Bu dönüşümü kullanarak yukarıdaki ilk denklemi \( A \) açısı cinsinden yazalım.
\( p^2 = a^2 + b^2 + 2ab \cdot \cos{\hat{A}} \)
İki denklemi taraf tarafa toplarsak, yukarıda verilen özdeşliği elde ederiz.
\( p^2 + q^2 = 2(a^2 + b^2) \)
Paralelkenarın bir köşesinden çizilen ve karşı iki kenarı ortalayan iki doğru parçası, paralelkenarın köşegenini üç eşit parçaya böler.
Bir köşeden karşı kenarları ortalayan doğrular
\( \abs{AK} = \abs{KL} = \abs{LC} \)
İSPATI GÖSTER
Paralelkenarın diğer köşegenini de çizelim (kesikli gri doğru). \( [DN] \) \( \overset{\triangle}{ABD} \) üçgeninin bir kenarortayıdır. Paralelkenarın köşegenleri birbirini ortaladığı için, \( [AM] \) de \( \overset{\triangle}{ABD} \) üçgeninin bir kenarortayıdır. Buna göre, iki kenarortayın kesişim noktası olan \( K \) noktası \( \overset{\triangle}{ABD} \) üçgeninin ağırlık merkezidir ve \( [AM] \) doğru parçasını 2:1 oranında böler.
Aynı yöntemi \( \overset{\triangle}{BCD} \) üçgenine uygularsak, \( L \) noktasının \( \overset{\triangle}{BCD} \) üçgeninin ağırlık merkezi olduğunu buluruz. Dolayısıyla, \( [AC] \) köşegeninin 2:2:2 oranında, yani eşit üç parçaya bölündüğünü buluruz.
Yukarıdaki eşitliğin bir diğer uygulamasında, paralelkenarın karşı iki köşesinden çizilen ve karşı iki kenarı ortalayan iki doğru parçası, paralelkenarın köşegenini üç eşit parçaya böler.
Karşı köşelerden karşı kenarları ortalayan doğrular
\( \abs{AK} = \abs{KL} = \abs{LC} \)
İSPATI GÖSTER
Bu durumun yukarıdakinden farkı, \( \overset{\triangle}{BCD} \) üçgeninde \( [DP] \) kenarortayı yerine \( [BT] \) kenarortayının çizilmiş olmasıdır. \( L \) noktasının \( \overset{\triangle}{BCD} \) üçgeninin ağırlık merkezi (kenarortayların kesişim noktası) olduğunu bildiğimiz için, \( L \) noktasının konumu, dolayısıyla \( [AC] \) köşegeninin bölünme oranı değişmeyecektir.
Paralelkenarın Açı Özellikleri
Tüm dörtgenlerde olduğu gibi, paralelkenarın iç açıları toplamı da, dış açıları toplamı da \( 360° \)'dir.
Paralelkenarın açı özellikleri
Paralelkenarda aynı kenar üzerindeki iki açı karşı durumlu açılar oldukları için toplamları \( 180° \)'dir.
\( x + y = 180° \)
Paralelkenarda karşılıklı köşelerin açıları iç ters açılar oldukları için birbirine eşittir.
\( m(\widehat{A}) = m(\widehat{C}) = x \)
\( m(\widehat{B}) = m(\widehat{D}) = y \)
Aynı kenar üzerindeki iki açının açıortayları birbirini dik keser.
Paralelkenarın açıortaylarının kesişimi
\( x + y = 180° \) olduğuna göre,
\( \dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{2} = 90° \)
Paralelkenarın karşılıklı kenarları paralel olduğu için, iç ya da dış bölgesine çizilen doğrularla farklı benzer üçgenler oluşabilmektedir, bu durumlarda da üçgenler konusunda gördüğümüz kelebek kuralı ve Thales kuralına sıklıkla ihtiyaç duyabilmekteyiz.
Aşağıdaki şekilde kelebek kuralını uygulayabileceğimiz şekilde \( \overset{\triangle}{DMK} \) ve \( \overset{\triangle}{NAK} \) üçgenleri arasında benzerlik oluşmaktadır.
Aşağıdaki şekilde Thales kuralını uygulayabileceğimiz şekilde \( \overset{\triangle}{NMC} \) ve \( \overset{\triangle}{NAB} \) üçgenleri arasında benzerlik oluşmaktadır.
Paralelkenarın alanı bu iki üçgenin alanları toplamına ve aynı zamanda her birinin alanının iki katına eşittir.
\( A(ABCD) = a \cdot h_a = b \cdot h_b \)
Paralelkenarın alanı, köşegenlerinin uzunlukları ve birbiriyle yaptıkları açının sinüs değerinin çarpımının yarısına eşittir. Birbirini \( 180° \)'ye tamamlayan açıların sinüs değerleri aynı olduğu için köşegenlerin arasında oluşan açıların ikisi de aynı sonucu verecektir.
\( \overset{\triangle}{ABC} \) üçgeni paralelkenarla aynı tabana ve yüksekliğe sahip olduğu için, alanı paralelkenarın alanının yarısıdır.
\( \overset{\triangle}{ABK} \) ve \( \overset{\triangle}{BCK} \) üçgenlerinin \( [AC] \) köşegeni üzerindeki tabanları ve yükseklikleri eşit olduğu için, alanları da eşittir.
Paralelkenarın içindeki herhangi bir noktadan köşelere çizilen doğru parçalarının ayırdığı dört bölgeden karşılıklı bölgelerin alanları toplamı birbirine eşittir.
Paralelkenarda bölgelerin alanları
\( A_1 + A_3 = A_2 + A_4 \)
İSPATI GÖSTER
\( K \) noktasından kenarlara paralel doğrular çizelim.
Oluşan şekilde büyük paralelkenar dört küçük paralelkenara bölünmüş olur ve \( K \) noktasından köşelere çizilen doğru parçaları küçük paralelkenarların köşegeni olur ve her paralelkenarın alanını iki eşit parçaya böler.
\( A(\overset{\triangle}{APK}) = A(\overset{\triangle}{ATK}) = A \)
\( A(\overset{\triangle}{BPK}) = A(\overset{\triangle}{BRK}) = B \)
\( A(\overset{\triangle}{CRK}) = A(\overset{\triangle}{CSK}) = C \)
\( A(\overset{\triangle}{DSK}) = A(\overset{\triangle}{DTK}) = D \)
\( A_1 \), \( A_2 \), \( A_3 \) ve \( A_4 \) bölgelerinin alanlarını yukarıdaki alanlar cinsiden yazarsak karşılıklı bölgelerin alanları toplamının eşit olduğunu görebiliriz.
\( A_1 = A + B \)
\( A_2 = B + C \)
\( A_3 = C + D \)
\( A_4 = D + A \)
\( A_1 + A_3 = A + B + C + D \)
\( A_2 + A_4 = A + B + C + D \)
\( A_1 + A_3 = A_2 + A_4 \)
Paralelkenarın bir kenarı üzerindeki iki köşeden karşı paralel kenar üzerindeki herhangi bir noktaya çizilen doğru parçalarının oluşturduğu üçgenin alanı, paralelkenarın alanının yarısına eşittir.
Doğru parçalarının karşı kenarda kestiği nokta olan \( N \)'den yan kenarlara paralel bir doğru çizersek (kesikli gri doğru), oluşan dört üçgenin alanları arasında aşağıdaki gibi eşitlik olduğunu görürüz.
Yukarıda \( [AC] \) köşegenini üç eşit parçaya böldüğünü gösterdiğimiz \( [DN] \) ve \( [DP] \) doğru parçalarının paralelkenarın alanını böldüğü parçaların oranları aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.
Paralelkenarda bölgelerin alanları
İSPATI GÖSTER
Paralelkenarın diğer köşegenini de çizelim (kesikli gri doğru).
\( A(\overset{\triangle}{AKN}) = A \) diyelim.
\( \overset{\triangle}{ABD} \) üçgeninin ağırlık merkezi olan \( K \) noktası, \( \overset{\triangle}{ADN} \) üçgeninin bir tabanı olan \( [DN] \) doğru parçasını 2:1 oranında böler.
\( A(\overset{\triangle}{ADK}) = 2A \)
\( K \) ve \( L \) noktaları \( [AC] \) köşegenini üç eşit parçaya böler, dolayısıyla tabanları ve yükseklikleri eşit üç üçgen oluşur.
\( A(\overset{\triangle}{DKL}) = 2A \)
\( A(\overset{\triangle}{CDL}) = 2A \)
\( \overset{\triangle}{BCD} \) üçgeninin ağırlık merkezi olan \( L \) noktası \( [DP] \) doğru parçasını 2:1 oranında böler.
\( A(\overset{\triangle}{CLP}) = A \)
\( [AC] \) köşegeni paralelkenarın alanını iki eşit parçaya böldüğü için, beşgen şekil için kalan alan 4A'dır.
\( A(KLPBN) = 6A - A - A = 4A \)
Yukarıda \( [AC] \) köşegenini üç eşit parçaya böldüğünü gösterdiğimiz \( [DN] \) ve \( [BP] \) doğru parçalarının paralelkenarın alanını böldüğü parçaların oranları aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.
Paralelkenarda bölgelerin alanları
İSPATI GÖSTER
Paralelkenarın diğer köşegenini de çizelim (kesikli gri doğru).
\( A(\overset{\triangle}{AKN}) = A \) diyelim.
\( \overset{\triangle}{ABD} \) üçgeninin ağırlık merkezi olan \( K \) noktası, \( \overset{\triangle}{ADN} \) üçgeninin bir tabanı olan \( [DN] \) doğru parçasını 2:1 oranında böler.
\( A(\overset{\triangle}{ADK}) = 2A \)
\( \overset{\triangle}{ABD} \) üçgeninin ağırlık merkezi olan \( K \) noktası, \( \overset{\triangle}{ADM} \) üçgeninin bir tabanı olan \( [AM] \) doğru parçasını 2:1 oranında böler.
\( A(\overset{\triangle}{DKM}) = A \)
\( \overset{\triangle}{AKN} \) ve \( \overset{\triangle}{CLT} \) üçgenleri eş üçgenlerdir (iki kenar uzunluğu ve aralarındaki açı eşit).
\( A(\overset{\triangle}{CLT}) = A \)
Paralelkenarın köşegenleri birbirini ortaladığı için, \( \overset{\triangle}{ADM} \) ve \( \overset{\triangle}{CDM} \) üçgenlerinin alanları eşittir.
\( A(DMLT) = 2A \)
\( \overset{\triangle}{BCD} \) üçgeninin ağırlık merkezi olan \( L \) noktası, \( \overset{\triangle}{BCT} \) üçgeninin bir tabanı olan \( [BT] \) doğru parçasını 2:1 oranında böler.
\( A(\overset{\triangle}{BCL}) = 2A \)
\( \overset{\triangle}{BCD} \) üçgeninin ağırlık merkezi olan \( L \) noktası, \( \overset{\triangle}{BCM} \) üçgeninin bir tabanı olan \( [CM] \) doğru parçasını 2:1 oranında böler.
\( A(\overset{\triangle}{BLM}) = A \)
\( [AC] \) köşegeni paralelkenarın alanını iki eşit parçaya böldüğü için, dörtgen şekil için kalan alan 4A'dır.
\( A(BNKM) = 6A - 2A - A - A = 2A \)
Bir paralelkenarın köşe ve kenarları arasında çizilen aşağıdaki doğru parçaları, paralelkenarın alanını belirtilen oranlarda böler.
Paralelkenarda bölgelerin alanları
İSPATI GÖSTER
\( N \) ve \( T \) noktalarını bir doğru parçası ile birleştirelim.
\( ANTD \) ve \( NBCT \) tabanları ve yükseklikleri eşit iki eş paralelkenar olur.
\( A(ANTD) = A(NBCT) \)
\( [AT] \) ve \( [NC] \) doğru parçaları bu iki paralelkenarın köşegenleri olduğu için ilgili paralelkenarların alanlarını iki eşit parçaya böler.
\( A(\overset{\triangle}{ADT}) = A(\overset{\triangle}{ANT}) = A \)
\( A(\overset{\triangle}{NBC}) = A(\overset{\triangle}{NTC}) = A \)
Buna göre \( ANCT \) paralelkenarının alanı \( 2A \) olur.
\( A(ANCT) = A + A = 2A \)
Bir paralelkenarın köşe ve kenarları arasında çizilen aşağıdaki doğru parçaları, paralelkenarın alanını belirtilen oranlarda böler.
Paralelkenarda bölgelerin alanları
İSPATI GÖSTER
Paralelkenarın karşılıklı kenarlarının orta noktalarını birer doğru parçası ile birleştirelim.
\( A(\overset{\triangle}{TCP}) = A \) diyelim.
\( [TP] \) doğru parçası \( TCPM \) paralelkenarının köşegeni olduğu için paralelkenarın alanını iki eşit parçaya böler.
\( A(\overset{\triangle}{TCP}) = A(\overset{\triangle}{TMP}) = A \)
\( A(TCPM) = 2A \)
\( MPBN \), \( RMNA \) ve \( DTMR \) paralelkenarlarının taban uzunlukları, yükseklikleri ve alanları \( TCPM \) paralelkenarları ile aynıdır.
\( A(MPBN) = A(RMNA) = A(DTMR) = 2A \)
Buna göre \( ABCD \) paralelkenarlarının alanı \( 8A \) olur.
\( [AT] \) doğru parçası \( ADTN \) paralelkenarlarının köşegeni olduğu için alan \( 4A \) olan paralelkenarın alanını iki eşit parçaya böler.
\( A(\overset{\triangle}{ADT}) = 2A \)
\( [AP] \) doğru parçası \( ARPB \) paralelkenarlarının köşegeni olduğu için alan \( 4A \) olan paralelkenarın alanını iki eşit parçaya böler.
\( A(\overset{\triangle}{APB}) = 2A \)
Ortadaki \( \overset{\triangle}{ATP} \) üçgeninin alanını bulmak için \( ABCD \)paralelkenarlarının alanından üç üçgenin alanını çıkaralım.
