Ters Laplace Dönüşümü
Önceki bölümlerde \( t \) değişkenine bağlı bir \( f \) fonksiyonunun \( s \) değişkenine bağlı bir \( F \) fonksiyonuna Laplace dönüşümü ile ilgili kuralları inceledik. Ters Laplace dönüşümü, bu dönüşümü tersine çeviren bir işlemdir.
\( \mathcal{L}\{ f(t) \} = F(s) \) ise,
\( f(t) = \mathcal{L}^{-1}\{ F(s) \} \)
\( \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{3}{s^2} \right\} = 3t \)
\( \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{2}{s - 5} \right\} = 2e^{5t} \)
Laplace dönüşümü birebir ve örten olduğu için önceki bölümlerde gördüğümüz dönüşüm kurallarının tümü ters Laplace dönüşümünde kullanılabilir.
Önümüzdeki bölümlerde göreceğimiz üzere, Laplace dönüşümü kullanılarak bir diferansiyel denklem cebirsel bir denkleme dönüştürülebilir. Bu denklem çözüldüğünde elde edilen \( s \) değişkenine bağlı çözüm ters Laplace dönüşümü ile \( t \) değişkenine bağlı bir ifadeye dönüştürüldüğünde orijinal diferansiyel denklemin çözümü bulunmuş olur.
Doğrusallık Özelliği
Laplace dönüşümünün olduğu gibi ters Laplace dönüşümünün de doğrusallık özelliği vardır.
\( f, g \) Laplace dönüşümü tanımlı fonksiyonlar olmak üzere,
\( \mathcal{L}^{-1}\{ F(s) + G(s) \} = \mathcal{L}^{-1}\{ F(s) \} + \mathcal{L}^{-1}\{ G(s) \} \)
\( = f(t) + g(t) \)
\( c \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( \mathcal{L}^{-1}\{ cF(s) \} = c\mathcal{L}^{-1}\{ F(s) \} \)
\( = cf(t) \)
\( \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{2}{s + 5} - \dfrac{3s}{s^2 - 4} \right\} = \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{2}{s + 5} \right\} - \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{3s}{s^2 - 4} \right\} \)
\( = 2\mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{1}{s + 5} \right\} - 3\mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{s}{s^2 - 4} \right\} \)
\( = 2e^{-5t} - 3\cos(2t) \)
Ters Laplace dönüşümünde sıklıkla kullanılan yöntemlerden biri basit kesirlere ayırma yöntemidir. Aşağıda bir örneğini verdiğimiz bu yöntemin detayları ve örnekleri için basit kesirlere ayırma sayfasını inceleyebilirsiniz.
\( \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{3x + 4}{x^2 + x - 6} \right\} \) ters Laplace dönüşümünün sonucunu bulalım.
Paydayı çarpanlarına ayıralım.
\( \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{3x + 4}{x^2 + x - 6} \right\} = \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{3x + 4}{(x - 2)(x + 3)} \right\} \)
İfadeyi basit kesirlerin toplamı şeklinde yazalım.
\( = \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{2}{x - 2} + \dfrac{1}{x + 3} \right\} \)
Ters Laplace dönüşümünün doğrusallık özelliğini kullanalım.
\( = 2\mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{1}{x - 2} \right\} + \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{1}{x + 3} \right\} \)
İfadelerin ayrı ayrı ters Laplace dönüşümlerini bulalım.
\( = 2e^{2t} + e^{-3t} \)
\( G(x) = \dfrac{4}{x^2 + 9} \) fonksiyonunun ters Laplace dönüşümünü bulunuz.
Çözümü Göster\( \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{4}{x^2 + 9} \right\} = \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{3}{x^2 + 9} \right\} \)
Ters Laplace dönüşümünün doğrusallık özelliğini kullanalım.
\( = \dfrac{4}{3}\mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{3}{x^2 + 9} \right\} \)
\( = \dfrac{4}{3}\sin(3t) \)
\( G(s) = \dfrac{4}{(s + 6)^5} \) fonksiyonunun ters Laplace dönüşümünü bulunuz.
Çözümü Göster\( \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{4}{(s + 6)^5} \right\} = \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{24}{(s + 6)^5} \right\} \)
Ters Laplace dönüşümünün doğrusallık özelliğini kullanalım.
\( = \dfrac{1}{6}\mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{4!}{(s + 6)^5} \right\} \)
\( = \dfrac{1}{6}t^4e^{-6t} \)
\( F(s) = \dfrac{3s + 4}{s^2 + 4s + 4} \) fonksiyonunun ters Laplace dönüşümünü bulunuz.
Çözümü Göster\( \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{3s + 4}{s^2 + 4s + 4} \right\} = \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{3s + 4}{(s + 2)^2} \right\} \)
İfadeyi basit kesirlerin toplamı şeklinde yazalım.
