Paralelkenar

Karşılıklı kenarları paralel olan dörtgene paralelkenar denir.

Paralelkenar
Paralelkenar

Bir dörtgenin aşağıdaki özelliklerden en az birini taşıdığı biliniyorsa bu dörtgen bir paralelkenardır ve diğer özellikleri de taşır.

  • Karşılıklı kenarlar paralel (paralelkenar tanımı)
  • Karşılıklı kenar uzunlukları eşit
  • Karşılıklı iki kenar paralel ve uzunlukları eşit
  • Karşılıklı açı ölçüleri eşit
  • Köşegenler birbirini ortalıyor.
  • Komşu köşe açıları bütünler
  • Her bir köşegen dörtgeni iki eş üçgene ayırıyor.

Paralelkenar bir dörtgen olduğu için, dörtgenler bölümünde bahsettiğimiz tüm özellikler paralelkenar için de geçerlidir.

Giriş bölümünde paylaştığımız dörtgen hiyerarşisine göre; eşkenar dörtgen, dikdörtgen ve kare paralelkenarın ek özelliklere sahip özel birer durumu olarak düşünülebilir.

Paralelkenarın Kenar ve Köşegen Özellikleri

Paralelkenarda karşılıklı kenarlar birbirine paraleldir ve uzunlukları birbirine eşittir.

Paralelkenarın kenar özellikleri
Paralelkenarın kenar özellikleri

Paralelkenarın köşegenleri birbirini ortalar. Bunun karşıtı da doğrudur, bir dörtgenin köşegenleri birbirini ortalıyorsa o dörtgenin karşılıklı kenarları paraleldir.

Paralelkenarın kenar ve köşegen özellikleri
Paralelkenarın kenar ve köşegen özellikleri

Tüm dörtgenlerde olduğu gibi, paralelkenarın kenar orta noktalarının birleştirilmesiyle oluşan dörtgen bir paralelkenardır. Varignon paralelkenarı adı verilen bu dörtgenle ilgili daha fazla bilgi ve paralelkenarda da geçerli olan özellikleri için dörtgenler sayfasını inceleyebilirsiniz.

Kenar orta noktalarının oluşturduğu paralelkenar
Kenar orta noktalarının oluşturduğu paralelkenar

Paralelkenarda geniş açılar uzun köşegeni, dar açılar kısa köşegeni görür. Bu kuralın ispatı üçgenler konusunda gördüğümüz Hinge teoremi ile yapılabilir. Bu teoreme göre, iki üçgenin ikişer kenar uzunluğu eşitse bu iki kenarın arasındaki açısı daha büyük olan üçgenin üçüncü kenar uzunluğu daha büyüktür.

Paralelkenarda açı - köşegen ilişkisi
Paralelkenarda açı - köşegen ilişkisi

Paralelkenarın köşegen uzunluklarının kareleri toplamı, kenar uzunluklarının kareleri toplamının iki katına eşittir.

Paralelkenarda kenar - köşegen ilişkisi
Paralelkenarda kenar - köşegen ilişkisi

Paralelkenarın bir köşesinden karşı iki kenarın orta noktalarına çizilen doğru parçaları, paralelkenarın köşegenini üç eşit parçaya böler.

Bir köşeden karşı kenarları ortalayan doğrular
Bir köşeden karşı kenarları ortalayan doğrular

Yukarıdaki eşitliğin bir diğer uygulamasında; paralelkenarın karşılıklı iki köşesinden karşı kenarların orta noktalarına çizilen doğru parçaları, paralelkenarın köşegenini üç eşit parçaya böler.

Karşı köşelerden karşı kenarları ortalayan doğrular
Karşı köşelerden karşı kenarları ortalayan doğrular

Paralelkenarın bir köşegenini şekildeki gibi kesen doğru üzerinde oluşan doğru parçalarının uzunlukları arasında aşağıdaki ilişki vardır.

Paralelkenarda benzerlik
Paralelkenarda benzerlik

Paralelkenarın Açı Özellikleri

Tüm dörtgenlerde olduğu gibi, paralelkenarın hem iç açıları hem de dış açıları toplamı 360°'dir.

Paralelkenarda karşılıklı köşelerin açıları birbirine eşittir.

Paralelkenarın açı özellikleri
Paralelkenarın açı özellikleri

Paralelkenarda komşu köşe açıları bütünler açılardır. Yukarıda karşılıklı köşe açılarının eşliğini göstermek için yaptığımız ispat bu kuralın ispatını da içermektedir.

Paralelkenarda komşu iki köşenin açıortayları birbirini orta taban üzerinde ve dik keser.

Paralelkenarda açıortayların kesişimi
Paralelkenarda açıortayların kesişimi

Paralelkenarın karşılıklı kenarları paralel olduğu için, iç ya da dış bölgesine çizilen doğrularla farklı benzer üçgenler oluşturulabilir, bu durumlarda üçgenler konusunda gördüğümüz kelebek ve Thales kuralları sıklıkla kullanılır.

