Bir Değer Aralığının Mutlak Değer Olarak İfadesi

Bazı durumlarda verilen bir değer aralığını mutlak değer eşitsizliğine dönüştürmemiz gerekebilir. Bu tip aralıklar üç farklı şekilde olabilir:

Tek Bir Aralık

İki reel sayının arasında kalan \( [c_1, c_2] \) kapalı aralığını bir mutlak değer eşitsizliğine aşağıdaki şekilde çevirebiliriz.

Oluşturduğumuz mutlak değer eşitsizliği, önceki bölümde gördüğümüz gibi, \( m \) noktasına uzaklığı \( a \)'dan küçük ya da \( a \)'ya eşit olan noktalar kümesine karşılık gelir.

İki Sınırsız Aralık

İki reel sayının dışında kalan \( (-\infty, c_1] \cup [c_2, +\infty) \) yarı kapalı aralıklarını bir mutlak değer eşitsizliğine aşağıdaki şekilde çevirebiliriz.

Oluşturduğumuz mutlak değer eşitsizliği, \( m \) noktasına uzaklığı \( a \)'dan büyük ya da \( a \)'ya eşit olan noktalar kümesine karşılık gelir.

İki Sınırlı Aralık

Uzunlukları eşit iki farklı aralıktan oluşan \( [c_1, c_2] \cup [c_3, c_4] \) kapalı aralıklarını bir mutlak değer eşitsizliğine aşağıdaki şekilde çevirebiliriz.

Oluşturduğumuz mutlak değer eşitsizliği, \( m \) noktasına uzaklığı \( a \) ve \( b \) kapalı aralığında olan noktalar kümesine karşılık gelir.

Bir değer aralığını mutlak değer eşitsizliğine çevirmeye aşağıdaki gibi bir örnek verebiliriz.

SORU:

Kan tahlili yaptıran bir kişi, sonuç tablosunda kandaki hemoglobin miktarının sağlıklı yetişkin bir kadında 125 - 155 g/L aralığında olması gerektiğini okuyor. Bu aralığı bir mutlak değer eşitsizliği şeklinde yazalım.

Çözümü Göster

Kandaki hemoglogin miktarının referans aralığı aşağıda sayı doğrusunda gösterilmiştir. Buna göre, yetişkin bir kadının kanında olması gereken değerler \( [125, 155] \) g/L kapalı aralığında 30 g/L'lik bir aralığa karşılık gelmektedir.

Bu aralığı, yukarıda gördüğümüz şekilde mutlak değer eşitsizliğine çevirelim.

Aralık: \( 125 \le x \le 155 \)

Aralığın orta noktası: \( m = \dfrac{125 + 155}{2} = 140 \)

Aralığın uç noktalarının orta noktaya uzaklığı: \( a = \dfrac{155 - 125}{2} = 15 \)

Mutlak değer eşitsizliği: \( \abs{x - 140} \le 15 \)

Elde ettiğimiz bu eşitsizlik aynı zamanda sayı doğrusunda 140 noktasına uzaklığı 15 birim ya da daha küçük olan noktalar kümesine karşılık gelmektedir. Bu eşitsizliği sayı doğrusu üzerinde aşağıdaki şekilde gösterebiliriz.