İkinci Dereceden Denklemlerin Diskriminantı

İkinci dereceden bir denklemin çarpanlarına ayrılmadığı ya da ayırmanın kolay olmadığı durumlarda diskriminant yöntemini kullanabiliriz. Bu yöntem tüm ikinci dereceden denklemlerin reel ve karmaşık köklerini bulmakta kullanabileceğimiz bir yöntemdir.

İkinci dereceden bir denklemin köklerini aşağıdaki formülle bulabiliriz. Buna göre denklemin kökleri formüldeki \( \pm \) sembolü \( + \) ve \( - \) olarak ayrı ayrı yazıldığında oluşan değerlerdir.

Bu formülde kök içindeki ifadeye denklemin diskriminantı ya da deltası denir ve \( \Delta \) ile gösterilir.

Bir denklemin deltasının işareti o denklemin kökleri ile ilgili önemli bilgiler verir. Bir denklemin deltası üç farklı durumda olabilir.

Bu üç durumu aşağıda daha detaylı inceleyeceğiz.

Delta Sıfırdan Büyükse (\( \Delta \gt 0 \))

Deltanın sıfırdan büyük olması durumunda köklü ifadenin sonucu bir reel sayı olur ve birbirinden farklı iki reel kök oluşur.

Bu durumda denklemi aşağıdaki şekilde çarpanlarına ayırarak yazabiliriz.

Oluşan bu köklerin değerleri birbirinin ters işaretlisi ise (\( x_1 = -x_2 \)) bu köklere simetrik kökler denir. Bir denklemin simetrik kökleri varsa \( b \) katsayısı sıfır olur.

Delta Sıfırsa (\( \Delta = 0 \))

Deltanın sıfır olması durumunda köklü ifade sıfır olur ve tek bir reel kök oluşur.

Bu durumda ikinci dereceden denklemi aşağıdaki şekilde çarpanlarına ayırarak yazabiliriz. Bu denklem deltanın sıfır olduğu durumda denklemin bir tam kare ifadeye karşılık geldiğini gösterir.

Denklem çarpanlarına ayrıldığında kökün kuvveti iki olduğu için bu köklere çift katlı kök, çakışık kök veya eşit kök de denir.

Delta Sıfırdan Küçükse (\( \Delta \lt 0 \))

Deltanın sıfırdan küçük olması durumunda köklü ifadenin içi negatif değer alır ve reel sayılarda tanımsız bir sonuç verir. Bu durumda reel sayı değil birbirinin eşleniği iki karmaşık sayı kök oluşur.

Bu durumda ikinci dereceden denklemi kökleri reel sayı olacak şekilde çarpanlarına ayıramayız.

İkinci dereceden denklemlerin karmaşık sayı köklerini bir sonraki Karmaşık Sayılar konusunda inceleyeceğiz.

SORU:

\( x \in \mathbb{R} \) olmak üzere, \( x^2 + 4x + 6 = 0 \) denkleminin çözüm kümesi nedir?

Çözümü Göster


SORU:

\( x^2 - 3x + m - 4 = 0 \) denkleminin iki farklı reel kökü varsa \( m \) kaç olmalıdır?

Çözümü Göster


SORU:

\( (m - 4)x^2 - 2mx + m = 0 \) denkleminin gerçek sayı köklerinin olmaması için \( m \) hangi aralıkta olmalıdır?

Çözümü Göster


SORU:

\( 9x^2 - 12x + 4 = 0 \) denkleminin çözüm kümesi nedir?

Çözümü Göster


SORU:

\( x^2 - 6x + 4m + 13 = 0 \) denkleminin çakışık iki kökü varsa \( m \) değeri nedir?

Çözümü Göster


SORU:

\( x^2 + (2m + 1)x + 9 = 0 \) denkleminin çift katlı kökü varsa \( m \)'nin alabileceği değerler toplamı nedir?

Çözümü Göster


SORU:

\( (x + 1)(x^2 - 2x + m + 3) = 0 \) denkleminin üç farklı reel kökü varsa \( m \)'nin alabileceği değerler nelerdir?

Çözümü Göster


« Önceki
İkinci Dereceden Denklemleri Çarpanlarına Ayırma
Sonraki »
İkinci Dereceden Denklemlerde Kök Katsayı İlişkisi


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır