Kök Bulma Formülü ve Diskriminant
Bazı ikinci dereceden denklemleri çarpanlarına ayırmak mümkün ya da kolay olmayabilir. Kök bulma formülü ile tüm ikinci dereceden denklemlerin reel sayı olan ve olmayan kökleri bulunabilir.
İkinci dereceden bir denklemin kökleri aşağıdaki formülle bulunabilir. Buna göre denklemin kökleri formüldeki \( \pm \) sembolü yerine ayrı ayrı \( + \) ve \( - \) yazıldığında oluşan değerlerdir.
\( x_{1, 2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)
\( x^2 - 20x + 99 = 0 \) denkleminin köklerini bulalım.
\( a = 1, \quad b = -20, \quad c = 99 \)
Denklemin katsayılarını formülde yerine koyalım.
\( x_{1, 2} = \dfrac{-(-20) \pm \sqrt{(-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 99}}{2 \cdot 1} \)
\( = \dfrac{20 \pm \sqrt{400 - 396}}{2} \)
\( = 10 \pm 1 \)
Buna göre denklemin iki kökü aşağıdaki gibi olur.
\( x_1 = 9, \quad x_2 = 11 \)
Çözüm kümesi: \( \{9, 11\} \)
Denklem aşağıdaki şekilde çarpanlarına ayrılabilir.
\( (x - 9)(x - 11) = 0 \)
İSPATI GÖSTER
Aşağıdaki gibi bir ikinci dereceden denklem tanımlayalım.
\( ax^2 + bx + c = 0 \)
Sabit terimi eşitliğin sağ tarafına alalım.
\( ax^2 + bx = -c \)
Eşitliğin taraflarını başkatsayıya bölelim.
\( x^2 + \dfrac{b}{a} \cdot x = -\dfrac{c}{a} \)
Eşitliğin sol tarafını tam kareye tamamlamak için iki tarafa gerekli sabit terimi ekleyelim.
\( x^2 + \dfrac{b}{a} \cdot x + \left( \dfrac{b}{2a} \right)^2 = \left( \dfrac{b}{2a} \right)^2 - \dfrac{c}{a} \)
\( x^2 + \dfrac{b}{a} \cdot x + \dfrac{b^2}{4a^2} = \dfrac{b^2}{4a^2} - \dfrac{c}{a} \)
Eşitliğin sol tarafını tam kare bir ifade olarak düzenleyelim ve sağ tarafı ortak paydada buluşturalım.
\( \left( x + \dfrac{b}{2a} \right)^2 = \dfrac{b^2 - 4ac}{4a^2} \)
Tarafların karekökünü alalım.
\( \abs{x + \dfrac{b}{2a}} = \sqrt{\dfrac{b^2 - 4ac}{4a^2}} \)
\( \abs{x + \dfrac{b}{2a}} = \dfrac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)
Mutlak değer içindeki ifade sağ taraftaki ifadenin pozitif ya da negatif işaretlisine eşit olabilir.
\( x + \dfrac{b}{2a} = \pm \dfrac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)
\( x \)'i yalnız bırakalım.
\( x = -\dfrac{b}{2a} \pm \dfrac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)
\( x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)
Buna göre denklemin iki kökü paydaki \( \pm \) sembolü \( + \) ve \( - \) olduğunda oluşan iki değerdir.
\( x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)
Bu formülde kök içindeki ifadeye denklemin diskriminantı ya da deltası denir ve \( \Delta \) sembolü ile gösterilir.
\( \Delta = b^2 - 4ac \)
Kök bulma formülü diskriminant kullanılarak aşağıdaki şekilde yazılabilir.
\( x_{1, 2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \)
Bir denklemin diskriminantının (deltasının) işareti o denklemin kökleri ile ilgili önemli bilgiler verir. Bir denklemin deltası için üç farklı durum vardır.
\( \Delta \gt 0 \Longrightarrow \) Denklemin birbirinden farklı iki reel kökü vardır.
\( \Delta = 0 \Longrightarrow \) Denklemin tek bir (iki katlı) reel kökü vardır.
\( \Delta \lt 0 \Longrightarrow \) Denklemin birbirinin eşleniği olan iki reel olmayan karmaşık kökü vardır.
Bu üç durumu daha detaylı inceleyelim.
Delta Sıfırdan Büyükse (\( \Delta \gt 0 \))
\( \Delta \gt 0 \) olduğu durumda \( \sqrt{\Delta} \) da pozitif reel sayı olur, dolayısıyla denklemin birbirinden farklı iki reel kökü olur.
\( x_1 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \)
\( x_2 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \)
Bu durumda denklem aşağıdaki şekilde çarpanlarına ayrılabilir.
\( ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2) = 0 \)
Katsayıları rasyonel ve \( \Delta \gt 0 \) olan ikinci dereceden bir denklemde;
- \( \sqrt{\Delta} \) rasyonel ise denklemin iki farklı rasyonel kökü olur.
- \( \sqrt{\Delta} \) irrasyonel ise denklemin iki farklı irrasyonel kökü olur.
\( 2x^2 + \dfrac{7}{2}x - 1 = 0 \) denkleminin çözüm kümesini bulalım.
Denklemin katsayıları rasyoneldir.
\( a = 2, \quad b = \dfrac{7}{2}, \quad c = -1 \)
\( \Delta = b^2 - 4ac = \left( \dfrac{7}{2} \right)^2 - 4(2)(-1) = \dfrac{81}{4} \)
\( \sqrt{\Delta} = \frac{9}{2} \) rasyonel olduğu için denklemin kökleri de rasyonel olur.
\( x_{1,2} = \dfrac{-\frac{7}{2} \pm \sqrt{\frac{81}{4}}}{2(2)} \)
\( x_1 = -2, \quad x_2 = \frac{1}{4} \)
Çözüm kümesi: \( \left\{ -2, \dfrac{1}{4} \right\} \)
Denklem aşağıdaki şekilde çarpanlarına ayrılabilir.
\( (x + 2)\left( x - \dfrac{1}{4} \right) = 0 \)
\( x^2 - 4x - 1 = 0 \) denkleminin çözüm kümesini bulalım.
Denklemin katsayıları rasyoneldir.
\( a = 1, \quad b = -4, \quad c = -1 \)
\( \Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4(1)(-1) = 20 \)
\( \sqrt{\Delta} = 2\sqrt{5} \) irrasyonel olduğu için denklemin kökleri de irrasyonel olur.
\( x_{1,2} = \dfrac{-(-4) \pm \sqrt{20}}{2(1)} \)
\( x_1 = 2 - \sqrt{5}, \quad x_2 = 2 + \sqrt{5} \)
Çözüm kümesi: \( \{2 - \sqrt{5}, 2 + \sqrt{5}\} \)
Denklem aşağıdaki şekilde çarpanlarına ayrılabilir.
\( (x - (2 - \sqrt{5}))(x - (2 + \sqrt{5})) = 0 \)
\( \Delta \gt 0 \) olmak üzere, bir denklemin kökleri birbirinin zıt işaretlisi ise (\( x_1 = -x_2 \)) bu köklere simetrik kökler denir. Simetrik kökler \( b \) katsayısı sıfır olduğunda oluşur.
\( ax^2 + c = a(x - x_1)(x + x_1) = 0 \)
\( x^2 - 25 = 0 \)
\( a = 1, \quad b = 0, \quad c = -25 \)
\( \Delta = b^2 - 4ac = 0^2 - 4(1)(-25) = 100 \)
\( x_{1,2} = \dfrac{0 \pm \sqrt{100}}{2(1)} \)
\( x_1 = 5, \quad x_2 = -5 \)
Çözüm kümesi: \( \{-5, 5\} \)
Denklem aşağıdaki şekilde çarpanlarına ayrılabilir.
\( (x - 5)(x + 5) = 0 \)
Delta Sıfırsa (\( \Delta = 0 \))
\( \Delta = 0 \) olduğu durumda \( \sqrt{\Delta} = 0 \) olur, dolayısıyla denklemin tek bir reel kökü olur.
\( x_1 = x_2 = \dfrac{-b \pm \sqrt{0}}{2a} = \dfrac{-b}{2a} \)
Deltanın sıfır olduğu durumda denklem bir tam kare ifade şeklinde yazılabilir.
\( ax^2 + bx + c = a(x - x_1)^2 = 0 \)
\( x^2 - 8x + 16 = 0 \)
\( a = 1, \quad b = -8, \quad c = 16 \)
\( \Delta = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4(1)(16) = 0 \)
\( x_1 = \dfrac{-(-8) \pm \sqrt{0}}{2(1)} \)
\( x_1 = 4 \)
Çözüm kümesi: \( \{ 4 \} \)
Denklem aşağıdaki şekilde çarpanlarına ayrılabilir.
\( (x - 4)(x - 4) = (x - 4)^2 = 0 \)
Denklem çarpanlarına ayrıldığında bu kökü veren çarpanın kuvveti 2 olduğu için, bu köke iki katlı kök denir. Kök bulma formülünden elde edilen \( x_1 \) ve \( x_2 \) değerleri birbirine eşit olduğundan bu durum eşit kökler veya çakışık kökler olarak da ifade edilir.
Delta Sıfırdan Küçükse (\( \Delta \lt 0 \))
\( \Delta \lt 0 \) olduğu durumda denklemin birbirinin eşleniği olan iki reel olmayan karmaşık kökü olur.
\( x_1 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \)
\( x_2 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \)
\( x^2 + 2x + 2 = 0 \)
\( a = 1, \quad b = 2, \quad c = 2 \)
\( \Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(1)(2) = -4 \)
\( x_{1,2} = \dfrac{-2 \pm \sqrt{-4}}{2(1)} \)
\( x_1 = -1 - \sqrt{-1}, \quad x_2 = -1 + \sqrt{-1} \)
\( x_1 = -1 - i, \quad x_2 = -1 + i \)
Bu durumda denklem reel sayılarda doğrusal çarpanlarına ayrılamaz.
İkinci dereceden denklemlerin karmaşık sayı köklerini bir sonraki karmaşık sayılar konusunda inceleyeceğiz.
Aşağıdaki denklemlerin deltasını hesaplayınız.
(a) \( -8x^2 + 6x - 2 = 0 \)
(b) \( 11x^2 - 5x - 4 = 0 \)
(c) \( 16x^2 + 40x + 25 = 0 \)
Çözümü GösterDenklemin diskriminantı (deltası) aşağıdaki formülle bulunur.
\( \Delta = b^2 - 4ac \)
(a) seçeneği:
\( -8x^2 + 6x - 2 = 0 \)
\( a = -8, \quad b = 6, \quad c = -2 \)
\( \Delta = 6^2 - 4(-8)(-2) \)
\( = 36 - 64 = -28 \)
(b) seçeneği:
\( 11x^2 - 5x - 4 = 0 \)
\( a = 11, \quad b = -5, \quad c = -4 \)
\( \Delta = (-5)^2 - 4(11)(-4) \)
\( = 25 + 176 = 201 \)
(c) seçeneği:
\( 16x^2 + 40x + 25 = 0 \)
\( a = 16, \quad b = 40, \quad c = 25 \)
\( \Delta = 40^2 - 4(16)(25) \)
\( = 1600 - 1600 = 0 \)
Aşağıdaki denklemlerin reel köklerini bulunuz.
(a) \( 81x^2 - 36x + 4 = 0 \)
(b) \( -17x^2 + 7x + 10 = 0 \)
(c) \( 3x^2 - 14x + 16 = 0 \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( 81x^2 - 36x + 4 = 0 \)
Denklemin deltasını hesaplayalım.
\( a = 81, \quad b = -36, \quad c = 4 \)
\( \Delta = b^2 - 4ac \)
\( = (-36)^2 - 4(81)(4) = 0 \)
\( \Delta = 0 \) olduğundan denklemin tek bir (iki katlı) reel kökü vardır.
Denklemin kökünü bulalım.
\( x_1 = x_2 = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \)
\( = \dfrac{36 \pm \sqrt{0}}{2(81)} \)
\( = \dfrac{36}{162} = \dfrac{2}{9} \)
(b) seçeneği:
\( -17x^2 + 7x + 10 = 0 \)
Denklemin deltasını hesaplayalım.
\( a = -17, \quad b = 7, \quad c = 10 \)
\( \Delta = b^2 - 4ac \)
\( = 7^2 - 4(-17)(10) = 729 \)
\( \Delta \gt 0 \) olduğundan denklemin birbirinden farklı iki reel kökü vardır.
Denklemin köklerini bulalım.
\( x_{1, 2} = \dfrac{-7 \pm \sqrt{729}}{2(-17)} \)
\( = \dfrac{-7 \pm 27}{-34} \)
\( x_1 = -\dfrac{10}{17}, \quad x_2 = 1 \)
(c) seçeneği:
\( 3x^2 - 14x + 16 = 0 \)
Denklemin deltasını hesaplayalım.
\( a = 3, \quad b = -14, \quad c = 16 \)
\( \Delta = b^2 - 4ac \)
\( = (-14)^2 - 4(3)(16) = 4 \)
\( \Delta \gt 0 \) olduğundan denklemin birbirinden farklı iki reel kökü vardır.
Denklemin köklerini bulalım.
\( x_{1, 2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \)
\( = \dfrac{14 \pm \sqrt{4}}{2(3)} \)
\( = \dfrac{14 \pm 2}{6} \)
\( x_1 = 2, \quad x_2 = \dfrac{8}{3} \)
Aşağıdaki denklemlerin reel sayı köklerini bulunuz.
(a) \( 9x^2 + 10x + 1 = 0 \)
(b) \( -x^2 + 12x - 18 = 0 \)
(c) \( -3x^2 + 10x - 14 = 0 \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( 9x^2 + 10x + 1 = 0 \)
Denklemin deltasını hesaplayalım.
\( a = 9, \quad b = 10, \quad c = 1 \)
\( \Delta = b^2 - 4ac \)
\( = 10^2 - 4(9)(1) = 64 \)
\( \Delta \gt 0 \) olduğundan denklemin birbirinden farklı iki reel kökü vardır.
Denklemin köklerini bulalım.
\( x_{1, 2} = \dfrac{-10 \pm \sqrt{64}}{2(9)} \)
\( = \dfrac{-10 \pm 8}{18} \)
\( x_1 = -1, \quad x_2 = -\dfrac{1}{9} \)
(b) seçeneği:
\( -x^2 + 12x - 18 = 0 \)
Denklemin deltasını hesaplayalım.
\( a = -1, \quad b = 12, \quad c = -18 \)
\( \Delta = b^2 - 4ac \)
\( = 12^2 - 4(-1)(-18) = 72 \)
\( \Delta \gt 0 \) olduğundan denklemin birbirinden farklı iki reel kökü vardır.
Denklemin köklerini bulalım.
\( x_{1, 2} = \dfrac{-12 \pm \sqrt{72}}{2(-1)} \)
\( = \dfrac{-12 \pm 6\sqrt{2}}{-2} \)
\( x_1 = 6 - 3\sqrt{2}, \quad x_2 = 6 + 3\sqrt{2} \)
(c) seçeneği:
\( -3x^2 + 10x - 14 = 0 \)
Denklemin deltasını hesaplayalım.
\( a = -3, \quad b = 10, \quad c = -14 \)
\( \Delta = b^2 - 4ac \)
\( = 10^2 - 4(-3)(-14) = -68 \)
\( \Delta \lt 0 \) olduğundan denklemin reel sayı kökü yoktur.
Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz.
(a) \( x^2 + 2x + 5 = 0 \)
(b) \( -x^2 + 6x - 20 = 0 \)
(c) \( 2x^2 - 2x + 7 = 0 \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( x^2 + 2x + 5 = 0 \)
Denklemin deltasını hesaplayalım.
\( a = 1, \quad b = 2, \quad c = 5 \)
\( \Delta = b^2 - 4ac \)
\( = 2^2 - 4(1)(5) = -16 \)
\( \Delta \lt 0 \) olduğundan denklemin reel sayı kökü yoktur, birbirinin eşleniği olan ve reel olmayan iki karmaşık kökü vardır.
Denklemin karmaşık sayı köklerini bulalım.
\( x_{1, 2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \)
\( = \dfrac{-2 \pm \sqrt{-16}}{2(1)} \)
\( = \dfrac{-2 \pm 4i}{2} \)
\( = -1 \pm 2i \)
Çözüm kümesi: \( \{ -1 - 2i, -1 + 2i \} \)
(b) seçeneği:
\( -x^2 + 6x - 20 = 0 \)
Denklemin deltasını hesaplayalım.
\( a = -1, \quad b = 6, \quad c = -20 \)
\( \Delta = b^2 - 4ac \)
\( = 6^2 - 4(-1)(-20) = -44 \)
\( \Delta \lt 0 \) olduğundan denklemin reel sayı kökü yoktur, birbirinin eşleniği olan ve reel olmayan iki karmaşık kökü vardır.
Denklemin karmaşık sayı köklerini bulalım.
\( x_{1, 2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \)
\( = \dfrac{-6 \pm \sqrt{-44}}{2(-1)} \)
\( = \dfrac{-6 \pm 2\sqrt{11}i}{-2} \)
\( = 3 \pm \sqrt{11}i \)
Çözüm kümesi: \( \{ 3 - \sqrt{11}i, 3 + \sqrt{11}i \} \)
(c) seçeneği:
\( 2x^2 - 2x + 7 = 0 \)
Denklemin deltasını hesaplayalım.
\( a = 2, \quad b = -2, \quad c = 7 \)
\( \Delta = b^2 - 4ac \)
\( = (-2)^2 - 4(2)(7) = -52 \)
\( \Delta \lt 0 \) olduğundan denklemin reel sayı kökü yoktur, birbirinin eşleniği olan ve reel olmayan iki karmaşık kökü vardır.
Denklemin karmaşık sayı köklerini bulalım.
\( x_{1, 2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \)
\( = \dfrac{-(-2) \pm \sqrt{-52}}{2(2)} \)
\( = \dfrac{2 \pm 2\sqrt{13}i}{4} \)
\( = \dfrac{1}{2} \pm \dfrac{\sqrt{13}}{2}i \)
Çözüm kümesi: \( \left\{ \dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{13}}{2}i, \dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{13}}{2}i \right\} \)
\( x^2 - 3x + m - 4 = 0 \) denkleminin iki farklı reel kökü olması için \( m \) değer aralığı ne olmalıdır?
Çözümü Gösterİkinci dereceden bir denklemin iki farklı reel sayı kökü olması için deltası sıfırdan büyük olmalıdır.
Denklemin deltasını hesaplayalım.
\( a = 1, \quad b = -3, \quad c = m - 4 \)
\( \Delta = b^2 - 4ac \gt 0 \)
\( (-3)^2 - 4(1)(m - 4) \gt 0 \)
\( 9 - 4m + 16 \gt 0 \)
\( m \lt \dfrac{25}{4} \) bulunur.
\( (m - 4)x^2 - 2mx + m = 0 \) denkleminin reel sayı köklerinin olmaması için \( m \) değer aralığı ne olmalıdır?
Çözümü Gösterİkinci dereceden bir denklemin reel sayı köklerinin olmaması için deltası sıfırdan küçük olmalıdır.
Denklemin deltasını hesaplayalım.
\( a = m - 4, \quad b = -2m, \quad c = m \)
\( \Delta = b^2 - 4ac \lt 0 \)
\( (-2m)^2 - 4(m - 4)m \lt 0 \)
\( 4m^2 - 4m^2 + 16m \lt 0 \)
\( m \lt 0 \) bulunur.
\( x^2 - 6x + 4m + 13 = 0 \) denkleminin çakışık iki kökünün olması için \( m \) kaç olmalıdır?
Çözümü Gösterİkinci dereceden bir denklemin çakışık iki kökünün olması için deltası sıfır olmalıdır.
Denklemin deltasını hesaplayalım.
\( a = 1, \quad b = -6, \quad c = 4m + 13 \)
\( \Delta = b^2 - 4ac = 0 \)
\( (-6)^2 - 4(1)(4m + 13) = 0 \)
\( 36 - 16m - 52 = 0 \)
\( m = -1 \) bulunur.
\( m = -1 \) olduğunda denklemin bir tam kare ifade olduğunu görebiliriz.
\( x^2 - 6x + 9 = 0 \)
\( (x - 3)^2 = 0 \)
\( 4x^2 - 2mx + m + 3 = 0 \) denkleminin reel sayı kökü olması için \( m \) değer aralığı ne olmalıdır?
Çözümü Gösterİkinci dereceden bir denklemin reel sayı kökü olması için (iki farklı kök ya da çakışık tek bir kök) deltası pozitif ya da sıfır olmalıdır.
Denklemin deltasını hesaplayalım.
\( a = 4, \quad b = -2m, \quad c = m + 3 \)
\( \Delta = b^2 - 4ac \ge 0 \)
\( (-2m)^2 - 4(4)(m + 3) \ge 0 \)
\( 4m^2 - 16m - 48 \ge 0 \)
\( m^2 - 4m - 12 \ge 0 \)
\( (m + 2)(m - 6) \ge 0 \)
Bu eşitlik her bir çarpanı sıfır yapan değerlerde ve bu değerlerin dışında kalan aralıkta sağlanır.
\( m \in (-\infty, -2] \cup [6, \infty) \)
Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz.
(a) \( \dfrac{2}{x + 1} - \dfrac{3}{x} = 1 \)
(b) \( \dfrac{1}{2 - 3x} - \dfrac{7}{3 - x} = -2 \)
(c) \( \dfrac{5}{2x + 3} - \dfrac{7}{x + 5} = -1 \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( \dfrac{2}{x + 1} - \dfrac{3}{x} = 1 \)
Öncelikle paydaları sıfır yapan \( \{ -1, 0 \} \) değerlerinin denklemin bir çözümü olamayacağını not edelim.
