İkinci Dereceye İndirgenebilen Denklemler
\( ax^2 + bx + c = 0 \) formunda olmayan bazı denklemler değişken değiştirme yöntemi ile ikinci dereceden denkleme dönüştürülebilir ve incelediğimiz yöntemlerden biri ile (çarpanlara ayırma, tam kareye tamamlama vb.) çözülebilir.
\( x^4 - 13x^2 + 36 = 0 \) denkleminin çözüm kümesini bulalım.
Denklemi düzenleyelim.
\( (x^2)^2 - 13x^2 + 36 = 0 \)
\( x^2 = t \) şeklinde değişken değiştirelim.
\( t^2 - 13t + 36 = 0 \)
İfadeyi çarpanlarına ayıralım.
\( (t - 4)(t - 9) = 0 \)
\( t = 4 \) ya da \( t = 9 \)
\( t = 4 = x^2 \Longrightarrow x \in \{ \pm 2 \} \)
\( t = 9 = x^2 \Longrightarrow x \in \{ \pm 3 \} \)
Denklemin çözüm kümesi her durum için bulduğumuz çözümlerin birleşiminden oluşur.
Çözüm kümesi: \( x \in \{ \pm 2, \pm 3 \} \)
\( x^4 - 13x^2 + 36 = 0 \) denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözümü GösterTerimler 2. ve 4. dereceden olduğu için değişken değiştirerek denklemi ikinci dereceden bir denkleme dönüştürebiliriz.
\( (x^2)^2 - 13x^2 + 36 = 0 \)
\( x^2 = t \) şeklinde değişken değiştirelim.
\( t^2 - 13t + 36 = 0 \)
Denklemi çarpanlarına ayıralım.
\( (t - 4)(t - 9) = 0 \)
Bu eşitlik iki durumda sağlanır.
Durum 1:
\( t - 4 = 0 \)
\( t = 4 = x^2 \)
\( x = \pm 2 \)
Durum 2:
\( t - 9 = 0 \)
\( t = 9 = x^2 \)
\( x = \pm 3 \)
Denklemin çözüm kümesi her durum için bulduğumuz çözümlerin birleşiminden oluşur.
Çözüm kümesi: \( x \in \{ -3, -2, 2, 3 \} \)
\( x^6 + 7x^3 - 8 = 0 \) denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözümü GösterTerimler 3. ve 6. dereceden olduğu için değişken değiştirerek denklemi ikinci dereceden bir denkleme dönüştürebiliriz.
\( (x^3)^2 + 7x^3 - 8 = 0 \)
\( x^3 = t \) şeklinde değişken değiştirelim.
\( t^2 + 7t - 8 = 0 \)
Denklemi çarpanlarına ayıralım.
\( (t + 8)(t - 1) = 0 \)
Bu eşitlik iki durumda sağlanır.
Durum 1:
\( t + 8 = 0 \)
\( t = -8 = x^3 \)
\( x = -2 \)
Durum 2:
\( t - 1 = 0 \)
\( t = 1 = x^3 \)
\( x = 1 \)
Denklemin çözüm kümesi her durum için bulduğumuz çözümlerin birleşiminden oluşur.
Çözüm kümesi: \( x \in \{ -2, 1 \} \)
\( x \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( \sqrt{x - 4} - \dfrac{3}{\sqrt{x - 4}} = 2 \) denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözümü Göster\( \sqrt{x - 4} = t \) şeklinde değişken değiştirelim.
\( t - \dfrac{3}{t} = 2 \)
\( t^2 - 3 = 2t \)
\( t^2 - 2t - 3 = 0 \)
Denklemi çarpanlarına ayıralım.
\( (t + 1)(t - 3) = 0 \)
Bu eşitlik iki durumda sağlanır.
Durum 1:
\( t + 1 = 0 \)
\( t = -1 = \sqrt{x - 4} \)
Karekök ifadesinin sonucu reel sayılarda negatif olamayacağı için bu durumda geçerli bir çözüm yoktur.
Durum 2:
\( t - 3 = 0 \)
\( t = 3 = \sqrt{x - 4} \)
\( x - 4 = 9 \)
\( x = 13 \)
Çözüm kümesi: \( x = 13 \)
\( 4^x - 7 \cdot 2^x - 8 = 0 \) denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözümü Göster\( (2^x)^2 - 7 \cdot 2^x - 8 = 0 \)
\( 2^x = t \) şeklinde değişken değiştirelim.
