Eşkenar Dörtgen

Eşkenar dörtgenin bir kenar uzunluğuna \( a \) diyelim.

Eşkenar dörtgenin \( [BD] \) köşegenini çizelim ve uzunluğuna \( p \) diyelim.

\( \abs{BD} = p \)

\( ABD \) ve \( CBD \) üçgenlerinin üçer kenar uzunluğu da eşit olduğu için bu iki üçgen eş üçgenlerdir.

\( \overset{\triangle}{ABD} \cong \overset{\triangle}{CDB} \)

Eş üçgenlerin iç açı ölçüleri de eşittir.

\( m(\widehat{A}) = m(\widehat{C}) = x \)

\( m(\widehat{ABD}) = m(\widehat{ADB}) = y \)

\( m(\widehat{CDB}) = m(\widehat{CBD}) = y \)

\( ABD \) üçgenin iç açıları toplamı 180°'dir.

\( x + y + y = 180° \)

\( x + 2y = 180° \)

Eşkenar dörtgenin \( B \) ve \( C \) köşelerinin açıları toplamını bulalım.

\( m(\widehat{B}) + m(\widehat{C}) = x + 2y \)

Bu değeri yukarıda 180° olarak bulmuştuk.

\( = 180° \)

Buna göre \( B \) ve \( C \) köşelerinin açıları bütünler açılardır.

\( [AB] \) ve \( [DC] \) doğru parçalarını kesen \( [BC] \) doğru parçasının oluşturduğu karşı durumlu iki açı bütünler açılarsa \( [AB] \) ve \( [DC] \) paralel olmak zorundadır.

\( [AB] \parallel [DC] \)

Aynı ispatı \( [AD] \) ve \( [BC] \) kenarları için de yapabiliriz.

\( [AD] \parallel [BC] \)

Buna göre bir eşkenar dörtgenin karşılıklı kenarları paraleldir.

Aşağıda eşkenar üçgenin açı özellikleri bölümünde ispatını yapacağımız üzere, eşkenar üçgenin köşegenleri aynı zamanda birer açıortaydır.

\( m(\hat{A}) = x \) ise,

\( m(\widehat{DAK}) = m(\widehat{KAB}) = \dfrac{x}{2} \)

\( m(\hat{D}) = y \) ise,

\( m(\widehat{CDK}) = m(\widehat{KDA}) = \dfrac{y}{2} \)

Eşkenar dörtgenin karşılıklı kenarları paralel olduğu için \( \hat{A} \) ve \( \hat{D} \) bütünler açılardır.

\( x + y = 180° \)

\( \dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{2} = 90° \)

\( DAK \) üçgeninin iç açıları toplamı 180°'dir.

\( \dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{2} + m(\widehat{DKA}) = 180° \)

\( 90° + m(\widehat{DKA}) = 180° \)

\( m(\widehat{DKA}) = 90° \)

Eşkenar dörtgende karşılıklı açıların ölçüleri eşittir ve köşegenler aynı zamanda iç açıortaydır.

\( m(\widehat{KAB}) = m(\widehat{KCD}) \)

\( m(\widehat{KBA}) = m(\widehat{KDC}) \)

Eşkenar dörtgenin tüm kenar uzunlukları eşittir.

\( \abs{AB} = \abs{CD} = a \)

Tüm açıları ve birer kenarı eş olan iki üçgen eş üçgenlerdir.

\( \overset{\triangle}{ABK} \cong \overset{\triangle}{CDK} \)

Eş üçgenlerin birbirine karşılık gelen kenar uzunlukları birbirine eşittir.

\( \abs{AK} = \abs{CK} \)

\( \abs{BK} = \abs{DK} \)

Buna göre karşılıklı kenarları paralel olan eşkenar dörtgende köşegenler birbirini ortalar.

\( ABC \) üçgenine kosinüs teoremi uygulayalım.

\( p^2 = a^2 + a^2 - 2a \cdot a \cdot \cos{\hat{B}} \)

Şimdi de \( ABD \) üçgenine kosinüs teoremi uygulayalım.

\( q^2 = a^2 + a^2 - 2a \cdot a \cdot \cos{\hat{A}} \)

\( A \) ve \( B \) açıları bütünler açılar oldukları için, aralarında aşağıdaki ilişki vardır.

\( \cos{\hat{A}} = \cos(180° - \hat{B}) = -\cos{\hat{B}} \)

Bu dönüşümü kullanarak yukarıdaki ilk denklemi \( A \) açısı cinsinden yazalım.

\( p^2 = a^2 + a^2 + 2a \cdot a \cdot \cos{\hat{A}} \)

İki denklemi taraf tarafa toplayalım.

\( p^2 + q^2 = 4a^2 \)

\( ABCD \) paralelkenarının üst ve yan kenarlarını uzatalım (mavi kesikli çizgiler).

\( A \) köşesinin açı ölçüsüne \( x \), \( B \) köşesinin açı ölçüsüne \( y \) diyelim.

\( D \) köşesinin dış açısı \( A \) köşesinin iç açısı ile iç ters açılardır. \( [AB] \parallel [DC] \) olduğu için bu açının ölçüsü de \( x \) olur.

\( x + y = 180° \)

\( B \) köşesinin dış açısı \( A \) köşesinin iç açısı ile iç ters açılardır. \( [AD] \parallel [BC] \) olduğu için bu açının ölçüsü \( x \) olur.

\( x + y = 180° \)

\( C \) köşesinin dış açısı \( B \) köşesinin iç açısı ile iç ters açılardır. \( [AB] \parallel [DC] \) olduğu için bu açının ölçüsü \( y \) olur.

\( x + y = 180° \)

Buna göre paralelkenarda karşılıklı köşelerin açıları birbirine eşittir ve komşu köşe açıları bütünler açılardır.

\( [AC] \) köşegeni eşkenar dörtgenin birbirine paralel iki kenarını kestiği için, aşağıdaki iki açı iç ters açılardır ve ölçüleri eşittir:

\( m(\widehat{BAC}) = m(\widehat{DCA}) \)

Eşkenar dörtgenin kenar uzunlukları eşit olduğu için, \( ABC \) üçgeni ikizkenardır, dolayısıyla aşağıdaki iki açının ölçüsü de eşittir.

\( m(\widehat{BAC}) = m(\widehat{BCA}) \)

Dolayısıyla, aşağıdaki iki açının ölçülerinin eşit olduğunu, yani köşegenin aynı zamanda açıortay olduğunu göstermiş olduk.

\( m(\widehat{DCA}) = m(\widehat{BCA}) \)

İSPAT 1:

Bir dörtgenin alanı, köşegenlerin uzunlukları ile aralarındaki açının sinüs değerinin çarpımının yarısına eşittir.

\( A(ABCD) = \dfrac{1}{2} \cdot \abs{AC} \cdot \abs{BD} \cdot \sin{x} \)

Köşegenleri dik kesişen dörtgenlerde bu açı 90° olur.

\( A(ABCD) = \dfrac{1}{2} \cdot \abs{AC} \cdot \abs{BD} \cdot \sin{90°} \)

\( \sin{90°} = 1 \)

\( A(ABCD) = \frac{1}{2} \abs{AC} \cdot \abs{BD} \)

İSPAT 2:

Köşegenlerin oluşturduğu dört üçgenin alanını ayrı ayrı hesaplayalım.

\( A(\overset{\triangle}{AKB}) = \dfrac{a \cdot b}{2} \)

\( A(\overset{\triangle}{BKC}) = \dfrac{b \cdot c}{2} \)

\( A(\overset{\triangle}{CKD}) = \dfrac{c \cdot d}{2} \)

\( A(\overset{\triangle}{DKA}) = \dfrac{d \cdot a}{2} \)

Dörtgenin alanını bulmak için bu dört üçgenin alanlarını toplayalım.

\( A(ABCD) = \dfrac{a \cdot b + b \cdot c + c \cdot d + d \cdot a}{2} \)

\( = \dfrac{b(a + c) + d(a + c)}{2} \)

\( = \dfrac{(a + c)(b + d)}{2} \)

Parantez içindeki toplamlar köşegen uzunluklarına eşittir.

\( A(ABCD) = \frac{1}{2} \abs{AC} \cdot \abs{BD} \)

Eşkenar dörtgenin tabanından \( D \) noktasına yükseklik çizelim.

\( \abs{ED} = h \)

\( x \) açısının sinüsünü yazalım.

\( \sin{x} = \dfrac{h}{a} \)

\( h = a \cdot \sin{x} \)

Eşkenar dörtgenin alan formülünü yazalım.

\( A(ABCD) = a \cdot h \)

Bulduğumuz yükseklik değerini yerine yazalım.

\( = a \cdot a \cdot \sin{x} \)

\( = a^2 \cdot \sin{x} \)

Eşkenar dörtgenin aynı kenar üzerindeki açıları bütünler açılardır.

Bütünler açıların sinüs değerleri birbirine eşittir.

\( \sin{x} = \sin(180° - y) = \sin{y} \)

Buna göre aynı alan formülünü eşkenar dörtgenin diğer açısı için de yazabiliriz.

\( A(ABCD) = a^2 \cdot \sin{y} \)

\( ABC \) üçgeni paralelkenarla aynı tabana ve yüksekliğe sahip olduğu için, alanı paralelkenarın alanının yarısıdır.

\( A(ABC) = A(ADC) = \frac{1}{2} A(ABCD) \)

Paralelkenarda köşegenler birbirini ortaladığı için, \( ABK \) ve \( BCK \) üçgenlerinin \( [AC] \) köşegeni üzerindeki taban uzunlukları eşittir.

\( \abs{AK} = \abs{KC} \)

Bu iki üçgenin tepe noktaları aynı (\( B \) noktası) ve yükseklikleri eşit olduğu için, alanları da eşittir.

\( A(ABK) = A(BCK) = \frac{1}{2} A(ABC) \)