İkinci Dereceden Denklemleri Çarpanlarına Ayırma
Çarpanlara ayırma yönteminde denklemin tüm terimleri tek tarafta toplanır ve ifade sıfıra eşitlenir, daha sonra ifade (ayrılabiliyorsa) çarpanlarına ayrılır. Her bir çarpanı sıfır yapan \( x \) değerleri denklemin birer çözümüdür.
\( ax^2 + bx + c = 0 \) ikinci dereceden denklemi,
\( a(x - x_1)(x - x_2) = 0 \) şeklinde çarpanlarına ayrılıyorsa,
bu denklemin çözümleri her bir çarpanı sıfır yapan \( x \) değerleridir.
Çözüm kümesi: \( \{ x_1, x_2 \} \)
İkinci dereceden denklemleri çarpanlarına ayırmada kullanılabilecek bazı yöntemler aşağıda detaylandırılmıştır.
\( x^2 - k^2 = 0 \) Formundaki Denklemler
\( k \) sıfırdan farklı bir reel sayı olmak üzere, \( x^2 − k^2 = 0 \) formundaki denklemler kare farkı özdeşliği kullanılarak çarpanlarına ayrılabilir. Bu denklemlerin zıt işaretli iki reel kökü vardır.
\( k \in \mathbb{R} - \{0\} \) olmak üzere,
\( x^2 - k^2 = 0 \)
\( (x - k)(x + k) = 0 \)
Çözüm kümesi: \( \{-k, k\} \)
\( 4x^2 - 9 = 0 \)
\( (2x)^2 - 3^2 = 0 \)
\( (2x - 3)(2x + 3) = 0 \)
Çözüm kümesi: \( \left\{ -\dfrac{3}{2}, \dfrac{3}{2} \right\} \)
\( ax^2 + bx = 0 \) Formundaki Denklemler
Denklemin sabit terimi sıfır ise sol taraftaki ifade \( x \) parantezine alınarak çarpanlarına ayrılabilir. Bu durumda denklemin çözümlerinden biri 0 olur.
\( ax^2 + bx = 0 \)
\( x(ax + b) = 0 \)
Çözüm kümesi: \( \left\{ 0, -\dfrac{b}{a} \right\} \)
\( x^2 - 6x = 0 \)
\( x(x - 6) = 0 \)
Çözüm kümesi: \( \{0, 6\} \)
Tam Kare İfadeler
Denklemin sol tarafı bir tam kare ifade ise bu ifade bir parantezin karesi biçiminde yazılarak denklem çözülür. Bu tür denklemlerin tek bir (iki katlı) reel kökü vardır.
\( x^2 + 2cx + c^2 = 0 \) bir tam kare ifade olduğundan,
\( (x + c)^2 = 0 \)
Çözüm kümesi: \( \{-c\} \)
\( x^2 - 2cx + c^2 = 0 \) bir tam kare ifade olduğundan,
\( (x - c)^2 = 0 \)
Çözüm kümesi: \( \{c\} \)
\( x^2 + 6x + 9 = 0 \)
\( (x + 3)^2 = 0 \)
Çözüm kümesi: \( \{-3\} \)
3 Terimli İfadeler
Tam kare olmayan üç terimli bir ifadeyi çarpanlarına ayırmak için aşağıdaki yöntem kullanılabilir.
Üç terimli ifade: \( 2x^2 - x - 3 \)
- Önce çarpanlarına ayrılmak istenen üç terimli ifade ilk satıra yazılır (\( 2x^2 - x - 3 \)).
- Birinci terim uygun iki çarpanına ayrılıp altındaki iki satıra yazılır (\( 2x^2 = 2x \cdot x \)).
- Benzer şekilde üçüncü terim de uygun iki çarpanına ayrılıp altındaki iki satıra yazılır (\( -3 = (-3) \cdot 1 \)).
- Bu iki terim çarpanlarına ayrılırken çapraz oklarla gösterilen ifadelerin çarpımlarının toplamının, verilen ifadenin ikinci terimine (\( -x \)) eşitliği sağlanmalıdır (\( 2x \cdot 1 + x \cdot (-3) = -x \)). Bu eşitlik sağlanmıyorsa ikinci ve üçüncü adımlar farklı çarpanlarla tekrarlanır.
- Bu örnekte önceki adımdaki koşulun sağlandığını görüyoruz. Koşul sağlandığında, aynı satırdaki terimler toplanarak iki çarpan oluşturulur (\( (2x - 3)(x + 1) \)).
\( 2x^2 - x - 3 = (2x - 3)(x + 1) \)
Bir çarpanlara ayırma işleminin çarpanları tekrar dağıtarak sağlamasını yapmak kolay ve önerilen bir işlemdir.
\( (2x - 3)(x + 1) = 2x^2 + 2x - 3x - 3 \)
\( = 2x^2 - x - 3 \)
Aşağıdaki örnekteki gibi yukarıdaki yöntemlerle çarpanlarına ayrılamayan ikinci dereceden bir denklemin kökleri, önümüzdeki iki bölümde göreceğimiz tam kareye tamamlama ve kök bulma formülü yöntemleriyle bulunabilir.
\( x^2 + x - 1 = 0 \)
Aşağıdaki ikinci dereceden ifadeleri çarpanlarına ayırınız.
(a) \( x^2 - 17x + 72 \)
(b) \( x^2 + 18x + 77 \)
(c) \( x^2 - 11x - 80 \)
(d) \( x^2 + 8x - 240 \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( x^2 - 17x + 72 \)
\( = (x - 8)(x - 9) \)
(b) seçeneği:
\( x^2 + 18x + 77 \)
\( = (x + 7)(x + 11) \)
(c) seçeneği:
\( x^2 - 11x - 80 \)
\( = (x + 5)(x - 16) \)
(d) seçeneği:
\( x^2 + 8x - 240 \)
\( = (x + 20)(x - 12) \)
Aşağıdaki ikinci dereceden ifadeleri çarpanlarına ayırınız.
(a) \( x^2 - 25x - 84 \)
(b) \( x^2 + 14x - 147 \)
(c) \( x^2 - 26x + 165 \)
(d) \( x^2 + 22x + 105 \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( x^2 - 25x - 84 \)
\( = (x + 3)(x - 28) \)
(b) seçeneği:
\( x^2 + 14x - 147 \)
\( = (x + 21)(x - 7) \)
(c) seçeneği:
\( x^2 - 26x + 165 \)
\( = (x - 11)(x - 15) \)
(d) seçeneği:
\( x^2 + 22x + 105 \)
\( = (x + 7)(x + 15) \)
Aşağıdaki ikinci dereceden ifadeleri çarpanlarına ayırınız.
(a) \( 2x^2 + 7x - 15 \)
(b) \( 3x^2 - 5x - 12 \)
(c) \( 6x^2 + 19x + 15 \)
(d) \( 4x^2 - 33x + 35 \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( 2x^2 + 7x - 15 \)
\( = (2x - 3)(x + 5) \)
(b) seçeneği:
\( 3x^2 - 5x - 12 \)
\( = (3x + 4)(x - 3) \)
(c) seçeneği:
\( 6x^2 + 19x + 15 \)
\( = (3x + 5)(2x + 3) \)
(d) seçeneği:
\( 4x^2 - 33x + 35 \)
\( = (4x - 5)(x - 7) \)
Aşağıdaki ikinci dereceden ifadeleri çarpanlarına ayırınız.
(a) \( -x^2 - 9x - 20 \)
(b) \( -5x^2 + 13x + 6 \)
(c) \( -9x^2 + 25 \)
(d) \( -4x^2 + 12x - 9 \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( -x^2 - 9x - 20 \)
\( = -(x^2 + 9x + 20) \)
\( = -(x + 4)(x + 5) \)
(b) seçeneği:
\( -5x^2 + 13x + 6 \)
\( = -(5x^2 - 13x - 6) \)
\( = -(5x + 2)(x - 3) \)
(c) seçeneği:
\( -9x^2 + 25 \)
\( = -(9x^2 - 25) \)
\( = -(3x - 5)(3x + 5) \)
(d) seçeneği:
\( -4x^2 + 12x - 9 \)
\( = -(4x^2 - 12x + 9) \)
\( = -(2x - 3)(2x - 3) \)
\( = -(2x - 3)^2 \)
\( x^2 - 2mx - m - 3 = 0 \) denkleminin bir kökü \( -1 \) olduğuna göre, diğer kökü nedir?
