Bir dörtgenin aşağıdaki özelliklerden en az birini taşıdığı biliniyorsa bu dörtgen bir dikdörtgendir ve diğer özellikleri de taşır.
Giriş bölümünde paylaştığımız dörtgen hiyerarşisine göre; kare dikdörtgenin ek özelliklere sahip özel birer durumu olarak düşünülebilir.
Dikdörtgenin karşılıklı kenarları birbirine paraleldir ve uzunlukları eşittir.
Dikdörtgenin köşegenleri birbirini ortalar ve uzunlukları birbirine eşittir.
Tüm dörtgenlerde kenar orta noktalarının birleştirilmesiyle oluşan dörtgen bir paralelkenardır, köşegen uzunlukları eşit olan dikdörtgende bu dörtgen bir eşkenar dörtgendir. Varignon paralelkenarı adı verilen bu dörtgenle ilgili daha fazla bilgi ve dikdörtgende de geçerli olan özellikleri için dörtgenler sayfasını inceleyebilirsiniz.
Dikdörtgenin iç ve dış bölgesinden seçilen bir noktadan (\( P \) noktası) köşelere çizilen doğru parçalarının uzunlukları arasında aşağıdaki bağıntı vardır.
\( a^2 + c^2 = b^2 + d^2 \)
İSPATI GÖSTER
Dikdörtgenin içinde bir nokta için:
\( P \) noktasından geçen ve dikdörtgenin kenarlarına paralel \( [KM] \) ve \( [LN] \) doğrularını çizelim (kesikli gri çizgiler).
Eşitlikteki her bir kenar için Pisagor formülünü yazalım.
\( a^2 = \abs{AK}^2 + \abs{KP}^2 \)
\( b^2 = \abs{BK}^2 + \abs{KP}^2 \)
\( c^2 = \abs{CM}^2 + \abs{MP}^2 \)
\( d^2 = \abs{DM}^2 + \abs{MP}^2 \)
Aşağıdaki eşitlikleri dikkate alarak 2. ve 4. eşitlikleri tekrar yazalım.
\( \abs{BK} = \abs{CM} \)
\( \abs{DM} = \abs{AK}\)
\( b^2 = \abs{CM}^2 + \abs{KP}^2 \)
\( d^2 = \abs{AK}^2 + \abs{MP}^2 \)
\( a^2 + c^2 = b^2 + d^2 \) eşitliğindeki terimlerin karşılıklarını yazarsak her iki tarafın eşit olduğunu görürüz.
Dikdörtgenin dışında bir nokta için:
\( P \) noktasından geçen ve dikdörtgenin kenarlarına paralel \( [KM] \) ve \( [PN] \) doğrularını çizelim (kesikli gri çizgiler).
Eşitlikteki her bir kenar için Pisagor formülünü yazalım.
\( a^2 = \abs{AK}^2 + \abs{KP}^2 \)
\( b^2 = \abs{BK}^2 + \abs{KP}^2 \)
\( c^2 = \abs{CM}^2 + \abs{MP}^2 \)
\( d^2 = \abs{DM}^2 + \abs{MP}^2 \)
Aşağıdaki eşitlikleri dikkate alarak 2. ve 4. eşitlikleri tekrar yazalım.
\( \abs{BK} = \abs{CM} \)
\( \abs{DM} = \abs{AK}\)
\( b^2 = \abs{CM}^2 + \abs{KP}^2 \)
\( d^2 = \abs{AK}^2 + \abs{MP}^2 \)
\( a^2 + c^2 = b^2 + d^2 \) eşitliğindeki terimlerin karşılıklarını yazarsak her iki tarafın eşit olduğunu görürüz.
Gönder
Tüm dörtgenlerde olduğu gibi, dikdörtgenin hem iç açıları hem de dış açıları toplamı 360°'dir.
Dikdörtgenin tüm iç açıları eşit ve 90°'dir.
Dikdörtgenin çevresi, kısa ve uzun kenar uzunlukları toplamının iki katına eşittir.
Dikdörtgenin alanı, kısa ve uzun kenar uzunluklarının çarpımına eşittir.
Köşegenler dikdörtgenin alanını dört eşit parçaya böler. Aşağıda bu kuralın tüm paralelkenarlar için geçerli olan ispatı verilmiştir.
Bir dikdörtgenin farklı noktaları arasında çizilen doğru parçaları, dikdörtgenin alanını aşağıda belirtilen oranlarda böler.
SORU 1:
Bir dikdörtgenin tüm köşeleri \( r \) yarıçaplı bir çemberin üzerindedir.
Dikdörtgenin çevresi 56 cm ise dikdörtgenin alanının \( r \) cinsinden eşiti nedir?
Çözümü Göster
Dikdörtgenin köşegenleri çember üzerinde olduğundan köşegenleri çemberin çapına eşit olur.
Bu yüzden dikdörtgenin köşegeni \( 2r \) uzunluğundadır.
Dikdörtgenin kenar uzunluklarına \( a \) ve \( b \) br diyelim.
Çember ve dikdörtgen aşağıdaki şekildeki gibidir.
\( \text{Çevre} = 2(a + b) = 56 \) cm
\( a + b = 28 \)
Dikdörtgenin alan formülünü yazalım.
