Mutlak değerli ifadelerle işlemlerde aşağıdaki kurallar geçerlidir.
Bir sayının ya da ifadenin mutlak değeri hiçbir zaman negatif olamaz. Bir diğer deyişle, bir sayının sayı doğrusu üzerinde orijine uzaklığı negatif olamaz.
Bir sayının ya da ifadenin mutlak değeri sıfırsa o sayı/ifade sıfırdır. Bir diğer deyişle, sayı doğrusu üzerinde orijine uzaklığı sıfır olan tek nokta sıfır noktasıdır.
\( \abs{x} = 0 \Longleftrightarrow x = 0 \)
Bir sayı her zaman mutlak değerine eşittir ya da ondan küçüktür.
Bir sayının mutlak değeri pozitif olduğu için, ikinci kez mutlak değerinin alınması sonucu değiştirmez.
\( \abs{\abs{x}} = \abs{x} \)
\( \abs{\abs{-3}} = \abs{-3} = 3 \)
İki sayının farkının mutlak değeri sıfıra eşitse bu iki sayı birbirine eşittir. Bir diğer deyişle, iki noktanın sayı doğrusu üzerinde aralarındaki uzaklık sıfır ise bu iki sayı aynı noktaya karşılık gelir.
\( \abs{x - y} = 0 \Longleftrightarrow x = y \)
\( \abs{x - 3} = 0 \Longleftrightarrow x = 3 \)
Sonuç her iki durumda da pozitif olacağı için, iki ifadenin çarpımının mutlak değeri ifadelerin mutlak değerlerinin çarpımı şeklinde yazılabilir.
\( \abs{x \cdot y} = \abs{x} \cdot \abs{y} \)
\( \abs{-3 \cdot x} = \abs{-3} \cdot \abs{x} = 3\abs{x} \)
\( \abs{x^2 - 4} = \abs{(x - 2)(x + 2)} \) \( = \abs{x - 2} \cdot \abs{x + 2} \)
Mutlak değer içindeki çarpanlardan birinin pozitif olduğu biliniyorsa bu çarpan mutlak değer dışına olduğu gibi çıkarılabilir.
\( k \gt 0 \) olmak üzere,
\( \abs{k \cdot x} = k \cdot \abs{x} \)
\( \abs{3x} = 3 \abs{x} \)
Bir sayının kendisinin ve negatifinin mutlak değerleri eşittir. Bir diğer deyişle, bir sayının ve ters işaretlisinin sayı doğrusu üzerinde orijine uzaklıkları eşittir.
Yukarıdaki kuralın bir uygulaması olarak, iki terimli bir ifadede terimlerin aralarında yer değiştirmesi, mutlak değerin sonucunu değiştirmez. Bir diğer deyişle, iki sayının sayı doğrusu üzerinde aralarındaki uzaklık işlem sırasından bağımsız olarak aynıdır.
Sonuç her iki durumda da pozitif olacağı için, iki ifadenin bölümünün mutlak değeri ifadelerin mutlak değerlerinin bölümü şeklinde yazılabilir.
\( y \ne 0 \) olmak üzere,
\( \abs{\dfrac{x}{y}} = \dfrac{\abs{x}}{\abs{y}} \)
\( \abs{\dfrac{6}{-3}} = \dfrac{\abs{6}}{\abs{-3}} = 2 \)
Sonuç her iki durumda da pozitif olacağı için, üslü bir ifadenin mutlak değeri mutlak değerli ifadenin üssü olarak yazılabilir.
\( \abs{x^n} = {\abs{x}}^n \)
\( \abs{5^2} = \abs{5}^2 = 25 \)
\( \abs{(-5)^2} = \abs{-5}^2 = 25 \)
Mutlak değer işleminde önemli olan mutlak değer içindeki değişkenin önündeki işaret değil, bu değişken gerçek değerini aldığında bu değerin işaretidir. Bu yüzden, bir \( x \) değişkeninin değerinin işareti bilinmiyorsa değişkenin işaretine bakarak \( \abs{-x} \) ifadesi mutlak değerden \( +x \) olarak çıkarılmamalıdır.
YANLIŞ: \( \abs{-x} = x \)
DOĞRU: \( \abs{-x} = \abs{x} = \begin{cases} x & x \ge 0 \\ -x & x \lt 0 \end{cases} \)
\( a, b, c \) sıfırdan farklı reel sayılar olmak üzere,
\( \abs{a + b} = \abs{a} + \abs{b} \)
\( \abs{a \cdot b \cdot c} = -a \cdot b \cdot c \)
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangileri daima doğrudur?
I. \( c \) negatiftir.
II. \( \dfrac{a}{b} - c \gt 0 \)
III. \( b \cdot c \) pozitif ise \( a \) pozitiftir.
Çözümü Göster\( \abs{x - 1} + \abs{x - 3} + \abs{x - 5} + \ldots + \abs{x - 17} \)
ifadesinin en küçük değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( x \) bir pozitif tam sayı olmak üzere,
\( \abs{x - 13} + \abs{x - 97} + \abs{x + 23} + \abs{x + 37} + \abs{x - 19} + \abs{x - 53} \)
ifadesinin en küçük değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( k \) çift sayı olmak üzere,
\( \abs{x - 2} + \abs{x - 3} + \ldots + \abs{x - k} \)
toplamının en küçük değeri 42 ise \( k \) kaçtır?
Çözümü Göster