\( \dfrac{2}{x + 1} = 1 + \dfrac{3}{x} \)
\( \dfrac{2}{x + 1} = \dfrac{x + 3}{x} \)
İçler - dışlar çarpımı yapalım.
\( (x + 1)(x + 3) = 2x \)
\( x^2 + 4x + 3 = 2x \)
\( x^2 + 2x + 3 = 0 \)
Denklemin deltasını hesaplayalım.
\( a = 1, \quad b = 2, \quad c = 3 \)
\( \Delta = b^2 - 4ac \)
\( = 2^2 - 4(1)(3) = -8 \)
\( \Delta \lt 0 \) olduğundan denklemin reel sayı kökü yoktur, birbirinin eşleniği olan ve reel olmayan iki karmaşık kökü vardır.
Denklemin karmaşık sayı köklerini bulalım.
\( x_{1, 2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \)
\( = \dfrac{-2 \pm \sqrt{-8}}{2(1)} \)
\( = \dfrac{-2 \pm 2\sqrt{2}i}{2} \)
\( = -1 \pm \sqrt{2}i \)
Çözüm kümesi: \( \{ -1 - \sqrt{2}i, -1 + \sqrt{2}i \} \)
(b) seçeneği:
\( \dfrac{1}{2 - 3x} - \dfrac{7}{3 - x} = -2 \)
Öncelikle paydaları sıfır yapan \( \{ \frac{2}{3}, 3 \} \) değerlerinin denklemin bir çözümü olamayacağını not edelim.
\( \dfrac{1}{2 - 3x} = \dfrac{7}{3 - x} - 2 \)
\( \dfrac{1}{2 - 3x} = \dfrac{2x + 1}{3 - x} \)
İçler - dışlar çarpımı yapalım.
\( (2 - 3x)(2x + 1) = 3 - x \)
\( -6x^2 + x + 2 = 3 - x \)
\( -6x^2 + 2x - 1 = 0 \)
Denklemin deltasını hesaplayalım.
\( a = -6, \quad b = 2, \quad c = -1 \)
\( \Delta = b^2 - 4ac \)
\( = 2^2 - 4(-6)(-1) = -20 \)
\( \Delta \lt 0 \) olduğundan denklemin reel sayı kökü yoktur, birbirinin eşleniği olan ve reel olmayan iki karmaşık kökü vardır.
Denklemin karmaşık sayı köklerini bulalım.
\( x_{1, 2} = \dfrac{-2 \pm \sqrt{20}}{2(-6)} \)
\( = \dfrac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{-12} \)
\( = \dfrac{1}{6} \pm \dfrac{\sqrt{5}}{6}i \)
Çözüm kümesi: \( \left\{ \dfrac{1}{6} - \dfrac{\sqrt{5}}{6}i, \dfrac{1}{6} + \dfrac{\sqrt{5}}{6}i \right \} \)
(c) seçeneği:
\( \dfrac{5}{2x + 3} - \dfrac{7}{x + 5} = -1 \)
Öncelikle paydaları sıfır yapan \( \{ -5, -\frac{3}{2} \} \) değerlerinin denklemin bir çözümü olamayacağını not edelim.
\( \dfrac{5}{2x + 3} = \dfrac{7}{x + 5} - 1 \)
\( \dfrac{5}{2x + 3} = \dfrac{2 - x}{x + 5} \)
İçler - dışlar çarpımı yapalım.
\( (2x + 3)(2 - x) = 5x + 25 \)
\( -2x^2 + x + 6 = 5x + 25 \)
\( -2x^2 - 4x - 19 = 0 \)
Denklemin deltasını hesaplayalım.
\( a = -2, \quad b = -4, \quad c = -19 \)
\( \Delta = b^2 - 4ac \)
\( = (-4)^2 - 4(-2)(-19) = -136 \)
\( \Delta \lt 0 \) olduğundan denklemin reel sayı kökü yoktur, birbirinin eşleniği olan ve reel olmayan iki karmaşık kökü vardır.
Denklemin karmaşık sayı köklerini bulalım.
\( x_{1, 2} = \dfrac{-(-4) \pm \sqrt{-136}}{2(-2)} \)
\( = \dfrac{4 \pm 2\sqrt{34}i}{-4} \)
\( = -1 \pm \dfrac{\sqrt{34}}{2}i \)
Çözüm kümesi: \( \left\{ -1 - \dfrac{\sqrt{34}}{2}i, -1 + \dfrac{\sqrt{34}}{2}i \right \} \)
\( x, y \in \mathbb{R^+} \) olmak üzere,
\( x - 2y = 8 \)
\( xy = 12 \)
olduğuna göre, \( x \) ve \( y \) değerlerini bulunuz.
Çözümü Gösterİlk denklemde \( x \)'i yalnız bırakalım.
\( x = 2y + 8 \)
Bulduğumuz \( x \) değerini ikinci denklemde yerine koyalım.
\( xy = (2y + 8)y = 12 \)
\( 2y^2 + 8y - 12 = 0 \)
Eşitliğin taraflarını 2'ye bölelim.
\( y^2 + 4y - 6 = 0 \)
İkinci dereceden denklemin deltasını hesaplayalım.
\( a = 1, \quad b = 4, \quad c = -6 \)
\( \Delta = b^2 - 4ac \)
\( = 4^2 - 4(1)(-6) = 40 \)
\( \Delta \gt 0 \) olduğundan denklemin birbirinden farklı iki reel kökü vardır.
