Mutlak değer içinde bir değişkenin olduğu denklemlere mutlak değer denklemi denir. Bu denklem tiplerini aşağıda detaylandıracağımız yöntemleri kullanarak çözebiliriz.
Bu bölümdeki tüm denklem tiplerinde \( x, y, z, c \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( \abs{x} = c \) Formundaki Denklemler
Mutlak değer içinde bir ifade negatif bir sayıya eşitse mutlak değer işleminin sonucu negatif olamayacağı için çözüm kümesi boş kümedir.
\( \abs{x} = c \) denkleminde,
\( c \lt 0 \) ise \( x \in \{ \} \)
ÖRNEK:
\( \abs{2x - 4} = -2 \)
Çözüm kümesi: \( x \in \{ \} \)
Aşağıdaki grafikte denklemin sol ve sağ tarafını temsil eden doğruların hiçbir noktada kesişmediklerini görebiliriz.
Mutlak değer içinde bir ifade sıfıra eşitse mutlak değer içindeki ifade de sıfıra eşittir.
\( \abs{x} = c \) denkleminde,
\( c = 0 \) ise \( x = 0 \)
ÖRNEK:
\( \abs{2x - 4} = 0 \) ise,
\( 2x - 4 = 0 \)
Çözüm kümesi: \( x = 2 \)
Aşağıdaki grafikte denklemin sol ve sağ tarafını temsil eden doğruların sadece \( x = 2 \) noktasında kesiştiklerini görebiliriz.
Mutlak değer içinde bir ifade pozitif bir \( c \) sayısına eşitse \( x = c \) ve \( x = -c \) denklemleri ayrı ayrı çözülür. Her iki denklem \( x \) için farklı olası değerleri temsil ettiği için çözüm kümesi bu iki denklemin çözüm kümelerinin birleşimi olur.
\( \abs{x} = c \) denkleminde,
\( c \gt 0 \) ise \( x = c \) ya da \( x = -c \)
ÖRNEK:
\( \abs{2x - 4} = 2 \) ise,
Durum 1: \( 2x - 4 = 2 \)
\( x = 3 \)
Durum 2: \( 2x - 4 = -2 \)
\( x = 1 \)
Çözüm kümesi bu iki denklemin çözüm kümelerinin birleşimidir.
Çözüm kümesi: \( x \in \{ 1, 3 \} \)
Aşağıdaki grafikte denklemin sol ve sağ tarafını temsil eden doğruların \( x = 1 \) ve \( x = 3 \) noktalarında kesiştiklerini görebiliriz.
\( \abs{x} = y \) Formundaki Denklemler
Mutlak değer içinde bir ifade mutlak değer içinde olmayan bir ifadeye eşitse \( x = y \) ve \( x = -y \) denklemleri ayrı ayrı çözülür. Çözüm kümesi bu iki denklemin çözüm kümelerinin birleşimi olur.
Bu denklem tipinde elde ettiğimiz sonuçları orijinal denklemde yerine koyarak sağlamasını yapmamız gerekir, bu değerlerden mutlak değer içinde olmayan ifadeyi negatif yapan değerler orijinal denklemi sağlamayacaktır.
\( \abs{x} = y \) ise,
\( x = y \) veya \( x = -y \)
ÖRNEK:
\( \abs{2x - 4} = 3x - 1 \) ise,
Durum 1: \( 2x - 4 = 3x - 1 \)
\( x = -3 \)
Durum 2: \( 2x - 4 = -(3x - 1) \)
\( 2x - 4 = 1 - 3x \)
\( x = 1 \)
Bu değerleri orijinal denklemde yerine koyduğumuzda sadece \( x = 1 \)'in denklemi sağladığını görürüz.
Çözüm kümesi: \( x \in \{ 1 \} \)
Aşağıdaki grafikte denklemin sol ve sağ tarafını temsil eden doğruların sadece \( x = 1 \) noktasında kesiştiklerini ve \( x = -3 \)'ün gerçek bir çözüm olmadığını görebiliriz.
\( \abs{x} = \abs{y} \) Formundaki Denklemler
Bu denklem tipinde eşitliğin iki tarafı da negatif olamayacağı için denklem çözümünde orijinal denklemi sağlamayan çözümler oluşmayacaktır. Bu nedenle bulduğumuz \( x \) değerlerini sağlamasını yapmadan çözüm kümesine dahil edebiliriz.
Yöntem 1
Mutlak değerli iki ifade birbirine eşitse \( x = y \) ve \( x = -y \) olacak şekilde iki denklem yazılır ve ayrı ayrı çözülür. Çözüm kümesi bu iki denklemin çözüm kümelerinin birleşimidir.
\( \abs{x} = \abs{y} \) ise,
\( x = y \) veya \( x = -y \)
ÖRNEK:
\( \abs{x - 5} = \abs{2x - 4} \) ise,
Durum 1: \( x - 5 = 2x - 4 \)
\( x = -1 \)
Durum 2: \( x - 5 = -(2x - 4) \)
\( x - 5 = 4 - 2x \)
\( x = 3 \)
Çözüm kümesi bu iki denklemin çözüm kümelerinin birleşimidir.
Çözüm kümesi: \( x \in \{ -1, 3 \} \)
Aşağıdaki grafikte denklemin sol ve sağ tarafını temsil eden doğruların \( x = -1 \) ve \( x = 3 \) noktalarında kesiştiklerini görebiliriz.
Yöntem 2
İkinci bir yöntem olarak eşitliğin her iki tarafının karesini alarak denklemi tek adımda çözebiliriz.
Birinci yöntemde kullandığımız örneği şimdi bu yöntemle çözelim.
\( \abs{x - 5} = \abs{2x - 4} \) ise,
\( {\abs{x - 5}}^2 = {\abs{2x - 4}}^2 \)
\( x^2 - 10x + 25 = 4x^2 - 16x + 16 \)
Tüm terimleri tek tarafta toplayıp ifadeyi sıfıra eşitleyelim.
\( 3x^2 - 6x - 9 = 0 \)
İfadeyi çarpanlarına ayıralım.
\( 3(x + 1)(x - 3) = 0 \)
Çözüm kümesi: \( x \in \{ -1, 3 \} \)
Diğer Denklemler
Yukarıda bahsettiğimiz \( \abs{x} = c \), \( \abs{x} = y \) ve \( \abs{x} = \abs{y} \) formundaki denklemlerin ortak özelliği mutlak değerli ifadeleri eşitliğin bir ya da her iki tarafında yalnız bırakabilmemizdi. Bunu yapamadığımız bazı denklem formları aşağıdaki gibidir.
