Yamuk

\( \dfrac{[DE]}{[EA]} = \dfrac{[CF]}{[FB]} \) olduğundan,

\( [DC] \parallel [EF] \parallel [AB] \) olur.

\( ABCD \) yamuğunun \( DB \) köşegenini çizelim (mavi kesikli çizgi).

\( ABD \) üçgenine Temel Orantı Teoremi'ni uygulayalım.

\( \dfrac{\abs{DE}}{\abs{DA}} = \dfrac{\abs{EH}}{\abs{AB}} = \dfrac{1}{2} \)

\( \abs{EH} = \dfrac{\abs{AB}}{2} \)

\( BCD \) üçgenine Temel Orantı Teoremi'ni uygulayalım.

\( \dfrac{\abs{BF}}{\abs{BC}} = \dfrac{\abs{HF}}{\abs{DC}} = \dfrac{1}{2} \)

\( \abs{HF} = \dfrac{\abs{DC}}{2} \)

Orta taban uzunluğunu yazalım.

\( \abs{EF} = d = \abs{EH} + \abs{HF} \)

\( = \dfrac{\abs{AB}}{2} + \dfrac{\abs{DC}}{2} = \dfrac{\abs{AB} + \abs{DC}}{2} \)

\( [EL] \) doğru parçası \( DAB \) üçgeninin orta tabanı olduğu için uzunluğu taban uzunluğunun yarısıdır.

\( \abs{EL} = \dfrac{b}{2} \)

\( [EK] \) doğru parçası \( DAC \) üçgeninin orta tabanı olduğu için uzunluğu taban uzunluğunun yarısıdır.

\( \abs{EK} = \dfrac{a}{2} \)

Köşegenlerin orta tabanı kestiği noktalar arasındaki doğru parçasının uzunluğunu yazalım.

\( \abs{KL} = \abs{EL} - \abs{EK} \)

\( = \dfrac{b}{2} - \dfrac{a}{2} \)

\( = \dfrac{b - a}{2} \)

\( ABCD \) yamuğunun üst kenarını uzatalım (mavi kesikli çizgi).

\( D \) köşesinin komşu bütünler açısı ve \( A \) köşesinin açısı iç ters açılar olduğu için ölçüleri birbirine eşittir ve \( a \)'dır.

\( C \) köşesinin komşu bütünler açısı ve \( B \) köşesinin açısı iç ters açılar olduğu için ölçüleri birbirine eşittir ve \( b \)'dir.

Buna göre yamuğun yan kenarları üzerindeki karşı durumlu açılarının toplamı 180° olur.

\( a + d = 180° \)

\( b + c = 180° \)

\( ABCD \) yamuğunun \( DB \) köşegenini çizelim (mavi kesikli çizgi).

\( ABCD \) yamuğunun alanı köşegenin ayırdığı iki üçgenin alanları toplamına eşittir.

\( A(ABCD) = A(\overset{\triangle}{ABD}) + A(\overset{\triangle}{BCD}) \)

\( A(\overset{\triangle}{ABD}) = \dfrac{b \cdot h}{2} \)

\( A(\overset{\triangle}{BCD}) = \dfrac{a \cdot h}{2} \)

\( A(ABCD) = \dfrac{b \cdot h}{2} + \dfrac{a \cdot h}{2} \)

\( = \dfrac{(a + b)}{2} \cdot h \)

Yamuğun orta tabanını ve yüksekliğini çizelim (mavi kesikli çizgiler).

\( A(ABCD) = \dfrac{a + b}{2} \cdot h \)

\( KBC \) üçgeninin alanı \( KMB \) ve \( KMC \) üçgenlerinin alanları toplamına eşittir.

\( A(\overset{\triangle}{KBC}) = A(\overset{\triangle}{KMB}) + A(\overset{\triangle}{KMC}) \)

\( A(\overset{\triangle}{KMB}) = \dfrac{\abs{KM} \cdot \frac{h}{2}}{2} \)

\( A(\overset{\triangle}{KMC}) = \dfrac{\abs{KM} \cdot \frac{h}{2}}{2} \)

\( A(\overset{\triangle}{KBC}) = \dfrac{\abs{KM} \cdot \frac{h}{2}}{2} + \dfrac{\abs{KM} \cdot \frac{h}{2}}{2} \)

\( = \dfrac{\abs{KM} \cdot h}{2} \)

\( \abs{KM} \) orta taban olduğu için, uzunluğu alt ve üst taban uzunluk toplamlarının yarısına eşittir.

\( \abs{KM} = \dfrac{a + b}{2} \)

Alan formülünde yerine koyalım.

\( A(\overset{\triangle}{KBC}) = \dfrac{\frac{a + b}{2} \cdot h}{2} \)

\( = \dfrac{(a + b) \cdot h}{4} \)

Bu formülü yamuk alan formülü ile karşılaştırırsak üçgenin alanının yamuğun alanının yarısı olduğu görürüz.

\( A(\overset{\triangle}{KBC}) = \dfrac{A(ABCD)}{2} \)