İkinci dereceden denklemleri çözerken ilk başvurmamız gereken yöntem çarpanlara ayırma yöntemidir. Bu yöntemde denklemin tüm terimleri tek tarafta toplanır, ifade sıfıra eşitlenir ve ifade (ayrılabiliyorsa) çarpanlarına ayrılır. Her bir çarpanı sıfır yapan değişken değerleri denklemin kökleridir.
\( ax^2 + bx + c = 0 \) ikinci dereceden denklemi,
\( x - x_1 = 0 \) ya da \( x - x_2 = 0 \) olabilir ve
Çözüm kümesi \( x = \{ x_1, x_2 \} \) olur.
İkinci dereceden denklemleri çarpanlarına ayırmakta kullanabileceğimiz bazı yöntemler şunlardır:
Denklem Tipleri
\( x^2 - c^2 = 0 \) Formundaki Denklemler
İkinci dereceden denklemin ikinci teriminin (\( bx \)) katsayısı sıfır ise ifade kare farkı özdeşliği kullanılarak çarpanlarına ayrılabilir. Bu denklemlerin reel sayı çözümü olabilmesi için terimler arasındaki işaretin negatif olması gerekir.
\( x^2 - c^2 = 0 \)
\( (x - c)(x + c) = 0 \)
Çözüm kümesi: \( x = \{ -c, c \} \)
ÖRNEK:
\( 4x^2 - 9 = 0 \)
\( (2x)^2 - 3^2 = 0 \)
\( (2x - 3)(2x + 3) = 0 \)
Çözüm kümesi: \( x = \{ -\frac{3}{2}, \frac{3}{2} \} \)
\( x^2 + bx = 0 \) Formundaki Denklemler
İkinci dereceden denklemin sabit terimi (\( c \)) sıfır ise ifade \( x \) parantezine alınarak çarpanlarına ayrılabilir.
\( x^2 + bx = 0 \)
\( x(x + b) = 0 \)
Çözüm kümesi: \( x = \{ 0, -b \} \)
ÖRNEK:
\( x^2 - 6x = 0 \)
\( x(x - 6) = 0 \)
Çözüm kümesi: \( x = \{ 0, 6 \} \)
Tam Kare İfadeler
İkinci dereceden denklem tam kare bir ifade ise tam kare ifadenin kapalı formuna çevrilir.
\( x^2 + 2cx + c^2 = 0 \) bir tam kare ifade olmak üzere,
\( (x + c)^2 = 0 \)
Çözüm kümesi: \( x = \{ -c \} \)
\( x^2 - 2cx + c^2 = 0 \) bir tam kare ifade olmak üzere,
\( (x - c)^2 = 0 \)
Çözüm kümesi: \( x = \{ c \} \)
ÖRNEK:
\( x^2 + 6x + 9 = 0 \)
\( (x + 3)^2 = 0 \)
Çözüm kümesi: \( x = \{ -3 \} \)
Diğer 3 Terimli İfadeler
Tam kare olmayan üç terimli bir ifadeyi çarpanlarına ayırmak için aşağıdaki yöntemi uygulayabiliriz.
Üç terimli ifade: \( 2x^2 - x - 3 \)
Üç terimli ifadeleri çarpanlarına ayırma
Önce çarpanlarına ayırmak istediğimiz üç terimli ifadeyi ilk satıra yazarız (\( 2x^2 - x - 3 \)).
Birinci terimi (\( 2x^2 \)) iki çarpanına ayırıp bu çarpanları altındaki iki satıra yazarız (\( 2x^2 = 2x \cdot x \)).
Benzer şekilde üçüncü terimi (\( -3 \)) iki çarpanına ayırıp bu çarpanları altındaki iki satıra yazarız (\( -3 = (-3) \cdot 1 \)).
Her iki terimi çarpanlarına ayırırken çapraz oklarla gösterilen ifadelerin çarpımlarının toplamının çarpanlarına ayırdığımız ifadenin ikinci terimine (\( -x \)) eşitliğini sağlamamız gerekir (\( 2x \cdot 1 + x \cdot (-3) = 2x - 3x = -x \)). Bu eşitlik sağlanmazsa 2. ve 3. adımlardaki işlemleri farklı çarpanlarla tekrar denememiz gerekir.
Bu örnekte 4. adımdaki koşulun sağlandığını görüyoruz. Buna göre üç terimli ifadenin çarpanları ikinci kutunun ilk satırındaki kırmızı terimlerin toplamı (\( (2x - 3) \)) ile altındaki mavi terimlerin toplamının (\( (x + 1) \)) çarpımı olur (\( (2x - 3)(x + 1) \)).
Yukarıdaki bahsettiğimiz yöntemi bu ifadeye uygulayalım.
Çarpanlara ayırma yönteminin 4. adımında bahsettiğimiz doğrulamayı uyguladığımızda (\( 3x \cdot (-6y) + x \cdot y = -17xy \ne 7xy \)), yaptığımız çarpanlara ayırma işleminin bize ilk satırdaki üç terimli ifadenin ikinci terimini vermediğini görüyoruz. Bu durumda aşağıda işlemi farklı çarpanlarla tekrar deneyelim.
Bu çarpanların (\( 3x \cdot 3y + x \cdot (-y) = 7xy \)) bize ikinci terimi verdiğini görüyoruz. Dolayısıyla verilen üç terimli ifadeyi aşağıdaki şekilde çarpanlarına ayırmış oluyoruz.
Yukarıdaki bahsettiğimiz yöntemi bu ifadeye uygulayalım.
Birinci terimi \( x \) ve \( x \) şeklinde, üçüncü terimi de \( +7 \) ve \( -3 \) şeklinde çarpanlarına ayırdığımızda, çapraz çarpımların toplamının ikinci terime eşit olduğunu görürüz (\( x \cdot (-3) + x \cdot 7 = 4x \)). Dolayısıyla, verilen ikinci derece ifadeyi aşağıdaki gibi çarpanlarına ayırmış oluyoruz.
Yukarıdaki bahsettiğimiz yöntemi bu ifadeye uygulayalım.
Birinci terimi \( 2x \) ve \( x \) şeklinde, üçüncü terimi de \( +7 \) ve \( -2 \) şeklinde çarpanlarına ayırdığımızda, çapraz çarpımların toplamının ikinci terime eşit olduğunu görürüz (\( 2x \cdot (-2) + x \cdot 7 = 3x \)). Dolayısıyla, verilen ikinci derece ifadeyi aşağıdaki gibi çarpanlarına ayırmış oluruz.
Yukarıdaki bahsettiğimiz yöntemi bu ifadeye uygulayalım.
Birinci terimi \( 4x \) ve \( x \) şeklinde, üçüncü terimi de \( -3 \) ve \( +5 \) şeklinde çarpanlarına ayırdığımızda, çapraz çarpımların toplamının ikinci terime eşit olduğunu görürüz (\( 4x \cdot 5 + x \cdot (-3) = 17x \)). Dolayısıyla, verilen ikinci derece ifadeyi aşağıdaki gibi çarpanlarına ayırmış oluruz.
\( 4x^2 + 17x - 15 \) \( = (4x - 3)(x + 5) \)
SORU:
\( \dfrac{x^2 - 5x + m}{x^2 - 4} \) ifadesi sadeleşebildiğine göre \( m \) sayısının alabileceği değerleri bulalım.
Çözümü Göster
Önce paydayı çarpanlarına ayıralım.
\( \dfrac{x^2 - 5x + m}{(x - 2)(x + 2)} \)
İfade sadeleşebildiğine göre, payda bulunan ifadenin bir çarpanı \( (x - 2) \) ya da \( (x + 2) \) olmalıdır.
Sadeleşen çarpanın \( (x - 2) \) olduğunu varsayalım.
\( \quad (x - 2)(x - a) = x^2 - 5x + m \)
Yukarıdaki ifadede kökler toplamı olarak \( -5x \)'i elde etmek için \( a = 3 \) olmalıdır, bu durumda da kökler çarpımı \( m = 6 \) olur.
Sadeleşen çarpanın \( (x + 2) \) olduğunu varsayalım.
\( \quad (x + 2)(x - b) = x^2 - 5x + m \)
Yukarıdaki ifadede kökler toplamı olarak \( -5x \)'i elde etmek için \( b = 7 \) olmalıdır, bu durumda da kökler çarpımı \( m = -14 \) olur.
Buna göre \( m \)'nin alabileceği değerler \( 6 \) ve \( -14 \) olur.
