Kare
Tüm iç açıları dik açı ve kenar uzunlukları birbirine eşit olan dörtgene kare denir.
\( m(\widehat{A}) = m(\widehat{B}) = m(\widehat{C}) = m(\widehat{D}) = 90° \)
\( \abs{AB} = \abs{BC} = \abs{CD} = \abs{AD} = a \)
Bir dörtgenin aşağıdaki özelliklerden en az birini taşıdığı biliniyorsa bu dörtgen bir karedir ve diğer özellikleri de taşır.
- Tüm iç açılar dik ve kenar uzunlukları eşit (kare tanımı)
- Köşegen uzunlukları eşit ve birbirine dik
Kare aynı zamanda bir paralelkenar, eşkenar dörtgen ve dikdörtgen olduğu için, dörtgenler, paralelkenar, eşkenar dörtgen, dikdörtgen bölümünde bahsettiğimiz tüm özellikler kare için de geçerlidir.
Karenin Kenar ve Köşegen Özellikleri
Karenin karşılıklı kenarları birbirine paraleldir ve tüm kenar uzunlukları birbirine eşittir.
\( [AB] \parallel [DC] \) ve \( [AD] \parallel [BC] \)
\( \abs{AB} = \abs{BC} = \abs{CD} = \abs{AD} = a \)
Karenin köşegenleri birbirini ortalar, dik keser ve uzunlukları birbirine eşittir.
Karenin köşegen uzunluğu bir kenar uzunluğunun \( \sqrt{2} \) katıdır (Pisagor teoremi).
\( \abs{AC} = \abs{BD} = \sqrt{2}a \)
Karenin Açı Özellikleri
Tüm dörtgenlerde olduğu gibi, karenin hem iç açıları hem de dış açıları toplamı 360°'dir.
Karenin iç açıları eşit ve her biri 90°'dir.
\( m(\widehat{A}) = m(\widehat{B}) = m(\widehat{C}) = m(\widehat{D}) = 90° \)
Karenin köşegenleri her bir dik köşenin açıortayıdır.
Karenin Çevresi ve Alanı
Karenin çevresi, bir kenar uzunluğunun dört katına eşittir.
\( Ç(ABCD) = 4a \)
Karenin alanı, bir kenar uzunluğunun karesine eşittir.
\( A(ABCD) = a^2 \)
Karenin alanı aynı zamanda bir köşegen uzunluğunun karesinin yarısına eşittir.
Köşegenler karenin alanını dört eşit parçaya böler. Aşağıda bu kuralın tüm paralelkenarlar için geçerli olan ispatı verilmiştir.
Köşegen uzunluğu \( 13\sqrt{2} \) cm olan bir kare, alanı 289 cm\( ^2 \) olan başka bir karenin içerisine şekildeki gibi yerleştiriliyor. İçteki karenin köşeleri dıştaki karenin kenarlarını uzunlukları \( a \) ve \( b \) cm olacak şekilde ikiye bölmektedir. Buna göre \( \frac{a}{b} \) oranı nedir?
Çözümü Göster
Özdeş 4 yamuk şekildeki gibi birleştirilerek bir çerçeve oluşturuluyor.
İçte ve dışta oluşan karelerin bir kenar uzunlukları oranı \( \frac{1}{3} \) olduğuna göre, içteki karenin alanının bir yamuğun alanına oranı kaçtır?
Çözümü Göster
Şekildeki \( ABCD \) karesinin bir kenar uzunluğu 4 birimdir.
\( ABCD \) karesinin kenarları üzerinde bulunan \( K, L, M, N \) noktalarının oluşturduğu eşkenar \( AKLCMN \) altıgeninin bir kenar uzunluğu kaçtır?
Çözümü Göster