Dörtgenlere Giriş

Aşağıdaki yöntem yukarıdaki konveks ve konkav dörtgenlerin ikisi için de geçerlidir.

Köşegenlerin oluşturduğu dört üçgene Pisagor teoremi uygulayalım.

\( a^2 = \abs{AK}^2 + \abs{BK}^2 \)

\( b^2 = \abs{BK}^2 + \abs{CK}^2 \)

\( c^2 = \abs{CK}^2 + \abs{DK}^2 \)

\( d^2 = \abs{DK}^2 + \abs{AK}^2 \)

1. ve 3. satırları ve 2. ve 4. satırları ayrı ayrı taraf tarafa toplayalım.

\( a^2 + c^2 = \abs{AK}^2 + \abs{BK}^2 + \abs{CK}^2 \) \( + \abs{DK}^2 \)

\( b^2 + d^2 = \abs{BK}^2 + \abs{CK}^2 + \abs{DK}^2 \) \( + \abs{AK}^2 \)

İki eşitliğin sağ tarafları aynı olduğu için, sol tarafları birbirine eşittir.

\( a^2 + c^2 = b^2 + d^2 \)

\( ABCD \) dörtgeninin kenarlarının orta noktalarını birleştiren \( KLMN \) dörtgenini çizelim.

\( [KL] \) doğru parçası \( ABC \) üçgeninin iki kenarının orta noktalarını birleştirdiği için üçgenin orta tabanıdır, dolayısıyla orta taban teoremine göre üçgenin \( [AC] \) kenarına paraleldir ve uzunluğu \( [AC] \) kenar uzunluğunun yarısına eşittir.

\( [KL] \parallel [AC] \)

\( \abs{KL} = \frac{1}{2} \abs{AC} \)

\( [LM] \) doğru parçası \( BCD \) üçgeninin iki kenarının orta noktalarını birleştirdiği için üçgenin orta tabanıdır, dolayısıyla orta taban teoremine göre üçgenin \( [BD] \) kenarına paraleldir ve uzunluğu \( [BD] \) kenar uzunluğunun yarısına eşittir.

\( [LM] \parallel [BD] \)

\( \abs{LM} = \frac{1}{2} \abs{BD} \)

\( [NM] \) doğru parçası \( ACD \) üçgeninin iki kenarının orta noktalarını birleştirdiği için üçgenin orta tabanıdır, dolayısıyla orta taban teoremine göre üçgenin \( [AC] \) kenarına paraleldir ve uzunluğu \( [AC] \) kenar uzunluğunun yarısına eşittir.

\( [NM] \parallel [AC] \)

\( \abs{NM} = \frac{1}{2} \abs{AC} \)

\( [KN] \) doğru parçası \( ABD \) üçgeninin iki kenarının orta noktalarını birleştirdiği için üçgenin orta tabanıdır, dolayısıyla orta taban teoremine göre üçgenin \( [BD] \) kenarına paraleldir ve uzunluğu \( [BD] \) kenar uzunluğunun yarısına eşittir.

\( [KN] \parallel [BD] \)

\( \abs{KN} = \frac{1}{2} \abs{BD} \)

İki doğru parçası ayrı ayrı üçüncü bir doğru parçasına paralel ise bu iki doğru parçası birbirine paraleldir.

\( [KL] \parallel [AC] \) ve \( [NM] \parallel [AC] \) ise \( [KL] \parallel [NM] \) olur.

\( [LM] \parallel [BD] \) ve \( [KN] \parallel [BD] \) ise \( [LM] \parallel [KN] \) olur.

Buna göre \( ABCD \) dörtgeninin kenarlarının orta noktalarını birleştiren \( KLMN \) dörtgeninde karşılıklı kenarlar birbirine paraleldir, dolayısıyla \( KLMN \) dörtgeni bir paralelkenardır.

\( ABCD \) dörtgeninin kenarlarının orta noktalarını birleştiren \( KLMN \) dörtgenini çizelim.

\( KLMN \) dörtgeninin alanını bulmak için \( ABCD \) dörtgeninin alanından 4 üçgenin alanını çıkaralım.

\( A(KLMN) = A(ABCD) - A(AKN) - A(BLK) - A(CML) - A(DNM) \)

Üçgenler başlığı altındaki orta taban konusunda gördüğümüz üzere, bir üçgenin orta tabanının üstünde kalan alan üçgenin alanının dörtte birine eşittir.

Buna göre yukarıdaki eşitlikteki her bir üçgenin alanını, o üçgenin tabanının orta tabanı olduğu büyük üçgenin alanı cinsinden yazalım.