Tam Kareye Tamamlama
İkinci dereceden ifadeye sabit terim ekleyip çıkararak tam kare ifade oluşturabilir ve kare farkı özdeşliğini kullanarak çarpanlarına ayırabiliriz.
ÖRNEK:
\( x^2 - 6x + 5 = 0 \)
Sol tarafa 4 ekleyip çıkaralım.
\( x^2 - 6x + 5 + 4 - 4 = 0 \)
\( x^2 - 6x + 9 - 4 = 0 \)
İfadeyi tam kare bir ifade ve kare farkına dönüştürelim.
\( (x - 3)^2 - 2^2 = 0 \)
\( ((x - 3) - 2)((x - 3) + 2) = 0 \)
\( (x - 5)(x - 1) = 0 \)
Çözüm kümesi: \( x = \{ 1, 5 \} \)
Değişken Değiştirme Yöntemi
Diğer bazı ikinci dereceden olmayan denklemleri değişken değiştirme yöntemi ile ikinci dereceden denkleme dönüştürebilir ve yukarıdaki yöntemlerden biri ile çarpanlarına ayırabiliriz.
Üç terimli ifadedeki değişkenler \( x^4 \) ve \( x^2 \) olduğu için \( x^2 = t \) dönüşümü uygulayarak ifadeyi ikinci dereceden bir denkleme dönüştürelim.
\( (x^2)^2 - 13x^2 + 36 = 0 \)
\( t^2 - 13t + 36 = 0 \)
\( (t - 9)(t - 4) = 0 \)
\( t_1 = 9 \) ve \( t_2 = 4 \)
Bu denklemin \( t \) kök değerlerini kullanarak orijinal denklemin \( x \) kök değerlerini bulalım.
Üç terimli ifadedeki değişkenler \( x^6 \) ve \( x^3 \) olduğu için \( x^3 = t \) dönüşümü uygulayarak ifadeyi ikinci dereceden bir denkleme dönüştürelim.
\( (x^3)^2 + 7x^3 - 8 = 0 \)
\( t^2 + 7t - 8 = 0 \)
\( (t + 8)(t - 1) = 0 \)
\( t_1 = -8 \) ve \( t_2 = 1 \)
Bu denklemin \( t \) kök değerlerini kullanarak orijinal denklemin \( x \) kök değerlerini bulalım.
Bu tür denklemleri ortak çarpan parantezine alarak ya da gruplandırma yaparak çarpanlarına ayırmayı deneyebiliriz. Daha sonra elde edilen çarpanların kökleri bulunarak çözüm kümesi elde edilir.
\( x^2(3x + 5) - 4(3x + 5) = 0 \)
\( (3x + 5)(x^2 - 4) = 0 \)
\( (3x + 5)(x - 2)(x + 2) = 0 \)
\( 3x + 5 = 0 \) veya \( x - 2 = 0 \) veya \( x + 2 = 0 \)
Bu tür denklemleri ortak çarpan parantezine alarak ya da gruplandırma yaparak çarpanlarına ayırmayı deneyebiliriz. Daha sonra elde edilen çarpanların kökleri bulunarak çözüm kümesi elde edilir.
\( x^3 - x^2 - x + 1 = 0 \)
\( x^2(x - 1) - (x - 1) = 0 \)
İfadeyi \( x - 1 \) parantezine alalım.
\( (x - 1)(x^2 - 1) = 0 \)
\( (x - 1)(x - 1)(x + 1) = 0 \)
Buna göre denklemin çözümü aşağıdaki gibi olur.
Çözüm kümesi \( = \{ -1, 1 \} \)
SORU:
\( x^2 + xy + y^2 - 7 = 0 \)
\( x + y = 3 \)
denklem sisteminin çözüm kümesi nedir?
Çözümü Göster
\( x + y = 3 \Longrightarrow y = 3 - x \) değerini ilk denklemde yerine yazalım.
\( x^2 + x(3 - x) + (3 - x)^2 - 7 = 0 \)
\( x^2 + 3x - x^2 + 9 - 6x + x^2 - 7 = 0 \)
\( x^2 - 3x + 2 = 0 \)
\( (x - 2)(x - 1) = 0 \)
\( x_1 = 2 \) veya \( x_2 = 1 \)
Bulunan \( x \) değerlerini \( x + y = 3 \) denkleminde yerine yazarsak \( y \) değerini buluruz.