Çözümü Göster\( x = -1 \) denklemin bir kökü olduğuna göre denklemi sağlar.
\( (-1)^2 - 2m(-1) - m - 3 = 0 \)
\( 1 + 2m - m - 3 = 0 \)
\( m = 2 \)
Buna göre denklem aşağıdaki gibi olur.
\( x^2 - 4x - 5 = 0 \)
Denklemi çarpanlarına ayıralım.
\( (x + 1)(x - 5) = 0 \)
Denklemin çözüm kümesi her bir çarpanı sıfır yapan \( x \) değerlerinden oluşur.
Çözüm kümesi: \( \{ -1, 5 \} \)
Buna göre denklemin diğer kökü 5'tir.
Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz.
(a) \( \dfrac{x^2}{2} = \dfrac{2x}{3} \)
(b) \( 7x^2 = 3 - 20x \)
(c) \( 6x^2 - 6 = 5x \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( \dfrac{x^2}{2} = \dfrac{2x}{3} \)
Tüm terimleri eşitliğin sol tarafında toplayalım.
\( \dfrac{x^2}{2} - \dfrac{2x}{3} = 0 \)
İfadeyi çarpanlarına ayıralım.
\( x\left( \dfrac{x}{2} - \dfrac{2}{3} \right) = 0 \)
Denklemin çözüm kümesi her bir çarpanı sıfır yapan \( x \) değerlerinden oluşur.
Çözüm kümesi: \( \left\{ 0, \dfrac{4}{3} \right\} \)
(b) seçeneği:
\( 7x^2 = 3 - 20x \)
Tüm terimleri eşitliğin sol tarafında toplayalım.
\( 7x^2 + 20x - 3 = 0 \)
İfadeyi çarpanlarına ayıralım.
\( (7x - 1)(x + 3) = 0 \)
Denklemin çözüm kümesi her bir çarpanı sıfır yapan \( x \) değerlerinden oluşur.
Çözüm kümesi: \( \left\{ -3, \dfrac{1}{7} \right\} \)
(c) seçeneği:
\( 6x^2 - 6 = 5x \)
Tüm terimleri eşitliğin sol tarafında toplayalım.
\( 6x^2 - 5x - 6 = 0 \)
İfadeyi çarpanlarına ayıralım.
\( (3x + 2)(2x - 3) = 0 \)
Denklemin çözüm kümesi her bir çarpanı sıfır yapan \( x \) değerlerinden oluşur.
Çözüm kümesi: \( \left\{ -\dfrac{2}{3}, \dfrac{3}{2} \right\} \)
\( x^2 + kx + 16 - 4k = 0 \) denkleminin bir kökü \( 4 - k \) olduğuna göre, denklemin çözüm kümesini bulunuz.
Çözümü Göster\( x = 4 - k \) denklemin bir kökü olduğuna göre denklemi sağlar.
\( (4 - k)^2 + k(4 - k) + 16 - 4k = 0 \)
\( k^2 - 8k + 16 + 4k - k^2 + 16 - 4k = 0 \)
\( -8k + 32 = 0 \)
\( k = 4 \)
Verilen denklemde \( k = 4 \) yazalım.
\( x^2 + 4x + 16 - 4(4) = 0 \)
\( x^2 + 4x = 0 \)
Denklemi çarpanlarına ayıralım.
\( x(x + 4) = 0 \)
Denklemin çözüm kümesi her bir çarpanı sıfır yapan \( x \) değerlerinden oluşur.
Çözüm kümesi: \( \{ -4, 0 \} \)
Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz.
(a) \( \dfrac{4}{2x + 1} - \dfrac{1}{3x - 1} = 5 \)
(b) \( \dfrac{2x}{x - 2} - \dfrac{5x}{x - 3} = 0 \)
(c) \( \dfrac{2}{3x - 1} - \dfrac{4}{3x + 1} = \dfrac{3}{2} \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( \dfrac{4}{2x + 1} - \dfrac{1}{3x - 1} = 5 \)
Öncelikle paydaları sıfır yapan \( \{ -\frac{1}{2}, \frac{1}{3} \} \) değerlerinin denklemin bir çözümü olamayacağını not edelim.
\( \dfrac{4}{2x + 1} = 5 + \dfrac{1}{3x - 1} \)
\( \dfrac{4}{2x + 1} = \dfrac{15x - 4}{3x - 1} \)
İçler - dışlar çarpımı yapalım.
\( (2x + 1)(15x - 4) = 4(3x - 1) \)
\( 30x^2 - 8x + 15x - 4 = 12x - 4 \)
\( -30x^2 + 5x = 0 \)
Denklemi çarpanlarına ayıralım.
\( 5x(1 - 6x) = 0 \)
Denklemin çözüm kümesi her bir çarpanı sıfır yapan \( x \) değerlerinden oluşur.
Çözüm kümesi: \( \left\{ 0, \dfrac{1}{6} \right\} \)
(b) seçeneği:
\( \dfrac{2x}{x - 2} - \dfrac{5x}{x - 3} = 0 \)
Öncelikle paydaları sıfır yapan \( \{ 2, 3 \} \) değerlerinin denklemin bir çözümü olamayacağını not edelim.
\( \dfrac{2x}{x - 2} = \dfrac{5x}{x - 3} \)
İçler - dışlar çarpımı yapalım.
\( 2x(x - 3) = 5x(x - 2) \)
\( 2x^2 - 6x = 5x^2 - 10x \)
\( 4x - 3x^2 = 0 \)
Denklemi çarpanlarına ayıralım.
\( x(4 - 3x) = 0 \)
Denklemin çözüm kümesi her bir çarpanı sıfır yapan \( x \) değerlerinden oluşur.
Çözüm kümesi: \( \left\{ 0, \dfrac{4}{3} \right\} \)
(c) seçeneği:
\( \dfrac{2}{3x - 1} - \dfrac{4}{3x + 1} = \dfrac{3}{2} \)
Öncelikle paydaları sıfır yapan \( \{ -\frac{1}{3}, \frac{1}{3} \} \) değerlerinin denklemin bir çözümü olamayacağını not edelim.
\( \dfrac{2}{3x - 1} = \dfrac{3}{2} + \dfrac{4}{3x + 1} \)
\( \dfrac{2}{3x - 1} = \dfrac{9x + 11}{6x + 2} \)
İçler - dışlar çarpımı yapalım.
\( (3x - 1)(9x + 11) = 2(6x + 2) \)
\( 27x^2 + 33x - 9x - 11 = 12x + 4 \)
\( -27x^2 - 12x + 15 = 0 \)
\( -9x^2 - 4x + 5 = 0 \)
Denklemi çarpanlarına ayıralım.
\( -(9x - 5)(x + 1) = 0 \)
Denklemin çözüm kümesi her bir çarpanı sıfır yapan \( x \) değerlerinden oluşur.
Çözüm kümesi: \( \left\{ -1, \dfrac{5}{9} \right\} \)
Bir laptop tamamen şarj olduktan sonra saat cinsinden kullanım süresine bağlı olarak şarj düzeyini veren fonksiyon aşağıdaki gibidir.
\( C(t) = 100 - 21t - t^2 \)
Buna göre, laptopun şarjı kaç saat sonra tamamen biter?
Çözümü GösterLaptopın şarjı tamamen bittiğinde \( C(t) = 0 \) olur.
\( C(t) = 100 - 21t - t^2 = 0 \)
Eşitliğin taraflarını \( -1 \) ile çarpalım.
\( t^2 + 21t - 100 = 0 \)
Denklemi çarpanlarına ayıralım.
\( (t + 25)(t - 4) = 0 \)
Denklemin çözüm kümesi her bir çarpanı sıfır yapan \( x \) değerlerinden oluşur.
\( t \in \{ -25, 4 \} \)
\( t \) geçen süreyi ifade ettiği için negatif olamaz.
Buna göre laptopun şarjı 4. saat sonunda tamamen biter.
\( (x^4 - 24)^2 = 144 \) denkleminin reel köklerinin çarpımı kaçtır?
Çözümü Göster\( (x^4 - 24)^2 - 12^2 = 0 \)
Denklemi çarpanlarına ayıralım.
Kare farkı özdeşliğini kullanalım.
\( (x^4 - 24 - 12)(x^4 - 24 + 12) = 0 \)
\( (x^4 - 36)(x^4 - 12) = 0 \)
\( (x^2 - 6)(x^2 + 6)(x^2 - \sqrt{12})(x^2 + \sqrt{12}) = 0 \)
\( (x - \sqrt{6})(x + \sqrt{6})(x^2 + 6)(x - \sqrt[4]{12})(x + \sqrt[4]{12})(x^2 + \sqrt{12}) = 0 \)
3. ve 6. çarpanlar daha fazla çarpanlarına ayrılamaz ve reel kökleri yoktur.
Denklemin çözüm kümesi her bir birinci dereceden çarpanı sıfır yapan \( x \) değerlerinden oluşur.
Çözüm kümesi: \( \{ \pm \sqrt{6}, \pm \sqrt[]{12} \} \)
Bulduğumuz 4 kök değerinin çarpımını bulalım.
\( \sqrt{6} \cdot (-\sqrt{6}) \cdot \sqrt[4]{12} \cdot (-\sqrt[4]{12}) \)
\( = -6 \cdot (-\sqrt{12}) = 6 \cdot 2\sqrt{3} \)
\( = 12\sqrt{3} \) bulunur.
Nesli tükenmekte olan geyiklerin sayılarını çoğaltmak amacıyla 2015 yılında bir araziye 60 geyik bırakılmıştır.
\( t \) yıl sonunda arazideki geyik sayısını gösteren fonksiyon aşağıdaki gibidir.
\( P(t) = t^2 - 2t + 60 \)
Buna göre, kaçıncı yıl sonunda arazideki geyik sayısı 420 olur?
Çözümü GösterFonksiyon değerini 420'ye eşitleyelim.
\( P(t) = t^2 - 2t + 60 = 420 \)
\( t^2 - 2t - 360 = 0 \)
Denklemi çarpanlarına ayıralım.
\( (t + 18)(t - 20) = 0 \)
Denklemin çözüm kümesi her bir çarpanı sıfır yapan \( x \) değerlerinden oluşur.
\( t \in \{ -18, 20 \} \)
\( t \) geçen süreyi ifade ettiği için negatif olamaz.
Buna göre geyik sayısı 20. yıl sonunda 420 olur.
\( a \ne 0 \) ve \( b \ne 0 \) olmak üzere,
\( 2abx^2 - 2a^2x + b^2x - ab = 0 \) denkleminin \( a \) ve \( b \) cinsinden çözüm kümesini bulunuz.
Çözümü Göster\( 2abx^2 - (2a^2 - b^2)x - ab = 0 \)
Denklem aşağıdaki şekilde çarpanlarına ayrılır.
\( (2ax + b)(bx - a) = 0 \)
Denklemin kökleri her bir çarpanı sıfır yapan değerlerdir.
\( 2ax + b = 0 \) ya da \( bx - a = 0 \)
\( x = -\dfrac{b}{2a} \) ya da \( x = \dfrac{a}{b} \)
Çözüm kümesi: \( \left\{ -\dfrac{b}{2a}, \dfrac{a}{b} \right\} \)
\( x^2 - 8x + 16 = 0 \) ve \( x^2 + bx + c = 0 \) denklemlerinin çözüm kümeleri sırasıyla \( A \) ve \( B \)'dir.
\( A \cup B = \{ -1, 4 \} \) olduğuna göre, \( b + c \) toplamının alabileceği farklı değerlerin çarpımı kaçtır?
Çözümü GösterBirinci denklemin köklerini bulalım.
\( x^2 - 8x + 16 = (x - 4)^2 = 0 \)
\( x = 4 \)
Buna göre ikinci denklemin çözüm kümesi \( B = \{-1\} \) ya da \( B = \{-1, 4\} \) olmalıdır.
Durum 1:
\( B = \{ -1 \} \) için:
Bu durumda ikinci denklem aşağıdaki gibi olur.
\( (x + 1)^2 = 0 \)
\( x^2 + 2x + 1 = 0 \)
\( b = 2, \quad c = 1 \)
\( b + c = 3 \)
Durum 2:
\( B = \{ -1, 4 \} \) için:
Bu durumda ikinci denklem aşağıdaki gibi olur.
\( (x + 1)(x - 4) = x^2 - 3x - 4 = 0 \)
\( b = -3, \quad c = -4 \)
\( b + c = -7 \)
\( b + c \) toplamının alabileceği farklı değerlerin çarpımı \( 3(-7) = -21 \) olarak bulunur.
\( 3x^2 - 20\abs{x} - 32 = 0 \) denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözümü GösterVerilen denklem mutlak değer içindeki \( x \)'in işaretine göre değişir ve farklı kökler elde edilebilir.
\( x \)'in işaretine göre oluşacak iki denklemi ayrı ayrı çözelim.
Durum 1: \( x \ge 0 \)
\( \abs{x} = x \)
\( 3x^2 - 20x - 32 = 0 \)
\( (3x + 4)(x - 8) = 0 \)
\( x = -\dfrac{4}{3} \) ya da \( x = 8 \)
Bu durumun koşulu \( x \ge 0 \) olduğu için sadece \( x = 8 \) geçerli bir çözümdür.
Durum 2: \( x \lt 0 \)
\( \abs{x} = -x \)
\( 3x^2 + 20x - 32 = 0 \)
\( (3x - 4)(x + 8) = 0 \)
\( x = \dfrac{4}{3} \) ya da \( x = -8 \)
Bu durumun koşulu \( x \lt 0 \) olduğu için sadece \( x = -8 \) geçerli bir çözümdür.
Denklemin çözüm kümesi her durum için bulduğumuz çözümlerin birleşiminden oluşur.
Çözüm kümesi: \( \{ -8, 8 \} \)
\( k \in \mathbb{R^+} \) olmak üzere,
\( (x - k)^2 - \abs{x - k} - 6 = 0 \)
denkleminin kökler toplamı 8 olduğuna göre, denklemin büyük kökü kaçtır?
Çözümü GösterVerilen denklem mutlak değer içindeki \( x - k \) ifadesinin işaretine göre değişir ve farklı kökler elde edilebilir.
\( x - k \) ifadesinin işaretine göre oluşacak iki denklemi ayrı ayrı çözelim.
Durum 1: \( x - k \ge 0 \)
\( \abs{x - k} = x - k \)
\( (x - k)^2 - (x - k) - 6 = 0 \)
Denklemi çarpanlarına ayıralım.
\( (x - k - 3)(x - k + 2) = 0 \)
\( x = k + 3 \) ya da \( x = k - 2 \)
Bu durumun koşulu \( x \ge k \) olduğu için sadece \( x = k + 3 \) geçerli bir çözümdür.
Durum 2: \( x - k \lt 0 \)
\( \abs{x - k} = -(x - k) \)
\( [-(x - k)]^2 - [-(x - k)] - 6 = 0 \)
\( (x - k)^2 + (x - k) - 6 = 0 \)
Denklemi çarpanlarına ayıralım.
\( (x - k + 3)(x - k - 2) = 0 \)
\( x = k - 3 \) ya da \( x = k + 2 \)
Bu durumun koşulu \( x \lt k \) olduğu için sadece \( x = k - 3 \) geçerli bir çözümdür.
Denklemin çözüm kümesi her durum için bulduğumuz çözümlerin birleşiminden oluşur.
Çözüm kümesi: \( \{ k - 3, k + 3 \} \)
\( (k + 3) + (k - 3) = 8 \)
\( k = 4 \)
Büyük olan kök \( k + 3 = 4 + 3 = 7 \) olarak bulunur.