İkinci Dereceden Denklemleri Çarpanlarına Ayırma

Yukarıdaki bahsettiğimiz yöntemi bu ifadeye uygulayalım.

Çarpanlara ayırma yönteminin 4. adımında bahsettiğimiz doğrulamayı uyguladığımızda (\( 3x \cdot (-6y) + x \cdot y = -17xy \ne 7xy \)), yaptığımız çarpanlara ayırma işleminin bize ilk satırdaki üç terimli ifadenin ikinci terimini vermediğini görüyoruz. Bu durumda aşağıda işlemi farklı çarpanlarla tekrar deneyelim.

Bu çarpanların (\( 3x \cdot 3y + x \cdot (-y) = 7xy \)) bize ikinci terimi verdiğini görüyoruz. Dolayısıyla verilen üç terimli ifadeyi aşağıdaki şekilde çarpanlarına ayırmış oluyoruz.

\( 3x^2 + 7xy - 6y^2 \) \( = (3x - 2y)(x + 3y) \)

Yukarıdaki bahsettiğimiz yöntemi bu ifadeye uygulayalım.

Birinci terimi \( x \) ve \( x \) şeklinde, üçüncü terimi de \( +7 \) ve \( -3 \) şeklinde çarpanlarına ayırdığımızda, çapraz çarpımların toplamının ikinci terime eşit olduğunu görürüz (\( x \cdot (-3) + x \cdot 7 = 4x \)). Dolayısıyla, verilen ikinci derece ifadeyi aşağıdaki gibi çarpanlarına ayırmış oluyoruz.

\( x^2 + 4x - 21 \) \( = (x + 7)(x - 3) \)

Yukarıdaki bahsettiğimiz yöntemi bu ifadeye uygulayalım.

Birinci terimi \( 2x \) ve \( x \) şeklinde, üçüncü terimi de \( +7 \) ve \( -2 \) şeklinde çarpanlarına ayırdığımızda, çapraz çarpımların toplamının ikinci terime eşit olduğunu görürüz (\( 2x \cdot (-2) + x \cdot 7 = 3x \)). Dolayısıyla, verilen ikinci derece ifadeyi aşağıdaki gibi çarpanlarına ayırmış oluruz.

\( 2x^2 + 3x - 14 \) \( = (2x + 7)(x - 2) \)

Yukarıdaki bahsettiğimiz yöntemi bu ifadeye uygulayalım.

Birinci terimi \( 4x \) ve \( x \) şeklinde, üçüncü terimi de \( -3 \) ve \( +5 \) şeklinde çarpanlarına ayırdığımızda, çapraz çarpımların toplamının ikinci terime eşit olduğunu görürüz (\( 4x \cdot 5 + x \cdot (-3) = 17x \)). Dolayısıyla, verilen ikinci derece ifadeyi aşağıdaki gibi çarpanlarına ayırmış oluruz.

\( 4x^2 + 17x - 15 \) \( = (4x - 3)(x + 5) \)

Önce paydayı çarpanlarına ayıralım.

\( \dfrac{x^2 - 5x + m}{(x - 2)(x + 2)} \)

İfade sadeleşebildiğine göre, payda bulunan ifadenin bir çarpanı \( (x - 2) \) ya da \( (x + 2) \) olmalıdır.

Sadeleşen çarpanın \( (x - 2) \) olduğunu varsayalım.

\( \quad (x - 2)(x - a) = x^2 - 5x + m \)

Yukarıdaki ifadede kökler toplamı olarak \( -5x \)'i elde etmek için \( a = 3 \) olmalıdır, bu durumda da kökler çarpımı \( m = 6 \) olur.

Sadeleşen çarpanın \( (x + 2) \) olduğunu varsayalım.

\( \quad (x + 2)(x - b) = x^2 - 5x + m \)

Yukarıdaki ifadede kökler toplamı olarak \( -5x \)'i elde etmek için \( b = 7 \) olmalıdır, bu durumda da kökler çarpımı \( m = -14 \) olur.

Buna göre \( m \)'nin alabileceği değerler \( 6 \) ve \( -14 \) olur.

İfadeyi çarpanlarına ayıralım.

\( \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{2x}{3} = 0 \)

\( x(\dfrac{x}{2} + \dfrac{2}{3}) = 0 \)

Denklemin birinci kökü:

\( x_1 = 0 \)

Denklemin ikinci kökü:

\( \dfrac{x}{2} + \dfrac{2}{3} = 0 \)

\( \dfrac{3x + 4}{6} = 0 \)

\( x_2 = -\dfrac{4}{3} \)

Buna göre denklemin çözüm kümesi aşağıdaki gibi olur.

Çözüm kümesi \( = \{ -\dfrac{4}{3}, 0 \} \)

İfadeyi çarpanlarına ayıralım.

\( 3x^2 + 7x + 2 = 0 \)

\( (3x + 1)(x + 2) = 0 \)

Denklemin birinci kökü:

\( 3x + 1 = 0 \)

\( x_1 = -\dfrac{1}{3} \)

Denklemin ikinci kökü:

\( x + 2 = 0 \)

\( x_2 = -2 \)

Buna göre denklemin çözüm kümesi aşağıdaki gibi olur.

Çözüm kümesi \( = \{ -2, -\dfrac{1}{3} \} \)

Denklemin tüm kökleri denklemi sağlayacağı için denklemde \( x = -1 \) yazalım.

\( (-1)^2 - (2m)(-1) - m - 3 = 0 \)

\( 1 + 2m - m - 3 = 0 \)

\( m = 2 \)

Buna göre denklem aşağıdaki gibi olur.

\( x^2 - 4x - 5 = 0 \)

\( (x - 5)(x + 1) = 0 \)

Denklemin kökleri \( x = 5 \) ve \( x = -1 \) olduğu için diğer kök 5 olur.

Üç terimli ifadedeki değişkenler \( x^4 \) ve \( x^2 \) olduğu için \( x^2 = t \) dönüşümü uygulayarak ifadeyi ikinci dereceden bir denkleme dönüştürelim.

\( (x^2)^2 - 13x^2 + 36 = 0 \)

\( t^2 - 13t + 36 = 0 \)

\( (t - 9)(t - 4) = 0 \)

\( t_1 = 9 \) ve \( t_2 = 4 \)

Bu denklemin \( t \) kök değerlerini kullanarak orijinal denklemin \( x \) kök değerlerini bulalım.

\( t_1 = x^2 = 9 \Longrightarrow x = \pm 3 \)

\( t_2 = x^2 = 4 \Longrightarrow x = \pm 2 \)

Çözüm kümesi \( = \{ -3, -2, 2, 3 \} \)

Üç terimli ifadedeki değişkenler \( x^6 \) ve \( x^3 \) olduğu için \( x^3 = t \) dönüşümü uygulayarak ifadeyi ikinci dereceden bir denkleme dönüştürelim.

\( (x^3)^2 + 7x^3 - 8 = 0 \)

\( t^2 + 7t - 8 = 0 \)

\( (t + 8)(t - 1) = 0 \)

\( t_1 = -8 \) ve \( t_2 = 1 \)

Bu denklemin \( t \) kök değerlerini kullanarak orijinal denklemin \( x \) kök değerlerini bulalım.

\( t_1 = x^3 = -8 \Longrightarrow x = -2 \)

\( t_2 = x^3 = 1 \Longrightarrow x = 1 \)

Çözüm kümesi \( = \{ -2, 1 \} \)

Verilen denkleme \( \dfrac{4x + 2}{x + 1} = t \) dönüşümü uygulayalım.

\( t + 3 \cdot \dfrac{1}{t} = 4 \)

\( t^2 - 4t + 3 = 0 \)

\( (t - 3)(t - 1) = 0 \)

\( t_1 = 3 \) ve \( t_2 = 1 \)

Bu denklemin \( t \) kök değerlerini kullanarak orijinal denklemin \( x \) kök değerlerini bulalım.

\( t_1 = \dfrac{4x + 2}{x + 1} = 3 \)

\( 4x + 2 = 3x + 3 \)

\( x = 1 \)

\( t_2 = \dfrac{4x + 2}{x + 1} = 1 \)

\( 4x + 2 = x + 1 \)

\( x = -\dfrac{1}{3} \)

Çözüm kümesi \( = \{ -\frac{1}{3}, 1 \} \)

\( 7^x = a \) ve \( 3^y = b \) olsun.

\( a(a - 14) + b(b - 6) + 58 = 0 \)

\( a^2 - 14a + b^2 - 6b + 58 = 0 \)

İki tam kare ifade elde etmek için verilen denklemde 58 sayısını 49 + 9 şeklinde ayrı ayrı yazalım.

\( a^2 - 14a + 49 + b^2 - 6b + 9 = 0 \)

\( (a - 7)^2 + (b - 3)^2 = 0 \)

İki tam kare ifadenin toplamının sıfır olması için tam kare ifadeler sıfır olmalıdır.

\( a = 7 \) ve \( b = 3 \)

\( a = 7 \) için,

\( 7^x = a = 7 \Longrightarrow x = 1 \)

\( b = 3 \) için,

\( 3^y = b = 3^1 \Longrightarrow y = 1 \)

\( x \cdot y = 1 \cdot 1 = 1 \) bulunur.

