Paralelkenar

Karşılıklı kenarları paralel olan dörtgenlere paralelkenar denir.

Paralelkenar
Paralelkenar

Paralelkenarlar aynı zamanda birer dörtgen oldukları için, dörtgen bölümünde bahsettiğimiz özellikler paralelkenarlar için de geçerlidir.

  • Paralelkenarın hem iç açıları hem de dış açıları toplamı \( 360° \)'dir.
  • Paralelkenarın kenarlarının orta noktalarının birleştirilmesiyle oluşan şekil de bir paralelkenardır.
  • Paralelkenarın köşegenlerinin uzunlukları ve birbiriyle yaptıkları açının sinüs değerinin çarpımının yarısı paralelkenarın alanını verir.

Bir dörtgenin paralelkenar olduğunu gösterebilmemiz için şeklin aşağıdaki 6 özellikten en az birine sahip olduğunu göstermemiz gerekir.

  • Karşılıklı tüm kenarlar paralel (paralelkenar tanımı)
  • Karşılıklı tüm kenarların uzunlukları eşit
  • Karşılıklı tüm açıların ölçüleri eşit
  • Karşılıklı iki kenar paralel ve uzunlukları eşit
  • Köşegenler birbirini ortalar

Paralelkenarın Kenar ve Köşegen Özellikleri

Paralelkenarın kenar ve köşegen özellikleri
Paralelkenarın kenar ve köşegen özellikleri

Paralelkenarda karşılıklı kenarların uzunlukları birbirine eşittir ve bu kenarlar birbirine paraleldir.

Paralelkenarın köşegenleri birbirini iki eşit parçaya böler.

Paralelkenarın köşegen uzunluklarının kareleri toplamı, kenar uzunluklarının kareleri toplamının iki katına eşittir.

Paralelkenarın bir köşesinden çizilen ve karşı iki kenarı ortalayan iki doğru parçası, paralelkenarın köşegenini üç eşit parçaya böler.

Bir köşeden karşı kenarları ortalayan doğrular
Bir köşeden karşı kenarları ortalayan doğrular

Yukarıdaki eşitliğin bir diğer uygulamasında, paralelkenarın karşı iki köşesinden çizilen ve karşı iki kenarı ortalayan iki doğru parçası, paralelkenarın köşegenini üç eşit parçaya böler.

Karşı köşelerden karşı kenarları ortalayan doğrular
Karşı köşelerden karşı kenarları ortalayan doğrular

Paralelkenarın Açı Özellikleri

Tüm dörtgenlerde olduğu gibi, paralelkenarın iç açıları toplamı da, dış açıları toplamı da \( 360° \)'dir.

Paralelkenarın açı özellikleri
Paralelkenarın açı özellikleri

Paralelkenarda aynı kenar üzerindeki iki açı karşı durumlu açılar oldukları için toplamları \( 180° \)'dir.

Paralelkenarda karşılıklı köşelerin açıları iç ters açılar oldukları için birbirine eşittir.

Aynı kenar üzerindeki iki açının açıortayları birbirini dik keser.

Paralelkenarın açıortaylarının kesişimi
Paralelkenarın açıortaylarının kesişimi

Paralelkenarın karşılıklı kenarları paralel olduğu için, iç ya da dış bölgesine çizilen doğrularla farklı benzer üçgenler oluşabilmektedir, bu durumlarda da üçgenler konusunda gördüğümüz kelebek kuralı ve Thales kuralına sıklıkla ihtiyaç duyabilmekteyiz.

Aşağıdaki şekilde kelebek kuralını uygulayabileceğimiz şekilde \( \overset{\triangle}{DMK} \) ve \( \overset{\triangle}{NAK} \) üçgenleri arasında benzerlik oluşmaktadır.

Paralelkenarda kelebek kuralı
Paralelkenarda kelebek kuralı

Aşağıdaki şekilde Thales kuralını uygulayabileceğimiz şekilde \( \overset{\triangle}{NMC} \) ve \( \overset{\triangle}{NAB} \) üçgenleri arasında benzerlik oluşmaktadır.

Paralelkenarda Thales kuralı
Paralelkenarda Thales kuralı

Paralelkenarın Çevresi ve Alanı

Paralelkenarın alanı
Paralelkenarın alanı

Paralelkenarın çevresi, paralel kenarların uzunlukları toplamının iki katına eşittir.

Paralelkenarın alanı, her bir paralel kenarın uzunluğu ve o kenara ait yüksekliğin çarpımına eşittir.

Paralelkenarın alanı, köşegenlerinin uzunlukları ve birbiriyle yaptıkları açının sinüs değerinin çarpımının yarısına eşittir. Birbirini \( 180° \)'ye tamamlayan açıların sinüs değerleri aynı olduğu için köşegenlerin arasında oluşan açıların ikisi de aynı sonucu verecektir.

Sinüs formülü ile paralelkenarın alanı
Sinüs formülü ile paralelkenarın alanı

Paralelkenarın köşegenleri birbirini ortaladığı için, aynı zamanda paralelkenarın alanını dört eşit parçaya bölerler.

Paralelkenarda bölgelerin alanları
Paralelkenarda bölgelerin alanları

Paralelkenarın içindeki herhangi bir noktadan köşelere çizilen doğru parçalarının ayırdığı dört bölgeden karşılıklı bölgelerin alanları toplamı birbirine eşittir.

Paralelkenarda bölgelerin alanları
Paralelkenarda bölgelerin alanları

Paralelkenarın bir kenarı üzerindeki iki köşeden karşı paralel kenar üzerindeki herhangi bir noktaya çizilen doğru parçalarının oluşturduğu üçgenin alanı, paralelkenarın alanının yarısına eşittir.

Paralelkenarda bölgelerin alanları
Paralelkenarda bölgelerin alanları

Yukarıda \( [AC] \) köşegenini üç eşit parçaya böldüğünü gösterdiğimiz \( [DN] \) ve \( [DP] \) doğru parçalarının paralelkenarın alanını böldüğü parçaların oranları aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.

Paralelkenarda bölgelerin alanları
Paralelkenarda bölgelerin alanları

Yukarıda \( [AC] \) köşegenini üç eşit parçaya böldüğünü gösterdiğimiz \( [DN] \) ve \( [BP] \) doğru parçalarının paralelkenarın alanını böldüğü parçaların oranları aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.

Paralelkenarda bölgelerin alanları
Paralelkenarda bölgelerin alanları

Bir paralelkenarın köşe ve kenarları arasında çizilen aşağıdaki doğru parçaları, paralelkenarın alanını belirtilen oranlarda böler.

Paralelkenarda bölgelerin alanları
Paralelkenarda bölgelerin alanları

Bir paralelkenarın köşe ve kenarları arasında çizilen aşağıdaki doğru parçaları, paralelkenarın alanını belirtilen oranlarda böler.

Paralelkenarda bölgelerin alanları
Paralelkenarda bölgelerin alanları

« Önceki
Dörtgenlere Giriş
Sonraki »
Eşkenar Dörtgen


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır