Üstel Fonksiyonların Grafiği

Üstel fonksiyonların grafiği taban değerinin 1’den küçük ya da büyük olmasına göre farklılık gösterir. Her iki durumun da ortak özelliği, üstel fonksiyonların hiçbir zaman sıfır ya da negatif olmaması, dolayısıyla grafiklerinin \( x \) ekseninin üst kısmında olmasıdır.

Taban Birden Büyükse

Üstel fonksiyonun tabanının birden büyük olması durumunda (\( a \gt 1 \)), iki farklı taban değeri için grafik aşağıdaki şekilde oluşur.

a > 1 için üstel fonksiyonların grafiği
a > 1 için üstel fonksiyonların grafiği

\( a \gt 1 \) için üstel fonksiyonların grafikleri ile ilgili bazı önemli noktalar aşağıdaki gibidir:

  • Grafik tüm tanım aralığında artandır.
  • Grafik \( y \) eksenini her zaman \( (0, 1) \) noktasında keser.
  • Negatif \( x \) değerlerinde (II. bölge) daha büyük tabanlı fonksiyonların grafiği daha küçük tabanlı fonksiyonların grafiğinin altında kalır.
  • Pozitif \( x \) değerlerinde (I. bölge) daha büyük tabanlı fonksiyonların grafiği daha küçük tabanlı fonksiyonların grafiğinin üstünde kalır.
  • Fonksiyon birebirdir.
  • Fonksiyon \( \mathbb{R} \to \mathbb{R^+} \) için örtendir.

Taban Sıfır ve Bir Aralığındaysa

Üstel fonksiyonun tabanının sıfır ve bir arasında olması durumunda (\( 0 \lt a \lt 1 \)), iki farklı taban değeri için grafik aşağıdaki şekilde oluşur.

0 < a < 1 için üstel fonksiyonların grafiği
0 < a < 1 için üstel fonksiyonların grafiği

\( 0 \lt a \lt 1 \) için üstel fonksiyonların grafikleri ile ilgili bazı önemli noktalar aşağıdaki gibidir:

  • Grafik tüm tanım aralığında azalandır.
  • Grafik \( y \) eksenini her zaman \( (0, 1) \) noktasında keser.
  • Negatif \( x \) değerlerinde (II. bölge) daha büyük tabanlı fonksiyonların grafiği daha küçük tabanlı fonksiyonların grafiğinin altında kalır.
  • Pozitif \( x \) değerlerinde (I. bölge) daha büyük tabanlı fonksiyonların grafiği daha küçük tabanlı fonksiyonların grafiğinin üstünde kalır.
  • Fonksiyon birebirdir.
  • Fonksiyon \( \mathbb{R} \to \mathbb{R^+} \) için örtendir.

Üstel Fonksiyon Grafiklerinde Simetri

Çarpmaya göre birbirinin tersi olan tabanlar için üstel fonksiyon grafikleri \( y \) eksenine göre simetriktir.

Üstel fonksiyonların grafiklerinde simetri
Üstel fonksiyonların grafiklerinde simetri

Bu simetrinin sebebi, çarpmaya göre birbirinin tersi olan tabanların çift fonksiyon koşulunu sağlıyor olmasıdır.


« Önceki
Üstel Fonksiyon Tanım ve Görüntü Kümesi
Sonraki »
Üstel Fonksiyon Denklemleri


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır