Üstel Fonksiyon Uygulamaları
Bu bölümde üstel fonksiyonların bazı uygulamalarına değineceğiz.
Bileşik Faiz Hesaplama
Bankada vadeli bir hesap açarak 1000 TL yatırdığımızı düşünelim. Bankanın hesaptaki paraya her yıl sabit %10 bileşik faiz uyguladığını varsayarsak, her yıl sonunda hesaptaki bakiye aşağıdaki gibi olacaktır.
| Yıl | Yıl Başı Bakiye | Kazanılan Faiz | Yıl Sonu Bakiye |
|---|---|---|---|
| \( 1 \) | \( 1.000 \) | \( 1.000 \cdot \%10 = 100 \) | \( 1.100 \) |
| \( 2 \) | \( 1.100 \) | \( 1.100 \cdot \%10 = 110 \) | \( 1.210 \) |
| \( 3 \) | \( 1.210 \) | \( 1.210 \cdot \%10 = 121 \) | \( 1.331 \) |
| \( 4 \) | \( 1.331 \) | \( 1.331 \cdot \%10 = 133,10 \) | \( 1.464,10 \) |
| \( 5 \) | \( 1.464,10 \) | \( 1.464,10 \cdot \%10 = 146,41 \) | \( 1.610,51 \) |
Dikkat edilirse her yıl kazanılan faiz tutarı sabit olmayıp, önceki yılların faizlerinin ana paraya eklenmesiyle her yıl artmaktadır.
Bu hesaplama bir üstel fonksiyon şeklinde yazılarak herhangi bir yıl sonunda hesaptaki bakiye hesaplanabilir.
\( A \): İlk başta yatırdığımız ana para
\( r \): Yıllık faiz oranı (%)
\( t \): Faiz işletilen yıl sayısı
\( B \): t yıl sonunda hesaptaki bakiye olmak üzere,
\( B = A \cdot (1 + r)^t \)
Yukarıdaki örneğe göre 8. yıl sonunda hesaptaki bakiyeyi hesaplayalım.
\( B = A \cdot (1 + r)^t \)
\( B = 1.000 \cdot (1 + \frac{10}{100})^8 = 1.000 \cdot (1,10)^8 = 2.143,59 \)
Nüfus Artışı
İnsan, hayvan, hücre, bakteri gibi canlıların sayılarının artışı da birer üstel fonksiyon olarak modellenebilir. Faiz hesaplamasında kullandığımız formülü buraya da aynı şekilde uygulayabiliriz.
\( A \): İlk baştaki canlı sayısı
\( r \): Her periyottaki büyüme oranı (%)
\( t \): Toplam periyot sayısı
\( B \): Dönem sonundaki canlı sayısı olmak üzere,
\( B = A \cdot (1 + r)^t \)
Bir bakteri türü 5 dk'da bir ikiye bölünmektedir. İlk başta sadece bir bakteri varsa 3 saat sonunda kaç bakteri olur?
Bakteri sayısı 5 dk'da bir iki katına çıktığı için büyüme oranı %100 olur.
3 saat içinde bakterilerin 2'ye bölündüğü 5 dakikalık 36 periyot vardır.
\( A \): İlk baştaki bakteri sayısı (= 1)
\( r \): Her periyottaki büyüme oranı (= %100)
\( t \): Toplam periyot sayısı (= 36)
\( B \): Dönem sonundaki bakteri sayısı olmak üzere,
\( B = A \cdot (1 + r)^t \)
\( B = 1 \cdot (1 + \frac{100}{100})^{36} = 2^{36} = 68.719.476.736 \)
\( t \) başlangıçtan itibaren dakika cinsinden geçen zaman olmak üzere, bir bakteri türünün sayısı \( f(t) = 540 \cdot (\frac{4}{3})^t \) fonksiyonu ile belirlenmektedir.
Buna göre, bakteri sayısı 1. ve 3. dakikalar arasında ne kadar artmıştır?
Çözümü Göster3. dakika sonundaki bakteri sayısını hesaplayalım.
\( f(3) = 540 \cdot (\dfrac{4}{3})^3 = 1280 \)
1. dakika sonundaki bakteri sayısını hesaplayalım.
\( f(1) = 540 \cdot (\dfrac{4}{3})^1 = 720 \)
Buna göre 1. ve 3. dakikalar arasında bakteri sayısı \( 1280 - 720 = 560 \) adet artmıştır.
Bileşik faiz, bankaya yatırılan ana paranın yıl sonunda verilen faizle toplanarak toplam tutar üzerinden tekrar faiz alınmasıdır.
\( A + f = A \cdot (1 + \dfrac{n}{100})^t \)
A: Ana para
t: Paranın yatırıldığı dönem sayısı
n: Faiz yüzdesi
f: Faiz miktarı
Buna göre, 4000 TL yıllık %20 faiz oranıyla bileşik faizde bankaya yatırılırsa kaç yıl sonra 24000 lira olur? (\( \log{2} = 0,3; \log{3} = 0,5 \))
Çözümü Göster\( A + f = A \cdot (1 + \dfrac{n}{100})^t \)
A: 4000
n: %20
A + f: 24000
\( 24000 = 4000 \cdot (1 + \dfrac{20}{100})^t \)
\( \dfrac{24000}{4000} = (1 + \dfrac{1}{5})^t \)
\( 6 = (\dfrac{6}{5})^t \)
İki tarafın 10 tabanında logaritmasını alalım.
\( \log{6} = \log(\dfrac{6}{5})^t \)
\( \log{6} = t\log{\dfrac{6}{5}} \)
\( t = \dfrac{\log{6}}{\log{\frac{6}{5}}} \)
\( = \dfrac{\log{6}}{\log{\frac{2^2 \cdot 3}{10}}} \)
\( = \dfrac{\log{3} + \log{2}}{\log{2^2} + \log{3} - \log{10}} \)
\( = \dfrac{\log{3} + \log{2}}{2\log{2} + \log{3} - 1} \)
\( = \dfrac{0,5 + 0,3}{2 \cdot 0,3 + 0,5 - 1} \)
\( = \dfrac{0,8}{0,1} = 8 \) bulunur.
Bir tüpte bulunan bakterilerinin dakika cinsinden \( t \) anındaki miktarı aşağıdaki formülle hesaplanır.
\( B(t) = B_0 \cdot e^{0,04t} \)
\( B_0 \): Başlangıçtaki bakteri miktarı
\( t \): Geçen süre (dk)
Buna göre bir tüpte verilen bakteri miktarı 600'den 30000'e kaç dakikada çıkar?
Çözümü Göster\( B(t) = B_0 \cdot e^{0,04t} \)
Soruda verilen değerleri yerlerine yazalım.
\( 30000 = 600 \cdot e^{0,04t} \)
\( \dfrac{30000}{600} = e^{0,04t} \)
\( e^{0,04t} = 50 \)
İki tarafın doğal logaritmasını alalım.
\( \ln{e^{0,04t}} = \ln{50} \)
\( 0,04t\ln{e} = \ln{50} \)
\( t = \dfrac{\ln{50}}{0,04} \)
\( = 25\ln{50} \) bulunur.
Bir bakteri popülasyonu aşağıdaki formüle göre büyümektedir.
\( P = Ae^{kt} \)
\( A \): Başlangıçtaki bakteri sayısı
\( t \): Geçen süre (saat)
\( k \): Bakteri sayısının birim zamanda artış oranı
\( P \): \( t \) süre sonundaki bakteri sayısı
Buna göre sayıları 15 saatte 120'ye ve 45 saatte 480'e ulaşan bir bakteri populasyonu, 105 saatte hangi sayıya ulaşır?
Çözümü GösterVerilen bilgileri formülde yerine koyalım.
\( 120 = Ae^{15k} \)
\( 480 = Ae^{45k} \)
İkinci eşitliğin birinciye oranını alalım.
\( \dfrac{480}{120} = \dfrac{Ae^{45k}}{Ae^{15k}} \)
\( 4 = e^{45k - 15k} = e^{30k} \)
\( 2 = e^{15k} \)
Bulduğumuz değeri denklemde yerine yazalım.
\( 120 = Ae^{15k} \)
\( 120 = 2A \)
\( A = 60 \)
Bakteri sayısının 105 saat sonunda hangi sayıya ulaşacağını bulalım.
\( P = Ae^{kt} \)
\( = 60e^{105k} \)
\( = 60(e^{15k})^7 \)
\( = 60(2)^7 = 7680 \) bulunur.
Bir bakteri türünün sayısı bir saatte 3 katına çıkıyor.
Başlangıçta 1000 tane olan bakteri sayısı yaklaşık kaç saat sonra 100 katına çıkar?
\( (\log{3} \approx 0,4) \)
Çözümü GösterBakterilerin sayısı 1 saatte 3 katına, 2 saatte \( 3^2 \) katına, 3 saatte \( 3^3 \) katına, \( n \) saatte \( 3^n \) katına çıkacaktır.
\( n \). saatteki bakteri sayısına \( A \) diyelim.
Başlangıçta 1000 bakteri olduğuna göre \( A \)'yı aşağıdaki formülle bulabiliriz.
\( A = 1000 \cdot 3^n \)
\( A \)'nın 1000'in 100 katı olduğu \( n \) zamanını bulalım.
\( 1000 \cdot 100 = 1000 \cdot 3^n \)
\( 100 = 3^n \)
İki tarafın 10 tabanında logaritmasını alalım.
\( \log{100} = \log{3^n} \)
\( \log{10^2} = n\log{3} \)
\( 2 = n \cdot 0,4 \)
\( n = \dfrac{2}{0,4} = 5 \)
Buna göre bakteri türünün sayısı yaklaşık olarak 5 saat sonra 100 katına çıkar.
X model yeni bir telefonun fiyatı 50000 TL'dir. Bu telefonun fiyatı her sene %10 oranında azalmaktadır.
Bu telefonun fiyatının kaç yıl sonra 10000 TL olacağını logaritma cinsinden bulunuz.
Çözümü GösterTelefonun bugünkü fiyatı 50000 TL'dir.
Telefonun fiyatı 1. yıl sonunda \( 50000 \cdot \frac{90}{100} \) TL olur.
Telefonun fiyatı 2. yıl sonunda \( 50000 \cdot (\frac{90}{100})^2 \) TL olur.
Telefonun fiyatı 3. yıl sonunda \( 50000 \cdot (\frac{90}{100})^3 \) TL olur.
Telefonun fiyatı \( n \). yıl sonunda \( 50000 \cdot (\frac{90}{100})^n \) TL olur.
\( 50000 \cdot (\dfrac{90}{100})^n = 10000 \)
\( (\dfrac{9}{10})^n = \dfrac{1}{5} \)
İki tarafın 10 tabanında logaritmasını alalım.
\( \log(\dfrac{9}{10})^n = \log{\dfrac{1}{5}} \)
\( n\log{\dfrac{9}{10}} = \log{\dfrac{1}{5}} \)
\( n(\log{9} - \log{10}) = \log{1} - \log{5} \)
\( n(\log{9} - 1) = 0 - \log{5} \)
\( n = \dfrac{\log{5}}{1 - \log{9}} \) bulunur.
Nüfusu 40000 kişi olan bir şehrin nüfusu her yıl %20 artmaktadır.
Yaklaşık kaç yıl sonra bu şehrin nüfusu 10 katına çıkar? (\( \log{2} = 0,3; \log{3} = 0,5 \))
Çözümü GösterŞehrin nüfusu 1. yıl sonunda \( 40000 \cdot (1 + \frac{20}{100}) \) olur.
Şehrin nüfusu 2. yıl sonunda \( 40000 \cdot (1 + \frac{20}{100})^2 \) olur.
Şehrin nüfusu \( n \). yıl sonunda \( 40000 \cdot (1 + \frac{20}{100})^n \) olur.
Nüfusun kaç yıl sonunda 10 katına çıkacağını bulmak için bir denklem yazılım.
\( 40000 \cdot 10 = 40000(1 + \dfrac{20}{100})^n \)
\( 10 = (\dfrac{6}{5})^n \)
İki tarafın 10 tabanın logaritmasını alalım.
\( \log{10} = \log{(\dfrac{120}{100})^n} \)
\( n\log{\dfrac{12}{10}} = 1 \)
\( n\log{\dfrac{2^2 \cdot 3}{10}} = 1 \)
\( n(\log{2^2} + \log{3} - \log{10}) = 1 \)
\( n(2\log{2} + \log{3} - 1) = 1 \)
\( n(2(0,3) + 0,5 - 1) = 1 \)
\( n = \dfrac{1}{0,1} = 10 \) bulunur.
Bir göldeki balık nüfusu her senenin başında bir önceki seneki nüfusun 2 katının 5 fazlasına çıkmaktadır. Bu senenin başında gölde 150 balık bulunduğuna göre, 18 yıl sonra kaç balık bulunur?
Çözümü GösterBu senenin başında gölde bulunan balık sayısına \( x \) diyelim ve balık nüfusunun \( n \) sene sonraki nüfus formülünü yazabilmek için birkaç senenin nufüsunu inceleyelim.
1. senenin başında nüfus: \( x \)
2. senenin başında nüfus: \( 2x + 5 \)
3. senenin başında nüfus: \( 2(2x + 5) + 5 = 4x + 5(1 + 2) \)
4. senenin başında nüfus: \( 4(2x + 5) + 5 (1 + 2) = 8x + 5(1 + 2 + 4) \)
Ortak çarpanı 2 olan bir geometrik dizinin terimler toplamı aşağıdaki formülle hesaplanır.
\( 2^0 + 2^1 + 2^2 + \ldots + 2^n = 2^{n+1} - 1 \)
\( n \). senenin başında nüfus: \( 2^{n-1} \cdot x + 5(2^{n-1} - 1) \)
Buna göre 18 yıl sonraki nüfusu hesaplayalım.
\( = 2^{17} \cdot 150 + 5(2^{17} - 1) \)
\( = 2^{17} \cdot 150 + 5 \cdot 2^{17} - 5 \)
\( = 155 \cdot 2^{17} - 5 \) bulunur.
Sayısı her 4 saatte 2 katına çıkan bir bakteri türünün sayısı kaç saatte 3 katına çıkar?
Çözümü GösterEn baştaki bakteri sayısına \( a \), bakteri türünün saatteki büyüme hızına %\( r \) diyelim.
Bakteri türünün sayısı her 4 saatte 2 katına çıkıyor.
\( a(1 + r)^4 = 2a \)
\( (1 + r)^4 = 2 \)
\( 1 + r = \sqrt[4]{2} \)
\( r = \sqrt[4]{2} - 1 \)
Bakteri türünün sayısının 3 katına çıkma süresine \( t \) diyelim.
\( a(1 + r)^t = 3a \)
\( (1 + \sqrt[4]{2} - 1)^t = 3 \)
\( (\sqrt[4]{2})^t = 3 \)
\( 2^{\frac{t}{4}} = 3 \)
\( 2^t = 3^4 \)
\( t = \log_{2}{3^4} \)
\( = 4\log_{2}{3} \) saat bulunur.