\( = A(ABCD) - \frac{1}{4} A(ABD) - \frac{1}{4} A(BCA) - \frac{1}{4} A(CDB) - \frac{1}{4} A(DAC) \)

\( = A(ABCD) - \frac{1}{4}(A(ABD) + A(BCA) + A(CDB) + A(DAC)) \)

\( ABD \) ve \( CDB \) üçgenlerinin alanları ile \( BCA \) ve \( DAC \) üçgenlerinin alanlarının toplamı ayrı ayrı \( ABCD \) dörtgeninin alanını verir.

\( = A(ABCD) - \frac{1}{4}(A(ABCD) + A(ABCD)) \)

\( = \frac{1}{2} A(ABCD) \)

\( ABCD \) dörtgeninin kenarlarının orta noktalarını birleştiren \( KLMN \) dörtgenini çizelim.

Paralelkenarın çevre uzunluk formülünü yazalım.

\( Ç(KLMN) = \abs{KL} + \abs{LM} + \abs{MN} \) \( + \abs{NK} \)

Yukarıda ispatıyla birlikte gösterdiğimiz üzere, paralelkenarın her kenarı paralel olduğu köşegenin oluşturduğu üçgenin orta tabanıdır, dolayısıyla uzunluğu köşegen uzunluğunun yarısıdır.

Örnek vermek gerekirse, paralelkenarın \( [KL] \) kenarı \( ABC \) üçgeninin orta tabanıdır ve uzunluğu \( [AC] \) köşegen uzunluğunun yarısıdır. Aynı durum paralelkenarın tüm kenarları için geçerlidir.

\( = \dfrac{\abs{AC}}{2} + \dfrac{\abs{BD}}{2} + \dfrac{\abs{AC}}{2} + \dfrac{\abs{BD}}{2} \)

\( = \abs{AC} + \abs{BD} \)

\( ABCD \) dörtgeninin köşegenlerini çizelim.

\( A_1 = A(NAK) \)

\( A_2 = A(KBL) \)

\( A_3 = A(LCM) \)

\( A_4 = A(MDN) \)

Yukarıda ispatıyla birlikte gösterdiğimiz üzere; \( [NK] \) kenarı \( DAB \) üçgeninin, \( [KL] \) kenarı \( ABC \) üçgeninin, \( [LM] \) kenarı \( BCD \) üçgeninin, \( [MN] \) kenarı da \( CDA \) üçgeninin orta tabanıdır.

Üçgenler başlığı altındaki orta taban konusunda gördüğümüz üzere, bir üçgenin orta tabanının üstünde kalan alan üçgenin alanının dörtte birine eşittir.

Buna göre her bir üçgenin alanını, o üçgenin tabanının orta tabanı olduğu büyük üçgenin alanı cinsinden yazalım.

\( A_1 = A(NAK) = \frac{1}{4} A(DAB) \)

\( A_2 = A(KBL) = \frac{1}{4} A(ABC) \)

\( A_3 = A(LCM) = \frac{1}{4} A(BCD) \)

\( A_4 = A(MDN) = \frac{1}{4} A(CDA) \)

\( DAB \) ve \( BCD \) üçgenleri ile \( ABC \) ve \( CDA \) üçgenlerinin alanları toplamı ayrı ayrı \( ABCD \) dörtgeninin alanına eşittir.

\( A(DAB) + A(BCD) = A(ABC) + A(CDA) = A(ABCD) \)

Eşitlikteki üçgenlerin alanlarını \( A_i \) cinsinden yazalım.

\( 4A_1 + 4A_3 = 4A_2 + 4A_4 = A(ABCD) \)

Eşitliğin taraflarını 4'e bölelim.

\( A_1 + A_3 = A_2 + A_4 = \frac{1}{4} A(ABCD) \)

Çokgenler bölümünde gördüğümüz üzere, kenar sayısı \( n \) olan çokgenin iç açıları toplamı aşağıdaki formülle bulunur.

Çokgenlerin iç açıları toplamı: \( (n - 2) \cdot 180° \)

Dörtgenin iç açıları toplamını bulmak için \( n = 4 \) yazalım.

Dörtgenin iç açıları toplamı: \( (4 - 2) \cdot 180° = 360° \)

Bir köşenin iç + dış açıları toplamı \( = 180° \)

Dörtgenin tüm köşelerinin iç + dış açılar toplamı \( = 4 \cdot 180° = 720° \)

Dörtgenin tüm köşelerinin iç açılar toplamı \( = 360° \)

Dörtgenin tüm köşelerinin dış açılar toplamı \( = 720° - 360° = 360° \)

\( A \) köşesinin açı ölçüsüne \( a \), \( B \) köşesinin açı ölçüsüne \( b \) diyelim.

\( m(\widehat{DAK}) = m(\widehat{KAB}) = \dfrac{a}{2} \)

\( m(\widehat{ABK}) = m(\widehat{KBC}) = \dfrac{b}{2} \)

\( ABCD \) dörtgeninin iç açıları toplamı 360°'dir.

\( a + b + c + d = 360 \)

\( AKB \) üçgeninin iç açıları toplamı 180°'dir.

\( x + \dfrac{a}{2} + \dfrac{b}{2} = 180 \)

Eşitliğin taraflarını 2 ile çarpalım.

\( 2x + a + b = 360 \)

Yukarıda bulduğumuz iki ifade de 360°'ye eşit olduğu için birbirine eşitleyebiliriz.

\( 2x + a + b = a + b + c + d \)

\( 2x = c + d \)

\( x = \dfrac{c + d}{2} \)

\( A \) köşesinin açı ölçüsüne \( a \), \( C \) köşesinin açı ölçüsüne \( c \) diyelim.

\( m(\widehat{DAK}) = m(\widehat{KAE}) = \dfrac{a}{2} \)

\( m(\widehat{DCK}) = m(\widehat{KCB}) = \dfrac{c}{2} \)

\( ABCD \) dörtgeninin iç açıları toplamı 360°'dir.

\( a + b + c + d = 360 \)

Bir dış açının ölçüsü, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir.

\( m(\widehat{AEK}) = b + \dfrac{c}{2} \)

\( AEK \) üçgeninin iç açıları toplamı 180°'dir.

\( x + \dfrac{a}{2} + b + \dfrac{c}{2} = 180 \)

Eşitliğin taraflarını 2 ile çarpalım.

\( 2x + a + 2b + c = 360 \)

Yukarıda bulduğumuz iki ifade de 360°'ye eşit olduğu için birbirine eşitleyebiliriz.

\( 2x + a + 2b + c = a + b + c + d \)

\( 2x = d - b \)

\( x = \dfrac{d - b}{2} \)

KONVEKS DÖRTGEN:

Köşegenlerin ayırdığı dört üçgenin alanlarını sinüs alan formülünü kullanarak hesaplayalım.

\( A(\overset{\triangle}{KAB}) = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(180° - x) \)

\( A(\overset{\triangle}{KBC}) = \dfrac{1}{2} \cdot b \cdot c \cdot \sin{x} \)

\( A(\overset{\triangle}{KCD}) = \dfrac{1}{2} \cdot c \cdot d \cdot \sin(180° - x) \)

\( A(\overset{\triangle}{KDA}) = \dfrac{1}{2} \cdot d \cdot a \cdot \sin{x} \)

Bütünler açıların sinüs değerleri eşittir.

\( \sin{x} = \sin(180° - x) \)

Dört üçgenin alanlarını toplayarak dörtgenin alanını bulalım.

\( A(ABCD) = \dfrac{1}{2} \cdot \sin{x} \cdot (a \cdot b + b \cdot c \) \( + c \cdot d + d \cdot a) \)

\( = \dfrac{1}{2} \cdot \sin{x} \cdot [b \cdot (a + c) + d \cdot (a + c)] \)

\( = \dfrac{1}{2} \cdot \sin{x} \cdot (a + c) \cdot (b + d) \)

\( = \dfrac{1}{2} \cdot \abs{AC} \cdot \abs{BD} \cdot \sin{x} \)

KONKAV DÖRTGEN:

Şekilde oluşan iki üçgenin alanlarını bulalım:

Büyük üçgenin alanı:

\( A(\overset{\triangle}{ACD}) = \dfrac{(a + c) \cdot h_1}{2} \)

\( = \dfrac{(a + c) \cdot (b + d) \cdot \sin{x}}{2} \)

Küçük üçgenin alanı:

\( A(\overset{\triangle}{ACB}) = \dfrac{(a + c) \cdot h_2}{2} \)

\( = \dfrac{(a + c) \cdot b \cdot \sin{x}}{2} \)

Gri renk ile işaretlenmiş konkav dörtgenin alanını, büyük ve küçük üçgenler cinsinden yazalım.

\( A(ABCD) = A(\overset{\triangle}{ACD}) - A(\overset{\triangle}{ACB}) \)

\( = \dfrac{(a + c) \cdot (b + d) \cdot \sin{x}}{2} \) \( - \dfrac{(a + c) \cdot b \cdot \sin{x}}{2}\)

\( = \dfrac{(a + c) \cdot d \cdot \sin{x}}{2} \)

\( = \dfrac{1}{2} \cdot \abs{AC} \cdot \abs{BD} \cdot \sin{x} \)

İSPAT 1:

Bir dörtgenin alanı, köşegenlerin uzunlukları ile aralarındaki açının sinüs değerinin çarpımının yarısına eşittir.

\( A(ABCD) = \dfrac{1}{2} \cdot \abs{AC} \cdot \abs{BD} \cdot \sin{x} \)

Köşegenleri dik kesişen dörtgenlerde bu açı 90° olur.

\( A(ABCD) = \dfrac{1}{2} \cdot \abs{AC} \cdot \abs{BD} \cdot \sin{90°} \)

\( \sin{90°} = 1 \)

\( A(ABCD) = \frac{1}{2} \abs{AC} \cdot \abs{BD} \)

İSPAT 2:

Köşegenlerin oluşturduğu dört üçgenin alanını ayrı ayrı hesaplayalım.

\( A(\overset{\triangle}{AKB}) = \dfrac{a \cdot b}{2} \)

\( A(\overset{\triangle}{BKC}) = \dfrac{b \cdot c}{2} \)

\( A(\overset{\triangle}{CKD}) = \dfrac{c \cdot d}{2} \)

\( A(\overset{\triangle}{DKA}) = \dfrac{d \cdot a}{2} \)

Dörtgenin alanını bulmak için bu dört üçgenin alanlarını toplayalım.

\( A(ABCD) = \dfrac{a \cdot b + b \cdot c + c \cdot d + d \cdot a}{2} \)

\( = \dfrac{b(a + c) + d(a + c)}{2} \)

\( = \dfrac{(a + c)(b + d)}{2} \)

Parantez içindeki toplamlar köşegen uzunluklarına eşittir.

\( A(ABCD) = \frac{1}{2} \abs{AC} \cdot \abs{BD} \)

İSPAT 1:

\( ABD \) ve \( CBD \) üçgenlerinin yüksekliklerini çizelim.

\( h_1 \): \( ABD \) üçgeninin yüksekliği

\( h_2 \): \( CBD \) üçgeninin yüksekliği

Dört üçgenin alanlarını ayrı ayrı bulalım.

\( A_1 = \dfrac{\abs{DK} \cdot h_1}{2} \)

\( A_2 = \dfrac{\abs{BK} \cdot h_1}{2} \)

\( A_3 = \dfrac{\abs{BK} \cdot h_2}{2} \)

\( A_4 = \dfrac{\abs{DK} \cdot h_2}{2} \)

Formülleri incelediğimizde, aşağıdaki iki ifadenin çarpımının eşit olduğunu görebiliriz.

\( A_1 \cdot A_3 = A_2 \cdot A_4 \)

İSPAT 2:

Köşegenlerin birbiriyle kesişimi sonucunda oluşan doğru parçalarının uzunluklarına \( x \), \( y \), \( z \) ve \( t \) diyelim.

Köşegenlerin birbiriyle kesişim noktasında oluşan açılara \( \alpha \) ve \( \beta \) diyelim.

Sinüs alan formülünü kullanarak dört üçgenin alanlarını ayrı ayrı bulalım.

\( A_1 = \dfrac{1}{2} x \cdot y \cdot \sin{\alpha} \)

\( A_2 = \dfrac{1}{2} y \cdot z \cdot \sin{\beta} \)

\( A_3 = \dfrac{1}{2} z \cdot t \cdot \sin{\alpha} \)

\( A_4 = \dfrac{1}{2} t \cdot x \cdot \sin{\beta} \)

\( A_1 \cdot A_3 \) çarpımını bulalım.

\( A_1 \cdot A_3 = \dfrac{1}{2} x \cdot y \cdot \sin{\alpha} \cdot \dfrac{1}{2} z \cdot t \cdot \sin{\alpha} \)

\( = \dfrac{1}{4} x \cdot y \cdot z \cdot t \cdot \sin^2{\alpha} \)

\( A_2 \cdot A_4 \) çarpımını bulalım.

\( A_2 \cdot A_4 = \dfrac{1}{2} y \cdot z \cdot \sin{\beta} \cdot \dfrac{1}{2} t \cdot x \cdot \sin{\beta} \)

\( = \dfrac{1}{4} x \cdot y \cdot z \cdot t \cdot \sin^2{\beta} \)

\( \alpha \) ve \( \beta \) bütünler açılar oldukları için sinüs değerleri birbirine eşittir.

\( \sin{\beta} = \sin(180° - \alpha) = \sin{\alpha} \)

\( = \dfrac{1}{4} x \cdot y \cdot z \cdot t \cdot \sin^2{\alpha} \)

Bulduğumuz iki çarpım birbirine eşittir.

\( A_1 \cdot A_3 = A_2 \cdot A_4 \)