Üstel Fonksiyon

Üstel fonksiyonların daha önce gördüğümüz kuvvet fonksiyonlarından (\( x^2, x^3 \text{ vb.} \)) farkı \( x \) değişkeninin fonksiyonda taban yerine üs şeklinde yer almasıdır.

Üstel ve kuvvet fonksiyon farkı
Üstel ve kuvvet fonksiyon farkı

Üstel Fonksiyonun Tabanı

Üstel fonksiyonların tabanları (\( a \)) negatif, 0 ya da 1 olamaz.

Üstel fonksiyonların tabanının 0 ya da 1 olamama sebebi, bu değerlerde fonksiyonun sabit fonksiyona dönüşmesidir.

Üstel fonksiyonların tabanının negatif olamama sebebi, fonksiyonun bazı negatif kesirli \( x \) değerlerinde reel olmayan sonuçlar verebilmesidir.

Negatif tabanın yol açtığı bir diğer durum ise tam sayı üs değerlerinde tanımsızlık oluşmasa da, fonksiyon değerinin tek ve çift \( x \) değerlerinde pozitif ve negatif değerler arasında gidip gelmesidir.

Üstel Fonksiyon Değer Tablosu ve Grafiği

\( f(x) = 2^x \) üstel fonksiyonunun bazı değerleri için değer tablosu aşağıdaki gibidir:

\( x \) \( f(x) = 2^x \)
\( -2 \) \( f(-2) = 2^{-2} = \frac{1}{4} \)
\( -1 \) \( f(-1) = 2^{-1} = \frac{1}{2} \)
\( -\frac{1}{2} \) \( f(-\frac{1}{2}) = 2^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \)
\( 0 \) \( f(0) = 2^{0} = 1 \)
\( \frac{1}{2} \) \( f(\frac{1}{2}) = 2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2} \)
\( 1 \) \( f(1) = 2^{1} = 2 \)
\( 2 \) \( f(2) = 2^{2} = 4 \)
\( 3 \) \( f(3) = 2^{3} = 8 \)

Bu noktaları analitik düzlemde işaretlediğimizde aşağıdaki grafiği elde ederiz:

Üstel fonksiyon grafiği
Üstel fonksiyon grafiği

\( f(x) = a^x \) şeklindeki tüm üstel fonksiyonlar için \( f(0) = 1 \)'dir, dolayısıyla grafikleri \( y \) eksenini her zaman \( (0, 1) \) noktasında keser. Üstel fonksiyonlar \( x \)'teki her birim artış için fonksiyonun tabanı oranında artış gösterdiği için \( x \)'in pozitif değerleri için çok hızlı büyüme gösterir.

Üstel fonksiyonlar \( \mathbb{R} \to \mathbb{R^+} \) için birebir ve örtendir, dolayısıyla üstel fonksiyonların ters fonksiyonları tanımlıdır ve logaritma fonksiyonudur.

Üstel Fonksiyon Dönüşümleri

Fonksiyonların Dönüşümü konusunda gördüğümüz tüm dönüşümleri üstel fonksiyonlara uygulayarak fonksiyonun denkleminde, grafiğinin konumunda ve şeklinde değişiklikler meydana getirebiliriz.

Bu dönüşümlere aşağıdaki gibi birkaç örnek verebiliriz.

Üstel Fonksiyonun Tabanı Olarak \( e \) Sayısı

Sadece matematikte değil, fizik ve kimya gibi diğer doğa bilimlerinde önemli bir yeri olan sabit \( e \) (Euler) sayısı (e = 2,7182... ) üstel fonksiyonlarda en sık kullanılan taban değerlerinden biridir.

\( e \) tabanındaki üstel fonksiyonlara doğal üstel fonksiyon da denir.


« Önceki
Üstel Fonksiyon
Sonraki »
Üstel Fonksiyon Tanım ve Görüntü Kümesi


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır