Mutlak Değer Denklemleri

En az bir bilinmeyenin mutlak değer içinde yer aldığı farklı denklem tiplerini aşağıda detaylandıracağımız yöntemleri kullanarak çözebiliriz.

\( \abs{x} = c \) Formundaki Denklemler

Mutlak değerli bir ifade negatif bir sayıya eşitse mutlak değer işleminin sonucu negatif olamayacağı için çözüm kümesi boş kümedir.

Mutlak değerli bir ifade sıfıra eşitse mutlak değer içindeki ifade de sıfıra eşittir.

Mutlak değerli bir ifade pozitif bir \( c \) sayısına eşitse \( x = c \) ve \( x = -c \) olacak şekilde iki denklem yazılır ve ayrı ayrı çözülür. Çözüm kümesi bu iki denklemin çözüm kümelerinin birleşim kümesidir.

\( \abs{x} = y \) Formundaki Denklemler

Mutlak değerli bir ifade mutlak değer içinde olmayan bir ifadeye eşitse \( x = y \) ve \( x = -y \) olacak şekilde iki denklem yazılır ve ayrı ayrı çözülür. Çözüm kümesi bu iki denklemin çözüm kümelerinin birleşim kümesidir.

Bu denklem tipinde elde ettiğimiz sonuçları orijinal denklemde yerine koyarak sağlamasını yapmamız gerekir, bu değerlerden mutlak değer içinde olmayan ifadeyi negatif yapan değerler orijinal denklemi sağlamayacaktır.

\( \abs{x} = \abs{y} \) Formundaki Denklemler

Yöntem 1

Mutlak değerli iki ifade birbirine eşitse \( x = y \) ve \( x = -y \) olacak şekilde iki denklem yazılır ve ayrı ayrı çözülür. Çözüm kümesi bu iki denklemin çözüm kümelerinin birleşim kümesidir.

Yöntem 2

İkinci bir yöntem olarak eşitliğin her iki tarafının karesini alarak da denklemi tek adımda çözebiliriz.

Birinci yöntemde kullandığımız örneği şimdi bu yöntemle çözelim.

Bu denklem tipinde eşitliğin iki tarafı da negatif olamayacağı için denklem çözümünde orijinal denklemi sağlamayan çözümler oluşmayacaktır.

Diğer Denklemler

Yukarıda bahsettiğimiz \( \abs{x} = c \), \( \abs{x} = y \) ve \( \abs{x} = \abs{y} \) formundaki denklemlerin ortak özelliği mutlak değerli ifadeleri eşitliğin bir ya da her iki tarafında yalnız bırakabilmemizdi.

Bunu yapamadığımız bazı denklem formları aşağıdaki gibidir.

Bu tip denklemlerde her mutlak değerli ifadenin kritik noktası belirlenir, bu kritik noktalar arasında kalan aralıklar için ayrı birer denklem yazılır ve bu denklemler ayrı ayrı çözülür. Çözüm kümesi bu denklemlerin çözüm kümelerinin birleşim kümesidir. Her bir aralık için denklem yazılırken mutlak değerli ifadeler ilgili aralıktaki işaretlerine göre mutlak değerden çıkarılır.

İçiçe Mutlak Değerli İfadeler

Denklem iç içe birden fazla mutlak değerli ifade içeriyorsa yukarıda paylaştığımız yöntemleri en dıştaki mutlak değerden başlayıp içtekine doğru ilerleyerek birden fazla adımda çözebiliriz.

\( \abs{x} + \abs{y} = 0 \) Formundaki Denklemler

İki ya da daha fazla sayıda mutlak değerli ifadenin toplamı sıfır ise her ifade ayrı ayrı sıfıra eşittir. Bunun sebebi, herhangi bir mutlak değerli ifade sıfırdan büyük olursa ifadelerin toplamı da sıfırdan büyük olacaktır.


« Önceki
Mutlak Değer İşlem Kuralları
Sonraki »
Mutlak Değer Eşitsizlikleri


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır