Bu bölümde üstel fonksiyonların bazı uygulamalarına değineceğiz.
Bankada vadeli bir hesap açarak 1000 TL yatırdığımızı düşünelim. Bankanın hesaptaki paraya her yıl sabit %10 bileşik faiz uyguladığını varsayarsak, her yıl sonunda hesaptaki bakiye aşağıdaki gibi olacaktır.
| Yıl | Yıl Başı Bakiye | Kazanılan Faiz | Yıl Sonu Bakiye |
|---|---|---|---|
| \( 1 \) | \( 1.000 \) | \( 1.000 \cdot \%10 = 100 \) | \( 1.100 \) |
| \( 2 \) | \( 1.100 \) | \( 1.100 \cdot \%10 = 110 \) | \( 1.210 \) |
| \( 3 \) | \( 1.210 \) | \( 1.210 \cdot \%10 = 121 \) | \( 1.331 \) |
| \( 4 \) | \( 1.331 \) | \( 1.331 \cdot \%10 = 133,10 \) | \( 1.464,10 \) |
| \( 5 \) | \( 1.464,10 \) | \( 1.464,10 \cdot \%10 = 146,41 \) | \( 1.610,51 \) |
Dikkat edilirse her yıl kazanılan faiz tutarı sabit olmayıp, önceki yılların faizlerinin ana paraya eklenmesiyle her yıl artmaktadır.
Bu hesaplama bir üstel fonksiyon şeklinde yazılarak herhangi bir yıl sonunda hesaptaki bakiye hesaplanabilir.
\( A \): İlk başta yatırdığımız ana para
\( r \): Yıllık faiz oranı (%)
\( t \): Faiz işletilen yıl sayısı
\( B \): t yıl sonunda hesaptaki bakiye olmak üzere,
\( B = A \cdot (1 + r)^t \)
Yukarıdaki örneğe göre 8. yıl sonunda hesaptaki bakiyeyi hesaplayalım.
\( B = A \cdot (1 + r)^t \)
\( B = 1.000 \cdot (1 + \frac{10}{100})^8 \) \( = 1.000 \cdot (1,10)^8 \) \( = 2.143,59 \)
İnsan, hayvan, hücre, bakteri gibi canlıların sayılarının artışı da birer üstel fonksiyon olarak modellenebilir. Faiz hesaplamasında kullandığımız formülü buraya da aynı şekilde uygulayabiliriz.
\( A \): İlk baştaki canlı sayısı
\( r \): Her periyottaki büyüme oranı (%)
\( t \): Toplam periyot sayısı
\( B \): Dönem sonundaki canlı sayısı olmak üzere,
\( B = A \cdot (1 + r)^t \)
Bir bakteri türü 5 dk'da bir ikiye bölünmektedir. İlk başta sadece bir bakteri varsa 3 saat sonunda kaç bakteri olur?
Bakteri sayısı 5 dk'da bir iki katına çıktığı için büyüme oranı %100 olur.
3 saat içinde bakterilerin 2'ye bölündüğü 5 dakikalık 36 periyot vardır.
\( A \): İlk baştaki bakteri sayısı (= 1)
\( r \): Her periyottaki büyüme oranı (= %100)
\( t \): Toplam periyot sayısı (= 36)
\( B \): Dönem sonundaki bakteri sayısı olmak üzere,
\( B = A \cdot (1 + r)^t \)
\( B = 1 \cdot (1 + \frac{100}{100})^{36} \) \( = 2^{36} \) \( = 68.719.476.736 \)
\( t \) başlangıçtan itibaren dakika cinsinden geçen zaman olmak üzere, bir bakteri türünün sayısı \( f(t) = 540 \cdot (\frac{4}{3})^t \) fonksiyonu ile belirlenmektedir.
Buna göre, bakteri sayısı 1. ve 3. dakikalar arasında ne kadar artmıştır?
Çözümü GösterBir bakteri türünün sayısı bir saatte 3 katına çıkıyor.
Başlangıçta 1000 tane olan bakteri sayısı yaklaşık kaç saat sonra 100 katına çıkar?
\( (\log{3} \approx 0,4) \)
Çözümü GösterX model yeni bir telefonun fiyatı 50000 TL'dir. Bu telefonun fiyatı her sene %10 oranında azalmaktadır.
Bu telefonun fiyatının kaç yıl sonra 10000 TL olacağını logaritma cinsinden bulunuz.
Çözümü GösterBileşik faiz, bankaya yatırılan ana paranın yıl sonunda verilen faizle toplanarak toplam tutar üzerinden tekrar faiz alınmasıdır.
\( A + f = A \cdot (1 + \dfrac{n}{100})^t \)
A: Ana para
t: Paranın yatırıldığı dönem sayısı
n: Faiz yüzdesi
f: Faiz miktarı
Buna göre, 4000 TL yıllık %20 faiz oranıyla bileşik faizde bankaya yatırılırsa kaç yıl sonra 24000 lira olur? (\( \log{2} = 0,3; \log{3} = 0,5 \))
Çözümü GösterBir tüpte bulunan bakterilerinin dakika cinsinden \( t \) anındaki miktarı aşağıdaki formülle hesaplanır.
\( B(t) = B_0 \cdot e^{0,04t} \)
\( B_0 \): Başlangıçtaki bakteri miktarı
\( t \): Geçen süre (dk)
Buna göre bir tüpte verilen bakteri miktarı 600'den 30000'e kaç dakikada çıkar?
Çözümü GösterNüfusu 40000 kişi olan bir şehrin nüfusu her yıl %20 artmaktadır.
Yaklaşık kaç yıl sonra bu şehrin nüfusu 10 katına çıkar? (\( \log{2} = 0,3; \log{3} = 0,5 \))
Çözümü GösterBir bakteri popülasyonu aşağıdaki formüle göre büyümektedir.
\( P = Ae^{kt} \)
\( A \): Başlangıçtaki bakteri sayısı
\( t \): Geçen süre (saat)
\( k \): Bakteri sayısının birim zamanda artış oranı
\( P \): \( t \) süre sonundaki bakteri sayısı
Buna göre sayıları 15 saatte 120'ye ve 45 saatte 480'e ulaşan bir bakteri populasyonu, 105 saatte hangi sayıya ulaşır?
Çözümü GösterBir göldeki balık nüfusu her senenin başında bir önceki seneki nüfusun 2 katının 5 fazlasına çıkmaktadır. Bu senenin başında gölde 150 balık bulunduğuna göre, 18 yıl sonra kaç balık bulunur?
Çözümü Göster