İki tam kare ifade elde etmek için verilen denklemde 41 sayısını 16 + 25 şeklinde ayrı ayrı yazalım.

\( x^2 - 8x + 16 + y^2 + 10y + 25 = 0 \)

\( (x - 4)^2 + (y + 5)^2 = 0 \)

İki tam kare ifadenin toplamının sıfır olması için tam kare ifadeler sıfır olmalıdır.

\( x - 4 = 0 \) ve \( y + 5 = 0 \)

\( x = 4 \) ve \( y = -5 \)

Çözüm kümesi \( (x, y) = (4, -5) \)

Bu tür denklemleri ortak çarpan parantezine alarak ya da gruplandırma yaparak çarpanlarına ayırmayı deneyebiliriz. Daha sonra elde edilen çarpanların kökleri bulunarak çözüm kümesi elde edilir.

\( x^2(3x + 5) - 4(3x + 5) = 0 \)

\( (3x + 5)(x^2 - 4) = 0 \)

\( (3x + 5)(x - 2)(x + 2) = 0 \)

\( 3x + 5 = 0 \) veya \( x - 2 = 0 \) veya \( x + 2 = 0 \)

Çözüm kümesi \( = \{ -2, -\dfrac{5}{3}, 2 \} \)

Denklemin çözüm kümesi payı sıfır yapan ama paydayı sıfır yapmayan değerlerden oluşur.

\( (x^2 + x - 6)(x - 5) = 0 \) ve \( x^2 - 3x + 2 \ne 0 \)

\( (x^2 + x - 6)(x - 5) = 0 \)

\( (x + 3)(x - 2)(x - 5) = 0 \)

\( x + 3 = 0 \) veya \( x - 2 = 0 \) veya \( x - 5 = 0 \)

\( x = -3 \) veya \( x = 2 \) veya \( x = 5 \)

\( x^2 - 3x + 2 \ne 0 \)

\( (x - 2)(x - 1) \ne 0 \)

\( x - 2 \ne 0 \) ve \( x - 1 \ne 0 \)

\( x \ne 2 \) ve \( x \ne 1 \)

Payı sıfır yapan değerlerden \( x = 2 \) paydayı da sıfır yaptığı için çözüm kümesine dahil edilemez.

Çözüm kümesi \( = \{ -3, 5 \} \)

Bu tür denklemleri ortak çarpan parantezine alarak ya da gruplandırma yaparak çarpanlarına ayırmayı deneyebiliriz. Daha sonra elde edilen çarpanların kökleri bulunarak çözüm kümesi elde edilir.

\( x^3 - x^2 - x + 1 = 0 \)

\( x^2(x - 1) - (x - 1) = 0 \)

İfadeyi \( x - 1 \) parantezine alalım.

\( (x - 1)(x^2 - 1) = 0 \)

\( (x - 1)(x - 1)(x + 1) = 0 \)

Buna göre denklemin çözümü aşağıdaki gibi olur.

Çözüm kümesi \( = \{ -1, 1 \} \)

\( x + y = 3 \Longrightarrow y = 3 - x \) değerini ilk denklemde yerine yazalım.

\( x^2 + x(3 - x) + (3 - x)^2 - 7 = 0 \)

\( x^2 + 3x - x^2 + 9 - 6x + x^2 - 7 = 0 \)

\( x^2 - 3x + 2 = 0 \)

\( (x - 2)(x - 1) = 0 \)

\( x_1 = 2 \) veya \( x_2 = 1 \)

Bulunan \( x \) değerlerini \( x + y = 3 \) denkleminde yerine yazarsak \( y \) değerini buluruz.

\( x_1 = 2 \Longrightarrow y_1 = 3 - 2 = 1 \)

\( x_2 = 1 \Longrightarrow y_2 = 3 - 1 = 2 \)

Sistemin çözüm kümesi aşağıdaki gibi olur.

Çözüm kümesi \( = \{ (2, 1), (1, 2) \} \)

\( xy = 0 \) ise,

\( x = 0 \) veya \( y = 0 \)

\( x = 0 \) ise,

\( 0^2 + y - 9 = 0 \)

\( y = 9 \)

\( y = 0 \) ise,

\( x^2 + 0 - 9 = 0 \)

\( (x - 3)(x + 3) = 0 \)

\( x = 3 \) veya \( x = -3 \)

Sistemin çözüm kümesi aşağıdaki gibi olur.

Çözüm kümesi: \( (x, y) = \{ (0, 9), (-3, 0),(3, 0) \} \)