\( \text{Alan} = ab \)
Dikdörtgenin kenarlarının ve köşegeninin oluşturduğu dik üçgene Pisagor teoremini uygulayalım.
\( a^2 + b^2 = (2r)^2 = 4r^2 \)
\( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)
Bu eşitlikteki terimlerin yukarıda bulduğumuz değerlerini yerine koyalım.
\( 28^2 = 4r^2 + 2ab \)
Soruda istenen alan yani \( ab \) değeridir.
\( ab = \dfrac{28^2 - 4r^2}{2} \)
\( = 392 - 2r^2 \) bulunur.
SORU 2:
6 eş dikdörtgen şekildeki gibi yerleştiriliyor. Bu dikdörtgenlerin oluşturduğu dış dikdörtgenin alanı, iç dikdörtgenin alanının 5 katına eşittir.
Buna göre şekli oluşturan eş dikdörtgenlerin uzun kenar uzunluğunun kısa kenar uzunluğuna oranı nedir?
Çözümü Göster
Eş dikdörtgenlerden birinin uzun kenar uzunluğuna \( x \), kısa kenar uzunluğuna \( y \) diyelim.
Dış dikdörtgenin kısa kenarının uzunluğu \( x + y \) olur.
Dış dikdörtgenin uzun kenarının uzunluğu \( 2x + y \) olur.
İç dikdörtgenin kısa kenarının uzunluğu \( x - y \) olur.
İç dikdörtgenin uzun kenarının uzunluğu \( 2x - y \) olur.
Dış dikdörtgenin alanını bulalım.
\( (x + y)(2x + y) = 2x^2 + xy + 2xy + y^2 \)
\( = 2x^2 + 3xy + y^2 \)
İç dikdörtgenin alanını bulalım.
\( (x - y)(2x - y) = 2x^2 - xy - 2xy + y^2 \)
\( = 2x^2 - 3xy + y^2 \)
Dış dikdörtgenin alanı iç dikdörtgenin alanının 5 katına eşittir.
\( 2x^2 + 3xy + y^2 = 5(2x^2 - 3xy + y^2) \)
\( 2x^2 + 3xy + y^2 = 10x^2 - 15xy + 5y^2 \)
\( 8x^2 - 18xy + 4y^2 = 0 \)
\( 2(4x^2 - 9xy + 2y^2) = 0 \)
\( 4x^2 - 9xy + 2y^2 = 0 \)
Bulduğumuz denklemi çarpanlarına ayıralım.
\( (4x - y)(x - 2y) = 0 \)
\( 4x - y = 0 \) ya da \( x - 2y = 0 \)
\( 4x = y \) ya da \( x = 2y \)
\( x \)'i uzun kenar olarak seçtiğimiz için \( x \gt y \) olmalıdır.
Buna göre \( 4x = y \) geçerli bir çözüm değildir.
\( x = 2y \Longrightarrow \dfrac{x}{y} = 2 \)
Eş dikdörtgenlerden birinin uzun kenar uzunluğunun kısa kenar uzunluğuna oranı 2'dir.
SORU 3:
Şekildeki dikdörtgenin kenar uzunlukları 14 ve 10 birim olduğuna göre, taralı alan kaç birimkaredir?
Çözümü Göster
Dikdörtgenin içine çizilen doğru parçaları kenarları eşit uzunluklarda böldüğü için oluşan şekiller özdeş ve dikdörtgenin merkezine göre simetriktir.
Dikdörtgenin köşelerini ve kenar orta noktalarını şekildeki gibi birleştirelim.
Oluşan doğru parçalarının uzunluklarını yazalım.
Bir tane mavi taralı üçgenin tabanı 4 birim, yüksekliği 5 birimdir.
\( A_m = \dfrac{4 \cdot 5}{2} = 10 \) birimkare
Bir tane turuncu taralı üçgenin tabanı 2 birim, yüksekliği 7 birimdir.
\( A_t = \dfrac{2 \cdot 7}{2} = 7 \) birimkare
Tüm taralı bölgenin alanı bu iki alanın toplamının iki katına eşittir.
\( A = 2(10 + 7) = 34 \) birimkare bulunur.
SORU 4:
Şekildeki dikdörtgen kenarlarına paralel iki doğru parçası ile dört bölgeye ayrılmıştır. Buna göre soru işareti ile gösterilen bölgenin alanı kaç birimkaredir?
Çözümü Göster
Çizilen doğru parçalarının kenarları böldüğü parçaların uzunluklarına \( a, b, c, d \) diyelim.
Soru işareti ile gösterilen alana \( x \) diyelim.
Dört bölgenin alanlarını \( a, b, c, d \) cinsinden yazalım.
\( ac = 33 \)
\( ad = 55 \)
\( bc = 12 \)
\( bd = x \)
Dört değişkeni de içeren \( ac \) ve \( bd \) ifadelerinin çarpımı yine dört değişkeni de içeren \( ad \) ve \( bc \) ifadelerinin çarpımına eşittir.
\( abcd = abcd \)
\( (ac) \cdot (bd) = (ad) \cdot (bc) \)
\( 33 \cdot x = 55 \cdot 12 \)
\( x = \dfrac{55 \cdot 12}{33} = 20 \) birimkare bulunur.