Aşağıdaki şekilde paralelkenarda kelebek kuralının kullanımına bir örnek verilmiştir.

Paralelkenarda kelebek kuralı
Paralelkenarda kelebek kuralı

Aşağıdaki şekilde paralelkenarda Thales kuralının kullanımına bir örnek verilmiştir.

Paralelkenarda Thales kuralı
Paralelkenarda Thales kuralı

Paralelkenarın Çevresi ve Alanı

Paralelkenarın alanı
Paralelkenarın alanı

Paralelkenarın çevresi, komşu iki kenarın uzunlukları toplamının iki katına eşittir.

Paralelkenarın alanı, bir kenar uzunluğu ile o kenara ait yüksekliğin çarpımına eşittir.

Tüm dörtgenlerde olduğu gibi; paralelkenarın alanı, köşegenlerin uzunlukları ile aralarındaki açının sinüs değerinin çarpımının yarısına eşittir. Birbirini 180°'ye tamamlayan açıların sinüs değerleri eşit olduğu için, köşegenlerin arasında oluşan bütünler açıların ikisi de aynı sonucu verir. Aşağıda bu formülün tüm dörtgenler için geçerli olan ispatı verilmiştir.

Sinüs formülü ile paralelkenarın alanı
Sinüs formülü ile paralelkenarın alanı

Bir diğer formüle göre; paralelkenarın alanı, komşu iki kenarın uzunlukları ile aralarındaki açının sinüs değerinin çarpımına eşittir. Birbirini 180°'ye tamamlayan açıların sinüs değerleri eşit olduğu için, hangi iki komşu kenar seçilirse seçilsin aynı sonuç elde edilir.

Sinüs formülü ile paralelkenarın alanı
Sinüs formülü ile paralelkenarın alanı

Paralelkenarın her bir köşegeni paralelkenarı iki eş üçgene ayırır.

Köşegenlerin oluşturduğu eş üçgenler
Köşegenlerin oluşturduğu eş üçgenler

Paralelkenarın köşegenleri birbirini ortaladığı için, aynı zamanda paralelkenarın alanını dört eşit parçaya bölerler.

Paralelkenarda bölgelerin alanları
Paralelkenarda bölgelerin alanları

Paralelkenarın köşegenlerinin oluşturduğu aşağıdaki üçgenler, tüm kenar uzunlukları ve açı ölçüleri eşit olduğu için eş üçgenlerdir.

Paralelkenarın bir köşegeni üzerindeki herhangi bir noktadan (\( K \) noktası) kenarlara paralel çizilen doğru parçalarının oluşturduğu altı bölgeden karşılıklı bölgelerin alanları birbirine eşittir.

Paralelkenarda bölgelerin alanları
Paralelkenarda bölgelerin alanları

Paralelkenarın bir köşegeni üzerindeki herhangi bir noktaya (\( K \) noktası) diğer iki köşeden çizilen doğru parçalarının oluşturduğu dört bölgeden karşılıklı bölgelerin alanları birbirine eşittir.

Paralelkenarda bölgelerin alanları
Paralelkenarda bölgelerin alanları

Paralelkenarın içindeki herhangi bir noktadan (\( K \) noktası) köşelere çizilen doğru parçalarının oluşturduğu dört bölgeden karşılıklı bölgelerin alanları toplamı birbirine eşittir.

Paralelkenarda bölgelerin alanları
Paralelkenarda bölgelerin alanları

Komşu iki köşeden karşı paralel kenar üzerindeki herhangi bir noktaya çizilen doğru parçalarının oluşturduğu üçgenin alanı, paralelkenarın alanının yarısına eşittir.

Paralelkenarda bölgelerin alanları
Paralelkenarda bölgelerin alanları

Yukarıda \( [AC] \) köşegenini üç eşit parçaya böldüğünü gösterdiğimiz \( [DN] \) ve \( [DP] \) doğru parçaları, paralelkenarın alanını aşağıda belirtilen oranlarda böler.

Paralelkenarda bölgelerin alanları
Paralelkenarda bölgelerin alanları

Yukarıda \( [AC] \) köşegenini üç eşit parçaya böldüğünü gösterdiğimiz \( [DN] \) ve \( [BT] \) doğru parçaları, paralelkenarın alanını aşağıda belirtilen oranlarda böler.

Paralelkenarda bölgelerin alanları
Paralelkenarda bölgelerin alanları

Bir paralelkenarın köşe ve kenarları arasında şekildeki gibi çizilen doğru parçaları, paralelkenarın alanını aşağıda belirtilen oranlarda böler.

Paralelkenarda bölgelerin alanları
Paralelkenarda bölgelerin alanları

Bir paralelkenarın birer köşesini köşe kabul eden üçgenlerin alanları bu köşelere komşu kenar uzunluklarının çarpımı ile doğru orantılıdır.

Paralelkenarda bölgelerin alanları
Paralelkenarda bölgelerin alanları

« Önceki
Deltoid
Sonraki »
Eşkenar Dörtgen


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır