Üçgen Eşitsizliği

Şekildeki \( \overset{\triangle}{ABC} \) üçgeninin \( [BA] \) kenarını \( [AC] \) kenarı uzunluğunda \( b \) birim uzatalım (mavi çizgi). Bu doğru parçasının sonlandığı \( D \) noktası ile üçgenin \( C \) köşesini birleştirelim.

Oluşan \( \overset{\triangle}{ADC} \) üçgeni iki kenar uzunluğu eşit olduğu için bir ikizkenar üçgendir, dolayısıyla iki açısı da eşittir.

\( \abs{AD} = \abs{AC} = b \)

\( m(\widehat{ADC}) = m(\widehat{ACD}) \)

Bir üçgende daha geniş olan açının gördüğü kenar daha uzundur. Buna göre büyük üçgende \( \widehat{BCD} \) açısı \( \widehat{ACD} \) açısından büyük olduğu için bu açıya eşit \( \widehat{BDC} \) açısından da büyüktür, dolayısıyla \( [BD] \) kenarı \( [BC] \) kenarından uzun olur.

\( m(\widehat{ACD}) \lt m(\widehat{BCD}) \) olduğu için,

\( m(\widehat{BDC}) \lt m(\widehat{BCD}) \)

\( \abs{BC} \lt \abs{BD} \)

\( \abs{BC} \lt \abs{BA} + \abs{AD} \)

\( \abs{AD} = \abs{AC} = b \) olduğu için,

\( \abs{BC} \lt \abs{BA} + \abs{AC} \)

\( a \lt b + c \)

Buna göre \( [BC] \) kenarı için üçgen eşitsizliğinin sağ tarafını bulmuş oluruz. Aynı ispat diğer kenarlar için de tekrarlanabilir.

Üçgen eşitsizliğinin sol tarafını elde etmek için diğer iki kenara ait eşitsizliklerin sağ tarafını yazalım.

\( b \lt a + c \)

\( c \lt a + b \)

Bu eşitsizliklerde \( a \)'yı yalnız bırakalım.

\( b - c \lt a \)

\( c - b \lt a \Longrightarrow -(b - c) \lt a \)

\( a \) sayısı bir ifadenin hem pozitif hem de negatif işaretlisinden büyükse bu iki ifadenin daha büyüğüne eşit olan mutlak değerinden de büyüktür.

\( \abs{b - c} \lt a \)

Buna göre \( [BC] \) kenarı için üçgen eşitsizliğinin sol tarafını da bulmuş oluruz. Buna göre bu kenar için tüm eşitsizlik aşağıdaki şekilde olur.

\( \abs{b - c} \lt a \lt b + c \)

İSPAT 1:

Mutlak değerin tanımı gereği bir reel sayı ya mutlak değerinin kendisine ya da negatifine eşittir.

\( a = \abs{a} \) veya \( a = -\abs{a} \)

\( a \) sayısı bu iki değerden birine eşit olduğu için aşağıdaki eşitsizliği yazabiliriz.

\( -\abs{a} \le a \le \abs{a} \)

Benzer bir eşitsizliği \( b \) reel sayısı için yazalım.

\( -\abs{b} \le b \le \abs{b} \)

Bu iki eşitsizliği taraf tarafa toplayalım.

\( -\abs{a} - \abs{b} \le a + b \le \abs{a} + \abs{b} \)

\( -(\abs{a} + \abs{b}) \le a + b \le \abs{a} + \abs{b} \)

Mutlak değer eşitsizliklerinde gördüğümüz aşağıdaki kurala göre, bir sayının mutlak değeri \( c \) sayısından küçükse ya da ona eşitse bu sayı \( [-c, c] \) aralığındadır.

\( \abs{x} \le c \Longleftrightarrow -c \le x \le c \)

Bu ifadede \( x \) yerine \( a + b \) ve \( c \) yerine \( \abs{a} + \abs{b} \) yazarsak yukarıda bulduğumuz eşitsizliği elde ederiz.

\( -(\abs{a} + \abs{b}) \le a + b \le \abs{a} + \abs{b} \)

Bu eşitsizliği de \( \abs{x} \le c \) formunda aşağıdaki şekilde yazabiliriz.

\( \abs{a + b} \le \abs{a} + \abs{b} \)

İSPAT 2:

Alternatif olarak \( a \) ve \( b \) sayılarının tüm olası durumları için eşitsizliğin sağlanıp sağlanmadığını kontrol edelim.

Durum 1: \( a \ge 0, b \ge 0 \)

Bu durumda tüm mutlak değerli ifadelerin içi pozitif olur.

\( \abs{a + b} \le \abs{a} + \abs{b} \)

\( a + b \le a + b \)

Taraflar birbirine eşit olduğu için eşitsizlik sağlanır.

Durum 2: \( a \lt 0, b \lt 0 \)

Bu durumda tüm mutlak değerli ifadelerin içi negatif olur.

\( \abs{a + b} \le \abs{a} + \abs{b} \)

\( -(a + b) \le -a + (-b) \)

\( -a - b \le -a - b \)

Taraflar birbirine eşit olduğu için eşitsizlik sağlanır.

Durum 3.1: \( a \ge 0, b \lt 0, \abs{a} \gt \abs{b} \)

Bu durumda sayıların toplamı pozitif olur.

\( \abs{a + b} \le \abs{a} + \abs{b} \)

\( a + b \le a + (-b) \)

\( b \le -b \)

\( b \lt 0 \) olduğu için eşitsizliğin sol tarafı negatif, sağ tarafı pozitiftir, dolayısıyla eşitsizlik sağlanır.

Durum 3.2: \( a \ge 0, b \lt 0, \abs{a} \lt \abs{b} \)

Bu durumda sayıların toplamı negatif olur.

\( \abs{a + b} \le \abs{a} + \abs{b} \)

\( -(a + b) \le a + (-b) \)

\( -a - b \le a - b \)

\( -a \le a \)

\( a \ge 0 \) olduğu için eşitsizliğin sol tarafı sıfır ya da negatif, sağ tarafı sıfır ya da pozitiftir, dolayısıyla eşitsizlik sağlanır.

Durum 3.3: \( a \ge 0, b \lt 0, \abs{a} = \abs{b} \)

Bu durumda sayıların toplamı sıfır olur.

\( \abs{a + b} \le \abs{a} + \abs{b} \)

\( a + b \le a + (-b) \)

\( b \le -b \)

\( b \lt 0 \) olduğu için eşitsizliğin sol tarafı negatif, sağ tarafı pozitiftir, dolayısıyla eşitsizlik sağlanır.

Durum 4: \( a \lt 0, b \ge 0 \)

Bu durum \( a \) ve \( b \) sayıları aralarında yer değiştirmiş şekilde 3. durumun tekrarı olduğu için eşitsizlik yine sağlanır.

Buna göre üçgen eşitsizliğinin her durumda geçerli olduğunu söyleyebiliriz.

Üçgen eşitsizliğinde \( a \) yerine \( a - b \) yazalım.

\( \abs{a + b} \le \abs{a} + \abs{b} \)

\( \abs{(a - b) + b} \le \abs{a - b} + \abs{b} \)

\( \abs{a} \le \abs{a - b} + \abs{b} \)

Terimleri yeniden düzenleyelim.

\( \abs{a} - \abs{b} \le \abs{a - b} \)

Şimdi de üçgen eşitsizliğinde \( b \) yerine \( b - a \) yazalım.

\( \abs{a + b} \le \abs{a} + \abs{b} \)

\( \abs{a + (b - a)} \le \abs{a} + \abs{b - a} \)

\( \abs{b} \le \abs{a} + \abs{b - a} \)

Terimleri yeniden düzenleyelim.

\( -\abs{b - a} \le \abs{a} - \abs{b} \)

\( \abs{b - a} \) ifadesinin içini -1 ile çarpalım.

\( -\abs{a - b} \le \abs{a} - \abs{b} \)

Mutlak değer eşitsizliklerinde gördüğümüz aşağıdaki kurala göre, bir sayının mutlak değeri \( c \) sayısından küçükse ya da ona eşitse bu sayı \( [-c, c] \) aralığındadır.

\( \abs{x} \le c \Longleftrightarrow -c \le x \le c \)

Buna göre, yukarıda elde ettiğimiz iki eşitsizlikte \( \abs{a} - \abs{b} \) ifadesi pozitif ve negatif \( \abs{a - b} \) aralığında olduğu için bu eşitsizliği aşağıdaki şekilde yazabiliriz.

\( -\abs{a - b} \le \abs{a} - \abs{b} \le \abs{a - b} \)

\( \abs{\abs{a} - \abs{b}} \le \abs{a - b} \)

Üçgen eşitsizliğinde \( b \) yerine \( -b \) koyalım.

\( \abs{a + b} \le \abs{a} + \abs{b} \)

\( \abs{a + (-b)} \le \abs{a} + \abs{-b} \)

\( \abs{a - b} \le \abs{a} + \abs{b} \)