Her ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırmak mümkün olmayabilir ya da mümkün olsa da çarpanlarına ayırmakta zorlandığımız denklemlerle karşılaşabiliriz. Bu durumlarda kullanabileceğimiz diskriminant yöntemi ile tüm ikinci dereceden denklemlerin reel ve karmaşık sayı köklerini bulabiliriz.
İkinci dereceden bir denklemin kökleri aşağıdaki formülle bulunabilir. Buna göre denklemin kökleri formüldeki \( \pm \) sembolü yerine \( + \) ve \( - \) yazıldığında oluşan değerlerdir.
Bir denklemin diskriminantının (deltasının) işareti o denklemin kökleri ile ilgili önemli bilgiler verir. Bir denklemin deltası için üç farklı durum vardır.
Bu üç durumu daha detaylı inceleyelim.
\( \Delta \gt 0 \) olduğu durumda \( \sqrt{\Delta} \) da pozitif reel sayı olur, dolayısıyla birbirinden farklı ve reel sayı iki kök oluşur.
Bu durumda denklem aşağıdaki şekilde çarpanlarına ayrılabilir.
\( \Delta \) ifadesi eğer bir tam kare sayı ise \( \sqrt{\Delta} \) ifadesinin sonucu tam sayı olur ve rasyonel iki kök oluşur.
\( \Delta \) ifadesi eğer bir tam kare sayı değilse köklü ifade içeren (irrasyonel) iki kök oluşur.
Bir denklemin kökleri birbirinin ters işaretlisi ise (\( x_1 = -x_2 \)) bu köklere simetrik kökler denir. Simetrik kökler \( b \) katsayısı sıfır olduğunda oluşur.
\( \Delta = 0 \) olduğu durumda \( \sqrt{\Delta} \) da sıfır olur, dolayısıyla tek bir reel sayı kök oluşur.
Bu durumda denklem aşağıdaki şekilde çarpanlarına ayrılabilir. Buna göre deltanın sıfır olduğu durumda denklem bir tam kare ifade şeklinde yazılabilir.
Denklem çarpanlarına ayrıldığında bu kökü veren çarpanın kuvveti 2 olduğu için bu köklere çift katlı kök, çakışık kök veya eşit kök de denir.
\( \Delta \lt 0 \) olduğu durumda \( \sqrt{\Delta} \) ifadesinin sonucu reel sayı değil karmaşık sayı olur, dolayısıyla birbirinin eşleniği iki karmaşık sayı kök oluşur.
Bu durumda denklemi kökleri reel sayı olacak şekilde çarpanlarına ayıramayız.
SORU 1:
\( x \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( x^2 + 4x + 6 = 0 \) denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözümü Göster
Denklemin deltasını hesaplayalım.
\( \Delta = b^2 - 4ac \)
\( a = 1, \quad b = 4, \quad c = 6 \)
\( \Delta = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = -8 \)
\( \Delta \lt 0 \) olduğundan denklemin reel sayı kökü yoktur.
Çözüm kümesi: \( x \in \{\} \)
SORU 2:
\( x^2 - 3x + m - 4 = 0 \) denkleminin iki farklı reel kökü olduğuna göre, \( m \) değer aralığı ne olmalıdır?
Çözümü Göster
İkinci dereceden bir denklemin iki farklı reel sayı kökü olması için deltası sıfırdan büyük olmalıdır.
Denklemin deltasını hesaplayalım.
\( \Delta = b^2 - 4ac \gt 0 \)
\( a = 1, \quad b = -3, \quad c = m - 4 \)
\( (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m - 4) \gt 0 \)
\( 9 - 4m + 16 \gt 0 \)
\( m \lt \dfrac{25}{4} \) bulunur.
SORU 3:
\( (m - 4)x^2 - 2mx + m = 0 \) denkleminin reel sayı köklerinin olmaması için \( m \) hangi aralıkta olmalıdır?
Çözümü Göster
İkinci dereceden bir denklemin reel sayı köklerinin olmaması için deltası sıfırdan küçük olmalıdır.
Denklemin deltasını hesaplayalım.