Denklemin köklerini bulalım.
\( y_{1, 2} = \dfrac{-4 \pm \sqrt{40}}{2} \)
\( = -2 \pm \sqrt{10} \)
\( x, y \in \mathbb{R^+} \) olduğu için \( y \)'nin pozitif değerini almalıyız.
\( y = -2 + \sqrt{10} \)
Bulduğumuz \( y \) değerini ilk denklemde yerine koyalım.
\( x - 2(-2 + \sqrt{10}) = 8 \)
\( x = 4 + 2\sqrt{10} \)
\( (x + 1)(x^2 - 2x + m + 3) = 0 \) denkleminin üç farklı reel kökünün olması için \( m \) değer aralığı ne olmalıdır?
Çözümü Göster\( x = -1 \) değeri \( x + 1 \) çarpanını sıfır yaptığı için denklemin bir köküdür.
Denklemin üç farklı reel kökünün olması için \( x^2 - 2x + m + 3 = 0 \) denkleminin \( x = -1 \)'den farklı olmak üzere iki farklı reel kökü olmalıdır.
İkinci dereceden bir denklemin iki farklı reel sayı kökü olması için deltası sıfırdan büyük olmalıdır.
Denklemin deltasını hesaplayalım.
\( a = 1, \quad b = -2, \quad c = m + 3 \)
\( \Delta = b^2 - 4ac \gt 0 \)
\( (-2)^2 - 4(1)(m + 3) \gt 0 \)
\( 4 - 4m - 12 \gt 0 \)
\( m \lt -2 \)
Ayrıca \( x = -1 \) ikinci çarpanın bir kökü olmamalıdır, aksi durumda denklemin üç değil iki farklı reel kökü olur.
\( x = -1 \) değerinin ikinci çarpanı sağlamadığını kontrol edelim.
\( (-1)^2 - 2(-1) + m + 3 \ne 0 \)
\( 1 + 2 + m + 3 \ne 0 \)
\( m \ne -6 \)
Denklemin üç farklı reel kökü olması için gerekli \( m \) değer aralığı aşağıdaki gibi olur.
\( m \in (-\infty, -2) - \{-6\} \)
\( m \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( 4x^2 - mx + 9 = 0 \) denkleminin reel kökü yoktur.
\( x^2 + (m - 8)x + 1 = 0 \) denkleminin iki farklı reel kökü vardır.
Buna göre \( m \)'nin alabileceği kaç değer vardır?
Çözümü GösterVerilen iki denklemi ayrı ayrı inceleyelim.
Birinci denklemin reel sayı kökünün olmaması için deltası sıfırdan küçük olmalıdır.
Denklemin deltasını hesaplayalım.
\( a = 4, \quad b = -m, \quad c = 9 \)
\( \Delta = b^2 - 4ac \lt 0 \)
\( (-m)^2 - 4(4)(9) \lt 0 \)
\( m^2 - 144 \lt 0 \)
\( (m - 12)(m + 12) \lt 0 \)
\( m \in (-12, 12) \)
İkinci denklemin iki farklı reel sayı kökü olması için deltası sıfırdan büyük olmalıdır.
Denklemin deltasını hesaplayalım.
\( a = 1, \quad b = m - 8, \quad c = 1 \)
\( \Delta = b^2 - 4ac \gt 0 \)
\( (m - 8)^2 - 4(1)(1) \gt 0 \)
\( m^2 - 16m + 60 \gt 0 \)
\( (m - 6)(m - 10) \gt 0 \)
\( m \in (-\infty, 6) \cup (10, \infty) \)
Bulduğumuz iki aralığın kesişimi \( m \) çözüm kümesini verir.
\( m \in (-12, 6) \cup (10, 12) \)
\( m \)'nin \( (-12, 6) \) aralığında alabileceği \( 5 - (-11) + 1 = 17 \) farklı tam sayı değer vardır.
\( m \)'nin \( (10, 12) \) aralığında alabileceği 1 tam sayı değer vardır.
Buna göre \( m \)'nin alabileceği \( 17 + 1 = 18 \) farklı tam sayı değer vardır.
\( x \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( \dfrac{2x^2 - 20}{2x^2 - 13x + 18} = \dfrac{x^2 - 3}{x^2 - 2x + 6} = \dfrac{2}{3} \)
eşitliğinin çözüm kümesi nedir?
Çözümü GösterDenklemlerin ayrı ayrı çözüm kümesini bulalım.
\( \dfrac{2x^2 - 20}{2x^2 - 13x + 18} = \dfrac{2}{3} \)
\( \dfrac{x^2 - 3}{x^2 - 2x + 6} = \dfrac{2}{3} \)
Birinci denklemi sadeleştirelim.
\( \dfrac{x^2 - 10}{2x^2 - 13x + 18} = \dfrac{1}{3} \)
Paydayı sıfır yapan bir \( x \) değerinin olup olmadığını bulmak için paydadaki ifadeyi çarpanlarına ayıralım.
\( \dfrac{x^2 - 10}{(2x - 9)(x - 2)} = \dfrac{1}{3} \)
Paydayı sıfır yapan \( x \in \{ \frac{9}{2}, 2 \} \) değerlerinin denklemin bir çözümü olamayacağını not edelim.
İçler - dışlar çarpımı yapalım.
\( 3x^2 - 30 = 2x^2 - 13x + 18 \)
\( x^2 + 13x - 48 = 0 \)
\( (x + 16)(x - 3) = 0 \)
Buna göre, birinci denklemi sağlayan \( x \) değerleri aşağıdaki gibi bulunur.
\( x \in \{ -16, 3 \} \)
Çarpanlarına ayrılabilir gözükmeyen ikinci denklemde paydayı sıfır yapan bir \( x \) değerinin olup olmadığını bulmak için paydadaki ifadenin deltasını hesaplayalım.
\( \dfrac{x^2 - 3}{x^2 - 2x + 6} = \dfrac{2}{3} \)
\( a = 1, \quad b = -2, \quad c = 6 \)
\( \Delta = b^2 - 4ac \)
\( = 4 - 4(1)(6) = -20 \)
\( \Delta \lt 0 \) olduğundan paydayı sıfır yapan ve dolayısıyla denklemi tanımsız yapan bir reel sayı \( x \) değeri yoktur.
İçler - dışlar çarpımı yapalım.
\( 3x^2 - 9 = 2x^2 - 4x + 12 \)
\( x^2 + 4x - 21 = 0 \)
\( (x + 7)(x - 3) = 0 \)
Buna göre, ikinci denklemi sağlayan \( x \) değerleri aşağıdaki gibi bulunur.
\( x \in \{ -7, 3 \} \)
Verilen denklemin çözüm kümesi her denlem için bulduğumuz çözümlerin kesişiminden oluşur.
Çözüm kümesi: \( \{ 3 \} \)
\( (m + 2)x^2 - 2mx + m - 1 = 0 \) denkleminin köklerinin geometrik ortalaması aritmetik ortalamasına eşit olduğuna göre, \( m \) kaçtır?
Çözümü GösterOran - orantı bölümünde ispatını verdiğimiz üzere, iki sayının aritmetik ve geometrik ortalamaları birbirine eşitse bu iki sayı birbirine eşittir.
\( x_1 = x_2 \)
İkinci dereceden bir denklemin çakışık iki kökünün olması için deltası sıfır olmalıdır.
Denklemin deltasını hesaplayalım.
\( a = m + 2, \quad b = -2m, \quad c = m - 1 \)
\( \Delta = b^2 - 4ac = 0 \)
\( (-2m)^2 - 4(m + 2)(m - 1) = 0 \)
\( 4m^2 - 4m^2 - 4m + 8 = 0 \)
\( m = 2 \) bulunur.
\( ax^2 + bx + c = 0 \) denkleminin katsayılar toplamı 1'dir.
Denklemin katsayıları 1'er artırıldığında diskriminantı değişmediğine göre, \( b \) kaçtır?
Çözümü GösterDenklemin katsayılar toplamını yazalım.
\( a + b + c = 1 \)
Denklemin diskriminantını (deltasını) hesaplayalım.
\( \Delta = b^2 - 4ac \)
Denklemin katsayılarını 1'er arttıralım ve diskriminantını bulalım.
\( (a + 1)x^2 + (b + 1)x + c + 1 = 0 \)\( \Delta = (b + 1)^2 - 4(a + 1)(c + 1) \)
Bulduğumuz iki diskriminant değeri birbirine eşittir.
\( b^2 - 4ac = (b + 1)^2 - 4(a + 1)(c + 1) \)
\( b^2 - 4ac = b^2 + 2b + 1 - 4ac - 4a - 4c - 4 \)
\( 4a + 4c = 2b - 3 \)
\( 4(a + c) = 2b - 3 \)
\( a + b + c = 1 \) eşitliğini kullanalım.
\( 4(1 - b) = 2b - 3 \)
\( 4 - 4b = 2b - 3 \)
\( b = \dfrac{7}{6} \) bulunur.
\( b, c \in \mathbb{N} \) olmak üzere,
\( x^2 + 5x + 7 = 0 \) ve \( 3x^2 + bx + c = 0 \) denklemlerinin en az birer kökü ortak olduğuna göre, \( b + c \) kaçtır?
Çözümü GösterBirinci denklemin deltasını hesaplayalım.
\( a = 1, \quad b = 5, \quad c = 7 \)
\( \Delta = b^2 - 4ac \)
\( = 5^2 - 4(1)(7) = -3 \lt 0 \)
Denkleminin deltası sıfırdan küçük olduğuna göre kökleri reel sayı değildir.
Bir kökü karmaşık sayı olan reel katsayılı ikinci dereceden denklemin diğer kökü de karmaşıktır ve birinci kökün eşleniğidir.
İkinci denklemin bir kökü birinci denklem ile ortaksa ikinci denklemin de karmaşık bir kökü vardır, bu durumda denklemin ikinci kökü de karmaşıktır ve birinci denklemin ikinci kökü ile aynıdır.
Buna göre denklemlerin iki kökü de karmaşıktır ve ortaktır.
İki kökü de ortak olan iki denklemin tüm katsayılarının oranı birbirine eşittir.
\( \dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{b} = \dfrac{7}{c} = k \)
Ayrı ayrı çözüm yaparak istenen değerleri bulalım.
\( \dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{b} \)
\( b = 15 \)
\( \dfrac{1}{3} = \dfrac{7}{c} \)
\( c = 21 \)
\( b + c = 15 + 21 = 36 \) olarak bulunur.
\( \dfrac{x^2 - mx + 16}{x + 1} = 0 \) denkleminin çözüm kümesi bir elemanlı olduğuna göre, \( m \)'nin alabileceği en küçük değer kaçtır?
Çözümü GösterVerilen denklemin çözüm kümesi iki şekilde bir elemanlı olabilir.
Durum 1:
Paydaki ifadenin deltası sıfırdır, dolayısıyla ifadenin iki katlı kökü vardır ve kök değeri paydayı sıfır yapan \( x = -1 \) değerinden farklıdır.
Paydaki ifadenin deltasını hesaplayalım.
\( x^2 - mx + 16 = 0 \)
\( a = 1, \quad b = -m, \quad c = 16 \)
\( \Delta = b^2 - 4ac = 0 \)
\( (-m)^2 - 4(1)(16) = 0 \)
\( m^2 = 64 \)
\( m = 8 \) ya da \( m = -8 \)
Bu iki \( m \) değeri için de \( x = -1 \) paydaki ifadenin bir kökü olmaz, dolayısıyla bu durum için gerekli koşul sağlanır.
Durum 2:
Paydaki ifadenin deltası sıfırdan büyüktür, dolayısıyla ifadenin birbirinden farklı iki kökü vardır, ancak köklerden biri \( x = -1 \)'dir ve bu değer paydayı sıfır yaptığı için geçerli bir çözüm değildir.
Paydaki ifadenin deltasını hesaplayalım.
\( \Delta = b^2 - 4ac \gt 0 \)
\( (-m)^2 - 4(1)(16) \gt 0 \)
\( m^2 \gt 64 \)
\( m \gt 8 \) ya da \( m \lt -8 \)
Ayrıca \( x = -1 \) payın bir kökü ise payı sıfır yapar.
\( (-1)^2 - m(-1) + 16 = 0 \)
\( m = -17 \)
Buna göre verilen denklemin çözüm kümesinin tek elemanlı olması için \( m \) aşağıdaki değerlerden birine sahip olmalıdır.
\( m \in \{ -17, -8, 8 \} \)
\( m \)'nin alabileceği en küçük değer \( -17 \) olur.
\( 2x^4 + 6kx^2 + 3k + 40 = 0 \)
\( k \)'nın hangi değer aralığı için yukarıdaki denklemin birbirinden farklı iki reel kökü vardır?
Çözümü Göster\( 2(x^2)^2 + 6kx^2 + 3k + 40 = 0 \)
\( x^2 = t \) şeklinde değişken değiştirelim.
\( 2t^2 + 6kt + 3k + 40 = 0 \)
Soruda verilen denklemin iki durumda birbirinden farklı iki reel kökü olabilir.
Durum 1:
\( t \) değişkenine bağlı denklemin bir pozitif bir negatif kökü vardır. \( t \)'nin negatif değeri için \( x \)'in geçerli bir çözümü olmaz. \( t \)'nin pozitif değeri için \( x \)'in simetrik iki reel kökü olur.
\( t \)'li denklemin bir pozitif bir negatif kökü olmasının koşulu deltasının pozitif ve kökler çarpımının negatif olmasıdır.
Denklemin deltasını hesaplayalım.
\( a = 2, \quad b = 6k, \quad c = 3k + 40 \)
\( \Delta = b^2 - 4ac \gt 0 \)
\( 36k^2 - 4(2)(3k + 40) \gt 0 \)
\( 36k^2 - 24k - 320 \gt 0 \)
\( 9k^2 - 6k - 80 \gt 0 \)
\( (3k + 8)(3k - 10) \gt 0 \)
\( k \in (-\infty, -\frac{8}{3}) \cup (\frac{10}{3}, \infty) \)
Kökler çarpımının negatif olma koşulunu kontrol edelim.
\( \dfrac{c}{a} = \dfrac{3k + 40}{2} \lt 0 \)
\( k \lt -\dfrac{40}{3} \)
Bulduğumuz iki aralığın kesişimi birinci durumun sağlandığı aralığı verir.
\( k \in (-\infty, -\frac{40}{3}) \)
Durum 2:
\( t \) değişkenine bağlı denklemin tek bir (iki katlı) ve pozitif bir kökü vardır. \( t \)'nin bu pozitif değeri için \( x \)'in simetrik iki reel kökü olur.
\( t \)'li denklemin tek bir kökünün olması için deltası sıfır olmalıdır. Yukarıda bulduğumuz delta değerini sıfıra eşitleyelim.
\( \Delta = 9k^2 - 6k - 80 = 0 \)
\( (3k + 8)(3k - 10) = 0 \)
\( k = -\dfrac{8}{3} \) ya da \( k = \dfrac{10}{3} \)
Bu iki değer için \( t \)'li denklemin tek kökünün pozitif olup olmadığını kontrol edelim.
\( k = -\dfrac{8}{3} \) için:
\( 2t^2 + 6\left( -\dfrac{8}{3} \right)t + 3\left( -\dfrac{8}{3} \right) + 40 = 0 \)
\( 2t^2 - 16t + 32 = 0 \)
\( t^2 - 8t + 16 = 0 \)
\( (t - 4)^2 = 0 \)
\( t = 4 \)
\( t \) değeri pozitif olduğu için \( x \)'in birbirinden farklı iki reel kökü olur.
\( k = \dfrac{10}{3} \) için:
\( 2t^2 + 6\left( \dfrac{10}{3} \right)t + 3\left( \dfrac{10}{3} \right) + 40 = 0 \)
\( 2t^2 + 20t + 50 = 0 \)
\( t^2 + 10t + 25 = 0 \)
\( (t + 5)^2 = 0 \)
\( t = -5 \)
\( t \) negatif olduğu için \( x \)'in reel sayı bir çözümü olmaz.
Buna göre \( k \)'nın aşağıdaki değerleri için verilen denklemin birbirinden farklı iki reel kökü vardır.
\( k \in \left( -\infty, -\dfrac{40}{3} \right) \cup \left\{ -\dfrac{8}{3} \right\} \)