\( a \gt 0 \) olmak üzere, \( a^x \) şeklindeki bir ifadeyi tanımsız yapan bir \( x \) değeri olmadığı için üstel fonksiyonların en geniş tanım kümesi tüm reel sayılardır.
Pozitif bir tabanın herhangi bir reel sayı kuvveti hiçbir zaman sıfır ya da negatif olamayacağı için üstel fonksiyonların en geniş görüntü kümesi pozitif reel sayılardır.
Üstel fonksiyonların tanım kümesinin tüm reel sayılar, görüntü kümesinin de pozitif reel sayılar olduğu farklı tabanlara ait aşağıdaki grafikler üzerinden de teyit edilebilir.
SORU 1:
\( f(x) = 2^x + 5^x + 2^{-x} + 5^{-x} + 6 \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi için görüntü kümesini bulunuz.
Çözümü Göster
\( 6 = 10 - 2 - 2 \) yazarak fonksiyonu düzenleyelim.
\( f(x) = 2^x - 2 + 2^{-x} + 5^x - 2 + 5^{-x} + 10 \)
Son terim dışındaki terimleri iki ayrı parantez karesi şeklinde yazalım.
\( = 2^x - 2 \cdot 2^x \cdot 2^{-x} + 2^{-x} + 5^x - 2 \cdot 5^x \cdot 5^{-x} + 5^{-x} + 10 \)
\( = (2^x - 2^{-x})^2 + (5^x - 5^{-x})^2 + 10 \)
İlk iki terim tam kare ifadeler olduğu için negatif olamazlar. \( x = 0 \) olduğunda iki ifadenin de içi sıfır olduğu için bu iki ifade ayrı ayrı sıfıra eşit ya da sıfırdan büyük olur.
Ayrıca \( x \) pozitif sonsuza giderken iki ifade de ayrı ayrı pozitif sonsuza gider.
\( 0 \le (2^x - 2^{-x})^2 + (5^x - 5^{-x})^2 \lt \infty \)
Eşitsizliğin taraflarına 10 eklediğimizde \( f(x) \)'i elde ederiz.
\( 10 \le (2^x - 2^{-x})^2 + (5^x - 5^{-x})^2 + 10 \lt \infty \)
\( 10 \le f(x) \lt \infty \)
Görüntü kümesi: \( f(x) = [10, \infty) \)
SORU 2:
\( f(x) = \dfrac{1}{9^x - 6 \cdot 3^x + 17} \) fonksiyonunun alabileceği en büyük reel sayı değeri kaçtır?
Çözümü Göster
\( f(x) = \dfrac{1}{3^{2x} - 6 \cdot 3^x + 17} \)
Fonksiyonu \( t = 3^x \) dönüşümünü yaparak yeniden düzenleyelim.
\( f(t) = \dfrac{1}{t^2 - 6t + 17} \)
\( = \dfrac{1}{(t - 3)^2 + 8} \)
Payda ne kadar küçük olursa \( f \) fonksiyonunun değeri o kadar büyük olur.
Payda en küçük değerini tam kare ifade sıfır olduğunda, yani \( t = 3 \) olduğunda alır.
\( t = 3 \) değerinin fonksiyonun orijinal değişkenini tanımsız yapmadığından emin olalım.
\( t = 3^x = 3 \Longrightarrow x = 1 \)
\( t = 3 \) vererek fonksiyonun en büyük değerini bulalım.
\( f(3) = \dfrac{1}{(3 - 3)^2 + 8} = \dfrac{1}{8} \) bulunur.
