\( a, b \in \mathbb{R^+} \) ve \( m \in \mathbb{R} \) olmak üzere, farklı mutlak değer eşitsizlikleri için çözüm kümeleri aşağıdaki tabloda özetlenmiştir. Her bir durum için çözüm kümelerinin nasıl bulunduğu sayfanın geri kalanında detaylandırılmıştır.
Mutlak Değerli İfade
Çözüm Kümesi
\( \abs{x} \ge 0 \)
\( x \in \mathbb{R} \)
\( \abs{x} \ge -a \)
\( x \in \mathbb{R} \)
\( \abs{x} \lt 0 \)
\( x = \{ \} \)
\( \abs{x} \le -a \)
\( x = \{ \} \)
\( \abs{x} \le 0 \)
\( x = 0 \)
\( \abs{x} \le a \)
\( -a \le x \le a \)
\( \abs{x - m} \le a \)
\( -a + m \le x \le a + m \)
\( a \le \abs{x} \)
\( x \le -a \quad \) ya da \( \quad a \le x \)
\( a \le \abs{x - m} \)
\( x \le -a + m \quad \) ya da \( \quad a + m \le x \)
\( a \le \abs{x} \le b \)
\( -b \le x \le -a \quad \) ya da \( \quad a \le x \le b \)
\( a \le \abs{x - m} \le b \)
\( -b + m \le x \le -a + m \quad \) ya da \( \quad a + m \le x \le b + m \)
Sıfır ve Negatif Sınır Değerleri
Mutlak değerli bir ifadenin sonucu her zaman sıfır ya da pozitiftir, dolayısıyla mutlak değerli bir ifadenin negatif bir sayıdan büyük olduğu eşitsizliklerin çözüm kümesi tüm reel sayılar kümesidir.
\( a \in \mathbb{R^+} \) olmak üzere,
\( \abs{x} \ge 0 \) ya da \( \abs{x} \gt -a \) ise,
Çözüm kümesi: \( x \in \mathbb{R} \)
Benzer şekilde, mutlak değerli bir ifadenin sıfırdan küçük olduğu eşitsizliklerin çözüm kümesi boş kümedir.
\( a \in \mathbb{R^+} \) olmak üzere,
\( \abs{x} \lt 0 \) ya da \( \abs{x} \le -a \) ise,
Çözüm kümesi: \( x = \{ \} \)
Mutlak değerli bir ifadenin sonucu sıfıra eşitse ya da sıfırdan küçükse çözüm kümesi sadece sıfır olabilir.
\( \abs{x} \le 0 \) ise,
Çözüm kümesi: \( x = 0 \)
Üst Sınırlı Eşitsizlikler
\( \abs{x} \le a \) biçimindeki eşitsizlikler, orijine uzaklığı \( a \)'dan küçük ya da \( a \)'ya eşit olan noktaların kümesini verir.
\( \abs{x} \lt a \) biçimindeki eşitsizlikler, orijine uzaklığı \( a \)'dan küçük olan noktaların kümesini verir.
\( a \le \abs{x - m} \le b \) biçimindeki eşitsizlikler, \( m \) noktasına uzaklığı \( a \) ve \( b \) kapalı aralığında olan noktaların kümesini verir.
\( a \lt \abs{x - m} \lt b \) biçimindeki eşitsizlikler, \( m \) noktasına uzaklığı \( a \) ve \( b \) açık aralığında olan noktaların kümesini verir.
\( 3 \le \abs{x + 1} \le 5 \) eşitsizliği
\( a, b \in \mathbb{R^+}, m \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( a \le \abs{x - m} \le b \) ise,
\( -b + m \le x \le -a + m \quad \) ya da \( \quad a + m \le x \le b + m \)
\( [-b + m, -a + m] \cup [a + m, b + m] \)
ÖRNEK:
\( 5 \le \abs{x - 2} \le 8 \) ise,
Çözüm kümesi: \( -6 \le x \le -3 \) ya da \( 7 \le x \le 10 \)
\( \abs{x} \le \abs{y} \) biçimindeki eşitsizlikleri, denklemler bölümünde uyguladığımız yönteme benzer şekilde eşitsizliğin iki tarafının karesini alarak çözebiliriz. Mutlak değerli ifadeler her zaman sıfır ya da pozitif oldukları için, bu şekildeki eşitsizliklerin her iki tarafının karesini aldığımızda eşitsizlik bozulmaz ya da yön değiştirmez.
Mutlak değer içini sıfır yapan \( x = 1 \) değerinin oluşturduğu \( x \le 1 \) ve \( x \gt 1 \) aralıklarını ayrı ayrı inceleyelim ve her durumda oluşan eşitsizliği çözelim.
Durum 1: \( x \le 1 \)
Bu aralıkta \( 1 - x \) ifadesi sıfır ya da pozitif olur ve mutlak değer dışına olduğu gibi çıkar.
\( 1 - x \lt 9x - 4 \)
\( 5 \lt 10x \)
\( x \gt \dfrac{1}{2} \)
Bu aralık ile incelediğimiz \( x \le 1 \) aralığının kesişimi bu durumun çözüm kümesini verir.
\( x \in (\frac{1}{2}, 1] \)
Durum 2: \( x \gt 1 \)
Bu aralıkta \( 1 - x \) ifadesi negatif olur ve mutlak değer dışına negatif işaretli çıkar.
\( -(1 - x) \lt 9x - 4 \)
\( x - 1 \lt 9x - 4 \)
\( 8x \gt 3 \)
\( x \gt \dfrac{3}{8} \)
Bu aralık ile incelediğimiz \( x \gt 1 \) aralığının kesişimi bu durumun çözüm kümesini verir.
\( x \in (1, +\infty) \)
Bulduğumuz çözüm aralıklarının birleşimi eşitsizliğin çözüm kümesini verir.
Çözüm kümesi: \( x \in (\frac{1}{2}, +\infty) \)
(b) seçeneği:
\( \abs{5x + 2} \ge 6 - 11x \)
Mutlak değer içini sıfır yapan \( x = -\frac{2}{5} \) değerinin oluşturduğu \( x \lt -\frac{2}{5} \) ve \( x \ge -\frac{2}{5} \) aralıklarını ayrı ayrı inceleyelim ve her durumda oluşan eşitsizliği çözelim.
Durum 1: \( x \lt -\frac{2}{5} \)
Bu aralıkta \( 5x + 2 \) ifadesi negatif olur ve mutlak değer dışına negatif işaretli çıkar.
\( -(5x + 2) \ge 6 - 11x \)
\( -5x - 2 \ge 6 - 11x \)
\( 6x \ge 8 \)
\( x \ge \dfrac{4}{3} \)
Bu aralık ile incelediğimiz \( x \lt -\frac{2}{5} \) aralığının kesişimi bu durumun çözüm kümesini verir.
\( x \in \emptyset \)
Durum 2: \( x \ge -\frac{2}{5} \)
Bu aralıkta \( 5x + 2 \) ifadesi sıfır ya da pozitif olur ve mutlak değer dışına olduğu gibi çıkar.
\( 5x + 2 \ge 6 - 11x \)
\( 16x \ge 4 \)
\( x \ge \dfrac{1}{4} \)
Bu aralık ile incelediğimiz \( x \ge -\frac{2}{5} \) aralığının kesişimi bu durumun çözüm kümesini verir.
\( x \in [\frac{1}{4}, +\infty) \)
Bulduğumuz çözüm aralıklarının birleşimi eşitsizliğin çözüm kümesini verir.
Çözüm kümesi: \( x \in [\frac{1}{4}, +\infty) \)
(c) seçeneği:
\( \abs{x - 2} \gt 3x + 4 \)
Mutlak değer içini sıfır yapan \( x = 2 \) değerinin oluşturduğu \( x \lt 2 \) ve \( x \ge 2 \) aralıklarını ayrı ayrı inceleyelim ve her durumda oluşan eşitsizliği çözelim.
Durum 1: \( x \lt 2 \)
Bu aralıkta \( x - 2 \) ifadesi negatif olur ve mutlak değer dışına negatif işaretli çıkar.
\( -(x - 2) \gt 3x + 4 \)
\( -x + 2 \gt 3x + 4 \)
\( 4x \lt -2 \)
\( x \lt -\dfrac{1}{2} \)
Bu aralık ile incelediğimiz \( x \lt 2 \) aralığının kesişimi bu durumun çözüm kümesini verir.
\( x \in (-\infty, -\frac{1}{2}) \)
Durum 2: \( x \ge 2 \)
Bu aralıkta \( x - 2 \) ifadesi sıfır ya da pozitif olur ve mutlak değer dışına olduğu gibi çıkar.
\( x - 2 \gt 3x + 4 \)
\( 2x \lt -6 \)
\( x \lt -3 \)
Bu aralık ile incelediğimiz \( x \ge 2 \) aralığının kesişimi bu durumun çözüm kümesini verir.
\( x \in \emptyset \)
Bulduğumuz çözüm aralıklarının birleşimi eşitsizliğin çözüm kümesini verir.
Mutlak değerli ifadeleri sıfır yapan noktalar eşitsizliğin kritik noktalarıdır.
Buna göre eşitsizliğin kritik noktaları \( x \in \{5, 9\} \) noktalarıdır.
Bu iki kritik noktanın oluşturduğu üç aralığı ayrı ayrı inceleyelim ve her aralıkta mutlak değer içindeki ifadeleri o aralıktaki işaretlerine göre mutlak değerden çıkaralım.
Aralık 1: \( x \lt 5 \)
Bu aralıkta her iki mutlak değerli ifade de negatif olur, dolayısıyla mutlak değerden negatif işaretli çıkar.
\( -(x - 9) \lt -(x - 5) + 4 \)
\( -x + 9 \lt -x + 5 + 4 \)
\( -x \lt -x \)
Bu eşitsizliğin çözümü olmadığı için bu aralıkta geçerli bir çözüm yoktur.
Aralık 2: \( 5 \le x \lt 9 \)
Bu aralıkta \( x - 5 \) ifadesi pozitif, \( x - 9 \) ifadesi negatif olur, dolayısıyla birinci ifade mutlak değerden olduğu gibi, ikinci ifade negatif işaretli çıkar.
\( -(x - 9) \lt (x - 5) + 4 \)
\( -x + 9 \lt x - 5 + 4 \)
\( x \gt 5 \)
Bu aralık ile \( 5 \le x \le 9 \) aralığının kesişimi bu aralığın çözüm kümesidir.
\( x \in (5, 9) \)
Aralık 3: \( 9 \le x \)
Bu aralıkta her iki mutlak değerli ifade de pozitif olur, dolayısıyla mutlak değerden pozitif işaretli çıkar.
\( (x - 9) \lt (x - 5) + 4 \)
\( -9 \lt -1 \)
Bu eşitsizlik her zaman sağlandığı için eşitsizliği çözdüğümüz tüm aralık bu aralığın çözüm kümesidir.
\( x \in [9, +\infty) \)
Eşitsizliğin çözüm kümesi yukarıdaki üç aralık için bulduğumuz çözüm aralıklarının birleşim kümesidir.
Bir mutlak değer ifadesi hiçbir zaman negatif olamayacağı için eşitsizliğin sol tarafı her zaman sağlanır, dolayısıyla eşitsizliğin sol tarafını dikkate almamıza gerek yoktur.
\( \abs{x - 2} \lt 25 \)
\( -25 \lt x - 2 \lt 25 \)
\( -23 \lt x \lt 27 \)
Bir aralıktaki terim sayısı formülünü kullanarak bu aralıktaki tam sayı \( x \) değerlerinin sayısını bulalım.
Önce bu eşitsizliğin sol tarafını bir fonksiyon gibi düşünerek grafiğini çizelim.
\( y = \abs{x - 1} - \abs{x + 5} \)
Mutlak değerli ifadeleri sıfır yapan noktalar fonksiyonun kritik noktalarıdır.
Buna göre fonksiyonun kritik noktaları \( x \in \{-5, 1\} \) noktalarıdır.
Bu iki kritik noktanın oluşturduğu üç aralığı ayrı ayrı inceleyelim ve her aralıkta mutlak değer içindeki ifadeleri o aralıktaki işaretlerine göre mutlak değerden çıkaralım.
Durum 1: \( x \lt -5 \)
\( y = -(x - 1) + (x + 5) \)
\( y = 6 \)
Durum 2: \( -5 \lt x \lt 1 \)
\( y = -(x - 1) - (x + 5) \)
\( y = -2x - 4 \)
Durum 3: \( 1 \lt x \)
\( y = (x - 1) - (x + 5) \)
\( y = -6 \)
Fonksiyonun bu üç aralıktaki grafiğini çizersek aşağıdaki grafiği elde ederiz.
Soruda grafiği bulduğumuz fonksiyonun sıfırdan küçük olduğu \( x \) aralığı istenmiş.
Grafikten de görebileceğimiz gibi, grafiğin negatif değer aldığı \( x \) değer aralığı \( x \in (-2, +\infty) \) aralığıdır.
Bu eşitsizliğin çözüm kümesi, sayı doğrusu üzerinde 80'e olan uzaklığı 30'a olan uzaklığından küçük olan noktalar kümesidir.
İki sayıya eşit uzaklıkta olan sayıyı bulalım.
\( \dfrac{80 + 30}{2} = 55 \)
\( x = 55 \) noktasının sağındaki noktaların 80'e olan uzaklığı 30'a olan uzaklığından küçük olduğu için bu eşitsizliğin çözüm kümesi aşağıdaki gibi olur.
Bu eşitsizliğin çözüm kümesi, sayı doğrusu üzerinde 30'a olan uzaklığı 110'a olan uzaklığından küçük olan noktalar kümesidir.
İki sayıya eşit uzaklıkta olan sayıyı bulalım.
\( \dfrac{30 + 110}{2} = 70 \)
\( x = 70 \) noktasının solundaki noktaların 30'a olan uzaklığı 110'a olan uzaklığından küçük olduğu için bu eşitsizliğin çözüm kümesi aşağıdaki gibi olur.
\( x \lt 70 \)
Bulduğumuz iki aralığın kesişimi verilen eşitsizliğin çözüm kümesini verir.
\( 55 \lt x \lt 70 \)
Bu aralıkta \( 69 - 56 + 1 = 14 \) tam sayı değeri vardır.
Mutlak değer içini sıfır yapan \( x = 2 \) değerinin oluşturduğu \( x \lt 2 \) ve \( x \ge 2 \) aralıklarını ayrı ayrı inceleyelim ve her durumda oluşan denklemi çözelim.
Durum 1: \( x \lt 2 \)
Bu aralıkta \( x - 2 \) ifadesi negatif olur ve mutlak değer dışına negatif işaretli çıkar.
Bu eşitsizliğin çözüm kümesini bulmak için bir işaret tablosu hazırlayalım. Rasyonel eşitsizliklerin işaret tablosu ile çözümü için rasyonel eşitsizlikler sayfasını inceleyebilirsiniz.
Verilen eşitsizlikte \( \gt \) sembolü kullanıldığı için rasyonel ifadenin pozitif olduğu aralık ve değerler eşitsizliğin çözüm kümesi olur.
\( -4 \lt x \lt 2 \)
Bu aralık ile incelediğimiz \( x \lt 2 \) aralığının kesişimi bu durumun çözüm kümesini verir.
\( x \in (-4, 2) \)
Durum 2: \( x \ge 2 \)
Bu aralıkta \( x - 2 \) ifadesi sıfır ya da pozitif olur ve mutlak değer dışına olduğu gibi çıkar.
Bu eşitsizliğin çözüm kümesini bulmak için bir işaret tablosu hazırlayalım. Rasyonel eşitsizliklerin işaret tablosu ile çözümü için rasyonel eşitsizlikler sayfasını inceleyebilirsiniz.
Verilen eşitsizlikte \( \gt \) sembolü kullanıldığı için rasyonel ifadenin pozitif olduğu aralık ve değerler eşitsizliğin çözüm kümesi olur.
\( 2 \lt x \lt 8 \)
Bu aralık ile incelediğimiz \( x \ge 2 \) aralığının kesişimi bu durumun çözüm kümesini verir.
\( x \in (2, 8) \)
Bulduğumuz çözüm aralıklarının birleşimi eşitsizliğin çözüm kümesini verir.
Mutlak değer içini sıfır yapan \( x = -2 \) değerinin oluşturduğu \( x \lt -2 \) ve \( x \ge -2 \) aralıklarını ayrı ayrı inceleyelim ve her durumda oluşan denklemi çözelim.
Durum 1: \( x \lt -2 \)
Bu aralıkta \( x + 2 \) ifadesi negatif olur ve mutlak değer dışına negatif işaretli çıkar.
Bu eşitsizliğin çözüm kümesini bulmak için bir işaret tablosu hazırlayalım. Rasyonel eşitsizliklerin işaret tablosu ile çözümü için rasyonel eşitsizlikler sayfasını inceleyebilirsiniz.
Verilen eşitsizlikte \( \ge \) sembolü kullanıldığı için rasyonel ifadenin sıfır ya da pozitif olduğu aralık ve değerler eşitsizliğin çözüm kümesi olur.
\( -12 \le x \lt -2 \)
Bu aralık ile incelediğimiz \( x \lt -2 \) aralığının kesişimi bu durumun çözüm kümesini verir.
\( x \in [-12, -2) \)
Durum 2: \( x \ge -2 \)
Bu aralıkta \( x + 2 \) ifadesi sıfır ya da pozitif olur ve mutlak değer dışına olduğu gibi çıkar.
Bu eşitsizliğin çözüm kümesini bulmak için bir işaret tablosu hazırlayalım. Rasyonel eşitsizliklerin işaret tablosu ile çözümü için rasyonel eşitsizlikler sayfasını inceleyebilirsiniz.
Verilen eşitsizlikte \( \ge \) sembolü kullanıldığı için rasyonel ifadenin sıfır ya da pozitif olduğu aralık ve değerler eşitsizliğin çözüm kümesi olur.
\( -2 \lt x \le 8 \)
Bu aralık ile incelediğimiz \( x \ge -2 \) aralığının kesişimi bu durumun çözüm kümesini verir.
\( x \in (-2, 8] \)
Bulduğumuz çözüm aralıklarının birleşimi eşitsizliğin çözüm kümesini verir.
Eşitsizlikte mutlak değer ifadesini kaldırdığımızda aşağıdaki şekilde tek bir eşitsizlik oluşur.
\( -2 \le \dfrac{2x - 5}{2 + x} \le 2 \)
\( \frac{2x - 5}{2 + x} \ge -2 \) ve \( \frac{2x - 5}{2 + x} \le 2 \) eşitsizliklerini ayrı ayrı çözelim.
Eşitsizlik 1:
\( \dfrac{2x - 5}{2 + x} \ge -2 \)
Tüm terimleri eşitsizliğin sol tarafında toplayalım.
\( \dfrac{2x - 5}{2 + x} + 2 \ge 0 \)
\( \dfrac{2x - 5 + 2(2 + x)}{2 + x} \ge 0 \)
\( \dfrac{4x - 1}{2 + x} \ge 0 \)
Bu eşitsizliğin çözüm kümesini bulmak için bir işaret tablosu hazırlayalım. Rasyonel eşitsizliklerin işaret tablosu ile çözümü için rasyonel eşitsizlikler sayfasını inceleyebilirsiniz.
Verilen eşitsizlikte \( \ge \) sembolü kullanıldığı için rasyonel ifadenin sıfır ya da pozitif olduğu aralık ve değerler eşitsizliğin çözüm kümesi olur.
\( x \in (-\infty, -2) \cup [\frac{1}{4}, +\infty) \)
Eşitsizlik 2:
\( \dfrac{2x - 5}{2 + x} \le 2 \)
Tüm terimleri eşitsizliğin sol tarafında toplayalım.
\( \dfrac{2x - 5}{2 + x} - 2 \le 0 \)
\( \dfrac{2x - 5 - 2(2 + x)}{2 + x} \le 0 \)
\( \dfrac{-9}{2 + x} \le 0 \)
Bu eşitsizlik paydadaki ifade pozitif olduğunda sağlanır.
\( 2 + x \gt 0 \)
\( x \gt -2 \)
Bulduğumuz çözüm aralıklarının kesişimi eşitsizliğin çözüm kümesini verir.
Eşitsizliğin iki tarafında da karekök ifadesi olduğu için her iki taraf da pozitiftir, dolayısıyla tarafların karesini almamız eşitsizliğin çözüm kümesini değiştirmez (eşitsizliğe yeni çözümler eklemez).
\( (2x - 3)^2 \ge (3 + x)^2 \)
\( 4x^2 - 12x + 9 \ge 9 + 6x + x^2 \)
Tüm terimleri eşitsizliğin aynı tarafında toplayalım.
\( 3x^2 - 18x \ge 0 \)
\( x^2 - 6x \ge 0 \)
\( x(x - 6) \ge 0 \)
Pozitif başkatsayılı ve birbirinden farklı iki reel kökü olan ikinci dereceden bir ifade kök değerlerinde sıfır, köklerin arasındaki aralıkta negatif, dışındaki aralıkta pozitif olur.
Verilen eşitsizlikte \( \ge \) sembolü kullanıldığı için ikinci dereceden ifadenin pozitif ya da sıfır olduğu aralıklar eşitsizliğin çözüm kümesi olur.
