Karmaşık Sayıların Grafiksel Gösterimi

Karmaşık sayılar koordinat düzleminde bir karmaşık sayının gerçek kısmı \( x \) eksenine, sanal kısmı da \( y \) eksenine karşılık gelecek şekilde eşlenir. Bunun sonucu olarak, bir \( z = a + bi \) karmaşık sayısı koordinat düzleminde orijin ile \( (a, b) \) noktası arasındaki bir doğru parçasına karşılık gelir.

Karmaşık sayıların analitik gösterimi
Karmaşık sayıların analitik gösterimi

Bu eşleme sonucunda oluşan düzleme karmaşık düzlem, yatay eksene gerçek eksen, dikey eksene de sanal eksen denir.

Bir Karmaşık Sayının Eşleniğinin Gösterimi

Bir karmaşık sayının eşleniğinin grafiği, o sayının gerçek eksene göre simetriğidir.

Bir karmaşık sayının eşleniğinin gösterimi
Bir karmaşık sayının eşleniğinin gösterimi

Karmaşık Sayıların Modülü (Mutlak Değeri)

Bir karmaşık sayının karmaşık düzlemde karşılık geldiği noktanın başlangıç noktasına olan uzaklığına o sayının modülü ya da mutlak değeri denir.

Modül İşlem Özellikleri

Bir karmaşık sayının modülü sıfırsa karmaşık sayının kendisi de sıfırdır. Bu önermenin tersi de doğrudur.

Bir karmaşık sayının, eşleniğinin, negatifinin ve negatifinin eşleniğinin modülleri eşittir.

Bir karmaşık sayının modülü ayrı ayrı reel ve sanal kısımlarına eşittir ya da onlardan büyüktür.

Bir karmaşık sayının eşleniği ile çarpımı modülünün karesini verir.

İki karmaşık sayının çarpımının modülü mutlak değerlerinin çarpımına eşittir.

İki karmaşık sayının bölümünün modülü mutlak değerlerinin bölümüne eşittir.

Bir karmaşık sayının üssünün modülü modülünün üssüne eşittir.

Aşağıdaki üçgen eşitsizlikleri karmaşık sayılar için de geçerlidir.

SORU:

\( z = a + bi \)

\( \abs{z} \cdot \abs{\bar{z}} + 2ab = 9 \) ise,

\( a + b \) toplamının değeri kaçtır?

Çözümü Göster


SORU:

\( z_1 = 2 + 3i \) ve \( z_2 = a + i \) karmaşık sayıları için,

\( \abs{z_1 - z_2} = \sqrt{53} \) koşulu sağlandığına göre, \( a \)'nın alabileceği reel sayı değerleri toplamı nedir?

Çözümü Göster

Bir Karmaşık Sayının Argümenti

Bir karmaşık sayının analitik düzlemde gerçek eksenin pozitif tarafıyla yaptığı açıya o sayının argümenti denir ve \( \arg(z) \) şeklinde gösterilir. Argüment radyan cinsinden ifade edilir.

Bu doğrultuda bir karmaşık sayıyı aşağıdaki şekilde de ifade edebiliriz.


« Önceki
İkinci Dereceden Denklemlerin Karmaşık Sayı Kökleri
Ana Sayfa »
Konu Tamamlandı!


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır