Üçgen Eşitsizliği

Üçgen eşitsizliği geometride ve matematiğin diğer pek çok alanında karşımıza çıkan önemli bir teoremdir.

Geometride Üçgen Eşitsizliği

Geometride kullanılan üçgen eşitsizliğine göre, bir üçgenin herhangi bir kenarının uzunluğu diğer iki kenarının uzunlukları toplamından küçük, farkının mutlak değerinden ise büyüktür.

Üçgen
Üçgen

Üçgen eşitsizliğini aşağıdaki şekildeki üçgen üzerinden anlatmaya çalışalım. Bu eşitsizliğe göre \( a \) uzunluğu \( b \) ve \( c \) uzunlukları toplamından küçüktür. Üçgenin \( C \) köşesini gitgide \( [AB] \) kenarına yaklaştırırsak \( b + c \) uzunluğu gitgide küçülerek \( a \) uzunluğuna yaklaşır. \( a = b + c \) olduğu nokta \( C \) köşesinin \( [AB] \) doğru parçası üzerine geldiği noktadır, ancak bu durumda üç köşe noktası üçgen değil bir doğru oluştururlar, dolayısıyla \( C \) köşesi \( [AB] \) kenarına ne kadar yaklaşırsa yaklaşsın \( a \lt b + c \) eşitsizliği sağlanır.

Benzer şekilde \( b \) uzunluğu \( a \) ve \( c \) uzunlukları farkından büyüktür. Üçgenin \( C \) köşesini gitgide \( [AB] \) kenarına yaklaştırırsak (\( c \) uzunluğu kısaldığı için) \( a - c \) uzunluğu gitgide büyüyerek gitgide küçülen \( b \) uzunluğuna yaklaşır. \( b = a - c \) olduğu nokta \( C \) köşesinin \( [AB] \) doğru parçası üzerine geldiği noktadır, ancak bu durumda üç köşe noktası üçgen değil bir doğru oluştururlar, dolayısıyla \( C \) köşesi \( [AB] \) kenarına ne kadar yaklaşırsa yaklaşsın \( \abs{a - c} \lt b \) eşitsizliği sağlanır.

Üçgen eşitsizliği
Üçgen eşitsizliği

Reel Sayılarda Üçgen Eşitsizliği

Reel sayılardaki üçgen eşitsizliğine göre, iki sayının toplamının mutlak değeri sayıların mutlak değerlerinin toplamından büyük olamaz. Üçgen eşitsizliği iki sayının toplamının alabileceği değerle ilgili bir üst sınır belirler.

Ters üçgen eşitsizliğine göre, iki sayının farkının mutlak değeri sayıların mutlak değerlerinin farkının mutlak değerinden küçük olamaz. Ters üçgen eşitsizliği iki sayının farkının alabileceği değerle ilgili bir alt sınır belirler.

Üçgen eşitsizliğinden türetebileceğimiz bir diğer eşitsizlik aşağıdaki gibidir.

Üçgen eşitsizliği ikiden fazla değişkenli durumlara da uygulanabilir. Buna göre \( n \) tane sayının toplamının mutlak değeri sayıların mutlak değerlerinin toplamından büyük olamaz.


« Önceki
Mutlak Değer Eşitsizlikleri
Sonraki »
Bir Değer Aralığının Mutlak Değer Olarak İfadesi


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır