Mutlak Değer Eşitsizlikleri

\( a, b \in \mathbb{R^+}, m \in \mathbb{R} \) olmak üzere, farklı mutlak değer eşitsizlikleri için çözüm aralıkları aşağıdaki tabloda özetlenmiştir. Her bir durum için çözüm aralığının nasıl bulunduğu sayfanın geri kalanında detaylandırılmıştır.

Mutlak Değerli İfade Çözüm Aralığı
\( \abs{x} \ge 0 \) \( x \in \mathbb{R} \)
\( \abs{x} \ge -a \) \( x \in \mathbb{R} \)
\( \abs{x} \lt 0 \) \( x = \{ \} \)
\( \abs{x} \le -a \) \( x = \{ \} \)
\( \abs{x} \le 0 \) \( x = 0 \)
\( \abs{x} \le a \) \( -a \le x \le a \)
\( \abs{x - m} \le a \) \( -a + m \le x \le a + m \)
\( a \le \abs{x} \) \( x \le -a \quad \) ya da \( \quad a \le x \)
\( a \le \abs{x - m} \) \( x \le -a + m \quad \) ya da \( \quad a + m \le x \)
\( a \le \abs{x} \le b \) \( -b \le x \le -a \quad \) ya da \( \quad a \le x \le b \)
\( a \le \abs{x - m} \le b \) \( -b + m \le x \le -a + m \quad \) ya da \( \quad a + m \le x \le b + m \)

Sıfır ve Pozitif Sayılar

Mutlak değerli bir ifadenin sonucu her zaman sıfır ya da pozitiftir, dolayısıyla aşağıdaki şekildeki eşitsizliklerin çözüm kümesi tüm reel sayılar kümesidir.

Negatif Sayılar

Benzer şekilde, mutlak değerli bir ifadenin sonucu hiçbir zaman negatif olamaz, dolayısıyla aşağıdaki şekildeki eşitsizliklerin çözüm kümesi boş kümesidir.

Mutlak değerli bir ifadenin sonucu sıfıra eşit ya da sıfırdan küçükse, çözüm kümesi sadece sıfır olabilir.

Üst Sınırı Belirli Eşitsizlikler

\( \abs{x} \le a \) biçimindeki eşitsizlikler, orijine uzaklığı \( a \)'dan küçük ya da \( a \)'ya eşit olan noktaların kümesini verir.

\( \abs{x} \lt a \) biçimindeki eşitsizlikler, orijine uzaklığı \( a \)'dan küçük olan noktaların kümesini verir.

\( \left| x \right| \le a \) eşitsizliği
\( \left| x \right| \le a \) eşitsizliği

\( \abs{x - m} \le a \) biçimindeki eşitsizlikler, \( m \) noktasına uzaklığı \( a \)'dan küçük ya da \( a \)'ya eşit olan noktaların kümesini verir.

\( \abs{x - m} \lt a \) biçimindeki eşitsizlikler, \( m \) noktasına uzaklığı \( a \)'dan küçük olan noktaların kümesini verir.

\( \left| (x - m) \right| \le a \) eşitsizliği
\( \left| (x - m) \right| \le a \) eşitsizliği

Alt Sınırı Belirli Eşitsizlikler

\( a \le \abs{x} \) biçimindeki eşitsizlikler, orijine uzaklığı \( a \)'dan büyük ya da \( a \)'ya eşit olan noktaların kümesini verir.

\( a \lt \abs{x} \) biçimindeki eşitsizlikler, orijine uzaklığı \( a \)'dan büyük olan noktaların kümesini verir.

\( a \le \left| x \right| \) eşitsizliği
\( a \le \left| x \right| \) eşitsizliği

\( a \le \abs{x - m} \) biçimindeki eşitsizlikler, \( m \) noktasına uzaklığı \( a \)'dan büyük ya da \( a \)'ya eşit olan noktaların kümesini verir.

\( a \lt \abs{x - m} \) biçimindeki eşitsizlikler, \( m \) noktasına uzaklığı \( a \)'dan büyük olan noktaların kümesini verir.

Alt ve Üst Sınırı Belirli Eşitsizlikler

\( a \le \abs{x} \le b \) biçimindeki eşitsizlikler, orijine uzaklığı \( a \) ve \( b \) kapalı aralığında olan noktaların kümesini verir.

\( a \lt \abs{x} \lt b \) biçimindeki eşitsizlikler, orijine uzaklığı \( a \) ve \( b \) açık aralığında olan noktaların kümesini verir.

\( a \le \left| x \right| \le b \) eşitsizliği
\( a \le \left| x \right| \le b \) eşitsizliği

\( a \le \abs{x - m} \le b \) biçimindeki eşitsizlikler, \( m \) noktasına uzaklığı \( a \) ve \( b \) kapalı aralığında olan noktaların kümesini verir.

\( a \lt \abs{x - m} \lt b \) biçimindeki eşitsizlikler, \( m \) noktasına uzaklığı \( a \) ve \( b \) açık aralığında olan noktaların kümesini verir.

İki Mutlak Değerli İfade Arasındaki Eşitsizlikler

\( \abs{x} \le \abs{y} \) biçimindeki eşitsizlikleri, denklemler bölümünde uyguladığımız yönteme benzer şekilde eşitsizliğin iki tarafının karesini alarak çözebiliriz. Mutlak değerli ifadeler her zaman sıfır ya da pozitif oldukları için, bu şekildeki eşitsizliklerin her iki tarafının karesini aldığımızda eşitsizlik bozulmaz ya da yön değiştirmez.


« Önceki
Mutlak Değer Denklemleri
Sonraki »
Üçgen Eşitsizliği


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır