Geometrik Kombinasyon

Noktalardan Geçen Doğrular

İki farklı noktadan geçen tek bir doğru çizilebilir.

İki noktadan geçen doğru
İki noktadan geçen doğru

Doğrusal üç ya da daha fazla farklı noktadan geçen yine tek bir doğru çizilebilir.

Doğrusal noktalardan geçen tek doğru
Doğrusal noktalardan geçen tek doğru

Herhangi üçü doğrusal olmayan \( n \) tane farklı nokta içinden seçilecek herhangi iki nokta arasında benzersiz bir doğru çizilebilir, dolayısıyla çizilebilecek toplam doğru sayısı \( C(n, 2) \) olur.

Doğrusal olmayan noktalardan geçen doğrular
Doğrusal olmayan noktalardan geçen doğrular

\( m \) tanesi doğrusal olan, \( n \) tanesi doğrusal olmayan \( (m + n) \) farklı noktadan geçen kaç doğru çizilebileceğini bulmak için önce tüm noktaların doğrusal olmadığı durumda çizilebilecek doğru sayısını \( C(m + n, 2) \) olarak buluruz. Doğrusal olan \( m \) tane nokta doğrusal olmasalardı bu noktalardan geçen \( C(m, 2) \) doğru çizilebilirdi, ancak doğrusal oldukları için sadece bir doğru çizilebilir.

Buna göre, \( m \) tanesi doğrusal olan, \( n \) tanesi doğrusal olmayan \( (m + n) \) farklı noktadan geçen doğru sayısı \( C(m + n, 2) - C(m, 2) + 1 \) olur.

Doğrusal noktalardan geçen doğrular
Doğrusal noktalardan geçen doğrular
SORU:

Herhangi üçü doğrusal olmayan 6 nokta kaç doğru belirtir?

Çözümü Göster


SORU:
Soru 6

Yukarıdaki şekilde verilen 12 noktadan geçen en çok kaç farklı doğru çizilebilir?

Çözümü Göster

Noktaların Oluşturduğu Üçgenler

Doğrusal olmayan üç farklı nokta tek bir üçgen oluştururlar.

Doğrusal üç farklı nokta bir üçgen oluşturmazlar.

Herhangi üçü doğrusal olmayan \( n \) tane farklı nokta içinden seçilecek herhangi üç nokta benzersiz bir üçgen oluşturur, dolayısıyla bu noktaların oluşturduğu toplam üçgen sayısı \( C(n, 3) \) olur.

Noktaların oluşturduğu üçgenler
Noktaların oluşturduğu üçgenler

\( m \) tanesi doğrusal olan, \( n \) tanesi doğrusal olmayan \( (m + n) \) noktanın oluşturduğu üçgen sayısını bulmak için önce tüm noktaların doğrusal olmadığı durumda oluşacak üçgen sayısını \( C(m + n, 3) \) olarak buluruz. Doğrusal olan \( m \) tane nokta doğrusal olmasalardı bu noktalar \( C(m, 3) \) üçgen oluşturabilirlerdi, ancak doğrusal oldukları için bu doğrular hiçbir üçgen oluşturmazlar (\( n \) tane doğrusal noktadan bir doğru geçer, ama bu noktalar bir üçgen oluşturmazlasr).

Buna göre, \( m \) tanesi doğrusal olan, \( n \) tanesi doğrusal olmayan \( (m + n) \) noktanın oluşturduğu üçgen sayısı \( C(m + n, 3) - C(m, 3) \) olur.

SORU:

Herhangi üçü doğrusal olmayan 8 noktayı köşe kabul eden kaç farklı üçgen çizilebilir?

Çözümü Göster


SORU:

Herhangi üçü doğrusal olmayan 9 noktadan biri \( A \) noktasıdır. Köşeleri bu noktalar olan üçgenlerden kaç tanesinin bir köşesi \( A \) noktasıdır?

Çözümü Göster


SORU:
Soru 1

Yukarıdaki şekilde \( d_1 \parallel d_2 \) olmak üzere, \( d_1 \) doğrusu üzerinde 5, \( d_2 \) doğrusu üzerinde 4 farklı nokta bulunmaktadır.

Köşeleri bu noktalar olan kaç farklı üçgen çizilebilir?

Çözümü Göster


SORU:
Soru 3

Şekilde \( y_1 \parallel y_2 \parallel y_3 \) ve \( d_1 \parallel d_2 \parallel d_3 \parallel d_4 \parallel d_5 \) olduğuna göre, bu doğruların kesişim noktalarından geçen kaç farklı üçgen çizilebilir?

Çözümü Göster


SORU:
Soru 4

Yukarıdaki şekilde \( B \) noktasında kesişen iki doğru üzerindeki noktalar verilmiştir.

Köşeleri bu 9 noktadan herhangi üçü olan kaç tane üçgen çizilebilir?

Çözümü Göster


SORU:

Aynı düzlemde bulunan 10 noktadan 6 tanesi doğrusaldır. Köşeleri bu noktalar olan en çok kaç tane üçgen çizilebilir?

Çözümü Göster


SORU:
Soru 5

Yukarıdaki şekilde verilen 10 noktayı köşe kabul eden kaç tane üçgen çizilebilir?

Çözümü Göster

Noktaların Oluşturduğu Dörtgenler

Herhangi üçü doğrusal olmayan dört farklı nokta tek bir dörtgen oluştururlar.

Herhangi üçü doğrusal dört farklı nokta bir dörtgen oluşturmazlar.

Herhangi üç tanesi doğrusal olmayan \( n \) tane farklı nokta içinden seçilecek herhangi dört nokta benzersiz bir üçgen oluşturur, dolayısıyla bu noktaların oluşturduğu toplam dörtgen sayısı \( C(n, 4) \) olur.

Noktaların oluşturduğu dörtgenler
Noktaların oluşturduğu dörtgenler

\( m \) tanesi doğrusal olan, \( n \) tanesi doğrusal olmayan \( (m + n) \) noktanın oluşturduğu dörtgen sayısını bulmak için önce tüm noktaların doğrusal olmadığı durumda oluşacak dörtgen sayısını \( C(m + n, 4) \) olarak buluruz. Bu sayıdan aşağıdaki iki farklı durumu çıkarırız.

  • \( m \) tane doğrusal nokta doğrusal olmasalardı \( C(m, 4) \) farklı dörtgen oluştururlardı, ancak doğrusal oldukları için bu noktalar hiçbir dörtgen oluşturmazlar. Bu yüzden çıkarmamız gereken sayı \( C(m, 4) \) olur.
  • Bir dörtgenin üç köşesi de doğrusal olamayacağı için, 3 köşesi \( m \) tane doğrusal noktadan, 1 köşesi de \( n \) tane doğrusal olmayan noktalar da bir dörtgen oluşturmazlar. Bu yüzden çıkarmamız gereken sayı doğrusal noktalardan 3, doğrusal olmayan noktalardan 1 farklı seçim sayısı olan \( C(m, 3) \cdot C(n, 1) \) olur.

Buna göre, \( m \) tanesi doğrusal olan, \( n \) tanesi doğrusal olmayan \( (m + n) \) noktanın oluşturduğu dörtgen sayısı \( C(m + n, 4) - C(m, 4) - C(m, 3) \cdot C(n, 1) \) olur.

Doğruların Kesişimi

Çakışık iki doğrunun kesişimi sonsuz noktadan oluşur. Çakışık olmayan paralel iki doğru hiçbir noktada kesişmez. Paralel ya da çakışık olmayan ve aynı düzlem üzerinde bulunan iki doğru tek bir noktada kesişir.

Aynı düzlemde bulunan ve farklı (çakışık olmayan) \( n \) tane doğrunun kesişebileceği nokta sayısı en çok \( C(n, 2) \) olabilir. Doğruların kesişim noktaları çakıştığı ya da doğrular birbirine paralel olduğu ölçüde bu sayı azalacaktır.

\( m \) tanesi paralel olan \( m + n \) farklı doğrunun kesişebileceği en çok nokta sayısını bulmak için önce tüm doğruların paralel olmadığı durumda kesişebileceği en çok nokta sayısını \( C(m + n, 2) \) olarak buluruz. Paralel \( m \) tane doğru paralel olmasalardı bu doğrular \( C(m, 2) \) farklı noktada kesişebilirlerdi, ancak paralel oldukları için hiçbir noktada kesişmezler.

Buna göre, \( m \) tanesi birbirine paralel olan \( m + n \) farklı doğrunun kesişebileceği en çok nokta sayısı \( C(m + n, 2) - C(m, 2) \) olabilir. Burada kesin bir sayı hesaplamamız mümkün değildir, çünkü doğruların kaçının paralel kaçının kesişen doğrular olduğunu bilsek de doğruların kesişim noktalarının ne ölçüde çakıştıklarını doğruların denklemleri olmadan bilemeyiz.

SORU:

Aynı düzlemde bulunan 7 farklı doğru en fazla kaç noktada kesişebilir?

Çözümü Göster


SORU:

Bir düzlem üzerindeki 12 doğrudan 3'ü bir \( A \) noktasından, geri kalanlardan 5'i de bir \( B \) noktasından geçmektedir.

Herhangi ikisi paralel olmayan bu doğruların \( A \) ve \( B \) noktaları ile birlikte en çok kaç kesişim noktası vardır?

Çözümü Göster

Üçgenlerin Kesişimi

İki üçgen hiç kesişmeyebilir ya da kesişimi sonsuz noktadan oluşacak şekilde çakışık olabilir. Bu iki durum dışında iki üçgen 1-6 arası farklı noktada kesişebilir. Bu farklı kesişim durumlarının bazıları aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.

Üçgenlerin farklı sayıda kesişim noktaları
Üçgenlerin farklı sayıda kesişim noktaları

Buna göre, birbiriyle çakışık olmayan \( n \) tane üçgen en çok \( 6 \cdot C(n, 2) \) noktada kesişebilir. Üçgenler 6 yerine daha az sayıda noktada kesiştiği ve kesişim noktaları çakıştığı ölçüde toplam kesişim sayısı bu sayıdan daha az olacaktır.

Üçgenlerin kesişim noktaları
Üçgenlerin kesişim noktaları

Çemberlerin Kesişimi

İki çember hiç kesişmeyebilir ya da sonsuz noktada kesişim noktası olacak şekilde çakışık olabilir. Bu iki durum dışında iki çember bir ya da iki noktada kesişebilir. Bu iki kesişim durumu aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.

Çemberlerin farklı sayıda kesişim noktaları
Çemberlerin farklı sayıda kesişim noktaları

Buna göre, birbiriyle çakışık olmayan \( n \) tane çember en çok \( 2 \cdot C(n, 2) \) noktada kesişebilir. Çemberler 2 yerine daha az sayıda noktada kesiştiği ve kesişim noktaları çakıştığı ölçüde toplam kesişim sayısı bu sayıdan daha az olacaktır.

Çemberlerin kesişim noktaları
Çemberlerin kesişim noktaları
SORU:

8 farklı çemberin kesişimi sonucunda en çok kaç kesişim noktası oluşur?

Çözümü Göster

Elipslerin Kesişimi

İki elips hiç kesişmeyebilir ya da sonsuz noktada kesişim noktası olacak şekilde çakışık olabilir. Bu iki durum dışında iki elips 1-4 arası noktada kesişebilir. Bu farklı kesişim durumlarının bazıları aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.

Elipslerin farklı sayıda kesişim noktaları
Elipslerin farklı sayıda kesişim noktaları

Buna göre, hiçbiri birbiriyle çakışık olmayan \( n \) tane elips en fazla \( 4 \cdot C(n, 2) \) noktada kesişebilir. Elipsler ve kesişim noktaları çakıştığı ölçüde toplam kesişim sayısı bu sayıdan daha az olacaktır.

Elipslerin kesişim noktaları
Elipslerin kesişim noktaları

Paralel Doğruların Oluşturduğu Dörtgenler

Tümü aynı düzlemde bulunan 2 paralel doğru ile bu 2 doğruya paralel olmayan farklı 2 paralel doğrunun kesişimleri arasında kalan bölge bir dörtgen oluşturur.

4 doğrunun oluşturduğu dörtgen
4 doğrunun oluşturduğu dörtgen

Tümü aynı düzlemde bulunan \( m \) tane paralel doğru arasından seçeceğimiz 2 doğru ile bu doğrulara paralel olmayan \( n \) tane farklı paralel doğru arasından seçeceğimiz 2 doğrunun kesişimleri de bir dörtgen oluşturur. Buna göre, bu doğruların oluşturduğu tüm dörtgenlerin sayısı paralel doğrular arasında yapabileceğimiz 2'li seçimlerin çarpımı olan \( C(m, 2) \cdot C(n, 2) \) olur.

Paralel doğruların oluşturduğu dörtgenler
Paralel doğruların oluşturduğu dörtgenler
SORU:
Soru 2

\( y_1 \parallel y_2 \parallel y_3 \parallel y_4 \parallel y_5 \) ve \(d_1 \parallel d_2 \parallel d_3 \parallel d_4 \) olduğuna göre, bu doğruların oluşturduğu kaç tane paralelkenar vardır?

Çözümü Göster


SORU:

Bir kenarı 1 birim olan kare şeklindeki levhaya 25 adet kare sığdırılmıştır.

Buna göre, levha kaç farklı dikdörtgen barındırır?

Çözümü Göster

Paralel Doğruların Oluşturduğu Kareler

Tümü aynı düzlemde bulunan, aralarındaki mesafe eşit \( m \) tane paralel doğru ve bu doğrulara dik ve aralarındaki mesafe eşit \( n \) tane paralel doğrunun kesişimlerinin oluşturduğu kare sayısı \( \sum_{i = 1}^m{(m - i + 1)(n - i + 1)} \)'dir (\( m \lt n \)) olur.

Paralel doğruların oluşturduğu kareler
Paralel doğruların oluşturduğu kareler
SORU:

5 farklı karenin kesişmesi ile en çok kaç tane kesişim noktası oluşur?

Çözümü Göster


SORU:
Soru 9

Yukarıdaki şekilde kaç üçgen vardır?

Çözümü Göster


« Önceki
Nesnelerin Dağıtımı
Ana Sayfa »
Konu Tamamlandı!


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır