Karşılıklı kenarları paralel olan dörtgene paralelkenar denir.
Bir dörtgenin aşağıdaki özelliklerden en az birini taşıdığı biliniyorsa bu dörtgen bir paralelkenardır ve diğer özellikleri de taşır.
Karşılıklı kenarlar paralel (paralelkenar tanımı)
Karşılıklı kenar uzunlukları eşit
Karşılıklı iki kenar paralel ve uzunlukları eşit
Karşılıklı açı ölçüleri eşit
Köşegenler birbirini ortalıyor.
Komşu köşe açıları bütünler
Her bir köşegen dörtgeni iki eş üçgene ayırıyor.
Paralelkenar bir dörtgen olduğu için, dörtgenler bölümünde bahsettiğimiz tüm özellikler paralelkenar için de geçerlidir.
Giriş bölümünde paylaştığımız dörtgen hiyerarşisine göre; eşkenar dörtgen, dikdörtgen ve kare paralelkenarın ek özelliklere sahip özel birer durumu olarak düşünülebilir.
Paralelkenarın Kenar ve Köşegen Özellikleri
Paralelkenarda karşılıklı kenarlar birbirine paraleldir ve uzunlukları birbirine eşittir.
Paralelkenarın köşegenleri birbirini ortalar. Bunun karşıtı da doğrudur, bir dörtgenin köşegenleri birbirini ortalıyorsa o dörtgenin karşılıklı kenarları paraleldir.
Tüm dörtgenlerde olduğu gibi, paralelkenarın kenar orta noktalarının birleştirilmesiyle oluşan dörtgen bir paralelkenardır. Varignon paralelkenarı adı verilen bu dörtgenle ilgili daha fazla bilgi ve paralelkenarda da geçerli olan özellikleri için dörtgenler sayfasını inceleyebilirsiniz.
Paralelkenarda geniş açılar uzun köşegeni, dar açılar kısa köşegeni görür. Bu kuralın ispatı üçgenler konusunda gördüğümüz Hinge teoremi ile yapılabilir. Bu teoreme göre, iki üçgenin ikişer kenar uzunluğu eşitse bu iki kenarın arasındaki açısı daha büyük olan üçgenin üçüncü kenar uzunluğu daha büyüktür.
Paralelkenarın diğer köşegenini de çizelim (kesikli gri doğru). \( [DN] \) \( \overset{\triangle}{ABD} \) üçgeninin bir kenarortayıdır. Paralelkenarın köşegenleri birbirini ortaladığı için, \( [AM] \) de \( \overset{\triangle}{ABD} \) üçgeninin bir kenarortayıdır. Buna göre, iki kenarortayın kesişim noktası olan \( K \) noktası \( \overset{\triangle}{ABD} \) üçgeninin ağırlık merkezidir ve \( [AM] \) doğru parçasını 2:1 oranında böler.
Aynı yöntemi \( \overset{\triangle}{BCD} \) üçgenine uygularsak, \( L \) noktasının \( \overset{\triangle}{BCD} \) üçgeninin ağırlık merkezi olduğunu buluruz. Dolayısıyla, \( [AC] \) köşegeninin 2:2:2 oranında, yani eşit üç parçaya bölündüğünü buluruz.
Yukarıdaki eşitliğin bir diğer uygulamasında; paralelkenarın karşılıklı iki köşesinden karşı kenarların orta noktalarına çizilen doğru parçaları, paralelkenarın köşegenini üç eşit parçaya böler.
Bu kuralın yukarıdaki kuraldan farkı, \( \overset{\triangle}{BCD} \) üçgeninde \( [DP] \) kenarortayı yerine \( [BT] \) kenarortayının çizilmiş olmasıdır. \( L \) noktasının \( \overset{\triangle}{BCD} \) üçgeninin ağırlık merkezi (kenarortayların kesişim noktası) olduğunu bildiğimiz için, \( L \) noktasının konumu, dolayısıyla \( [AC] \) köşegeninin bölünme oranı değişmeyecektir.
Paralelkenarda komşu köşe açıları bütünler açılardır. Yukarıda karşılıklı köşe açılarının eşliğini göstermek için yaptığımız ispat bu kuralın ispatını da içermektedir.
\( x + y = 180° \)
Paralelkenarda komşu iki köşenin açıortayları birbirini orta taban üzerinde ve dik keser.
\( [AK] \) ve \( [DK] \) açıortay, \( [EF] \) orta taban olmak üzere,
\( K \) noktasından geçen, \( [AD] \) ve \( [BC] \) kenarlarını birleştiren, \( [AB] \) ve \( [DC] \) kenarlarına paralel \( [EF] \) doğru parçasını çizelim.
\( \widehat{BAK} \) ve \( \widehat{EKA} \) açıları iç ters açılar oldukları için eş açılardır.
\( m(\widehat{EKA}) = \dfrac{x}{2} \)
\( \widehat{CDK} \) ve \( \widehat{DKE} \) açıları iç ters açılar oldukları için eş açılardır.
\( m(\widehat{DKE}) = \dfrac{y}{2} \)
Buna göre \( AEK \) ve \( DEK \) üçgenleri ikizkenardır.
\( \abs{AE} = \abs{EK} \)
\( \abs{DE} = \abs{EK} \)
Buna göre \( [EF] \) doğru parçası \( [AD] \) kenarını ortalar.
\( [EF] \) doğru parçası aynı zamanda \( [AB] \) ve \( [DC] \) kenarlarına paralel olduğu için \( [BC] \) kenarını da ortalar, dolayısıyla paralelkenarın bir orta tabanıdır.
Paralelkenarda bir kenar üzerindeki iki açı bütünlerdir.
Paralelkenarın karşılıklı kenarları paralel olduğu için, iç ya da dış bölgesine çizilen doğrularla farklı benzer üçgenler oluşturulabilir, bu durumlarda üçgenler konusunda gördüğümüz kelebek ve Thales kuralları sıklıkla kullanılır.
Aşağıdaki şekilde paralelkenarda kelebek kuralının kullanımına bir örnek verilmiştir.
Tüm dörtgenlerde olduğu gibi; paralelkenarın alanı, köşegenlerin uzunlukları ile aralarındaki açının sinüs değerinin çarpımının yarısına eşittir. Birbirini 180°'ye tamamlayan açıların sinüs değerleri eşit olduğu için, köşegenlerin arasında oluşan bütünler açıların ikisi de aynı sonucu verir. Aşağıda bu formülün tüm dörtgenler için geçerli olan ispatı verilmiştir.
Bir diğer formüle göre; paralelkenarın alanı, komşu iki kenarın uzunlukları ile aralarındaki açının sinüs değerinin çarpımına eşittir. Birbirini 180°'ye tamamlayan açıların sinüs değerleri eşit olduğu için, hangi iki komşu kenar seçilirse seçilsin aynı sonuç elde edilir.
Paralelkenarın bir köşegeni üzerindeki herhangi bir noktadan (\( K \) noktası) kenarlara paralel çizilen doğru parçalarının oluşturduğu altı bölgeden karşılıklı bölgelerin alanları birbirine eşittir.
\( [EF] \parallel [DC] \) ve \( [HG] \parallel [AD] \) olduğu için oluşan \( AHKE \), \( KFCG \), \( HBFK \) ve \( EKGD \) dörtgenleri de birer paralelkenardır.
\( [AK] \) doğru parçası \( AHKE \) paralelkenarının köşegeni olduğu için paralelkenarın alanını iki eşit parçaya böler.
\( A(AHK) = A(AEK) = A_1 \)
\( [KC] \) doğru parçası \( KFCG \) paralelkenarının köşegeni olduğu için paralelkenarın alanını iki eşit parçaya böler.
\( A(KFC) = A(KGC) = A_2 \)
\( [AC] \) doğru parçası \( ABCD \) paralelkenarının köşegeni olduğu için paralelkenarın alanını iki eşit parçaya böler.
Paralelkenarın bir köşegeni üzerindeki herhangi bir noktaya (\( K \) noktası) diğer iki köşeden çizilen doğru parçalarının oluşturduğu dört bölgeden karşılıklı bölgelerin alanları birbirine eşittir.
Yukarıda ispatını verdiğimiz üzere, paralelkenarın her bir köşegeni paralelkenarı iki eş üçgene ayırır.
\( A(ABC) = A(ADC) \)
Alanları eşit bu iki üçgende \( [AC] \) kenarı ortak olduğu için bu kenara ait yükseklikler de eşittir.
\( h_b = h_d \)
Buna göre taban uzunlukları (\( \abs{AK} \) ve \( \abs{KC} \)) ve yükseklikleri (\( h_b \) ve \( h_d \)) eşit olan aşağıdaki üçgenlerin alanları eşit olur.
Paralelkenarın içindeki herhangi bir noktadan (\( K \) noktası) köşelere çizilen doğru parçalarının oluşturduğu dört bölgeden karşılıklı bölgelerin alanları toplamı birbirine eşittir.
\( K \) noktasından kenarlara paralel doğrular çizelim.
Oluşan şekilde büyük paralelkenar dört küçük paralelkenara bölünmüş olur ve \( K \) noktasından köşelere çizilen doğru parçaları küçük paralelkenarların köşegeni olur ve her paralelkenarın alanını iki eşit parçaya böler.
\( A(\overset{\triangle}{APK}) = A(\overset{\triangle}{ATK}) = A \)
\( A(\overset{\triangle}{BPK}) = A(\overset{\triangle}{BRK}) = B \)
\( A(\overset{\triangle}{CRK}) = A(\overset{\triangle}{CSK}) = C \)
\( A(\overset{\triangle}{DSK}) = A(\overset{\triangle}{DTK}) = D \)
\( A_1 \), \( A_2 \), \( A_3 \) ve \( A_4 \) bölgelerinin alanlarını yukarıdaki alanlar cinsiden yazarsak karşılıklı bölgelerin alanları toplamının eşit olduğunu görebiliriz.
Komşu iki köşeden karşı paralel kenar üzerindeki herhangi bir noktaya çizilen doğru parçalarının oluşturduğu üçgenin alanı, paralelkenarın alanının yarısına eşittir.
Doğru parçalarının karşı kenarda kestiği nokta olan \( N \)'den yan kenarlara paralel bir doğru çizersek (kesikli gri doğru), oluşan dört üçgenin alanları arasında aşağıdaki gibi eşitlik olduğunu görürüz.
Paralelkenarın diğer köşegenini de çizelim (kesikli gri doğru).
\( A(\overset{\triangle}{AKN}) = A \) diyelim.
\( \overset{\triangle}{ABD} \) üçgeninin ağırlık merkezi olan \( K \) noktası, \( \overset{\triangle}{ADN} \) üçgeninin bir tabanı olan \( [DN] \) doğru parçasını 2:1 oranında böler.
\( A(\overset{\triangle}{ADK}) = 2A \)
\( K \) ve \( L \) noktaları \( [AC] \) köşegenini üç eşit parçaya böler, dolayısıyla tabanları ve yükseklikleri eşit üç üçgen oluşur.
\( A(\overset{\triangle}{DKL}) = 2A \)
\( A(\overset{\triangle}{CDL}) = 2A \)
\( \overset{\triangle}{BCD} \) üçgeninin ağırlık merkezi olan \( L \) noktası \( [DP] \) doğru parçasını 2:1 oranında böler.
\( A(\overset{\triangle}{CLP}) = A \)
\( [AC] \) köşegeni paralelkenarın alanını iki eşit parçaya böldüğü için, beşgen şekil için kalan alan 4A'dır.
Paralelkenarın diğer köşegenini de çizelim (kesikli gri doğru).
\( A(\overset{\triangle}{AKN}) = A \) diyelim.
\( \overset{\triangle}{ABD} \) üçgeninin ağırlık merkezi olan \( K \) noktası, \( \overset{\triangle}{ADN} \) üçgeninin bir tabanı olan \( [DN] \) doğru parçasını 2:1 oranında böler.
\( A(\overset{\triangle}{ADK}) = 2A \)
\( \overset{\triangle}{ABD} \) üçgeninin ağırlık merkezi olan \( K \) noktası, \( \overset{\triangle}{ADM} \) üçgeninin bir tabanı olan \( [AM] \) doğru parçasını 2:1 oranında böler.
\( A(\overset{\triangle}{DKM}) = A \)
\( \overset{\triangle}{AKN} \) ve \( \overset{\triangle}{CLT} \) üçgenleri eş üçgenlerdir (iki kenar uzunluğu ve aralarındaki açı eşit).
\( A(\overset{\triangle}{CLT}) = A \)
Paralelkenarın köşegenleri birbirini ortaladığı için, \( \overset{\triangle}{ADM} \) ve \( \overset{\triangle}{CDM} \) üçgenlerinin alanları eşittir.
\( A(DMLT) = 2A \)
\( \overset{\triangle}{BCD} \) üçgeninin ağırlık merkezi olan \( L \) noktası, \( \overset{\triangle}{BCT} \) üçgeninin bir tabanı olan \( [BT] \) doğru parçasını 2:1 oranında böler.
\( A(\overset{\triangle}{BCL}) = 2A \)
\( \overset{\triangle}{BCD} \) üçgeninin ağırlık merkezi olan \( L \) noktası, \( \overset{\triangle}{BCM} \) üçgeninin bir tabanı olan \( [CM] \) doğru parçasını 2:1 oranında böler.
\( A(\overset{\triangle}{BLM}) = A \)
\( [AC] \) köşegeni paralelkenarın alanını iki eşit parçaya böldüğü için, dörtgen şekil için kalan alan 4A'dır.