\( = \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{3}{s + 2} + \dfrac{2}{(s + 2)^2} \right\} \)
Ters Laplace dönüşümünün doğrusallık özelliğini kullanalım.
\( = 3\mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{1}{s + 2} \right\} + 2\mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{1}{(s + 2)^2} \right\} \)
İfadelerin ayrı ayrı ters Laplace dönüşümlerini bulalım.
\( = 3e^{-2t} + 2te^{-2t} \)
\( F(x) = \dfrac{x + 1}{x^2 + 10x - 11} \) fonksiyonunun ters Laplace dönüşümünü bulunuz.
Çözümü Göster\( \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{x + 1}{x^2 + 10x - 11} \right\} = \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{x + 1}{(x + 11)(x - 1)} \right\} \)
İfadeyi basit kesirlerin toplamı şeklinde yazalım.
\( = \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{\frac{5}{6}}{x + 11} + \dfrac{\frac{1}{6}}{x - 1} \right\} \)
Ters Laplace dönüşümünün doğrusallık özelliğini kullanalım.
\( = \dfrac{5}{6}\mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{1}{x + 11} \right\} + \dfrac{1}{6}\mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{1}{x - 1} \right\} \)
\( = \dfrac{5}{6}e^{-11t} + \dfrac{1}{6}e^t \)
\( G(s) = \dfrac{s + 2}{s^2 - 16} \) fonksiyonunun ters Laplace dönüşümünü bulunuz.
Çözümü Göster\( \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{s + 2}{s^2 - 16} \right\} = \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{s + 2}{(s - 4)(s + 4)} \right\} \)
İfadeyi basit kesirlerin toplamı şeklinde yazalım.
\( = \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{\frac{3}{4}}{s - 4} + \dfrac{\frac{1}{4}}{s + 4} \right\} \)
Ters Laplace dönüşümünün doğrusallık özelliğini kullanalım.
\( = \dfrac{3}{4}\mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{1}{s - 4} \right\} + \dfrac{1}{4}\mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{1}{s + 4} \right\} \)
\( = \dfrac{3}{4}e^{4t} + \dfrac{1}{4}e^{-4t} \)
Bu ifadeyi alternatif olarak aşağıdaki formda yazabiliriz.
\( = \dfrac{e^{4t} + e^{-4t}}{2} + \dfrac{e^{4t} - e^{-4t}}{4} \)
\( = \cosh(4t) + \dfrac{1}{2}\sinh(4t) \)
\( G(s) = \dfrac{s - 2}{s^2 + s - 12} \) fonksiyonunun ters Laplace dönüşümünü bulunuz.
Çözümü Göster\( \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{s - 2}{s^2 + s - 12} \right\} = \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{s - 2}{(s - 3)(s + 4)} \right\} \)
İfadeyi basit kesirlerin toplamı şeklinde yazalım.
\( = \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{\frac{1}{7}}{s - 3} + \dfrac{\frac{6}{7}}{s + 4} \right\} \)
Ters Laplace dönüşümünün doğrusallık özelliğini kullanalım.
\( = \dfrac{1}{7}\mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{1}{s - 3} \right\} + \dfrac{6}{7}\mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{1}{s + 4} \right\} \)
\( = \dfrac{1}{7}e^{3t} + \dfrac{6}{7}e^{-4t} \)
\( F(s) = \dfrac{8s^2}{s^4 - 256} \) fonksiyonunun ters Laplace dönüşümünü bulunuz.
Çözümü Göster\( \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{8s^2}{s^4 - 256} \right\} = \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{8s^2}{(s^2 - 16^2)(s^2 + 16^2)} \right\} \)
\( = \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{8s^2}{(s - 4)(s + 4)(s^2 + 16)} \right\} \)
İfadeyi basit kesirlerin toplamı şeklinde yazalım.
\( = \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{\frac{1}{2}}{s - 4} - \dfrac{\frac{1}{2}}{s + 4} + \dfrac{4}{s^2 + 16} \right\} \)
Ters Laplace dönüşümünün doğrusallık özelliğini kullanalım.
\( = \dfrac{1}{2}\mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{1}{s - 4} \right\} - \dfrac{1}{2}\mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{1}{s + 4} \right\} + \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{4}{s^2 + 16} \right\} \)
İfadelerin ayrı ayrı ters Laplace dönüşümlerini bulalım.
\( = \dfrac{1}{2}(e^{4t} - e^{-4t}) + \sin(4t) \)
\( = \sinh(4t) + \sin(4t) \)
\( G(s) = \dfrac{1}{(s + 4)(s^4 + 4)} \) fonksiyonunun ters Laplace dönüşümünü bulunuz.
Çözümü Göster\( \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{1}{(s + 4)(s^4 + 4)} \right\} \)
İfadeyi basit kesirlerin toplamı şeklinde yazalım.
\( = \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{\frac{1}{20}}{s + 4} + \dfrac{-\frac{1}{20}s + \frac{1}{5}}{s^2 + 4} \right\} \)
Ters Laplace dönüşümünün doğrusallık özelliğini kullanalım.
\( = \dfrac{1}{20}\mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{1}{s + 4} \right\} - \dfrac{1}{20}\mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{s}{s^2 + 4} \right\} + \dfrac{1}{5}\mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{1}{s^2 + 4} \right\} \)
\( = \dfrac{1}{20}\mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{1}{s + 4} \right\} - \dfrac{1}{20}\mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{s}{s^2 + 4} \right\} + \dfrac{1}{10}\mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{2}{s^2 + 4} \right\} \)
\( = \dfrac{1}{20}e^{-4x} - \dfrac{1}{20}\cos(2x) + \dfrac{1}{10}\sin(2x) \)
\( F(x) = \dfrac{7x^2 - 31x + 54}{(x - 1)(x^2 - 4x + 13)} \) fonksiyonunun ters Laplace dönüşümünü bulunuz.
Çözümü Göster\( \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{7x^2 - 31x + 54}{(x - 1)(x^2 - 4x + 13)} \right\} \)
İfadeyi basit kesirlerin toplamı şeklinde yazalım.
\( = \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{3}{x - 1} + \dfrac{4x - 15}{x^2 - 4x + 13} \right\} \)
\( = \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{3}{x - 1} + \dfrac{4(x - 2) - 7}{(x - 2)^2 + 9} \right\} \)
Ters Laplace dönüşümünün doğrusallık özelliğini kullanalım.
\( = 3\mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{1}{x - 1} \right\} + 4\mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{x - 2}{(x - 2)^2 + 9} \right\} - \dfrac{7}{3}\mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{3}{(x - 2)^2 + 9} \right\} \)
\( = 3e^t + 4e^{2t}\cos(3t) - \dfrac{7}{3}e^{2t}\sin(3t) \)
\( F(s) = \dfrac{2s^2 + 12}{s^3 + 3s^2 + 5s - 9} \) fonksiyonunun ters Laplace dönüşümünü bulunuz.
Çözümü Göster\( \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{2s^2 + 12}{s^3 + 3s^2 + 5s - 9} \right\} = \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{2s^2 + 12}{(s - 1)(s^2 + 4s + 9)} \right\} \)
İfadeyi basit kesirlerin toplamı şeklinde yazalım.
\( = \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{1}{s - 1} + \dfrac{s - 3}{s^2 + 4s + 9} \right\} \)
\( = \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{1}{s - 1} + \dfrac{(s + 2) - 5}{(s + 2)^2 + 5} \right\} \)
Ters Laplace dönüşümünün doğrusallık özelliğini kullanalım.
\( = \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{1}{s - 1} \right\} + \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{s + 2}{(s + 2)^2 + (\sqrt{5})^2} \right\} - \sqrt{5}\mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{\sqrt{5}}{(s + 2)^2 + (\sqrt{5})^2} \right\} \)
\( = e^t + e^{-2t}\cos(\sqrt{5}t) - \sqrt{5}e^{-2t}\sin(\sqrt{5}t) \)
\( F(s) = \dfrac{3}{s^3(s^2 + 2s - 3)} \) fonksiyonunun ters Laplace dönüşümünü bulunuz.
Çözümü Göster\( \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{3}{s^3(s^2 + 2s - 3)} \right\} = \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{3}{s^3(s - 1)(s + 3)} \right\} \)
İfadeyi basit kesirlerin toplamı şeklinde yazalım.
\( = \mathcal{L}^{-1}\left\{ -\dfrac{\frac{7}{9}}{s} - \dfrac{\frac{2}{3}}{s^2} - \dfrac{1}{s^3} + \dfrac{\frac{3}{4}}{s - 1} + \dfrac{\frac{1}{36}}{s + 3} \right\} \)
Ters Laplace dönüşümünün doğrusallık özelliğini kullanalım.
\( = -\dfrac{7}{9}\mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{1}{s} \right\} - \dfrac{2}{3}\mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{1}{s^2} \right\} - \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{1}{s^3} \right\} + \dfrac{3}{4}\mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{1}{s - 1} \right\} + \dfrac{1}{36}\mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{1}{s + 3} \right\} \)
\( = -\dfrac{7}{9}\mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{1}{s} \right\} - \dfrac{2}{3}\mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{1}{s^2} \right\} - \dfrac{1}{2}\mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{2!}{s^3} \right\} + \dfrac{3}{4}\mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{1}{s - 1} \right\} + \dfrac{1}{36}\mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{1}{s + 3} \right\} \)
\( = -\dfrac{7}{9} - \dfrac{2}{3}t - \dfrac{1}{2}t^2 + \dfrac{3}{4}e^t + \dfrac{1}{36}e^{-3t} \)