Pascal Üçgeni

\( n \)'nin \( r \)'li kombinasyonunu yazalım.

\( C(n, r) = \dfrac{n!}{r!\ (n - r)!} \)

Paydadaki iki çarpanın yerini değiştirmemiz sonucu değiştirmez.

\( = \dfrac{n!}{(n - r)!\ r!} \)

Bu ifade \( n \)'nin \( (n - r) \)'li kombinasyonuna eşittir.

\( = C(n, n - r) \)

\( (x + y)^n \) ifadesinin açılımını yazalım.

\( (x + y)^n = \binom{n}{0}x^n + \binom{n}{1}x^{n-1}y + \binom{n}{2}x^{n-2}y^2 + \ldots + \binom{n}{n}y^n \)

\( x = y = 1 \) yazalım.

\( (1 + 1)^n = \binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \binom{n}{2} + \ldots + \binom{n}{n} \)

\( 2^n = \binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \binom{n}{2} + \ldots + \binom{n}{n} \)

İspat 1: Cebirsel

\( C(n, r) + C(n, r + 1) = \dfrac{n!}{r!\ (n - r)!} + \dfrac{n!}{(r + 1)!\ (n - r - 1)!} \)

Paydaları eşitlemek için birinci kesri \( (r + 1) \) ile, ikinci kesri \( (n - r) \) ile genişletelim.

\( = \dfrac{n!\ (r + 1)}{r!\ (r + 1)\ (n - r)!} + \dfrac{n!\ (n - r)}{(r + 1)!\ (n - r - 1)!\ (n - r)} \)

Paydalardaki yeni çarpanları faktöriyellere dahil edelim.

\( = \dfrac{n!\ (r + 1)}{(r + 1)!\ (n - r)!} + \dfrac{n!\ (n - r)}{(r + 1)!\ (n - r )!} \)

Paylardaki çarpanları parantez içlerine dağıtalım.

\( = \dfrac{n!\ r + n! + n!\ n - n!\ r}{(r + 1)!\ (n - r)!} \)

\( = \dfrac{n!\ (n + 1)}{(r + 1)!\ (n - r)!} \)

\( = \dfrac{(n + 1)!}{(r + 1)!\ (n - r)!} \)

Yukarıdaki ifade \( (n + 1) \)'in \( (r + 1) \)'li kombinasyonuna eşittir.

\( = C(n + 1, r + 1) \)

İspat 2: Sayma

\( n \) kişilik bir grup içinden \( r \) kişilik bir ekip seçmek istiyor olalım.

Kombinasyon tanımına göre bu seçim \( C(n, r) \) farklı şekilde yapılabilir.

Alternatif bir yöntemle, gruptaki belirli bir X kişisini ekibe seçtiğimiz ve seçmediğimiz duruma göre problemi iki alt probleme bölelim.

Durum 1:

Gruptaki X kişisi ekibe dahil olacak.

Bu durumda kalan \( n - 1 \) arasından \( r - 1 \) kişi seçmemiz yeterlidir.

Bu seçim \( C(n - 1, r - 1) \) farklı şekilde yapılabilir.

Durum 2:

Gruptaki X kişisi ekibe dahil olmayacak.

Bu durumda kalan \( n - 1 \) arasından \( r \) kişi seçmemiz gerekir.

Bu seçim \( C(n - 1, r) \) farklı şekilde yapılabilir.

Bu iki durum ayrık olaylar oldukları için, her birindeki farklı seçim sayılarının toplamı yukarıda bulduğumuz \( C(n, r) \) değerine eşit olur.

\( C(n - 1, r - 1) + C(n - 1, r) = C(n, r) \)

Elde ettiğimiz özdeşlik tanımdaki özdeşliğe denktir (\( n \to n - 1, r \to r - 1 \)).

\( C(n, r) + C(n, r + 1) = C(n + 1, r + 1) \)

\( (1 + x)^n \) ifadesinin açılımını yazalım.

\( (1 + x)^n = \binom{n}{0} + \binom{n}{1}x + \binom{n}{2}x^2 + \binom{n}{3}x^3 + \ldots \)

\( (1 - x)^n \) ifadesinin açılımını yazalım.

\( (1 - x)^n = \binom{n}{0} - \binom{n}{1}x + \binom{n}{2}x^2 - \binom{n}{3}x^3 + \ldots \)

İki eşitliği taraf tarafa topladığımızda her \( \binom{n}{r} \) ifadesinde \( r \)'nin tek sayı olduğu terimler birbirini götürür.

\( (1 + x)^n + (1 - x)^n = 2\left[ \binom{n}{0} + \binom{n}{2}x^2 + \binom{n}{4}x^4 + \ldots \right] \)

\( x = 1 \) yazalım.

\( (1 + 1)^n + (1 - 1)^n = 2\left[ \binom{n}{0} + \binom{n}{2} + \binom{n}{4} + \ldots \right] \)

\( 2^n = 2\left[ \binom{n}{0} + \binom{n}{2} + \binom{n}{4} + \ldots \right] \)

Eşitliğin taraflarını ikiye böldüğümüzde \( r \)'nin çift sayı olduğu terimlerin toplamı aşağıdaki gibi bulunur.

\( \binom{n}{0} + \binom{n}{2} + \binom{n}{4} + \ldots = 2^{n-1} \)

Benzer bir işlemi aynı iki eşitliği birbirinden çıkararak yaptığımızda her \( \binom{n}{r} \) ifadesinde \( r \)'nin çift sayı olduğu terimler birbirini götürür.

\( (1 + x)^n - (1 - x)^n = 2\left[ \binom{n}{1}x + \binom{n}{3}x^3 + \binom{n}{5}x^5 + \ldots \right] \)

\( x = 1 \) yazalım.

\( (1 + 1)^n - (1 - 1)^n = 2\left[ \binom{n}{1} + \binom{n}{3} + \binom{n}{5} + \ldots \right] \)

\( 2^n = 2\left[ \binom{n}{1} + \binom{n}{3} + \binom{n}{5} + \ldots \right] \)

Eşitliğin taraflarını ikiye böldüğümüzde \( r \)'nin tek sayı olduğu terimlerin toplamı aşağıdaki gibi bulunur.

\( \binom{n}{1} + \binom{n}{3} + \binom{n}{5} + \ldots = 2^{n-1} \)