Bazı durumlarda verilen bir değer aralığını mutlak değer eşitsizliğine dönüştürmemiz gerekebilir. Bu tip aralıklar üç farklı şekilde olabilir.
Tek Aralık
İki reel sayının arasında kalan \( [c_1, c_2] \) kapalı aralığını bir mutlak değer eşitsizliğine aşağıdaki şekilde çevirebiliriz.
Bir aralığı mutlak değerli ifadeye çevirme
Aralık: \( c_1 \le x \le c_2 \)
Aralığın orta noktası: \( m = \dfrac{c_1 + c_2}{2} \)
Aralığın uç noktalarının orta noktaya uzaklığı: \( a = \dfrac{c_2 - c_1}{2} \)
Mutlak değer eşitsizliği: \( \abs{x - m} \le a \)
Oluşturduğumuz mutlak değer eşitsizliği, \( m \) noktasına uzaklığı \( a \)'dan küçük ya da \( a \)'ya eşit olan noktalar kümesine karşılık gelir.
İki Sınırsız Aralık
İki reel sayının dışında kalan \( (-\infty, c_1] \cup [c_2, +\infty) \) yarı kapalı aralıklarını bir mutlak değer eşitsizliğine aşağıdaki şekilde çevirebiliriz.
Bir aralığı mutlak değerli ifadeye çevirme
Aralık: \( (x \le c_1) \cup (c_2 \le x) \)
Aralığın orta noktası: \( m = \dfrac{c_1 + c_2}{2} \)
Aralığın uç noktalarının orta noktaya uzaklığı: \( a = \dfrac{c_2 - c_1}{2} \)
Mutlak değer eşitsizliği: \( \abs{x - m} \ge a \)
Oluşturduğumuz mutlak değer eşitsizliği, \( m \) noktasına uzaklığı \( a \)'dan büyük ya da \( a \)'ya eşit olan noktalar kümesine karşılık gelir.
İki Sınırlı Aralık
Uzunlukları eşit iki farklı aralıktan oluşan \( [c_1, c_2] \cup [c_3, c_4] \) kapalı aralıklarını bir mutlak değer eşitsizliğine aşağıdaki şekilde çevirebiliriz.
Bir aralığı mutlak değerli ifadeye çevirme
Aralık: \( (c_1 \le x \le c_2) \cup (c_3 \le x \le c_4) \)
Aralığın orta noktası: \( m = \dfrac{c_1 + c_4}{2} = \dfrac{c_2 + c_3}{2} \)
Aralığın iç uç noktalarının orta noktaya uzaklığı: \( a = \dfrac{c_3 - c_2}{2} \)
Aralığın dış uç noktalarının orta noktaya uzaklığı: \( b = \dfrac{c_4 - c_1}{2} \)
Mutlak değer eşitsizliği: \( a \le \abs{x - m} \le b \)
Oluşturduğumuz mutlak değer eşitsizliği, \( m \) noktasına uzaklığı \( a \) ve \( b \) kapalı aralığında olan noktalar kümesine karşılık gelir.
SORU 1:
Kan tahlili yaptıran bir kişi, sonuç tablosunda kandaki hemoglobin miktarının sağlıklı yetişkin bir kadında 125 - 155 g/L aralığında olması gerektiğini okuyor. Bu aralığı bir mutlak değer eşitsizliği şeklinde yazınız.
Kandaki hemoglogin miktarının referans aralığı aşağıda sayı doğrusunda gösterilmiştir. Buna göre, yetişkin bir kadının kanında olması gereken değerler \( [125, 155] \) g/L kapalı aralığında 30 g/L'lik bir aralığa karşılık gelmektedir.
Bu aralığı, yukarıda gördüğümüz şekilde mutlak değer eşitsizliğine çevirelim.
Aralık: \( 125 \le x \le 155 \)
Aralığın orta noktası: \( m = \dfrac{125 + 155}{2} = 140 \)
Aralığın uç noktalarının orta noktaya uzaklığı: \( a = \dfrac{155 - 125}{2} = 15 \)
Mutlak değer eşitsizliği: \( \abs{x - 140} \le 15 \)
Elde ettiğimiz bu eşitsizlik aynı zamanda sayı doğrusunda 140 noktasına uzaklığı 15 birim ya da daha küçük olan noktalar kümesine karşılık gelmektedir. Bu eşitsizliği sayı doğrusu üzerinde aşağıdaki şekilde gösterebiliriz.
Bir \( x \) sayısının sayı doğrusu üzerinde \( y \) sayısına uzaklığı \( \abs{x - y} \) ile ifade edilir.
Buna göre soruda verilen uzaklıklar toplamını aşağıdaki şekilde ifade edebiliriz.
\( \abs{x + 6} + \abs{x - 3} = 15 \)
Her bir mutlak değerli ifadeyi sıfır yapan \( x \) değerleri denklemin kritik noktalarıdır.
Buna göre \( x = -6 \) ve \( x = 3 \) denklemin kritik noktalarıdır.
Mutlak değerli denklemler kritik noktalar arasında kalan her bir aralık için ayrı ayrı çözülür.
Aralık 1: \( x \lt -6 \)
Bu aralıkta her iki mutlak değerli ifade de negatif olur, dolayısıyla mutlak değerden negatif işaretli çıkar.
\( -(x + 6) - (x - 3) = 15 \)
\( -2x - 3 = 15 \)
\( x = -9 \)
Bulduğumuz değer denklemi çözdüğümüz \( x \lt -6 \) aralığında olduğu için geçerli bir çözümdür.
Aralık 2: \( -6 \le x \lt 3 \)
Bu aralıkta \( x + 6 \) ifadesi pozitif, \( x - 3 \) ifadesi negatif olur, dolayısıyla birinci ifade mutlak değerden olduğu gibi, ikinci ifade negatif işaretli çıkar.
\( (x + 6) - (x - 3) = 15 \)
\( 9 = 15 \)
Elde ettiğimiz eşitlik herhangi bir \( x \) değeri için sağlanmadığı için bu aralıkta geçerli bir çözüm yoktur.
Aralık 3: \( 3 \le x \)
Bu aralıkta her iki mutlak değerli ifade de pozitif olur, dolayısıyla mutlak değerden olduğu gibi çıkar.
\( (x + 6) + (x - 3) = 15 \)
\( 2x + 3 = 15 \)
\( x = 6 \)
Bulduğumuz değer denklemi çözdüğümüz \( 3 \le x \) aralığında olduğu için geçerli bir çözümdür.
Çözüm kümesi: \( x \in \{-9, 6\} \)
Buna göre \( x \)'in alabileceği değerler toplamı \( -9 + 6 = -3 \) olur.
Sayı doğrusu üzerindeki \( A(7) \) ve \( B(k + 4) \) noktaları arasındaki uzaklık, \( A(7) \) ve \( C(k + 10) \) noktaları arasındaki uzaklığın 3 katıdır.
Buna göre farklı \( k - n \) değerleri \( \{-6, -4, -2, 0, 2, 4, 6\} \) olur.
Soruda istenen \( \abs{k - n} \) olduğuna göre, bu ifadenin alabileceği farklı değerler \( {0, 2, 4, 6} \) olur.
Bu değerlerin toplamı \( 0 + 2 + 4 + 6 = 12 \) olarak bulunur.
Yöntem 2:
Sayı doğrusu üzerinde temsili bir \( n \) değeri belirleyelim ve bu değere 2 birim uzaklıktaki \( m \) değerlerini işaretleyelim.
Daha sonra bulunan \( m \) değerlerine 3 birim uzaklıktaki \( l \) değerlerini işaretleyelim.
Son olarak bulunan \( l \) değerlerine 1 birim uzaklıktaki \( k \) değerlerini işaretleyelim.
Elde ettiğimiz sayı doğrusu üzerinde \( n \) noktası ile bulduğumuz farklı \( k \) noktalar arasındaki uzaklıkları hesapladığımızda yukarıdaki çözümle aynı sonucu elde ederiz.
İç uç noktalarının orta noktaya uzaklığını bulalım.
\( \abs{100 - 90} = \abs{80 - 90} = 10 \)
Dış uç noktalarının orta noktaya uzaklığını bulalım.
\( \abs{160 - 90} = \abs{20 - 90} = 70 \)
Bu durumda hem puanlı hem de puansız kumaşların fiyatlarını içeren fiyat aralığı mutlak değerli ifade şeklinde aşağıdaki gibi yazılabilir.
\( 10 \le \abs{x - 90} \le 70 \)
Bu eşitsizliği mutlak değerin uzaklık tanımını kullanarak sayı doğrusu üzerinde \( x = 90 \) noktasına uzaklığı \( [10, 70] \) aralığında olan noktalar kümesi şeklinde ifade edebiliriz.
Ortam sıcaklığına \( x \) dersek bitkinin yetiştirilebileceği sıcaklık aralığı \( 6 \le x \le 9 \) olur.
Bu aralığın orta noktasını bulalım.
\( \dfrac{6 + 9}{2} = \dfrac{15}{2} = 7,5 \)
Aralığın uç noktalarının orta noktaya uzaklığını bulalım.
\( \dfrac{9 - 6}{2} = 1,5 \)
Bu durumda bitkinin yetiştirilebileceği sıcaklık aralığını aşağıdaki şekilde ifade edebiliriz.
\( \abs{x - 7,5} \le 1,5 \)
Bu eşitsizliği mutlak değerin uzaklık tanımını kullanarak sayı doğrusu üzerinde \( x = 7,5 \) noktasına uzaklığı \( 1,5 \)'tan küçük ya da ona eşit olan noktalar kümesi şeklinde ifade edebiliriz.
Bu aralığın uç noktalarının orta noktaya uzaklığı: \( \dfrac{60 - 38}{2} = 11 \)
Bu aralık mutlak değerli ifade şeklinde aşağıdaki gibi yazılır.
\( \abs{x - 49} \le 11 \)
Bu eşitsizliği mutlak değerin uzaklık tanımını kullanarak sayı doğrusu üzerinde \( x = 49 \) noktasına uzaklığı \( 11 \)'den küçük ya da ona eşit olan noktalar kümesi şeklinde ifade edebiliriz.
