Nesnelerin Seçimi

İstenen koşulun sağlanması için seçilen 3 bilyeden 2'si ya da 3'ü kırmızı olmalıdır.

3 kırmızı bilye içinden 2 bilyenin, diğer renkteki 9 bilye içinden 1 bilyenin farklı seçim sayısı:

\( C(3, 2) \cdot C(9, 1) = 3 \cdot 9 = 27 \)

3 kırmızı bilye içinden 3 bilyenin farklı seçim sayısı:

\( C(3, 3) = 1 \)

Buna göre en az 2'si kırmızı olacak şekilde 3 bilye \( 27 + 1 = 28 \) farklı şekilde seçilebilir.

3 mavi toptan biri \( C(3, 1) = 3 \) farklı şekilde seçilebilir.

Kalan mavi olmayan 9 toptan 2'si \( C(9, 2) = 36 \) farklı şekilde seçilebilir.

Buna göre 3 top istenen şekilde \( 3 \cdot 36 = 108 \) farklı şekilde seçilebilir.

3 mavi top içinden 2 top \( C(3, 2) = 3 \) farklı şekilde seçilebilir.

4 kırmızı top içinden 2 top \( C(4, 2) = 6 \) farklı şekilde seçilebilir.

5 sarı top içinden 2 top \( C(5, 2) = 10 \) farklı şekilde seçilebilir.

Buna göre çekilecek iki topun aynı renk olduğu \( 3 + 6 + 10 = 19 \) farklı durum vardır.

Mavi olmayan 9 top arasından 5 top \( C(9, 5) = 126 \) farklı şekilde seçilebilir.

Mavi bir top \( C(3, 1) = 3 \) farklı şekilde, kırmızı bir top \( C(4, 1) = 4 \) farklı şekilde, sarı bir top \( C(5, 1) = 5 \) farklı şekilde seçilebilir.

Buna göre her biri farklı renk olmak üzere 3 top \( 3 \cdot 4 \cdot 5 = 60 \) farklı şekilde seçilebilir.

Öğrenci ya çakışan derslerden birini ve diğer derslerden ikisini seçebilir ya da çakışmayan derslerden üçünü seçebilir.

Çakışan derslerden birinin ve diğer derslerden ikisinin seçildiği durum:

\( C(3, 1) \cdot C(3, 2) = 3 \cdot 3 = 9 \)

Çakışmayan derslerden üçünün seçildiği durum:

\( C(3, 3) = 1 \)

Buna göre öğrenci istenen şekilde dersleri \( 9 + 1 = 10 \) farklı şekilde seçebilir.

İlk 6 sorudan doğru cevaplanacak 3 soru \( C(6, 3) = 20 \) farklı şekilde seçilebilir.

Kalan 4 sorunun her biri doğru ya da yanlış cevaplanabileceği için \( 2^4 = 16 \) farklı doğru/yanlış cevap durumu oluşabilir.

Buna göre tüm sorular \( 20 \cdot 16 = 320 \) farklı şekilde cevaplanabilir.

3 özdeş mektubun her birinin farklı zarflara konduğu \( C(5, 3) = 10 \) farklı durum vardır (3 özdeş mektubu koymak için 5 zarf içinden 3 zarf \( C(5, 3) \) farklı şekilde seçilebilir).

2 mektubun aynı, diğerinin farklı zarfa konduğu \( C(5, 1) \cdot C(4, 1) = 20 \) durum vardır (2 mektubu koymak için bir zarf \( C(5, 1) \) farklı şekilde, diğer mektubu koymak için ikinci zarf \( C(4, 1) \) farklı şekilde seçilebilir).

3 mektubun da aynı zarfa konduğu \( C(5, 1) = 5 \) durum vardır (3 mektubu koymak için bir zarf \( C(5, 1) \) farklı şekilde seçilebilir).

Buna göre 3 özdeş mektup birbirinden farklı 5 zarfa \( 10 + 20 + 5 = 35 \) farklı şekilde konur.

20 spor ayakkabı modelinden 10'u \( C(20, 10) \) farklı şekilde seçebilir.

15 bot modelinden 8'i \( C(15, 8) \) farklı şekilde seçebilir.

Buna göre ürünler vitrinde sergilenmek üzere \( C(20, 10) \cdot C(15, 8) \) farklı şekilde seçilebilir.

Korku filmlerinin çoğunlukta olması istendiği için Cahit'in seçeceği 5 filmden 3'ünün, 4'ünün ve 5'inin korku filmi olduğu durumları bulalım.

3 korku, 2 aksiyon filmi seçim sayısı:

\( C(6, 3) \cdot (7, 2) = 20 \cdot 21 = 420 \)

4 korku, 1 aksiyon filmi seçim sayısı:

\( C(6, 4) \cdot (7, 1) = 15 \cdot 7 = 105 \)

5 korku, 0 aksiyon filmi seçim sayısı:

\( C(6, 5) \cdot (7, 0) = 6 \cdot 1 = 6 \)

Buna göre Cahit 5 filmi çoğunluğu korku filmi olacak şekilde \( 420 + 105 + 6 = 531 \) farklı şekilde seçebilir.

Merve mavi renk dışında bir elbiseyi \( C(3, 1) = 3 \) farklı şekilde seçebilir.

Merve beyaz renk dışında bir çantayı \( C(4, 1) = 4 \) farklı şekilde seçebilir.

Merve beyaz renk dışında bir ayakkabıyı \( C(6, 1) = 6 \) farklı şekilde seçebilir.

Buna göre Merve gardırobundan \( 3 \cdot 4 \cdot 6 = 72 \) farklı seçim yapabilir.

1. satırdaki 6 kutudan 2'si \( C(6, 2) = 15 \) farklı şekilde seçilip boyanabilir.

1. satırda boyanan kutuların bulunduğu sütunlar tekrar boyanamayacağı için, 2. satırda henüz boyanmamış 4 sütundan 2'si \( C(4, 2) = 6 \) farklı şekilde seçilip boyanabilir.

1. ve 2. satırda boyanan kutuların bulunduğu sütunlar tekrar boyanamayacağı için, 3. satırda henüz boyanmamış 2 sütundan 2'si \( C(2, 2) = 1 \) farklı şekilde seçilip boyanabilir.

Buna göre tablo istenen şekilde \( 15 \cdot 6 \cdot 1 = 90 \) farklı şekilde boyanabilir.

Bir öğrenci ilk 5 soruyu cevaplamak zorundadır, toplam 8 soru cevaplamak için kalan 7 soru içerisinden 3 soru cevaplamalıdır.

Buna göre sınavdaki sorular \( C(7, 3) = \dfrac{7!}{3! \cdot 4!} = 35 \) farklı şekilde cevaplanabilir.

Yöntem 1:

5 mektubu atmak için 8 posta kutusu içinden 5 posta kutusu \( C(8, 5) \) farklı şekilde seçilebilir.

5 mektup seçilen bu 5 posta kutusuna \( 5! \) farklı şekilde atılabilir.

Buna göre 5 farklı mektup 8 farklı posta kutusuna istenen şekilde \( C(8, 5) \cdot 5! = \frac{8!}{5! \cdot 3!} \cdot 5! = \frac{8!}{3!} \) farklı şekilde atılabilir.

Yöntem 2:

1. mektubun atılabileceği 8 kutu vardır, 2. mektubun atılabileceği 7 kutu vardır, benzer şekilde 5. mektubun atılabileceği 4 kutu vardır.

Buna göre, 5 mektup 8 farklı posta kutusuna istenen şekilde \( P(8, 5) = \frac{8!}{3!} \) farklı şekilde atılabilir.

1. satırdaki 1 kutu içinden boyamak için 1 kutu \( C(1, 1) \) farklı şekilde seçilebilir.

\( C(1, 1) = 1 \)

2. satırdaki 2 kutu içinden boyamak için 1 kutu \( C(2, 1) \) farklı şekilde, 2 kutu \( C(2, 2) \) farklı şekilde seçilebilir.

\( C(2, 1) + C(2, 2) = 2 + 1 = 3 \)

Alternatif olarak, aynı sayıyı 2 kutu içinden yapabileceğimiz tüm alt küme seçimlerinden hiçbir kutunun seçilmediği durumu çıkararak da bulabiliriz.

\( 2^2 - C(2, 0) = 4 - 1 = 3 \)

3. satırdaki 3 kutu içinden boyamak için en az 1 kutunun farklı seçim sayısı:

\( 2^3 - C(3, 0) = 8 - 1 = 7 \)

4. satırdaki 4 kutu içinden boyamak için en az 1 kutunun farklı seçim sayısı:

\( 2^4 - C(4, 0) = 16 - 1 = 15 \)

5. satırdaki 5 kutu içinden boyamak için en az 1 kutunun farklı seçim sayısı:

\( 2^5 - C(5, 0) = 32 - 1 = 31 \)

Buna göre kutuları istenen şekilde boyayarak \( 1 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 15 \cdot 31 = 9765 \) farklı desen elde edilebilir.

Nil'in 15 araba tercih hakkı vardır. Sıla Nil ile aynı renk araba alacağı için, Nil bir araba seçtikten sonra Sıla'nın aynı renkteki diğer arabalar arasından 2 tercih hakkı olur.

Sude, Nil ve Sıla'nın seçtiği renk dışındaki 12 arabadan birini seçebilir.

Ceren, üç arkadaşının seçtiği renkler dışındaki 9 arabadan birini seçebilir.

Buna göre dört arkadaş arabaları \( 15 \cdot 2 \cdot 12 \cdot 9 = 3240 \) farklı şekilde seçebilirler.

8 banknot içinden 2'si \( C(8, 2) = 28 \) farklı şekilde seçilebilir.

Toplamı 100 TL'den az olan banknot ikililerini bulalım.

\( (50, 20), (50, 5), (20, 20), (20, 5), (5, 5) \)

\( (20, 20), (5, 5) \) banknot ikililerinin her biri \( C(2, 2) = 1 \) farklı şekilde seçilebilir.

\( (50, 20), (50, 5), (20, 5) \) banknot ikililerinin her biri \( C(2, 1) \cdot C(2, 1) = 4 \) farklı şekilde seçilebilir.

Buna göre toplam \( 2 \cdot 1 + 3 \cdot 4 = 14 \) farklı seçim istenen koşulu sağlamaz, dolayısıyla \( 28 - 14 = 14 \) seçim istenen koşulu sağlar.

\( \dfrac{14}{28} = \dfrac{1}{2} \) bulunur.

Verilen bilgilere göre \( n \) sayısı 18 basamaklıdır.

\( n \) sayısının basamakları toplamı dört farklı şekilde 3 olur.

Durum 1: İlk basamak 1, kalan 17 basamaktan ikisi 1

\( 10^{17} \lt 1\underbrace{0 \ldots 1 \ldots 1 \ldots 0}_\text{17 basamak} \lt 10^{18} \)

17 basamaktan 1 olacak 2 basamak \( C(17, 2) = \dfrac{17!}{15! \cdot 2!} = 136 \) farklı şekilde seçilebilir.

Durum 2: İlk basamak 1, kalan 17 basamaktan biri 2

\( 10^{17} \lt 1\underbrace{0 \ldots 2 \ldots 0}_\text{17 basamak} \lt 10^{18} \)

17 basamaktan 2 olacak 1 basamak \( C(17, 1) = 17 \) farklı şekilde seçilebilir.

Durum 3: İlk basamak 2, kalan 17 basamaktan biri 1

\( 10^{17} \lt 2\underbrace{0 \ldots 1 \ldots 0}_\text{17 basamak} \lt 10^{18} \)

17 basamaktan 2 olacak 1 basamak \( C(17, 1) = 17 \) farklı şekilde seçilebilir.

Durum 4: İlk basamak 3, kalan 17 basamak 0

\( 10^{17} \lt 3\underbrace{00 \ldots 0}_\text{17 basamak} \lt 10^{18} \)

Bu şekilde tek bir sayı vardır.

Buna göre toplamda \( 136 + 17 + 17 + 1 = 171 \) farklı \( n \) sayısı yazılabilir.