Üstel Fonksiyon Tanımı
\( f(x) = a^x \) şeklindeki fonksiyonlara üstel fonksiyon denir.
\( a \in \mathbb{R^+} - \{ 1 \} \) olmak üzere,
\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R^+} \)
\( f(x) = a^x \)
fonksiyonuna üstel fonksiyon denir.
\( f(x) = 2^x \)
\( g(x) = (\frac{2}{3})^{2x} \)
Üstel fonksiyonların \( x^2, x^3, \ldots \) şeklindeki kuvvet fonksiyonlarından farkı, \( x \) değişkeninin fonksiyonun tabanında değil üssünde yer almasıdır.
Üstel Fonksiyonun Tabanı
Üstel fonksiyonların tabanı negatif, 0 ve 1 olamaz.
Üstel fonksiyonların tabanının 0 ya da 1 olamama sebebi, bu değerlerde fonksiyonun sabit fonksiyona dönüşmesidir.
\( a = 0 \) ve \( x \ne 0 \) için,
\( f(x) = 0^x = 0 \)
\( a = 1 \) için,
\( f(x) = 1^x = 1 \)
Üstel fonksiyonların tabanının negatif olamama sebebi, fonksiyonun kesirli \( x \) değerlerinde reel olmayan sonuçlar verebilmesidir.
\( a = -2 \) için,
\( f(\frac{1}{2}) = (-2)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{-2} \notin \mathbb{R} \)
Negatif tabanın yol açtığı bir diğer durum da tam sayı üs değerlerinde fonksiyonun pozitif/negatif değerler arasında gidip gelmesidir.
\( a = -2 \) için,
\( f(1) = (-2)^1 = -2 \)
\( f(2) = (-2)^2 = 4 \)
\( f(3) = (-2)^3 = -8 \)
\( f(4) = (-2)^4 = 16 \)
Üstel Fonksiyon Değer Tablosu ve Grafiği
\( f(x) = 2^x \) üstel fonksiyonunun bazı değerleri için değer tablosu aşağıdaki gibidir.
| \( x \) | \( f(x) = 2^x \) |
|---|---|
| \( -2 \) | \( f(-2) = 2^{-2} = \frac{1}{4} \) |
| \( -1 \) | \( f(-1) = 2^{-1} = \frac{1}{2} \) |
| \( -\frac{1}{2} \) | \( f(-\frac{1}{2}) = 2^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \) |
| \( 0 \) | \( f(0) = 2^{0} = 1 \) |
| \( \frac{1}{2} \) | \( f(\frac{1}{2}) = 2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2} \) |
| \( 1 \) | \( f(1) = 2^{1} = 2 \) |
| \( 2 \) | \( f(2) = 2^{2} = 4 \) |
| \( 3 \) | \( f(3) = 2^{3} = 8 \) |
Bu noktaları analitik düzlemde işaretlediğimizde aşağıdaki grafiği elde ederiz.
\( f(x) = a^x \) şeklindeki tüm üstel fonksiyonlar için \( f(0) = 1 \) olur, dolayısıyla grafikleri \( y \) eksenini \( (0, 1) \) noktasında keser.
Üstel fonksiyonlar \( \mathbb{R} \to \mathbb{R^+} \) için birebir ve örtendir, dolayısıyla ters fonksiyonları tanımlıdır ve logaritma fonksiyonudur.
Üstel İşlem Kuralları
Üslü ifadeler konusunda gördüğümüz işlem kuralları üstel ifadeler için de geçerlidir.
\( a^x \cdot a^y = a^{x + y} \)
\( \dfrac{a^x}{a^y} = a^{x - y} \)
\( a^x \cdot b^x = (a \cdot b)^x \)
\( \dfrac{a^x}{b^x} = \left( \dfrac{a}{b} \right)^x \)
\( (a^x)^k = a^{kx} \)
\( a^{-x} = \dfrac{1}{a^x} \)
\( e \) Sayısı
Sadece matematikte değil, fizik ve kimya gibi diğer doğa bilimlerinde önemli bir yeri olan sabit \( e \) (Euler) sayısı (e = 2,7182... ) üstel fonksiyonlarda en sık kullanılan taban değerlerinden biridir.
\( f(x) = e^x \)
\( e \) tabanındaki üstel fonksiyonlara doğal üstel fonksiyon da denir.
\( f(x) = Ae^{\frac{x}{k}} \) eğrisi \( (0, 2) \), \( (4, 12) \) ve \( (m, 72) \) noktalarından geçtiğine göre, \( m \) değerini bulunuz.
Çözümü Göster\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R^+} \)
\( f(x) = (3k - 7)^x \) fonksiyonu veriliyor.
\( f \) bir üstel fonksiyon olduğuna göre, \( k \) değer aralığı nedir?
Çözümü GösterAşağıdaki fonksiyonlardan hangileri üstel fonksiyondur?
(a) \( f(x) = (-\dfrac{4}{11})^{3x - 4} \)
(b) \( g(x) = -(\sqrt{23})^{x} \)
(c) \( h(x) = x^{3e - 1} \)
(d) \( k(x) = (\dfrac{1}{e})^{5 - x} \)
Çözümü Göster\( f(x) = (\dfrac{2k - 9}{4})^x \)
\( g(x) = (41 - 5k)^x \)
fonksiyonları birer üstel fonksiyon olduğuna göre, \( k \)'nın alabileceği tam sayı değerlerin toplamı kaçtır?
Çözümü Göster\( f(x) = (\dfrac{k + 8}{3 - 2k})^x \) bir üstel fonksiyon olduğuna göre, \( k \) değer aralığı nedir?
Çözümü Göster