\( \abs{x} + \abs{y} = c \)
\( \abs{x} + \abs{y} = z \)
ÖRNEK:
\( \abs{x + 1} + \abs{2x - 1} = 3 \)
\( \abs{2x + 2} - \abs{x - 3} = x + 1 \)
Bu tip denklemleri her mutlak değerli ifade için kritik noktaları belirleyerek ve bu kritik noktalar arasında kalan her aralık için mutlak değer içindeki ifadeleri mutlak değerden çıkararak çözebiliriz. Her aralığın denklemi yazılırken mutlak değerli ifadeler ilgili aralıktaki işaretlerine göre mutlak değerden çıkarılır. Denklemin çözüm kümesi her aralık için bulduğumuz çözümlerin birleşim kümesi olur.
\( x = \frac{17}{3} \Longrightarrow \) Değer ilgili aralıkta olmadığı için geçersiz bir çözümdür.
Buna göre denklemin çözüm kümesi (1). ve (2). aralıklarda bulduğumuz değerlerden oluşur.
Çözüm kümesi: \( x \in \{ 1, 5 \} \)
Aşağıdaki grafikte denklemin sol tarafını parçalı fonksiyon şeklinde yazdığımızda oluşan grafik ve sağ tarafını temsil eden doğrunun \( x = 1 \) ve \( x = 5 \) noktalarında kesiştiklerini görebiliriz.
İç İçe Mutlak Değerli İfadeler
Denklem iç içe birden fazla mutlak değerli ifade içeriyorsa yukarıda paylaştığımız yöntemleri en dıştaki mutlak değerden başlayıp içtekine doğru ilerleyerek birden fazla adımda çözebiliriz.
İlk adımda en dıştaki mutlak değerli ifadenin içini +4 ve -4'e eşitleyelim ve iki denklemi ayrı ayrı çözelim.
Denklem 1: \( \abs{2x - 2} - 6 = 4 \)
\( \abs{2x - 2} = 10 \)
Şimdi bu mutlak değerli ifadenin içini +10 ve -10'a eşitleyelim ve iki denklemi ayrı ayrı çözelim.
Denklem 1.1: \( 2x - 2 = 10 \)
\( x = 6 \)
Denklem 1.2: \( 2x - 2 = -10 \)
\( x = -4 \)
Denklem 2: \( \abs{2x - 2} - 6 = -4 \)
\( \abs{2x - 2} = 2 \)
Şimdi bu mutlak değerli ifadenin içini +2 ve -2'ye eşitleyelim ve iki denklemi ayrı ayrı çözelim.
Denklem 2.1: \( 2x - 2 = 2 \)
\( x = 2 \)
Denklem 2.2: \( 2x - 2 = -2 \)
\( x = 0 \)
Bu durumda denklemin çözüm kümesi aşağıdaki gibi olur.
Çözüm kümesi: \( x \in \{ -4, 0, 2, 6 \} \)
Aşağıdaki grafikte denklemin sol ve sağ tarafını temsil eden doğruların bulduğumuz bu dört noktada kesiştiklerini görebiliriz.
\( \abs{x} + \abs{y} = 0 \) Formundaki Denklemler
İki ya da daha fazla sayıda mutlak değerli ifadenin toplamı sıfır ise her ifade ayrı ayrı sıfıra eşittir. Bunun sebebi, herhangi bir mutlak değerli ifade sıfırdan büyük olursa ifadelerin toplamının da sıfırdan büyük olacak olmasıdır.
Mutlak değer içini sıfır yapan \( x = -\frac{8}{3} \) değerinin oluşturduğu \( x \lt -\frac{8}{3} \) ve \( x \ge -\frac{8}{3} \) aralıklarını ayrı ayrı inceleyelim ve her durumda oluşan denklemi çözelim.
Durum 1: \( x \lt -\frac{8}{3} \)
Bu aralıkta \( 3x + 8 \) ifadesi negatif olur ve mutlak değer dışına negatif işaretli çıkar.
\( \abs{x - [-(3x + 8)] - 1} = 13 \)
\( \abs{x + 3x + 8 - 1} = 13 \)
\( \abs{4x + 7} = 13 \)
Bu denklemin iki çözümü vardır.
Durum 1.1: \( 4x + 7 = 13 \)
\( x = \dfrac{3}{2} \)
Bu değer incelediğimiz \( x \lt -\frac{8}{3} \) aralığında bulunmadığı için geçerli bir çözüm değildir.
Durum 1.2: \( 4x + 7 = -13 \)
\( x = -5 \)
Bu değer incelediğimiz \( x \lt -\frac{8}{3} \) aralığında bulunduğu için geçerli bir çözümdür.
Durum 2: \( x \ge -\frac{8}{3} \)
Bu aralıkta \( 3x + 8 \) ifadesi sıfır ya da pozitif olur ve mutlak değer dışına olduğu gibi çıkar.
\( \abs{x - (3x + 8) - 1} = 13 \)
\( \abs{-2x - 9} = 13 \)
Bu denklemin iki çözümü vardır.
Durum 2.1: \( -2x - 9 = 13 \)
\( x = -11 \)
Bu değer incelediğimiz \( x \ge -\frac{8}{3} \) aralığında bulunmadığı için geçerli bir çözüm değildir.
Durum 2.2: \( -2x - 9 = -13 \)
\( x = 2 \)
Bu değer incelediğimiz \( x \ge -\frac{8}{3} \) aralığında bulunduğu için geçerli bir çözümdür.
Bulduğumuz çözüm değerlerinin birleşimi denklemin çözüm kümesini verir.
Çözüm kümesi: \( x \in \{-5, 2\} \)
(b) seçeneği:
\( \abs{12x - \abs{-10x + 5} + 4} = 45 \)
Mutlak değer içini sıfır yapan \( x = \frac{1}{2} \) değerinin oluşturduğu \( x \lt \frac{1}{2} \) ve \( x \ge \frac{1}{2} \) aralıklarını ayrı ayrı inceleyelim ve her durumda oluşan denklemi çözelim.
Durum 1: \( x \lt \frac{1}{2} \)
Bu aralıkta \( -10x + 5 \) ifadesi pozitif olur ve mutlak değer dışına olduğu gibi çıkar.
\( \abs{12x - (-10x + 5) + 4} = 45 \)
\( \abs{12x + 10x - 5 + 4} = 45 \)
\( \abs{22x - 1} = 45 \)
Bu denklemin iki çözümü vardır.
Durum 1.1: \( 22x - 1 = 45 \)
\( x = \dfrac{23}{11} \)
Bu değer incelediğimiz \( x \lt \frac{1}{2} \) aralığında bulunmadığı için geçerli bir çözüm değildir.
Durum 1.2: \( 22x - 1 = -45 \)
\( x = -2 \)
Bu değer incelediğimiz \( x \lt \frac{1}{2} \) aralığında bulunduğu için geçerli bir çözümdür.
Durum 2: \( x \ge \frac{1}{2} \)
Bu aralıkta \( -10x + 5 \) ifadesi sıfır ya da negatif olur ve mutlak değer dışına negatif işaretli çıkar.
\( \abs{12x - [-(-10x + 5)] + 4} = 45 \)
\( \abs{12x - 10x + 5 + 4} = 45 \)
\( \abs{2x + 9} = 45 \)
Bu denklemin iki çözümü vardır.
Durum 2.1: \( 2x + 9 = 45 \)
\( x = 18 \)
Bu değer incelediğimiz \( x \ge \frac{1}{2} \) aralığında bulunduğu için geçerli bir çözümdür.
Durum 2.2: \( 2x + 9 = -45 \)
\( x = -27 \)
Bu değer incelediğimiz \( x \ge \frac{1}{2} \) aralığında bulunmadığı için geçerli bir çözüm değildir.
Bulduğumuz çözüm değerlerinin birleşimi denklemin çözüm kümesini verir.
Çözüm kümesi: \( x \in \{-2, 18\} \)
(c) seçeneği:
\( \abs{6x + \abs{-x} - 8} = 20 \)
Mutlak değer içini sıfır yapan \( x = 0 \) değerinin oluşturduğu \( x \lt 0 \) ve \( x \ge 0 \) aralıklarını ayrı ayrı inceleyelim ve her durumda oluşan denklemi çözelim.
Durum 1: \( x \lt 0 \)
Bu aralıkta \( x \) ifadesi pozitif olur ve mutlak değer dışına olduğu gibi çıkar.
\( \abs{6x + (-x) - 8} = 20 \)
\( \abs{5x - 8} = 20 \)
Bu denklemin iki çözümü vardır.
Durum 1.1: \( 5x - 8 = 20 \)
\( x = \dfrac{28}{5} \)
Bu değer incelediğimiz \( x \lt 0 \) aralığında bulunmadığı için geçerli bir çözüm değildir.
Durum 1.2: \( 5x - 8 = -20 \)
\( x = -\dfrac{12}{5} \)
Bu değer incelediğimiz \( x \lt 0 \) aralığında bulunduğu için geçerli bir çözümdür.
Durum 2: \( x \ge 0 \)
Bu aralıkta \( x \) ifadesi sıfır ya da negatif olur ve mutlak değer dışına negatif işaretli çıkar.
\( \abs{6x + [-(-x)] - 8} = 20 \)
\( \abs{6x + x - 8} = 20 \)
\( \abs{7x - 8} = 20 \)
Bu denklemin iki çözümü vardır.
Durum 2.1: \( 7x - 8 = 20 \)
\( x = 4 \)
Bu değer incelediğimiz \( x \ge 0 \) aralığında bulunduğu için geçerli bir çözümdür.
Durum 2.2: \( 7x - 8 = -20 \)
\( x = -\dfrac{12}{7} \)
Bu değer incelediğimiz \( x \ge 0 \) aralığında bulunmadığı için geçerli bir çözüm değildir.
Bulduğumuz çözüm değerlerinin birleşimi denklemin çözüm kümesini verir.
Mutlak değer içini sıfır yapan \( x \in \{\frac{2}{3}, 2\} \) değerlerinin oluşturduğu \( x \lt \frac{2}{3} \), \( \frac{2}{3} \le x \lt 2 \) ve \( x \ge 2 \) aralıklarını ayrı ayrı inceleyelim ve her durumda oluşan denklemi çözelim.
Durum 1: \( x \lt \frac{2}{3} \)
Bu aralıkta \( 3x - 2 \) ve \( x - 2 \) ifadeleri negatif olur ve mutlak değer dışına negatif işaretli çıkar.
\( -(3x - 2) + [-(x - 2)] = 12 \)
\( -3x + 2 + 2 - x = 12 \)
\( 4 - 4x = 12 \)
\( x = -2 \)
Bu değer incelediğimiz \( x \lt \frac{2}{3} \) aralığında bulunduğu için geçerli bir çözümdür.
Durum 2: \( \frac{2}{3} \le x \lt 2 \)
Bu aralıkta \( 3x - 2 \) ifadesi sıfır ya da pozitif olur ve mutlak değer dışına olduğu gibi çıkar.
Bu aralıkta \( x - 2 \) ifadesi negatif olur ve mutlak değer dışına negatif işaretli çıkar.
\( (3x - 2) + [-(x - 2)] = 12 \)
\( 3x - 2 + 2 - x = 12 \)
\( x = 6 \)
Bu değer incelediğimiz \( \frac{2}{3} \le x \lt 2 \) aralığında bulunmadığı için geçerli bir çözüm değildir.
Durum 3: \( x \ge 2 \)
Bu aralıkta \( 3x - 2 \) ve \( x - 2 \) ifadeleri sıfır ya da pozitif olur ve mutlak değer dışına olduğu gibi çıkar.
\( (3x - 2) + (x - 2) = 12 \)
\( 4x - 4 = 12 \)
\( x = 4 \)
Bu değer incelediğimiz \( x \ge 2 \) aralığında bulunduğu için geçerli bir çözümdür.
Bulduğumuz çözüm değerlerinin birleşimi denklemin çözüm kümesini verir.
Çözüm kümesi: \( x \in \{-2, 4\} \)
(b) seçeneği:
\( \abs{2 - x} - \abs{2x - 1} = -6 \)
Mutlak değer içini sıfır yapan \( x \in \{\frac{1}{2}, 2\} \) değerlerinin oluşturduğu \( x \lt \frac{1}{2} \), \( \frac{1}{2} \le x \lt 2 \) ve \( x \ge 2 \) aralıklarını ayrı ayrı inceleyelim ve her durumda oluşan denklemi çözelim.
Durum 1: \( x \lt \frac{1}{2} \)
Bu aralıkta \( 2x - 1 \) ifadesi negatif olur ve mutlak değer dışına negatif işaretli çıkar.
Bu aralıkta \( 2 - x \) ifadesi pozitif olur ve mutlak değer dışına olduğu gibi çıkar.
\( (2 - x) - [-(2x - 1)] = -6 \)
\( 2 - x + 2x - 1 = -6 \)
\( x = -7 \)
Bu değer incelediğimiz \( x \lt \frac{1}{2} \) aralığında bulunduğu için geçerli bir çözümdür.
Durum 2: \( \frac{1}{2} \le x \lt 2 \)
Bu aralıkta \( 2x - 1 \) ve \( 2 - x \) ifadeleri sıfır ya da pozitif olur ve mutlak değer dışına olduğu gibi çıkar.
\( (2 - x) - (2x - 1) = -6 \)
\( 2 - x - 2x + 1 = -6 \)
\( x = 3 \)
Bu değer incelediğimiz \( \frac{1}{2} \le x \lt 2 \) aralığında bulunmadığı için geçerli bir çözüm değildir.
Durum 3: \( x \ge 2 \)
Bu aralıkta \( 2x - 1 \) ifadesi pozitif olur ve mutlak değer dışına olduğu gibi çıkar.
Bu aralıkta \( 2 - x \) ifadesi sıfır ya da negatif olur ve mutlak değer dışına negatif işaretli çıkar.
\( -(2 - x) - (2x - 1) = -6 \)
\( -2 + x - 2x + 1 = -6 \)
\( x = 5 \)
Bu değer incelediğimiz \( x \ge 2 \) aralığında bulunduğu için geçerli bir çözümdür.
Bulduğumuz çözüm değerlerinin birleşimi denklemin çözüm kümesini verir.
Çözüm kümesi: \( x \in \{-7, 5\} \)
(c) seçeneği:
\( \abs{12 - 4x} + \abs{8 - x} = 4 \)
Mutlak değer içini sıfır yapan \( x \in \{3, 8\} \) değerlerinin oluşturduğu \( x \lt 3 \), \( 3 \le x \lt 8 \) ve \( x \ge 8 \) aralıklarını ayrı ayrı inceleyelim ve her durumda oluşan denklemi çözelim.
Durum 1: \( x \lt 3 \)
Bu aralıkta \( 12 - 4x \) ve \( 8 - x \) ifadeleri pozitif olur ve mutlak değer dışına olduğu gibi çıkar.
\( (12 - 4x) + (8 - x) = 4 \)
\( 12 - 4x + 8 - x = 4 \)
\( x = \dfrac{16}{5} \)
Bu değer incelediğimiz \( x \lt 3 \) aralığında bulunmadığı için geçerli bir çözüm değildir.
Durum 2: \( 3 \le x \lt 8 \)
Bu aralıkta \( 12 - 4x \) ifadesi sıfır ya da negatif olur ve mutlak değer dışına negatif işaretli çıkar.
Bu aralıkta \( 8 - x \) ifadesi pozitif olur ve mutlak değer dışına olduğu gibi çıkar.
\( -(12 - 4x) + (8 - x) = 4 \)
\( -12 + 4x + 8 - x = 4 \)
\( x = \dfrac{8}{3} \)
Bu değer incelediğimiz \( 3 \le x \lt 8 \) aralığında bulunmadığı için geçerli bir çözüm değildir.
Durum 3: \( x \ge 8 \)
Bu aralıkta \( 12 - 4x \) ve \( 8 - x \) ifadeleri sıfır ya da negatif olur ve mutlak değer dışına negatif işaretli çıkar.
\( -(12 - 4x) + [-(8 - x)] = 4 \)
\( -12 + 4x - 8 + x = 4 \)
\( x = \dfrac{24}{5} \)
Bu değer incelediğimiz \( x \ge 8 \) aralığında bulunmadığı için geçerli bir çözüm değildir.
Her üç durumda da geçerli bir çözüm bulunmadığı için denklemin çözüm kümesi boş kümedir.
Mutlak değer içini sıfır yapan \( x = 1 \) değerinin oluşturduğu \( x \lt 1 \) ve \( x \ge 1 \) aralıklarını ayrı ayrı inceleyelim ve her durumda oluşan denklemi çözelim.
Durum 1: \( x \lt 1 \)
Bu aralıkta \( x - 1 \) ifadesi negatif olur ve mutlak değer dışına negatif işaretli çıkar.
\( -(x - 1) = x^2 + 4x - 5 \)
\( x^2 + 5x - 6 = 0 \)
\( (x + 6)(x - 1) = 0 \)
\( x = -6, \quad x = 1 \)
İncelediğimiz \( x \lt 1 \) aralığında sadece \( x = -6 \) geçerli bir çözümdür.
\( x \in \{-6\} \)
Durum 2: \( x \ge 1 \)
Bu aralıkta \( x - 1 \) ifadesi sıfır ya da pozitif olur ve mutlak değer dışına olduğu gibi çıkar.
\( x - 1 = x^2 + 4x - 5 \)
\( x^2 + 3x - 4 = 0 \)
\( (x + 4)(x - 1) = 0 \)
\( x = -4, \quad x = 1 \)
İncelediğimiz \( x \ge 1 \) aralığında sadece \( x = 1 \) geçerli bir çözümdür.
\( x \in \{1\} \)
Bulduğumuz çözüm değerlerinin birleşimi denklemin çözüm kümesini verir.
Çözüm kümesi: \( x \in \{-6, 1\} \)
(b) seçeneği:
\( \abs{3x - 18} = 3x^2 - 4x - 12 \)
Mutlak değer içini sıfır yapan \( x = 6 \) değerinin oluşturduğu \( x \lt 6 \) ve \( x \ge 6 \) aralıklarını ayrı ayrı inceleyelim ve her durumda oluşan denklemi çözelim.
Durum 1: \( x \lt 6 \)
Bu aralıkta \( 3x - 18 \) ifadesi negatif olur ve mutlak değer dışına negatif işaretli çıkar.
\( -(3x - 18) = 3x^2 - 4x - 12 \)
\( 3x^2 - x - 30 = 0 \)
\( (3x - 10)(x + 3) = 0 \)
\( x = \dfrac{10}{3}, \quad x = -3 \)
Bu iki değer incelediğimiz \( x \lt 6 \) aralığında bulunduğu için geçerli birer çözümdür.
\( x \in \{-3, \frac{10}{3}\} \)
Durum 2: \( x \ge 6 \)
Bu aralıkta \( 3x - 18 \) ifadesi sıfır ya da pozitif olur ve mutlak değer dışına olduğu gibi çıkar.
\( 3x - 18 = 3x^2 - 4x - 12 \)
\( 3x^2 - 7x + 6 = 0 \)
Denklemin deltasını hesaplayalım.
\( \Delta = b^2 - 4ac \)
\( a = 3, \quad b = -7, \quad c = 6 \)
\( \Delta = (-7)^2 - 4(3)(6) = -23 \)
\( \Delta \lt 0 \) olduğu için denklemin reel sayı kökü yoktur.
\( x \in \emptyset \)
Bulduğumuz çözüm değerlerinin birleşimi denklemin çözüm kümesini verir.
Çözüm kümesi: \( x \in \{-3, \frac{10}{3}\} \)
(c) seçeneği:
\( \abs{10 - 8x} = 5x^2 + 15x \)
Mutlak değer içini sıfır yapan \( x = \frac{5}{4} \) değerinin oluşturduğu \( x \lt \frac{5}{4} \) ve \( x \ge \frac{5}{4} \) aralıklarını ayrı ayrı inceleyelim ve her durumda oluşan denklemi çözelim.
Durum 1: \( x \lt \frac{5}{4} \)
Bu aralıkta \( 10 - 8x \) ifadesi pozitif olur ve mutlak değer dışına olduğu gibi çıkar.
\( 10 - 8x = 5x^2 + 15x \)
\( 5x^2 + 23x - 10 = 0 \)
\( (5x - 2)(x + 5) = 0 \)
\( x = \dfrac{2}{5}, \quad x = -5 \)
Bu iki değer incelediğimiz \( x \lt \frac{5}{4} \) aralığında bulunduğu için geçerli birer çözümdür.
\( x \in \{-5, \frac{2}{5}\} \)
Durum 2: \( x \ge \frac{5}{4} \)
Bu aralıkta \( 10 - 8x \) ifadesi sıfır ya da negatif olur ve mutlak değer dışına negatif işaretli çıkar.
\( -(10 - 8x) = 5x^2 + 15x \)
\( -10 + 8x = 5x^2 + 15x \)
\( 5x^2 + 7x + 10 = 0 \)
Denklemin deltasını hesaplayalım.
\( \Delta = b^2 - 4ac \)
\( a = 5, \quad b = 7, \quad c = 10 \)
\( \Delta = 7^2 - 4(5)(10) = -151 \)
\( \Delta \lt 0 \) olduğu için denklemin reel sayı kökü yoktur.
\( x \in \emptyset \)
Bulduğumuz çözüm değerlerinin birleşimi denklemin çözüm kümesini verir.
Mutlak değer içindeki ifade mutlak değerden olduğu gibi çıktığına göre değeri sıfır ya da pozitiftir.
\( 3x^2 - 5x + 2 \ge 0 \)
Eşitsizliğin sol tarafını çarpanlarına ayıralım.
\( (3x - 2)(x - 1) \ge 0 \)
İkinci dereceden ifadeyi sıfır yapan değerler \( x = \frac{2}{3} \) ve \( x = 1 \)'dir.
Pozitif başkatsayılı ve birbirinden farklı iki reel kökü olan ikinci dereceden bir ifade kök değerlerinde sıfır, köklerin arasındaki aralıkta negatif, dışındaki aralıkta pozitif olur.
Eşitsizlikte \( \ge \) sembolü kullanıldığı için eşitsizliğin pozitif ve sıfır olduğu aralıklar eşitsizliğin çözüm kümesi olur.
Mutlak değerli bir ifade negatif olamayacağı için, iki ya da daha fazla sayıda mutlak değerli ifadenin toplamı sıfır ise her ifade ayrı ayrı sıfıra eşittir.
\( \abs{3x - 4y + 14} = 0 \)
\( \abs{2x + 3y - 19} = 0 \)
Bir ifadenin mutlak değeri sıfıra eşitse kendisi de sıfırdır.
\( 3x - 4y + 14 = 0 \)
\( 2x + 3y - 19 = 0 \)
Birinci denklemin taraflarını 3 ile, ikinci denklemin taraflarını 4 ile çarpalım.
\( 9x - 12y + 42 = 0 \)
\( 8x + 12y - 76 = 0 \)
İki denklemi taraf tarafa toplayalım.
\( 17x - 34 = 0 \)
\( x = 2 \)
\( x = 2 \) değerini birinci denklemde yerine yazarak \( y \) değerini bulalım.
Mutlak değer içini sıfır yapan \( x = 4 \) değerinin oluşturduğu \( x \lt 4 \) ve \( x \ge 4 \) aralıklarını ayrı ayrı inceleyelim ve her durumda oluşan denklemi çözelim.
Durum 1: \( x \lt 4 \)
Bu aralıkta \( x - 4 \) ifadesi negatif olur ve mutlak değer dışına negatif işaretli çıkar.
\( \abs{x - 4} = -(x - 4) = 4 - x \)
\( (4 - x)^2 - 4(4 - x) = 5 \)
\( 16 - 8x + x^2 - 16 + 4x = 5 \)
\( x^2 - 4x - 5 = 0 \)
\( (x + 1)(x - 5) = 0 \)
\( x = -1, \quad x = 5 \)
İncelediğimiz \( x \lt 4 \) aralığında sadece \( x = -1 \) geçerli bir çözümdür.
\( x \in \{-1\} \)
Durum 2: \( x \ge 4 \)
Bu aralıkta \( x - 4 \) ifadesi sıfır ya da pozitif olur ve mutlak değer dışına olduğu gibi çıkar.
\( \abs{x - 4} = x - 4 \)
\( (x - 4)^2 - 4(x - 4) = 5 \)
\( x^2 - 8x + 16 - 4x + 16 = 5 \)
\( x^2 - 12x + 27 = 0 \)
\( (x - 3)(x - 9) = 0 \)
\( x = 3, \quad x = 9 \)
İncelediğimiz \( x \ge 4 \) aralığında sadece \( x = 9 \) geçerli bir çözümdür.
\( x \in \{9\} \)
İki aralık için bulduğumuz çözüm değerlerinin birleşimi denklemin çözüm kümesini verir.
Mutlak değer içini sıfır yapan \( x = 0 \) değerinin oluşturduğu \( x \lt 0 \) ve \( x \ge 0 \) aralıklarını ayrı ayrı inceleyelim ve her durumda oluşan denklemi çözelim.
Durum 1: \( x \lt 0 \)
Bu aralıkta \( x \) ifadesi negatif olur ve mutlak değer dışına negatif işaretli çıkar.
\( \abs{x} = -x \)
\( \abs{\dfrac{-x}{x} + 4 + x} = 4x + 5 \)
\( \abs{3 + x} = 4x + 5 \)
Bu eşitlikte \( 3 + x \) ifadesinin işaretine göre iki durum oluşur.
Durum 1.1: \( -3 \le x \lt 0 \)
Bu aralıkta \( 3 + x \) ifadesi sıfır ya da pozitif olur ve mutlak değer dışına olduğu gibi çıkar.
\( 3 + x = 4x + 5 \)
\( x = -\dfrac{2}{3} \)
Bu değer incelediğimiz \( -3 \le x \lt 0 \) aralığında bulunduğu için geçerli bir çözümdür.
\( x \in \{-\frac{2}{3}\} \)
Durum 1.2: \( x \lt -3 \)
Bu aralıkta \( 3 + x \) ifadesi negatif olur ve mutlak değer dışına negatif işaretli çıkar.
\( -(3 + x) = 4x + 5 \)
\( -3 - x = 4x + 5 \)
\( x = -\dfrac{8}{5} \)
Bu değer incelediğimiz \( x \lt -3 \) aralığında bulunmadığı için geçerli bir çözüm değildir.
Durum 2: \( x \ge 0 \)
Bu aralıkta \( x \) ifadesi sıfır ya da pozitif olur ve mutlak değer dışına olduğu gibi çıkar.
\( \abs{x} = x \)
\( \abs{\dfrac{x}{x} + 4 + x} = 4x + 5 \)
\( \abs{5 + x} = 4x + 5 \)
\( x \ge 0 \) aralığında \( 5 + x \) pozitif olur.
\( 5 + x = 4x + 5 \)
\( x = 0 \)
Bu değer incelediğimiz \( x \ge 0 \) aralığında bulunduğu için geçerli bir çözümdür.
\( x \in \{0\} \)
Bulduğumuz çözüm değerlerinin birleşimi denklemin çözüm kümesini verir.
Mutlak değer içini sıfır yapan \( x = 3 \) değerinin oluşturduğu \( x \lt 3 \) ve \( x \ge 3 \) aralıklarını ayrı ayrı inceleyelim ve her durumda oluşan denklemi çözelim.
Durum 1: \( x \lt 3 \)
Bu aralıkta \( x - 3 \) ifadesi negatif olur ve mutlak değer dışına negatif işaretli çıkar.
\( -(x - 3) + (x - 3)^2 - 12 = 0 \)
\( 3 - x + x^2 - 6x + 9 - 12 = 0 \)
\( x^2 - 7x = 0 \)
\( x(x - 7) = 0 \)
\( x = 0, \quad x = 7 \)
İncelediğimiz \( x \lt 3 \) aralığında sadece \( x = 0 \) geçerli bir çözümdür.
\( x \in \{0\} \)
Durum 2: \( x \ge 3 \)
Bu aralıkta \( x - 3 \) ifadesi sıfır ya da pozitif olur ve mutlak değer dışına olduğu gibi çıkar.
\( (x - 3) + (x - 3)^2 - 12 = 0 \)
\( x - 3 + x^2 - 6x + 9 - 12 = 0 \)
\( x^2 - 5x - 6 = 0 \)
\( (x + 1)(x - 6) = 0 \)
\( x = -1, \quad x = 6 \)
İncelediğimiz \( x \ge 3 \) aralığında sadece \( x = 6 \) geçerli bir çözümdür.
Mutlak değer içini sıfır yapan \( x = 0 \) değerinin oluşturduğu \( x \lt 0 \) ve \( x \ge 0 \) aralıklarını ayrı ayrı inceleyelim ve her durumda oluşan denklemi çözelim.
Durum 1: \( x \lt 0 \)
Bu aralıkta \( x \) ifadesi negatif olur ve mutlak değer dışına negatif işaretli çıkar.
\( x^2 - 8(-x) + 7 = 0 \)
\( x^2 + 8x + 7 = 0 \)
\( (x + 7)(x + 1) = 0 \)
\( x = -7, \quad x = -1 \)
İncelediğimiz \( x \lt 0 \) aralığında her iki değer de geçerli birer çözümdür.
\( x \in \{-7, -1\} \)
Durum 2: \( x \ge 0 \)
Bu aralıkta \( x \) ifadesi sıfır ya da pozitif olur ve mutlak değer dışına olduğu gibi çıkar.
\( x^2 - 8x + 7 = 0 \)
\( (x - 1)(x - 7) = 0 \)
\( x = 1, \quad x = 7 \)
İncelediğimiz \( x \ge 0 \) aralığında her iki değer de geçerli birer çözümdür.
Mutlak değer içini sıfır yapan \( x \in \{-18, -15\}\) değerlerinin oluşturduğu \( x \lt -18 \), \( -18 \le x \lt -15 \) ve \(x \ge -15 \) aralıklarını ayrı ayrı inceleyelim ve her durumda oluşan denklemi çözelim.
Durum 1: \( x \lt -18 \)
Bu aralıkta \( x + 18 \) ve \( x + 15 \) ifadeleri negatif olur ve mutlak değer dışına negatif işaretli çıkar.
\( -(x + 15) + [-(x + 18)] = 81 \)
\( -x - 15 - x - 18 = 81 \)
\( x = -57 \)
Bu değer incelediğimiz \( x \lt -18 \) aralığında bulunduğu için geçerli bir çözümdür.
Durum 2: \( -18 \le x \lt -15 \)
Bu aralıkta \( x + 18 \) ifadesi sıfır ya da pozitif olur ve mutlak değer dışına olduğu gibi çıkar.
Bu aralıkta \( x + 15 \) ifadesi negatif olur ve mutlak değer dışına negatif işaretli çıkar.
\( -(x + 15) + (x + 18) = 81 \)
\( -x - 15 + x + 18 = 81 \)
\( 3 = 81 \)
Bu eşitlik \( -18 \le x \lt -15 \) aralığında hiçbir \( x \) değeri için sağlanmaz.
Durum 3: \( x \ge -15 \)
Bu aralıkta \( x + 18 \) ve \( x + 15 \) ifadeleri sıfır ya da pozitif olur ve mutlak değer dışına olduğu gibi çıkar.
\( (x + 15) + (x + 18) = 81 \)
\( 2x + 33 = 81 \)
\( x = 24 \)
Bu değer incelediğimiz \( x \ge -15 \) aralığında bulunduğu için geçerli bir çözümdür.
Bulduğumuz çözüm değerlerinin birleşimi denklemin çözüm kümesini verir.
Mutlak değer içini sıfır yapan \( x \in \{4, \frac{11}{2}\} \) değerlerinin oluşturduğu \( x \lt 4 \), \( 4 \le x \lt \frac{11}{2} \) ve \( x \ge \frac{11}{2} \) aralıklarını ayrı ayrı inceleyelim ve her durumda oluşan denklemi çözelim.
Durum 1: \( x \lt 4 \)
Bu aralıkta \( x - 4 \) ve \( 2x - 11 \) ifadeleri negatif olur ve mutlak değer dışına negatif işaretli çıkar.
\( -(2x - 11) - [-(x - 4)] = 45 \)
\( -2x + 11 + x - 4 = 45 \)
\( x = -38 \)
Bu değer incelediğimiz \( x \lt 4 \) aralığında bulunduğu için geçerli bir çözümdür.
Durum 2: \( 4 \le x \lt \frac{11}{2} \)
Bu aralıkta \( x - 4 \) ifadesi sıfır ya da pozitif olur ve mutlak değer dışına olduğu gibi çıkar.
Bu aralıkta \( 2x - 11 \) ifadesi negatif olur ve mutlak değer dışına negatif işaretli çıkar.
\( -(2x - 11) - (x - 4) = 45 \)
\( -2x + 11 - x + 4 = 45 \)
\( 15 - 3x = 45 \)
\( x = -10 \)
Bu değer incelediğimiz \( 4 \le x \lt \frac{11}{2} \) aralığında bulunmadığı için geçerli bir çözüm değildir.
Durum 3: \( x \ge \frac{11}{2} \)
Bu aralıkta \( x - 4 \) ve \( 2x - 11 \) ifadeleri sıfır ya da pozitif olur ve mutlak değer dışına olduğu gibi çıkar.
\( (2x - 11) - (x - 4) = 45 \)
\( 2x - 11 - x + 4 = 45 \)
\( x = 52 \)
Bu değer incelediğimiz \( x \ge \frac{11}{2} \) aralığında bulunduğu için geçerli bir çözümdür.
Bulduğumuz çözüm değerlerinin birleşimi denklemin çözüm kümesini verir.
Mutlak değer içindeki ifadeyi çarpanlarına ayıralım.
\( \abs{(2x + 1)(x + 3)} = 10x + 12 \)
Mutlak değer içini sıfır yapan \( x \in \{-3, -\frac{1}{2}\} \) değerlerinin oluşturduğu \( x \lt -3 \), \( -3 \le x \lt -\frac{1}{2} \) ve \( x \ge -\frac{1}{2} \) aralıklarını ayrı ayrı inceleyelim ve her durumda oluşan denklemi çözelim.
Durum 1: \( x \lt -3 \)
Bu aralıkta \( 2x + 1 \) ve \( x + 3 \) ifadeleri negatif olur, dolayısıyla çarpımları pozitif olur ve mutlak değerden olduğu gibi çıkar.
