Pascal Üçgeni
İsmini Fransız matematikçi Blaise Pascal'dan alan Pascal Üçgeni'nin kümeler, kombinasyon, olasılık ve binom açılımı gibi farklı konularda uygulamaları vardır.
Pascal Üçgeni ilk satırda bir kutu olmak üzere, her satırda bir üst satırdakinden bir fazla kutu içeren ve kutuların içindeki sayıların belirli bir kurala göre belirlendiği bir üçgendir.
Pascal üçgenini oluşturmak için her satırın ilk ve son kutularına 1 yazılır. Üçgenin içindeki kutulara da üst satırlardan alt satırlara doğru ilerleyerek her kutunun üst kenarına komşu iki kutudaki sayıların toplamı yazılır.
Pascal Üçgeninin Özellikleri
Pascal Üçgeni'ni oluşturduğumuzda aşağıdaki özelliklerin oluştuğunu görebiliriz.
- En dıştaki köşegenler 1 sayısından oluşur.
- Onun bir içindeki köşegenler sayma sayılarından oluşur (\( 1, 2, 3, 4, \ldots \)).
- Onun bir içindeki köşegenler diziler konusunda göreceğimiz üçgensel sayılardan oluşur (\( 1, 3, 6, 10, \ldots \)).
Pascal Üçgeni ortasından geçen dikey bir doğruya göre simetriktir, yani üçgen bu doğru üzerinde katlanırsa üst üste gelen kutularda aynı sayılar olduğu görülür.
Pascal Üçgeni'nin herhangi bir satırındaki (\( n \ge 1 \)) kutuları soldan sağa numaralandırdığımızda, her satırda 1. 3. 5. vb. numaralı (yeşil) kutulardaki sayıların toplamı 2. 4. 6. vb. numaralı (gri) kutulardaki sayıların toplamına eşit olur.
Pascal Üçgeni'nin \( n \). satırındaki sayıları yan yana tek bir sayı gibi okursak 11'in \( n \). kuvveti olan sayıyı elde ederiz. \( n = 4 \)'e kadar olan satırlarda bu kontrolü Pascal Üçgeni üzerinde kolaylıkla yapabiliriz. \( n = 5 \)'ten itibaren kutular iki basamaklı sayılar içerebildiği için bu sayıların onlar basamağındaki rakamı soldaki kutunun birler basamağına ekleyerek 11'in kuvveti olan sayıyı bulabiliriz.
\( n = 5 \) için,
\( 1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1 \)
İki basamaklı sayıların onlar basamağındaki rakamları en sağdaki kutudan başlayarak soldaki kutunun birler basamağına ekleyelim
\( 1 - 5 - 11 - 0 - 5 - 1 \)
\( 1 - 6 - 1 - 0 - 5 - 1 \)
\( 11^5 = 161,051 \)
\( n = 6 \) için,
\( 1 - 6 - 15 - 20 - 15 - 6 - 1 \)
İki basamaklı sayıların onlar basamağındaki rakamları en sağdaki kutudan başlayarak soldaki kutunun birler basamağına ekleyelim
\( 1 - 6 - 15 - 21 - 5 - 6 - 1 \)
\( 1 - 6 - 17 - 1 - 5 - 6 - 1 \)
\( 1 - 7 - 7 - 1 - 5 - 6 - 1 \)
\( 11^6 = 1,771,561 \)
Pascal Üçgeni'nin her kutusundaki sayı aynı zamanda bir kombinasyon değerine karşılık gelir. Örneğin \( n = 5 \) satırı her kutuda 0'dan başlayıp 5'e kadar sırasıyla 5'in farklı bir kombinasyonunu içermektedir.
\( (x + y)^n \) şeklindeki bir binom ifadenin açılımındaki binom katsayılarının, her \( (k + 1). \) terim için \( \binom{n}{k} = C(n, k) \)'ya eşit olduğunu görmüştük, dolayısıyla Pascal Üçgeni'nin bir satırı aynı zamanda \( n \). dereceden bir binom ifadenin açılımının katsayılarını vermektedir.
Pascal Üçgeni'nin bir diğer özelliği de, \( n \). satırındaki sayıların toplamının \( 2^n \)'e eşit olmasıdır.
\( 1 = 2^0 = 1 \)
\( 1 + 1 = 2^1 = 2 \)
\( 1 + 2 + 1 = 2^2 = 4 \)
\( 1 + 3 + 3 + 1 = 2^3 = 8 \)
\( 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 2^4 = 16 \)
\( \vdots \)
Bu bir \( n \) sayısının tüm kombinasyonlarının toplamının \( 2^n \)'e eşit olduğu anlamına da gelir.
\( C(0, 0) = 2^0 = 1 \)
\( C(1, 0) + C(1, 1) = 2^1 = 2 \)
\( C(2, 0) + C(2, 1) + C(2, 2) \) \( = 2^2 = 4 \)
\( C(3, 0) + C(3, 1) + C(3, 2) \) \( + C(3, 3) = 2^3 = 8 \)
\( C(4, 0) + C(4, 1) + C(4, 2) \) \( + C(4, 3) + C(4, 4) \) \( = 2^4 = 16 \)
\( \vdots \)
Kümeler konusunda \( n \) elemanlı bir kümenin alt kümelerinin sayısının \( 2^n \) olduğunu öğrenmiştik. \( n \) elemanlı bir kümenin \( k \) elemanlı alt kümelerinin sayısını da \( C(n, k) \) kombinasyon formülü ile hesapladığımız için, tüm \( k \) elemanlı alt kümelerin sayısını toplayarak toplam alt küme sayısına yine aynı formülle ulaşabiliriz.
\( C(n, 0) + C(n, 1) + C(n, 2) + \ldots \) \( + C(n, n) = 2^n \)
Bir binom açılımın tüm katsayılarının toplamı da aynı formülle \( 2^n \) sayısını verecektir.
\( (x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 \)
Katsayılar toplamı \( 1 + 3 + 3 + 1 = 2^3 = 8 \)
Benzer şekilde, kombinasyonu kullandığımız bir diğer konu olan "ekip seçme" konusunda da benzer bir sonuç elde edebiliriz. Örneğin, 8 kişilik bir grup içinden seçebileceğimiz 1, 2, 3, ..., 8 kişilik ekiplerin tümünün toplamı yine \( 2^8 \) sayısını verecektir.