\( t^2 - 7t - 8 = 0 \)
Denklemi çarpanlarına ayıralım.
\( (t + 1)(t - 8) = 0 \)
Bu eşitlik iki durumda sağlanır.
Durum 1:
\( t + 1 = 0 \)
\( t = -1 = 2^x \)
\( 2^x \) ifadesinin değeri negatif olamayacağı için bu durumda geçerli bir çözüm yoktur.
Durum 2:
\( t - 8 = 0 \)
\( t = 8 = 2^x \)
\( x = 3 \)
Denklemin çözüm kümesi her durum için bulduğumuz çözümlerin birleşiminden oluşur.
Çözüm kümesi: \( x = 3 \)
\( 4x^{-2} - x^{-4} - 3 = 0 \) denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözümü Göster\( x^{-4} - 4x^{-2} + 3 = 0 \)
\( (x^{-2})^2 - 4x^{-2} + 3 = 0 \)
\( x^{-2} = t \) şeklinde değişken değiştirelim.
\( t^2 - 4t + 3 = 0 \)
Denklemi çarpanlarına ayıralım.
\( (t - 1)(t - 3) = 0 \)
Bu eşitlik iki durumda sağlanır.
Durum 1:
\( t - 1 = 0 \)
\( t = 1 = x^{-2} \)
\( x^2 = 1 \)
\( x = \pm 1 \)
Durum 2:
\( t - 3 = 0 \)
\( t = 3 = x^{-2} \)
\( x^2 = \dfrac{1}{3} \)
\( x = \pm \dfrac{\sqrt{3}}{3} \)
Denklemin çözüm kümesi her durum için bulduğumuz çözümlerin birleşiminden oluşur.
Çözüm kümesi: \( x \in \left\{ -1, -\dfrac{\sqrt{3}}{3}, \dfrac{\sqrt{3}}{3}, 1 \right\} \)
\( (2x^2 - 3x)^2 - 7(2x^2 - 3x) + 10 = 0 \) denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözümü Göster\( 2x^2 - 3x = t \) şeklinde değişken değiştirelim.
\( t^2 - 7t + 10 = 0 \)
Denklemi çarpanlarına ayıralım.
\( (t - 2)(t - 5) = 0 \)
Bu eşitlik iki durumda sağlanır.
Durum 1:
\( t - 2 = 0 \)
\( t = 2 = 2x^2 - 3x \)
\( 2x^2 - 3x - 2 = 0 \)
Denklemi çarpanlarına ayıralım.
\( (2x + 1)(x - 2) = 0 \)
\( x = -\dfrac{1}{2} \) ya da \( x = 2 \)
Durum 2:
\( t - 5 = 0 \)
\( t = 5 = 2x^2 - 3x \)
\( 2x^2 - 3x - 5 = 0 \)
Denklemi çarpanlarına ayıralım.
\( (2x - 5)(x + 1) = 0 \)
\( x = -1 \) ya da \( x = \dfrac{5}{2} \)
Denklemin çözüm kümesi her durum için bulduğumuz çözümlerin birleşiminden oluşur.
Çözüm kümesi: \( x \in \left\{ -1, -\dfrac{1}{2}, 2, \dfrac{5}{2} \right\} \)
\( 5\sqrt[10]{x} + 6\sqrt[5]{x} = 6 \) denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözümü Göster\( 6\sqrt[5]{x} + 5\sqrt[10]{x} - 6 = 0 \)
\( 6(\sqrt[10]{x})^2 + 5\sqrt[10]{x} - 6 = 0 \)
\( \sqrt[10]{x} = t \) şeklinde değişken değiştirelim.
\( 6t^2 + 5t - 6 = 0 \)
Denklemi çarpanlarına ayıralım.
\( (3t - 2)(2t + 3) = 0 \)
Bu eşitlik iki durumda sağlanır.
Durum 1:
\( 3t - 2 = 0 \)
\( t = \dfrac{2}{3} = \sqrt[10]{x} \)
\( x = \left( \dfrac{2}{3} \right)^{10} \)
Durum 2:
\( 2t + 3 = 0 \)
\( t = -\dfrac{3}{2} = \sqrt[10]{x} \)
Çift dereceli bir köklü ifadenin değeri negatif olamayacağı için bu durumda geçerli bir çözüm yoktur.
Denklemin çözüm kümesi her durum için bulduğumuz çözümlerin birleşiminden oluşur.
Çözüm kümesi: \( x = \left( \dfrac{2}{3} \right)^{10} \)