\( \Delta = b^2 - 4ac \lt 0 \)
\( a = m - 4, \quad b = -2m, \quad c = m \)
\( (-2m)^2 - 4 \cdot (m - 4) \cdot m \lt 0 \)
\( 4m^2 - 4m^2 + 16m \lt 0 \)
\( m \lt 0 \) bulunur.
SORU 4:
\( 9x^2 - 12x + 4 = 0 \) denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözümü Göster
Denklemin deltasını hesaplayalım.
\( \Delta = b^2 - 4ac \)
\( a = 9, \quad b = -12, \quad c = 4 \)
\( = (-12)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 4 \)
\( = 144 - 144 = 0 \)
Denklemin deltası sıfır olduğuna göre denklemin çakışık iki kökü vardır.
\( x_1 = x_2 = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \)
\( = \dfrac{-(-12) \pm 0}{2 \cdot 9} = \dfrac{2}{3} \)
Çözüm kümesi: \( x \in \{\frac{2}{3}\} \)
SORU 5:
\( x^2 - 6x + 4m + 13 = 0 \) denkleminin çakışık iki kökü varsa \( m \) değeri nedir?
Çözümü Göster
Denklemin çakışık iki kökü varsa deltası sıfırdır.
\( \Delta = b^2 - 4ac = 0 \)
\( a = 1, \quad b = -6, \quad c = 4m + 13 \)
\( (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (4m + 13) = 0 \)
\( 36 - 16m - 52 = 0 \)
\( m = -1 \) bulunur.
\( m = -1 \) olduğunda denklemin bir tam kare ifade olduğunu görebiliriz.
\( x^2 - 6x + 9 = 0 \)
\( (x - 3)^2 = 0 \)
SORU 6:
\( x^2 + (2m + 1)x + 9 = 0 \) denkleminin çift katlı kökü varsa \( m \)'nin alabileceği değerler toplamı nedir?
Çözümü Göster
Denklemin çift katlı (çakışık) kökü varsa deltası sıfırdır.
\( \Delta = b^2 - 4ac = 0 \)
\( a = 1, \quad b = 2m + 1, \quad c = 9 \)
\( (2m + 1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 0 \)
\( (2m + 1)^2 = 36 \)
\( 2m + 1 = 6 \) ya da \( 2m + 1 = -6 \)
\( 2m + 1 = 6 \Longrightarrow m = \dfrac{5}{2} \)
\( 2m + 1 = -6 \Longrightarrow m = -\dfrac{7}{2} \)
\( m \)'nin alabileceği değerler toplamı aşağıdaki gibidir.
\( \dfrac{5}{2} + (-\dfrac{7}{2}) = -1 \) bulunur.
SORU 7:
\( (x + 1)(x^2 - 2x + m + 3) = 0 \) denkleminin üç farklı reel kökü olmasını sağlayan en geniş \( m \) değer aralığı nedir?
Çözümü Göster
\( x = -1 \) değeri \( x + 1 \) çarpanını sıfır yaptığı için denklemin bir köküdür.
Denklemin üç farklı reel kökünün olması için \( x^2 - 2x + m + 3 = 0 \) denkleminin \( x = -1 \)'den farklı olmak üzere iki farklı reel kökü olmalıdır.
Buna göre ikinci çarpanın deltası sıfırdan büyük olmalıdır.
\( \Delta = b^2 - 4ac \gt 0 \)
\( a = 1, \quad b = -2, \quad c = m + 3 \)
\( (-2)^2 - 4(1)(m + 3) \gt 0 \)
\( 4 - 4m - 12 \gt 0 \)
\( m \lt -2 \)
Ayrıca \( x = -1 \) ikinci çarpanın bir kökü olmamalıdır, çünkü olması durumunda denklemin üç değil iki farklı reel kökü olur.
\( (-1)^2 - 2(-1) + m + 3 \ne 0 \)
\( 1 + 2 + m + 3 \ne 0 \)
\( m \ne -6 \)
Denklemin üç farklı reel kökü olması için gerekli \( m \) değer aralığı aşağıdaki gibi olur.
\( m \in (-\infty, -2) - \{-6\} \)
SORU 8:
\( (x - \dfrac{1}{x})^2 - 6(x - \dfrac{1}{x}) - 7 = 0 \) ifadesi için \( x \) kaç farklı reel sayı değeri alabilir?
Çözümü Göster
\( x - \dfrac{1}{x} = t \) şeklinde değişken değiştirelim.
\( t^2 - 6t - 7 = 0 \)
\( (t + 1)(t - 7 ) = 0 \)
\( t = -1 \) ya da \( t = 7 \)
\( t = -1 \) için:
\( t = x - \dfrac{1}{x} = -1 \)
\( x^2 + x - 1 = 0 \)
\( \Delta = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 5 \)
\( \Delta \gt 0 \) olduğu için denklemin iki farklı reel kökü vardır.
\( t = 7 \) için:
\( t = x - \dfrac{1}{x} = 7 \)
\( x^2 - 7x - 1 = 0 \)
\( \Delta = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 53 \)
\( \Delta \gt 0 \) olduğu için denklemin iki farklı reel kökü vardır.
Verilen denklemin 4 reel kökü olduğu sonucuna varmadan önce, iki denklemin ortak kökü olup olmadığını kontrol etmeliyiz.
Birinci denklemin kökleri \( a \pm \sqrt{5} \) formunda, ikinci denklemin kökleri de \( a \pm \sqrt{53} \) formunda olduğu için denklemlerin ortak kökleri yoktur.
Buna göre denklemin 4 farklı reel kökü vardır.
SORU 9:
\( \dfrac{x^2 - mx + 16}{x + 1} = 0 \) denkleminin çözüm kümesi bir elemanlı olduğuna göre, \( m \)'nin alabileceği en küçük değer kaçtır?
Çözümü Göster
Verilen denklemin çözüm kümesi iki şekilde bir elemanlı olabilir.
Durum 1: Paydaki ifadenin deltası 0'dır, dolayısıyla ifadenin çift katlı kökü vardır ve kök değeri paydayı sıfır yapan değer olan \( x = -1 \)'den farklıdır.
\( x^2 - mx + 16 = 0 \)
\( \Delta = b^2 - 4ac = 0 \)
\( a = 1, \quad b = -m, \quad c = 16 \)
\( (-m)^2 - 4(1)(16) = 0 \)
\( m^2 = 64 \)
\( m = 8 \) ya da \( m = -8 \)
Durum 2: Paydaki ifadenin deltası 0'dan büyüktür, dolayısıyla ifadenin birbirinden farklı iki kökü vardır, ancak köklerden biri \( x = -1 \)'dir ve bu değer paydayı sıfır yaptığı için geçerli bir çözüm değildir.
\( x = -1 \) payın bir kökü ise payı sıfır yapar.
\( (-1)^2 - m(-1) + 16 = 0 \)
\( m = -17 \)
Bu durumda paydaki ifade çarpanlarına \( (x + 1)(x + 16) \) şeklinde ayrılır ve verilen denklemin tek kökü \( x = -16 \) olur.
Buna göre verilen denklemin çözüm kümesinin tek elemanlı olması için \( m \in \{-17, -8, 8\} \) olabilir.
\( m \)'nin alabileceği en küçük değer \( -17 \) olur.
SORU 10:
\( ax^2 + bx + c = 0 \) denkleminin katsayılar toplamı 1'dir.
Denklemin katsayıları 1'er artırıldığında diskriminantı değişmediğine göre, \( b \) kaçtır?
Çözümü Göster
Denklemin katsayılar toplamını yazalım.
\( a + b + c = 1 \)
Denklemin diskriminantını bulalım.
\( \Delta = b^2 - 4ac \)
Denklemin katsayılarını 1'er arttıralım ve diskriminantını bulalım.
\( (a + 1)x^2 + (b + 1)x + c + 1 = 0 \)
\( \Delta = (b + 1)^2 - 4(a + 1)(c + 1) \)
Bulduğumuz iki diskriminant birbirine eşittir.
\( b^2 - 4ac = (b + 1)^2 - 4(a + 1)(c + 1) \)
\( b^2 - 4ac = b^2 + 2b + 1 - 4ac - 4a - 4c - 4 \)
\( 0 = 2b + 1 - 4a - 4c - 4 \)
\( 4a + 4c = 2b - 3 \)
\( 4(a + c) = 2b - 3 \)
\( a + b + c = 1 \) eşitliğini kullanalım.
\( 4(1 - b) = 2b - 3 \)
\( 4 - 4b = 2b - 3 \)
\( b = \dfrac{7}{6} \) bulunur.
SORU 11:
\( (m + 2)x^2 - 2mx + m - 1 = 0 \) denkleminin köklerinin geometrik ortalaması aritmetik ortalamasına eşit olduğuna göre, \( m \) kaçtır?
Çözümü Göster
Oran - orantı bölümünde ispatını verdiğimiz üzere, iki sayının aritmetik ve geometrik ortalamaları birbirine eşitse bu iki sayı birbirine eşittir.
\( x_1 = x_2 \)
Denklemin çakışık iki kökü olduğuna göre deltası 0'dır.
\( \Delta = b^2 - 4ac = 0 \)
\( a = m + 2, \quad b = -2m, \quad c = m - 1 \)
\( (-2m)^2 - 4(m + 2)(m - 1) = 0 \)
\( 4m^2 - 4m^2 - 4m + 8 = 0 \)
\( m = 2 \) bulunur.
SORU 12:
\( 6x^2 - 11x + 2a^2 + 2b^2 + 2ab = 0 \)
denkleminin kökleri \( a \) ve \( b \) olduğuna göre, denklemin diskriminantı kaçtır?
Çözümü Göster
Kökler çarpımı formülünü yazalım.
\( a \cdot b = \dfrac{2a^2 + 2b^2 + 2ab}{6} \)
\( 6ab = 2a^2 + 2b^2 + 2ab \)
\( 2a^2 + 2b^2 - 4ab = 0 \)
\( a^2 + b^2 - 2ab = 0 \)
\( (a - b)^2 = 0 \)
\( a = b \)
Verilen ikinci dereceden denklemin kökleri birbirine eşitse, yani denklemin çift katlı bir kökü varsa deltası (diskriminantı) sıfırdır.
\( \Delta = 0 \) bulunur.
SORU 13:
\( m, n, x \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( x^2 - 2m = n \)
\( x + m + n = 0 \)
denklem sisteminin \( x \) değişkeni için çözüm kümesi tek elemanlı olduğuna göre, \( n \) kaçtır?
Çözümü Göster
Birinci denklemdeki \( n \)'nin eşitini ikinci denklemde yerine koyalım.
\( x + m + x^2 - 2m = 0 \)
\( x^2 + x - m = 0 \)
Bu ikinci dereceden denklemin çözüm kümesi tek elemanlı ise deltası sıfır olmalıdır.
\( \Delta = b^2 - 4ac = 0 \)
\( a = 1, \quad b = 1, \quad c = -m \)
\( 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-m) = 0 \)
\( m = -\dfrac{1}{4} \)
İkinci dereceden denklem aşağıdaki gibi olur.
\( x^2 + x + \dfrac{1}{4} = 0 \)
\( (x + \dfrac{1}{2})^2 = 0 \)
\( x = -\dfrac{1}{2} \)
\( x \) ve \( m \) değerlerini ikinci denklemde yerine koyalım.
\( -\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4} + n = 0 \)
\( n = \dfrac{3}{4} \) olarak bulunur.
SORU 14:
\( m \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( 4x^2 - mx + 9 = 0 \) denkleminin reel kökü yoktur.
\( x^2 + (m - 8)x + 1 = 0 \) denkleminin 2 farklı reel kökü vardır.
Buna göre \( m \)'nin alabileceği kaç değer vardır?
Çözümü Göster
Verilen iki denklemi ayrı ayrı inceleyelim.
Birinci denklemin reel kökü yoksa denklemin deltası sıfırdan küçüktür.
\( \Delta = b^2 - 4ac \lt 0 \)
\( a = 4, \quad b = -m, \quad c = 9 \)
\( (-m)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 \lt 0 \)
\( m^2 - 144 \lt 0 \)
\( (m - 12)(m + 12) \lt 0 \)
\( m \in (-12, 12) \)
İkinci denklemin iki farklı reel kökü varsa denklemin deltası sıfırdan büyüktür.
\( \Delta = b^2 - 4ac \gt 0 \)
\( a = 1, \quad b = m - 8, \quad c = 1 \)
\( (m - 8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 \gt 0 \)
\( m^2 - 16m + 60 \gt 0 \)
\( (m - 6)(m - 10) \gt 0 \)
\( m \in (-\infty, 6) \cup (10, +\infty) \)
\( m \) çözüm kümesi bulduğumuz iki aralığın kesişim kümesidir.
\( m \in (-12, 6) \cup (10, 12) \)
\( m \)'nin \( (-12, 6) \) aralığında alabileceği \( \frac{5 - (-11)}{1} + 1 = 17 \) farklı tam sayı değer vardır.
\( m \)'nin \( (10, 12) \) aralığında alabileceği 1 tam sayı değer vardır.
Buna göre \( m \)'nin alabileceği \( 17 + 1 = 18 \) farklı tam sayı değer bulunur.
SORU 15:
\( 2x^4 + 6kx^2 + 3k + 40 = 0 \) denklemi veriliyor.
\( k \)'nın hangi değer aralığı için yukarıdaki denklemin birbirinden farklı iki reel kökü vardır?
Çözümü Göster
\( 2(x^2)^2 + 6kx^2 + 3k + 40 = 0 \)
\( x^2 = t \) şeklinde değişken değiştirelim.
\( 2t^2 + 6kt + 3k + 40 = 0 \)
Soruda verilen denklemin iki durumda iki reel kökü olabilir.
Durum 1: \( t \) değişkenine bağlı denklemin bir pozitif bir negatif kökü vardır. \( t \)'nin negatif değeri için \( x \)'in geçerli bir çözümü olmaz. \( t \)'nin pozitif değeri için \( x \)'in simetrik iki reel kökü olur.
\( t \)'li denklemin bir pozitif bir negatif kökü olmasının koşulu deltasının pozitif ve kökler çarpımının negatif olmasıdır.
\( \Delta = b^2 - 4ac \gt 0 \)
\( a = 2, \quad b = 6k, \quad c = 3k + 40 \)
\( 36k^2 - 4 \cdot 2 \cdot (3k + 40) \gt 0 \)
\( 36k^2 - 24k - 320 \gt 0 \)
\( 9k^2 - 6k - 80 \gt 0 \)
\( (3k + 8)(3k - 10) \gt 0 \)
\( k \in (-\infty, -\frac{8}{3}) \cup (\frac{10}{3}, +\infty) \)
Kökler çarpımının negatif olma koşulunu kontrol edelim.
\( \dfrac{c}{a} = \dfrac{3k + 40}{2} \lt 0 \)
\( k \lt -\dfrac{40}{3} \)
1. durum için gerekli koşul yukarıda bulduğumuz iki aralığın kesişim kümesidir.
\( k \in (-\infty, -\frac{40}{3}) \)
Durum 2: \( t \) değişkenine bağlı denklemin tek (çift katlı) ve pozitif bir kökü vardır. \( t \)'nin bu pozitif değeri için \( x \)'in simetrik iki reel kökü olur.
Bu denklemin tek kökü olması için deltası sıfır olmalıdır. Yukarıda bulduğumuz delta değerini sıfıra eşitleyelim.
\( 9k^2 - 6k - 80 = 0 \)
\( (3k + 8)(3k - 10) = 0 \)
\( k = -\dfrac{8}{3} \) ya da \( k = \dfrac{10}{3} \)
Bu iki değer için \( t \)'li denklemin tek kökünün pozitif olup olmadığını kontrol edelim.
\( k = -\dfrac{8}{3} \) için:
\( 2t^2 + 6(-\dfrac{8}{3})t + 3(-\dfrac{8}{3}) + 40 = 0 \)
\( 2t^2 - 16t + 32 = 0 \)
\( t^2 - 8t + 16 = 0 \)
\( (t - 4)^2 = 0 \)
\( t = 4 \)
\( t \) değeri pozitif olduğu için \( x \)'in iki reel kökü olur.
Çözüm kümesi: \( x \in \{-2, 2\} \)
\( k = \dfrac{10}{3} \) için:
\( 2t^2 + 6(\dfrac{10}{3})t + 3(\dfrac{10}{3}) + 40 = 0 \)
\( 2t^2 + 20t + 50 = 0 \)
\( t^2 + 10t + 25 = 0 \)
\( (t + 5)^2 = 0 \)
\( t = -5 \)
\( t \) değeri negatif olduğu için \( x \)'in geçerli bir çözümü yoktur.
Buna göre \( k \)'nın aşağıdaki değer aralığı için verilen denklemin birbirinden farklı iki reel kökü vardır.
\( k \in (-\infty, -\frac{40}{3}) \cup \{-\frac{8}{3}\} \)
SORU 16:
\( a, b, c \in \mathbb{R}, a \ne 0 \) olmak üzere,
\( ax^2 + bx + c = 0 \) denkleminin katsayıları arasında \( 6b^2 = 25ac \) bağıntısı veriliyor.
Buna göre denklemin büyük kökünün küçük köküne oranı kaçtır?
Çözümü Göster
İkinci dereceden denklemlerin kök formülünü hatırlayalım.
\( \Delta = b^2 - 4ac \) olmak üzere,
\( x_{1, 2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \)
Soruda verilen bağıntıyı düzenleyelim.
\( 6b^2 = 25ac \)
\( ac = \dfrac{6b^2}{25} \)
Bu değeri delta formülünde yerine yazalım.
\( \Delta = b^2 - 4(\dfrac{6b^2}{25}) = \dfrac{b^2}{25} \)
Bu delta değerini kök formüllerinde yerine yazalım.
\( x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\frac{b^2}{25}}}{2a} \)
\( = \dfrac{-b - \frac{b}{5}}{2a}= -\dfrac{3b}{5a} \)
\( x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\frac{b^2}{25}}}{2a} \)
\( = \dfrac{-b + \frac{b}{5}}{2a}= -\dfrac{2b}{5a} \)
Köklerin birbirine oranını bulalım.
\( \dfrac{x_1}{x_2} = \dfrac{-\frac{3b}{5a}}{-\frac{2b}{5a}} = \dfrac{3}{2} \) bulunur.
SORU 17:
\( b, c \in \mathbb{N} \) olmak üzere,
\( x^2 + 5x + 7 = 0 \) ve \( 3x^2 + bx + c = 0 \)
ikinci dereceden denklemlerinin en az bir kökü ortak olduğuna göre, \( b + c \) kaçtır?
Çözümü Göster
\( x^2 + 5x + 7 = 0 \) denkleminin deltası sıfırdan küçük olduğu için kökleri reel sayı değildir.
\( \Delta = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = -3 \lt 0 \)
Bir kökü karmaşık sayı olan reel katsayılı ikinci dereceden denklemin diğer kökü de karmaşıktır ve birinci kökün eşleniğidir.
İkinci denklemin bir kökü birinci denklem ile ortaksa ikinci denklemin de karmaşık bir kökü vardır, bu durumda ikinci kökü de karmaşıktır ve birinci denklemin ikinci kökü ile aynıdır.
Buna göre iki denklemin iki kökü de karmaşıktır ve ortaktır.
İki kökü de ortak olan iki denklemin tüm katsayılarının oranı birbirine eşittir.
\( \dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{b} = \dfrac{7}{c} = k \)
Ayrı ayrı çözüm yaparak istenen değerleri bulalım.
\( \dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{b} \)
\( b = 15 \)
\( \dfrac{1}{3} = \dfrac{7}{c} \)
\( c = 21 \)
\( b + c = 15 + 21 = 36 \) olarak bulunur.