Tabanları aynı iki üstel ifadenin eşitliğinde üsler birbirine eşittir.
Bu noktada üstel fonksiyonların tabanlarının sıfırdan büyük ve birden farklı olma koşulunu tekrar hatırlatalım, çünkü bu kural tabanın \( 0 \), \( 1 \) ya da negatif olma durumlarında geçerli olmayacaktır.
Tabanları farklı ve eşitlenebilir olmayan iki üstel ifadenin eşitliğinde iki tarafın uygun bir tabanda logaritması alınır ve değişken yalnız bırakılır. Çözüm değerleri logaritma cinsinden bulunur.
\( x = \dfrac{4\log{3} + \log{2}}{2\log{2} - \log{3}} \)
Değişken Değiştirme
Bir denklemde değişken içeren tüm üstel ifadeler ortak bir ifade cinsinden yazılabiliyorsa denklem aşağıdaki adımlar takip edilerek değişken değiştirme yöntemi ile çözülebilir.
Üstel ifadelerin yerine geçecek ifade için yeni bir değişken tanımlanır.
Üstel ifadeler bu yeni değişken cinsinden yazılır ve bu şekilde üstel ifade içermeyen daha sade bir denklem elde edilir.
Elde edilen denklem standart denklem çözme yöntemleri ile çözülür.
Yeni değişken için bulunan çözüm değerleri tanım kümesi kontrolleri yapılarak denklemin orijinal değişkenine dönüştürülür.
Bu değerleri \( 5^x = t \) ifadesinde yerine koyarak \( x \) değerlerini bulalım.
\( 5^x = t = -6 \)
Üstel ifadenin sonucu negatif olamayacağı için yukarıdaki eşitliği sağlayan \( x \) değeri yoktur, dolayısıyla \( t = -6 \) geçerli bir çözüm değildir.
Bu değerleri \( 2^x = t \) ifadesinde yerine koyarak \( x \) değerlerini bulalım.
\( 2^x = t = 2 \Longrightarrow x = 1 \)
\( 2^x = t = 8 \Longrightarrow x = 3 \)
Çözüm adımlarında eşitliğin iki tarafını \( t \) ile çarparak ifadelerin derecesini artırdığımız için denkleme geçersiz bir çözüm eklenmiş olabilir, bu yüzden bulduğumuz iki değeri orijinal denklemde yerine koyarak sağlamasını yapalım.
\( x = 1 \) için:
\( \dfrac{2^1 - 2}{2^{1 - 1} - 1} = -8 \)
Eşitliğin sol tarafının paydası sıfır olduğu için \( x = 1 \) geçersiz bir çözümdür.
\( x = 3 \) için:
\( \dfrac{2^3 - 2}{2^{1 - 3} - 1} = -8 \)
\( \dfrac{6}{-\frac{3}{4}} = -8 \)
Eşitlik sağlandığı için \( x = 3 \) geçerli bir çözümdür.
Eşitliğin iki tarafını ayrı fonksiyonlar olarak düşünürsek eşitliği sağlayan \( x \) değerleri bu iki fonksiyonun grafiklerinin kesişim noktalarının apsis değerleridir.
\( y = 2^x + 4^x + 8^x \) fonksiyonu tabanı birden büyük, dolayısıyla artan üç üstel ifadenin toplamından oluşur, dolayısıyla kendisi de artandır.
\( a^x \) formundaki tüm üstel ifadeler \( y \) eksenini \( (0, 1) \) noktasında kestiği için bu fonksiyon \( y \) eksenini \( (0, 3) \) noktasında keser ve tüm reel sayılarda pozitiftir.
\( 2^0 + 4^0 + 8^0 = 3 \)
Eşitliğin sağ tarafı \( y = x + 4 \) doğrusal fonksiyonudur.
Doğru \( y \) eksenini \( x = 4 \) noktasında kestiği için bu noktada üstel fonksiyonun üstündedir. \( x \) pozitif sonsuza giderken üstel fonksiyon çok hızlı büyüdüğü için doğrunun tekrar üzerine çıkacağından emin olabiliriz (bunu bir değer tablosu oluşturarak da teyit edebiliriz).
Buna göre iki grafiğin kesiştiği (değerlerinin birbirine eşit olduğu) iki \( x \) değeri olmalıdır.
Her iki grafiği çizdiğimizde fonksiyonların tam kesişim noktalarını bulamasak da iki noktada kesiştiklerini görebiliriz.
Elde ettiğimiz fonksiyonla doğrunun kesişim noktasını bulmak için iki denklemi ortak çözelim.
\( t^2 - 2t = k \)
\( t^2 - 2t - k = 0 \)
Eğer bir fonksiyon ve bir doğru tek noktada kesişiyorsa ortak çözümleri tek elemanlı olur, yani ortak çözümden elde edilen ikinci dereceden denklemin diskriminantı (deltası) sıfıra eşit olur.
