Bu bölümde üstel fonksiyonların bazı uygulamalarına değineceğiz.
Bankada vadeli bir hesap açarak 1000 TL yatırdığımızı düşünelim. Bankanın hesaptaki paraya her yıl sabit %10 bileşik faiz uyguladığını varsayarsak, her yıl sonunda hesaptaki bakiye aşağıdaki gibi olacaktır:
| Yıl | Yıl Başı Bakiye | Kazanılan Faiz | Yıl Sonu Bakiye |
|---|---|---|---|
| \( 1 \) | \( 1.000 \) | \( 1.000 \cdot \%10 = 100 \) | \( 1.100 \) |
| \( 2 \) | \( 1.100 \) | \( 1.100 \cdot \%10 = 110 \) | \( 1.210 \) |
| \( 3 \) | \( 1.210 \) | \( 1.210 \cdot \%10 = 121 \) | \( 1.331 \) |
| \( 4 \) | \( 1.331 \) | \( 1.331 \cdot \%10 = 133,10 \) | \( 1.464,10 \) |
| \( 5 \) | \( 1.464,10 \) | \( 1.464,10 \cdot \%10 = 146,41 \) | \( 1.610,51 \) |
Dikkat edilirse her yıl kazanılan faiz tutarı sabit olmayıp, önceki yılların faizlerinin ana paraya eklenmesiyle her yıl artmaktadır.
Bu hesaplamayı bir üstel fonksiyon olarak yazıp herhangi bir yıl sonunda hesaptaki bakiyeyi hesaplayabiliriz.
\( A \): İlk başta yatırdığımız ana para
\( r \): Yıllık faiz oranı (%)
\( t \): Faiz işletilen yıl sayısı
\( B \): t yıl sonunda hesaptaki bakiye olmak üzere,
\( B = A \cdot (1 + r)^t \)
Buna göre yukarıdaki örneğe göre 8. yıl sonunda hesaptaki bakiyeyi şu şekilde hesaplayabiliriz.
\( B = A \cdot (1 + r)^t \)
\( B = 1.000 \cdot (1 + \frac{10}{100})^8 \) \( = 1.000 \cdot (1,10)^8 \) \( = 2.143,59 \)
İnsan, hayvan, hücre, bakteri gibi canlıların sayılarının artışı da birer üstel fonksiyon olarak modellenebilir. Faiz hesaplamasında kullandığımız formülü buraya da aynı şekilde uygulayabiliriz.
\( A \): İlk baştaki canlı sayısı
\( r \): Her periyottaki büyüme oranı (%)
\( t \): Toplam periyot sayısı
\( B \): Dönem sonundaki canlı sayısı olmak üzere,
\( B = A \cdot (1 + r)^t \)
Bir bakteri türünün 5 dk'da bir ikiye bölündüğünü varsayalım. İlk başta sadece bir bakteri varsa 3 saat sonunda kaç bakteri olur?
Çözümü Göster