\( (2x + 1)(x + 3) = 10x + 12 \)
\( 2x^2 + 7x + 3 = 10x + 12 \)
\( 2x^2 - 3x - 9 = 0 \)
\( (2x + 3)(x - 3) = 0 \)
\( x = -\dfrac{3}{2}, \quad x = 3 \)
İncelediğimiz \( x \lt -3 \) aralığında iki değer de geçerli birer çözüm değildir.
\( x \in \emptyset \)
Durum 2: \( -3 \le x \lt -\frac{1}{2} \)
Bu aralıkta \( x + 3 \) ifadesi sıfır ya da pozitif, \( 2x + 1 \) ifadesi negatif olur, dolayısıyla çarpımları sıfır ya da negatif olur ve mutlak değerden negatif işaretli çıkar.
\( -(2x + 1)(x + 3) = 10x + 12 \)
\( -2x^2 - 7x - 3 = 10x + 12 \)
\( 2x^2 + 17x + 15 = 0 \)
\( (2x + 15)(x + 1) = 0 \)
\( x = -\dfrac{15}{2}, \quad x = -1 \)
İncelediğimiz \( -3 \le x \lt -\frac{1}{2} \) aralığında sadece \( x = -1 \) geçerli bir çözümdür.
\( x \in \{-1\} \)
Durum 3: \( x \ge -\frac{1}{2} \)
Bu aralıkta \( 2x + 1 \) ve \( x + 3 \) ifadeleri sıfır ya da pozitif olur, dolayısıyla çarpımları sıfır ya da pozitif olur ve mutlak değerden olduğu gibi çıkar.
\( (2x + 1)(x + 3) = 10x + 12 \)
\( 2x^2 + 7x + 3 = 10x + 12 \)
\( 2x^2 - 3x - 9 = 0 \)
\( (2x + 3)(x - 3) = 0 \)
\( x = -\dfrac{3}{2}, \quad x = 3 \)
İncelediğimiz \( x \ge -\frac{1}{2} \) aralığında sadece \( x = 3 \) geçerli bir çözümdür.
\( x \in \{3\} \)
Bulduğumuz çözüm değerlerinin birleşimi denklemin çözüm kümesini verir.
Mutlak değer içini sıfır yapan \( x \in \{-\frac{1}{4}, \frac{1}{2}\} \) değerlerinin oluşturduğu \( x \lt -\frac{1}{4} \), \( -\frac{1}{4} \le x \lt \frac{1}{2} \) ve \( x \ge \frac{1}{2} \) aralıklarını ayrı ayrı inceleyelim ve her durumda oluşan denklemi çözelim.
Durum 1: \( x \lt -\frac{1}{4} \)
Bu aralıkta \( 4x + 1 \) ifadesi negatif olur ve mutlak değer dışına negatif işaretli çıkar.
Bu aralıkta \( 1 - 2x \) ifadesi pozitif olur ve mutlak değer dışına olduğu gibi çıkar.
\( -(4x + 1) + 2(1 - 2x) = -(4x + 1)(1 - 2x) \)
\( -4x - 1 + 2 - 4x = 8x^2 - 4x + 2x - 1 \)
\( 8x^2 + 6x - 2 = 0 \)
\( 2(4x - 1)(x + 1) = 0 \)
\( x = \dfrac{1}{4}, \quad x = -1 \)
İncelediğimiz \( x \lt -\frac{1}{4} \) aralığında sadece \( x = -1 \) geçerli bir çözümdür.
\( x \in \{-1\} \)
Durum 2: \( -\frac{1}{4} \le x \lt \frac{1}{2} \)
Bu aralıkta \( 4x + 1 \) ve \( 1 - 2x \) ifadeleri sıfır ya da pozitif olur ve mutlak değer dışına olduğu gibi çıkar.
\( (4x + 1) + 2(1 - 2x) = (4x + 1)(1 - 2x) \)
\( 4x + 1 + 2 - 4x = -8x^2 + 4x - 2x + 1 \)
\( 8x^2 - 2x + 2 = 0 \)
\( 4x^2 - x + 1 = 0 \)
Denklemin deltasını hesaplayalım.
\( \Delta = b^2 - 4ac \)
\( a = 4, \quad b = -1, \quad c = 1 \)
\( \Delta = (-1)^2 - 4(4)(1) = -15 \)
\( \Delta \lt 0 \) olduğundan denklemin reel sayı kökü yoktur.
\( x \in \emptyset \)
Durum 3: \( x \ge \frac{1}{2} \)
Bu aralıkta \( 4x + 1 \) ifadesi pozitif olur ve mutlak değer dışına olduğu gibi çıkar.
Bu aralıkta \( 1 - 2x \) ifadesi sıfır ya da negatif olur ve mutlak değer dışına negatif işaretli çıkar.
Bulduğumuz \( x \) ve \( y \) değerlerinin çarpımları içinden en küçük olanı bulmak için \( x \)'in negatif değerini, \( y \)'nin de büyük değerini seçmeliyiz.
Eşitliğin iki tarafındaki \( \abs{x - 3} \) çarpanları birbirini götürür, ancak \( x = 3 \) değerinin denklemi sağlayan köklerden biri olduğu not edilir.
\( \abs{x - 6} \cdot \abs{x + 6} = 45 \)
\( \abs{(x - 6)(x + 6)} = 45 \)
\( \abs{x^2 - 36} = 45 \)
Bu denklemin iki çözümü vardır.
Durum 1:
\( x^2 - 36 = 45 \)
\( x^2 = 81 \Longrightarrow x \in \{-9, 9\} \)
Durum 2:
\( x^2 - 36 = -45 \)
\( x^2 = -9 \Longrightarrow \) Denklemin reel çözümü yoktur.
Çözüm kümesi: \( x \in \{-9, 3, 9\} \)
Buna göre \( x \)'in alabileceği 3 farklı değer vardır.
Mutlak değer içindeki pozitif çarpan mutlak değer dışına çıkarılabilir.
\( \abs{x - n} + 7\abs{n - x} = 48n \)
Mutlak değer içini \( -1 \) ile çarpıp terimlerin yerini değiştirebiliriz.
\( \abs{x - n} + 7\abs{x - n} = 48n \)
\( 8\abs{x - n} = 48n \)
\( \abs{x - n} = 6n \)
Bu denklemin iki çözümü vardır.
Durum 1:
\( x - n = 6n \Longrightarrow x = 7n \)
Durum 2:
\( x - n = -6n \Longrightarrow x = -5n \)
Buna göre denklemi sağlayan değerler aşağıdaki gibidir.
\( x_1 = 7n, \quad x_2 = -5n \)
\( \abs{x_1 - x_2} = 108 \)
\( \abs{7n - (-5n)} = 108 \)
\( \abs{12n} = 108 \)
\( 12\abs{n} = 108 \)
\( \abs{n} = 9 \)
\( n = 9 \) ya da \( n = -9 \) olabilir, ancak soruda verilen eşitlikte iki mutlak değerli ifadenin toplamı negatif olamayacağı için \( n = -9 \) denklemi sağlamaz.
Mutlak değer içindeki ikinci dereceden ifadeyi çarpanlarına ayıralım.
\( \abs{(x + 3)(x - 4)} = x + 3 \)
Bir mutlak değer ifadesini 0 yapan değerler ifadenin kritik noktalarıdır.
Buna göre mutlak değer içindeki ifadenin kritik noktaları \( x \in \{-3, 4\} \) değerleridir.
Bu iki kritik noktanın oluşturduğu üç aralığı ayrı ayrı inceleyelim ve her aralıkta mutlak değer içindeki ifadeleri o aralıktaki işaretlerine göre mutlak değerden çıkaralım.
Aralık 1: \( x \lt -3 \)
Bu aralıkta her iki mutlak değerli ifade de negatif olur, dolayısıyla mutlak değerden negatif işaretli çıkar.
\( -(x + 3)(-(x - 4)) = x + 3 \)
\( (x + 3)(x - 4) = x + 3 \)
\( (x + 3)(x - 4) - (x + 3) = 0 \)
\( (x + 3)(x - 5) = 0 \)
Bu denklemi sağlayan \( x \in \{-3, 5\} \) değerlerinden ikisi de \( x \lt -3 \) aralığında bulunmadığı için geçerli birer çözüm değildir.
Aralık 2: \( -3 \le x \lt 4 \)
Bu aralıkta \( x + 3 \) ifadesi pozitif, \( x - 4 \) ifadesi negatif olur; dolayısıyla birinci ifade mutlak değerden olduğu gibi, ikinci ifade negatif işaretli çıkar.
\( (x + 3)(-(x - 4)) = x + 3 \)
\( -(x + 3)(x - 4) - (x + 3) = 0 \)
\( (x + 3)(-x + 3) = 0 \)
Bu denklemi sağlayan \( x \in \{-3, 3\} \) değerlerinden ikisi de \( -3 \le x \lt 4 \) aralığında bulunduğu için ikisi de geçerli birer çözümdür.
Aralık 3: \( x \ge 4 \)
Bu aralıkta her iki mutlak değerli ifade de pozitif olur, dolayısıyla mutlak değerden olduğu gibi çıkar.
\( (x + 3)(x - 4) = x + 3 \)
\( (x + 3)(x - 4) - (x + 3) = 0 \)
\( (x + 3)(x - 5) = 0 \)
Bu denklemi sağlayan \( x \in \{-3, 5\} \) değerlerinden \( x = 5 \) \( x \ge 4 \) aralığında bulunduğu için geçerli bir çözümdür.
Denklemin çözüm kümesi aşağıdaki gibi bulunur.
Çözüm kümesi: \( x \in \{-3, 3, 5\} \)
Buna göre kökler toplamı \( -3 + 3 + 5 = 5 \) olur.
\( a = 0 \) olduğu durumda \( b = m \) ya da \( b = -m \) olmak üzere 2 çözüm vardır.
\( b = 0 \) olduğu durumda \( a = m \) ya da \( a = -m \) olmak üzere 2 çözüm vardır.
\( 0 \lt \abs{a} \lt m \) olduğu \( m - 1 \) durumun her birinde ise \( (a, b) \) sıralı ikilileri için \( (+, +), (+, -), (-, +), (-, -) \) olmak üzere 4'er çözüm vardır.
Buna göre verilen denklemin toplam çözüm sayısı aşağıdaki sayıda olur.
\( 2 + 2 + 4(m - 1) = 4m \)
\( 4m = 32 \)
\( m = 8 \)
\( m = 8 \) ise \( \abs{a} + \abs{b} \) toplamı en büyük değerini \( a \gt 0 \) ve \( b \gt 0 \) olduğunda alır ve bu durumda \( a + b = 8 \) olur.
Buna göre \( a + b + m \) toplamının en büyük değeri \( 8 + 8 = 16 \) olur.
Yukarıdaki açıklamaları netleştirmek adına, sorunun 32 çözümü aşağıdaki gibi olur.
Mutlak değerli ifadeleri sıfır yapan noktalar fonksiyonun kritik noktalarıdır.
Buna göre fonksiyonun kritik noktaları \( x \in \{-5, 7\} \) noktalarıdır.
Bu iki kritik noktanın oluşturduğu üç aralığı ayrı ayrı inceleyelim ve her aralıkta mutlak değer içindeki ifadeleri o aralıktaki işaretlerine göre mutlak değerden çıkaralım.
Aralık 1: \( x \lt -5 \)
Bu aralıkta her iki mutlak değerli ifade de negatif olur, dolayısıyla mutlak değerden negatif işaretli çıkar.
\( -(x + 5) - (x - 7) = 15 \)
\( -2x + 2 = 15 \)
\( x = -\dfrac{13}{2} \)
Bulduğumuz değer denklemi çözdüğümüz \( x \lt -5 \) aralığında olduğu için geçerli bir çözümdür.
Aralık 2: \( -5 \le x \lt 7 \)
Bu aralıkta \( x + 5 \) ifadesi pozitif, \( x - 7 \) ifadesi negatif olur, dolayısıyla birinci ifade mutlak değerden olduğu gibi, ikinci ifade negatif işaretli çıkar.
\( (x + 5) - (x - 7) = 15 \)
\( 12 = 15 \)
Elde ettiğimiz eşitlik herhangi bir \( x \) değeri için sağlanmadığı için bu aralıkta geçerli bir çözüm yoktur.
Aralık 3: \( 7 \le x \)
Bu aralıkta her iki mutlak değerli ifade de pozitif olur, dolayısıyla mutlak değerden olduğu gibi çıkar.
\( (x + 5) + (x - 7) = 15 \)
\( 2x - 2 = 15 \)
\( x = \dfrac{17}{2} \)
Bulduğumuz değer denklemi çözdüğümüz \( 7 \le x \) aralığında olduğu için geçerli bir çözümdür.
Çözüm kümesi: \( x \in \{-\frac{13}{2}, \frac{17}{2}\} \)
Denklemin iki tarafına ait denklemlerin grafiklerini analitik düzlemde çizdiğimizde, kesişim noktalarının apsis değerleri olarak aynı değerleri buluruz.
Bu iki \( x \) değerini istenen ifadede yerine koyalım.
Denklemin 4 reel kökü olabilmesi için \( \pm 6 + a \) ve \( \pm 6 + a \) değerlerinin ikisi de içteki mutlak değer açıldığında ikişer çözüm üretecek şekilde pozitif birer reel sayıya karşılık gelmelidir.
\( +6 + a \ge 0 \Longrightarrow a \ge -6 \)
\( -6 + a \ge 0 \Longrightarrow a \ge 6 \)
\( a \) için bulduğumuz iki değer aralığını da sağlayan değerler için denklemin 4 reel kökü olacaktır.
