiği verilmişse bu grafiğin \( x \) eksenini kestiği noktaların apsis değerleri \( ax^2 + bx + c = 0 \) şeklindeki ikinci dereceden denklemin kökleridir.
Önümüzdeki iki bölümde bu yöntemleri inceleyeceğiz.
\( (n + 5)x^{n + 4} + (n + 1)x + (2n - 1) = 0 \) ifadesi ikinci derecededen bir denklem olduğuna göre, denklemin katsayılar toplamı nedir?
Çözümü GösterDenklemin ikinci dereceden olması için ikinci dereceden olabilecek tek terim olan birinci terimin kuvveti 2 olmalıdır.
\( n + 4 = 2 \Longrightarrow n = -2 \)
Denklemde \( n = -2 \) yazalım.
\( (-2 + 5)x^{-2 + 4} + (-2 + 1)x + (2(-2) - 1) = 0 \)
\( 3x^2 - x - 5 = 0 \)
Denklemin katsayılar toplamını bulalım.
\( 3 + (-1) + (-5) = -3 \) bulunur.
\( (2k + p + 3)x^{k - 2} + 3x - (p + 2) = 0 \) denkleminin ikinci dereceden olması için \( p \) hangi değeri alamaz?
Çözümü GösterDenklemin ikinci dereceden olması için ikinci dereceden olabilecek tek terim olan birinci terimin kuvveti 2 olmalıdır.
\( k - 2 = 2 \Longrightarrow k = 4 \)
Denklemde \( k = 4 \) yazalım.
\( (2(4) + p + 3)x^{4 - 2} + 3x - (p + 2) = 0 \)
\( (p + 11)x^2 + 3x - (p + 2) = 0 \)
Denklemin ikinci dereceden olması için ayrıca \( x^2 \)'li terimin katsayısı sıfırdan farklı olmalıdır.
\( p + 11 \ne 0 \)
\( p \ne -11 \) bulunur.
\( (m + 2)x^2 - mx + 18 = 0 \) denkleminin bir kökü 3 olduğuna göre, \( m \) kaçtır?
Çözümü Göster\( x = 3 \) denklemin bir kökü ise denklemi sağlamalıdır.
Denklemde \( x = 3 \) yazalım.
\( (m + 2)3^2 - m(3) + 18 = 0 \)
\( 9m + 18 - 3m + 18 = 0 \)
\( m = -6 \) bulunur.
\( x^2 - (m + 1)x + n + 2 = 0 \) denkleminin çözüm kümesi \( \{-4, 2\} \) olduğuna göre \( m + n \) değerini bulunuz.
Çözümü GösterVerilen değerler denklemin birer çözümü ise \( x \) yerine konduğunda denklemi sağlar.
Denklemde \( x = -4 \) yazalım.
\( (-4)^2 - (m + 1)(-4) + n + 2 = 0 \)
\( 16 + 4m + 4 + n + 2 = 0 \)
\( 4m + n = -22 \)
Denklemde \( x = 2 \) yazalım.
\( 2^2 - (m + 1)(2) + n + 2 = 0 \)
\( 4 - 2m - 2 + n + 2 = 0 \)
\( -2m + n = -4 \)
İki denklemi ortak çözdüğümüzde aşağıdaki değerleri buluruz.
\( m = -3, \quad n = -10 \)
\( m + n = (-3) + (-10) = -13 \) bulunur.
\( x^2 - 5x + 1 = 0 \) denkleminin köklerinden biri \( x_1 \) olduğuna göre,
\( \dfrac{x_1^2 + 1}{x_1} \) ifadesinin değeri nedir?
Çözümü Göster\( x_1 \) denklemin bir kökü olduğuna göre \( x \) yerine konduğunda denklemi sağlar.
\( x_1^2 - 5x_1 + 1 = 0 \)
\( x_1^2 + 1 = 5x_1 \)
Eşitliğin taraflarını \( x_1 \)'e bölelim.
\( \dfrac{x_1^2 + 1}{x_1} = 5 \) bulunur.
\( x^2 - x = 8 \) olduğuna göre,
\( x - \dfrac{8}{x} \) ifadesinin değeri nedir?
Çözümü GösterVerilen ifadede eşitliğin taraflarını \( x \)'e bölelim.
\( \dfrac{x^2 - x}{x} = \dfrac{8}{x} \)
\( x - 1 = \dfrac{8}{x} \)
\( x - \dfrac{8}{x} = 1 \) bulunur.
\( x^2 - 6x + 1 = 0 \) denkleminin kökleri \( a \) ve \( b \) olarak veriliyor.
\( (a - 1)(b + 1)(a - 5)(b - 7) \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( a \) ve \( b \) denklemin kökleri olduğuna göre ikisi de denklemi ayrı ayrı sağlar.
\( a^2 - 6a + 1 = 0 \)
\( a^2 - 6a = -1 \)
\( b^2 - 6b + 1 = 0 \)
\( b^2 - 6b = -1 \)
Değeri sorulan ifadeyi düzenleyelim.
\( (a - 1)(b + 1)(a - 5)(b - 7) = (a - 1)(a - 5)(b + 1)(b - 7) \)
\( = [(a - 1)(a - 5)][(b + 1)(b - 7)] \)
\( = (a^2 - 6a + 5)(b^2 - 6b - 7) \)
Yukarıda bulduğumuz değerleri yerlerine koyalım.
\( = (-1 + 5)(-1 - 7) \)
\( = (4)(-8) = -32 \) bulunur.
\( x^2 - 4x - 1 = 0 \) denkleminin köklerinden biri \( a \)'dır.
Buna göre \( a^2 + \dfrac{1}{a^2} \) ifadesinin değerini bulunuz.
Çözümü Göster\( a \) denklemin bir kökü olduğuna göre \( x \) yerine konduğunda denklemi sağlar.
\( a^2 - 4a - 1 = 0 \)
Eşitliğin taraflarını \( a \)'ya bölelim.
\( a - 4 - \dfrac{1}{a} = 0 \)
\( a - \dfrac{1}{a} = 4 \)
Eşitliğin taraflarının karesini alalım.
\( \left( a - \dfrac{1}{a} \right)^2 = 4^2 = 16 \)
\( a^2 - 2a \cdot \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{a^2} = 16 \)
\( a^2 - 2 + \dfrac{1}{a^2} = 16 \)
\( a^2 + \dfrac{1}{a^2} = 18 \) bulunur.
Katsayıları rakamlardan oluşan ve bir kökü \( -\frac{2}{3} \) olan kaç tane ikinci dereceden denklem yazılabilir?
Çözümü GösterBir kökü \( -\frac{2}{3} \) olan ikinci dereceden denklem \( x + \frac{2}{3} \) çarpanı içerir.
Buna göre denklemi aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( \left( x + \dfrac{2}{3} \right)(ax + b) = ax^2 + \left(\dfrac{2a}{3} + b \right)x + \dfrac{2b}{3} = 0 \)
Denklemin tüm katsayılarını birer rakam yapacak \( a \) ve \( b \) değerlerini bulalım.
Denklem ikinci dereceden olduğu için \( a = 0 \) olamaz.
Sabit terimin bir rakam olması için \( b \) sayısı 3'ün bir tam sayı katı olmalıdır.
Ayrıca \( x \)'li terimin katsayısının bir rakam olması için \( b \) sayısı 9'dan küçük olmalıdır.
\( b \in \{ 0, 3, 6 \} \)
Durum 1: \( b = 0 \)
\( a \in \{3, 6, 9\} \) olmak üzere 3 farklı denklem yazılabilir.
\( 3x^2 + 2x = 0 \)
\( 6x^2 + 4x = 0 \)
\( 9x^2 + 6x = 0 \)
Durum 2: \( b = 3 \)
\( a \in \{3, 6, 9\} \) olmak üzere 3 farklı denklem yazılabilir.
\( 3x^2 + 5x + 2 = 0 \)
\( 6x^2 + 7x + 2 = 0 \)
\( 9x^2 + 9x + 2 = 0 \)
Durum 3: \( b = 6 \)
\( a = 3 \) olmak üzere 1 denklem yazılabilir.
\( 3x^2 + 8x + 4 = 0 \)
Buna göre katsayıları birer rakam olan \( 3 + 3 + 1 = 7 \) farklı ikinci dereceden denklem yazılabilir.
\( a, b \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( a^2b^2 - 6ab + 8 = 0 \) denklemini sağlayan kaç farklı \( (a, b) \) sıralı ikilisi vardır?
Çözümü Göster\( (ab)^2 - 6ab + 8 = 0 \)
\( ab = t \) şeklinde değişken değiştirelim.
\( t^2 - 6t + 8 = 0 \)
\( (t - 2)(t - 4) = 0 \)
Bu eşitlik iki durumda sağlanır.
Durum 1:
\( t - 2 = 0 \)
\( t = 2 = ab \)
\( ab = 2 \) eşitliğini sağlayan iki pozitif tam sayı ikilisi vardır.
\( (a, b) \in \{ (2, 1), (1, 2) \} \)
Durum 2:
\( t - 4 = 0 \)
\( t = 4 = ab \)
\( ab = 4 \) eşitliğini sağlayan üç pozitif tam sayı ikilisi vardır.
\( (a, b) \in \{ (4, 1), (2, 2), (1, 4) \} \)
Buna göre verilen denklemi sağlayan 5 farklı pozitif tam sayı ikilisi vardır.
\( (x - k)(x^2 - x + k) = 0 \) denkleminin iki farklı reel kökü vardır.
Buna göre \( k \)'nın alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
Çözümü GösterVerilen denklemin köklerinden biri \( k \)'dır.
Denklemin 2 şekilde iki farklı reel kökü olabilir.
Durum 1: \( x^2 - x + k = 0 \) denkleminin \( k \)'dan farklı olmak üzere çift katlı bir kökü vardır.
\( x^2 - x + k = 0 \) denkleminin çift katlı kökü olması için ikinci dereceden ifade tam kare bir ifade olmalıdır.
\( x^2 - x + k = x^2 - x + \dfrac{1}{4} \)
\( = \left( x - \dfrac{1}{2} \right)^2 \)
\( k = \dfrac{1}{4} \)
Bu durumda denklem ve kökleri aşağıdaki gibi olur.
\( \left( x - \dfrac{1}{4} \right)\left( x - \dfrac{1}{2} \right)^2 = 0 \)
Çözüm kümesi: \( x \in \left\{ \dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{2} \right\} \)
Durum 2: \( x^2 - x + k = 0 \) denkleminin biri \( k \) olmak üzere iki farklı reel kökü vardır.
Bu durumda \( k \) değeri denklemi sağlar.
\( x^2 - x + k = 0 \)
\( k^2 - k + k = 0 \)
\( k^2 = 0 \)
\( k = 0 \)
Bu durumda denklem ve kökleri aşağıdaki gibi olur.
\( x(x^2 - x) = 0 \)
\( x^2(x - 1) = 0 \)
Çözüm kümesi: \( x \in \{0, 1\} \)
\( k \)'nın alabileceği değerlerin toplamı \( \frac{1}{4} + 0 = \frac{1}{4} \) olarak bulunur.