Dörtgenlere Giriş

Aşağıdaki yöntem yukarıdaki konveks ve konkav dörtgenlerin ikisi için de geçerlidir.

Oluşan dört üçgene Pisagor Teoremi uygulayalım.

\( a^2 = \abs{AK}^2 + \abs{BK}^2 \)

\( b^2 = \abs{BK}^2 + \abs{CK}^2 \)

\( c^2 = \abs{CK}^2 + \abs{DK}^2 \)

\( d^2 = \abs{DK}^2 + \abs{AK}^2 \)

1. ve 3. satırları ve 2. ve 4. satırları ayrı ayrı taraf tarafa toplayalım.

\( a^2 + c^2 = \abs{AK}^2 + \abs{BK}^2 + \abs{CK}^2 \) \( + \abs{DK}^2 \)

\( b^2 + d^2 = \abs{BK}^2 + \abs{CK}^2 + \abs{DK}^2 \) \( + \abs{AK}^2 \)

İki eşitliğin sağ tarafları aynı olduğu için, sol tarafları birbirine eşittir.

\( a^2 + c^2 = b^2 + d^2 \)

KONVEKS DÖRTGEN:

Köşegenlerin ayırdığı dört üçgenin alanlarını sinüs alan formülünü kullanarak hesaplayalım.

\( A(\overset{\triangle}{KAB}) = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(180° - x) \)

\( A(\overset{\triangle}{KBC}) = \dfrac{1}{2} \cdot b \cdot c \cdot \sin{x} \)

\( A(\overset{\triangle}{KCD}) = \dfrac{1}{2} \cdot c \cdot d \cdot \sin(180° - x) \)

\( A(\overset{\triangle}{KDA}) = \dfrac{1}{2} \cdot d \cdot a \cdot \sin{x} \)

Bütünler açıların sinüs değerleri eşittir.

\( \sin{x} = \sin(180° - x) \)

Dört üçgenin alanlarını toplayarak dörtgenin alanını bulalım.

\( A(ABCD) = \dfrac{1}{2} \cdot \sin{x} \cdot (a \cdot b + b \cdot c \) \( + c \cdot d + d \cdot a) \)

\( = \dfrac{1}{2} \cdot \sin{x} \cdot [b \cdot (a + c) + d \cdot (a + c)] \)

\( = \dfrac{1}{2} \cdot \sin{x} \cdot (a + c) \cdot (b + d) \)

\( = \dfrac{1}{2} \cdot \abs{AC} \cdot \abs{BD} \cdot \sin{x} \)

KONKAV DÖRTGEN:

Şekilde oluşan iki üçgenin alanlarını bulalım:

Büyük üçgenin alanı:

\( A(\overset{\triangle}{ACD}) = \dfrac{(a + c) \cdot h_1}{2} \)

\( = \dfrac{(a + c) \cdot (b + d) \cdot \sin{x}}{2} \)

Küçük üçgenin alanı:

\( A(\overset{\triangle}{ACB}) = \dfrac{(a + c) \cdot h_2}{2} \)

\( = \dfrac{(a + c) \cdot b \cdot \sin{x}}{2} \)

Gri renk ile işaretlenmiş konkav dörtgenin alanını, büyük ve küçük üçgenler cinsinden yazalım.

\( A(ABCD) = A(\overset{\triangle}{ACD}) - A(\overset{\triangle}{ACB}) \)

\( = \dfrac{(a + c) \cdot (b + d) \cdot \sin{x}}{2} \) \( - \dfrac{(a + c) \cdot b \cdot \sin{x}}{2}\)

\( = \dfrac{(a + c) \cdot d \cdot \sin{x}}{2} \)

\( = \dfrac{1}{2} \cdot \abs{AC} \cdot \abs{BD} \cdot \sin{x} \)

Aşağıdaki yöntem yukarıdaki konveks ve konkav dörtgenlerin ikisi için de geçerlidir.

Paralelkenarın kenarları, dörtgenin her bir köşegeninin oluşturduğu üçgenlerin orta tabanlarıdır.

Buna göre, paralelkenarın \( [KL] \) kenarı \( \overset{\triangle}{ABC} \) üçgeninin orta tabanıdır ve uzunluğu \( [AC] \) köşegeninin uzunluğunun yarısıdır.

\( Ç(KLMN) = \abs{KL} + \abs{LM} + \abs{MN} \) \( + \abs{NK} \)

\( = \dfrac{\abs{AC}}{2} + \dfrac{\abs{BD}}{2} + \dfrac{\abs{AC}}{2} + \dfrac{\abs{BD}}{2} \)

\( = \abs{AC} + \abs{BD} \)

Köşegenlerin oluşturduğu dört üçgenin alanını ayrı ayrı hesaplayalım.

\( A(\overset{\triangle}{AKB}) = \dfrac{a \cdot b}{2} \)

\( A(\overset{\triangle}{BKC}) = \dfrac{b \cdot c}{2} \)

\( A(\overset{\triangle}{CKD}) = \dfrac{c \cdot d}{2} \)

\( A(\overset{\triangle}{DKA}) = \dfrac{d \cdot a}{2} \)

Dörtgenin alanını bulmak için, bu dört üçgenin alanlarını toplayalım.

\( A(ABCD) = \dfrac{a \cdot b + b \cdot c + c \cdot d + d \cdot a}{2} \)

\( = \dfrac{b \cdot (a + c) + d \cdot (a + c)}{2} \)

\( = \dfrac{(a + c) \cdot (b + d)}{2} \)

\( A(ABCD) = \dfrac{\abs{AC} \cdot \abs{BD}}{2} \)

Yukarıdaki sinüs alan formülünü kullanırsak da aynı sonucu elde ederiz.

\( A(ABCD) = \dfrac{1}{2} \cdot \abs{AC} \cdot \abs{BD} \cdot \sin{90°} \)

\( A(ABCD) = \dfrac{\abs{AC} \cdot \abs{BD}}{2} \)

\( h_1 \): \( \overset{\triangle}{ABD} \) üçgeninin yüksekliği

\( h_2 \): \( \overset{\triangle}{CBD} \) üçgeninin yüksekliği

Dört üçgenin alanlarını ayrı ayrı bulalım.

\( A_1 = \dfrac{\abs{DK} \cdot h_1}{2} \)

\( A_2 = \dfrac{\abs{BK} \cdot h_1}{2} \)

\( A_3 = \dfrac{\abs{BK} \cdot h_2}{2} \)

\( A_4 = \dfrac{\abs{DK} \cdot h_2}{2} \)

Formülleri incelediğimizde, aşağıdaki iki ifadenin çarpımının eşit olduğunu görebiliriz.

\( A_1 \cdot A_3 = A_2 \cdot A_4 \)