En az bir bilinmeyenin mutlak değer içinde yer aldığı farklı denklem tiplerini aşağıda detaylandıracağımız yöntemleri kullanarak çözebiliriz.
\( x, y, z, c \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
Mutlak değerli bir ifade negatif bir sayıya eşitse mutlak değer işleminin sonucu negatif olamayacağı için çözüm kümesi boş kümedir.
\( \abs{x} = c \) olmak üzere,
\( c \lt 0 \Longrightarrow x \in \{ \} \)
\( \abs{2x - 4} = -2 \)
Çözüm kümesi: \( x \in \{ \} \)
Mutlak değerli bir ifade sıfıra eşitse mutlak değer içindeki ifade de sıfıra eşittir.
\( \abs{x} = c \) olmak üzere,
\( c = 0 \Longrightarrow x = 0 \)
\( \abs{2x - 4} = 0 \) ise,
\( 2x - 4 = 0 \)
Çözüm kümesi: \( x = 2 \)
Mutlak değerli bir ifade pozitif bir \( c \) sayısına eşitse \( x = c \) ve \( x = -c \) olacak şekilde iki denklem yazılır ve ayrı ayrı çözülür. Çözüm kümesi bu iki denklemin çözüm kümelerinin birleşim kümesidir.
\( \abs{x} = c \) olmak üzere,
\( c \gt 0 \Longrightarrow x = c \) veya \( x = -c \)
\( \abs{2x - 4} = 2 \) ise,
Denklem 1: \( 2x - 4 = 2 \)
\( \quad x = 3 \)
Denklem 2: \( 2x - 4 = -2 \)
\( \quad x = 1 \)
Çözüm kümesi bu iki denklemin çözüm kümelerinin birleşim kümesidir.
Çözüm kümesi: \( x \in \{ 1, 3 \} \)
Mutlak değerli bir ifade mutlak değer içinde olmayan bir ifadeye eşitse \( x = y \) ve \( x = -y \) olacak şekilde iki denklem yazılır ve ayrı ayrı çözülür. Çözüm kümesi bu iki denklemin çözüm kümelerinin birleşim kümesidir.
Bu denklem tipinde elde ettiğimiz sonuçları orijinal denklemde yerine koyarak sağlamasını yapmamız gerekir, bu değerlerden mutlak değer içinde olmayan ifadeyi negatif yapan değerler orijinal denklemi sağlamayacaktır.
\( \abs{x} = y \) ise,
\( x = y \) veya \( x = -y \)
\( \abs{2x - 4} = 3x - 1 \) ise,
Denklem 1: \( 2x - 4 = 3x - 1 \)
\( \quad x = -3 \)
Denklem 2: \( 2x - 4 = -(3x - 1) \)
\( \quad 2x - 4 = 1 - 3x \)
\( \quad x = 1 \)
Bu değerleri orijinal denklemde yerine koyduğumuzda sadece \( x = 1 \)'in denklemi sağladığını görürüz.
Çözüm kümesi: \( x \in \{ 1 \} \)
Mutlak değerli iki ifade birbirine eşitse \( x = y \) ve \( x = -y \) olacak şekilde iki denklem yazılır ve ayrı ayrı çözülür. Çözüm kümesi bu iki denklemin çözüm kümelerinin birleşim kümesidir.
\( \abs{x} = \abs{y} \) ise,
\( x = y \) veya \( x = -y \)
\( \abs{x + 3} = \abs{2x - 9} \) ise,
Denklem 1: \( x + 3 = 2x - 9 \)
\( \quad x = 12 \)
Denklem 2: \( x + 3 = -(2x - 9) \)
\( \quad x + 3 = 9 - 2x \)
\( \quad x = 2 \)
Çözüm kümesi bu iki denklemin çözüm kümelerinin birleşim kümesidir.
Çözüm kümesi: \( x \in \{ 2, 12 \} \)
İkinci bir yöntem olarak eşitliğin her iki tarafının karesini alarak da denklemi tek adımda çözebiliriz.
Birinci yöntemde kullandığımız örneği şimdi bu yöntemle çözelim.
\( \abs{x + 3} = \abs{2x - 9} \) ise,
\( {\abs{x + 3}}^2 = {\abs{2x - 9}}^2 \)
\( x^2 + 6x + 9 = 4x^2 - 36x + 81 \)
Tüm terimleri tek tarafta toplayıp ifadeyi sıfıra eşitleyelim.
\( 3x^2 - 42x + 72 = 0 \)
İfadeyi çarpanlarına ayıralım.
\( 3(x - 2)(x - 12) = 0 \)
Çözüm kümesi: \( x \in \{ 2, 12 \} \)
Bu denklem tipinde eşitliğin iki tarafı da negatif olamayacağı için denklem çözümünde orijinal denklemi sağlamayan çözümler oluşmayacaktır.
Yukarıda bahsettiğimiz \( \abs{x} = c \), \( \abs{x} = y \) ve \( \abs{x} = \abs{y} \) formundaki denklemlerin ortak özelliği mutlak değerli ifadeleri eşitliğin bir ya da her iki tarafında yalnız bırakabilmemizdi.
Bunu yapamadığımız bazı denklem formları aşağıdaki gibidir.
\( \abs{x} + \abs{y} = c \)
\( \abs{x} + \abs{y} = z \)
\( \abs{x + 1} + \abs{2x - 1} = 3 \)
\( \abs{2x + 2} - \abs{x - 3} = x + 1 \)
Bu tip denklemlerde her mutlak değerli ifadenin kritik noktası belirlenir, bu kritik noktalar arasında kalan aralıklar için ayrı birer denklem yazılır ve bu denklemler ayrı ayrı çözülür. Çözüm kümesi bu denklemlerin çözüm kümelerinin birleşim kümesidir. Her bir aralık için denklem yazılırken mutlak değerli ifadeler ilgili aralıktaki işaretlerine göre mutlak değerden çıkarılır.
\( \abs{x + 1} + \abs{2x - 4} = 9 \)
Mutlak değerli ifadelerin kritik noktalarını bulalım.
\( x + 1 = 0 \Longrightarrow x = -1 \)
\( 2x - 4 = 0 \Longrightarrow x = 2 \)
Bu kritik noktalar reel sayılar kümesini üç aralığa böler.
(1) \( -\infty \lt x \lt -1 \)
(2) \( -1 \le x \lt 2 \)
(3) \( 2 \le x \lt +\infty \)
Her aralık için denklemi çözelim.
(1) \( -\infty \lt x \lt -1 \)
\( \quad |\underbrace{x + 1}_{-}| + |\underbrace{2x - 4}_{-}| = 9 \)
\( \quad -(x + 1) + -(2x - 4) = 9 \)
\( \quad -3x + 3 = 9 \)
\( \quad x = -2 \Longrightarrow \) Değer ilgili aralıkta olduğu için geçerli bir çözümdür.
(2) \( -1 \le x \lt 2 \)
\( \quad |\underbrace{x + 1}_{+}| + |\underbrace{2x - 4}_{-}| = 9 \)
\( \quad (x + 1) + -(2x - 4) = 9 \)
\( \quad -x + 5 = 9 \)
\( \quad x = -4 \Longrightarrow \) Değer ilgili aralıkta olmadığı için geçersiz bir çözümdür.
(3) \( 2 \le x \lt \infty \)
\( \quad |\underbrace{x + 1}_{+}| + |\underbrace{2x - 4}_{+}| = 9 \)
\( \quad (x + 1) + (2x - 4) = 9 \)
\( \quad 3x - 3 = 9 \)
\( \quad x = 4 \Longrightarrow \) Değer ilgili aralıkta olduğu için geçerli bir çözümdür.
Çözüm kümesi: \( x \in \{ -2, 4 \} \)
Denklem iç içe birden fazla mutlak değerli ifade içeriyorsa yukarıda paylaştığımız yöntemleri en dıştaki mutlak değerden başlayıp içtekine doğru ilerleyerek birden fazla adımda çözebiliriz.
\( \abs{\abs{2x - 4} + 2} = 4 \) ise,
İlk adımda en dıştaki mutlak değerli ifadenin içini +4 ve -4'e eşitleyelim ve iki denklemi ayrı ayrı çözelim.
Denklem 1: \( \abs{2x - 4} + 2 = 4 \)
\( \quad \abs{2x - 4} = 2 \)
\( \quad \) Şimdi bu mutlak değerli ifadenin içini +2 ve -2'ye eşitleyelim ve iki denklemi ayrı ayrı çözelim.
\( \quad \) Denklem 1.1: \( 2x - 4 = 2 \)
\( \quad \quad x = 3 \)
\( \quad \) Denklem 1.2: \( 2x - 4 = -2 \)
\( \quad \quad x = 1 \)
Denklem 2: \( \abs{2x - 4} + 2 = -4 \)
\( \quad \abs{2x - 4} = -6 \)
\( \quad \) Mutlak değerli bir ifade negatif olamayacağı için bu denklemin çözüm kümesi boş kümedir.
Bu durumda denklemin çözüm kümesi aşağıdaki gibidir.
Çözüm kümesi: \( x \in \{ 1, 3 \} \)
İki ya da daha fazla sayıda mutlak değerli ifadenin toplamı sıfır ise her ifade ayrı ayrı sıfıra eşittir. Bunun sebebi, herhangi bir mutlak değerli ifade sıfırdan büyük olursa ifadelerin toplamı da sıfırdan büyük olacaktır.
\( \abs{x} + \abs{y} + \abs{z} = 0 \) ise,
Çözüm kümesi: \( (x, y, z) = (0, 0, 0) \)
\( \abs{x + 2} + \abs{2y - 6} + \abs{z} = 0 \) ise,
\( x + 2 = 0 \Longrightarrow x = -2 \)
\( 2y - 6 = 0 \Longrightarrow y = 3 \)
\( z = 0 \Longrightarrow z = 0 \)
Çözüm kümesi: \( (x, y, z) = (-2, 3, 0) \)