Vektörlerle Toplama ve Çıkarma
Skaler büyüklükler arasında olduğu gibi, vektörler arasında da toplama, çıkarma ve çarpma işlemleri yapılabilir.
Vektörlerle Toplama
İki vektörün toplamı aşağıdaki şekilde ifade edilir.
\( \vec{a} + \vec{b} \)
Her iki işlemde de aynı toplama sembolü kullanılsa da, iki vektörün toplamı vektörlerin büyüklüklerinin skaler toplamından farklı bir işlemdir. Vektörlerle toplama işleminin sonucu yine bir vektördür.
Vektörler arasında toplama işlemi iki farklı yöntemle yapılabilir.
Uç Uca Ekleme Yöntemi
Uç uca ekleme yönteminde; ikinci vektör, başlangıç noktası birinci vektörün bitiş noktasına denk gelecek şekilde yerleştirilir ve ilk vektörün başlangıç noktasından ikinci vektörün bitiş noktasına bir ok çizilir. Çizilen bu ok iki vektörün toplam vektörüdür.
Aşağıdaki şekilde \( \vec{a} \) ve \( \vec{b} \) vektörlerinin toplamı olan \( \vec{a} + \vec{b} \) vektörü gösterilmiştir.
İki vektörün farklı sırada uç uca eklenmesi sonucu değiştirmez, aşağıda birinci vektör ikinci vektörün ucuna eklendiğinde yön ve büyüklük olarak aynı toplam vektörünün elde edildiği görülebilir.
Paralelkenar Yöntemi
Paralelkenar yönteminde iki vektör başlangıç noktaları denk gelecek şekilde yerleştirilir ve bu iki vektöre paralel birer vektör çizilerek şekil bir paralelkenara tamamlanır. İki vektörün başlangıç noktalarından paralelkenarın karşı köşesine bir ok çizilir. Bu çizilen ok iki vektörün toplam vektörüdür.
Bu iki yöntem ile elde edilen toplam vektörlerinin yön ve büyüklük olarak aynı oldukları yukarıdaki şekillerde görülebilir.
Toplam Vektörünün Büyüklüğü ve Kosinüs Teoremi
İki vektörün toplamının büyüklüğü kosinüs teoremi kullanılarak hesaplanabilir. Kosinüs teoremi özetle iki kenar uzunluğu ve bu iki kenar arasındaki açı bilinen bir üçgenin üçüncü kenar uzunluğunu bulmamızı sağlar.
Uç uca ekleme yöntemi kullanıldığında vektörler arasında oluşan açıya \( \alpha \), paralelkenar yöntemi kullanıldığında oluşan açıya \( \beta \) diyelim. Toplam vektörünün uzunluğu \( \alpha \) açısı kullanılarak aşağıdaki kosinüs teorem formülü ile bulunabilir.
\( \norm{\vec{c}}^2 = \norm{\vec{a}}^2 + \norm{\vec{b}}^2 - 2 \norm{\vec{a}}\norm{\vec{b}}\cos{\alpha} \)
\( \alpha \) ve \( \beta \) açıları bütünler açılar oldukları için, \( \alpha \) açısı yerine \( \beta \) kullanıldığında son terimin işareti negatiften pozitife döner.
\( \alpha + \beta = 180° \)
\( \cos{\alpha} = \cos(180° - \beta) = -\cos{\beta} \)
\( \norm{\vec{c}}^2 = \norm{\vec{a}}^2 + \norm{\vec{b}}^2 \textcolor{red}{+} 2 \norm{\vec{a}}\norm{\vec{b}}\cos{\beta} \)
Toplamanın İşlem Özellikleri
Yukarıda verdiğimiz örnekte görülebileceği üzere, vektörlerle toplama işleminin değişme özelliği vardır.
\( \vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a} \)
Vektörlerle toplama işleminin birleşme özelliği vardır. Buna göre, ikiden fazla sayıda vektörün toplama işleminde vektörlerin hangi sırada toplandığının bir önemi yoktur.
\( \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c}) = (\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} \)
Vektörlerle toplama işleminin birim (etkisiz) elemanı sıfır vektörüdür.
\( \vec{a} + \vec{0} = \vec{0} + \vec{a} = \vec{a} \)
Vektörlerle Çıkarma
Bir vektörün diğer bir vektörden çıkarma işlemi aşağıdaki şekilde ifade edilir.
\( \vec{a} - \vec{b} \)
Her iki işlemde de aynı çıkarma sembolü kullanılsa da, iki vektör arası çıkarma işlemi vektörlerin büyüklükleri arasında çıkarmadan farklı bir işlemdir. Vektörlerle çıkarma işleminin sonucu yine bir vektördür.
Vektörler arasında çıkarma işlemi üç farklı yöntemle yapılabilir.
Zıt Vektörle Toplama
Önceki bölümde zıt vektörleri büyüklükleri aynı, yönleri zıt yönlü vektörler olarak tanımlamıştık. Zıt vektörle toplama yönteminde, çıkarma işleminin ikinci terimi olan vektörün zıt vektörü birinci vektörle toplanır.
\( \vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b}) \)
Başlangıç Noktalarını Birleştirme
Bu yöntemde birbirinden çıkarılacak vektörler başlangıç noktaları denk gelecek şekilde yerleştirilir ve ikinci vektörün bitiş noktasından birinci vektörün bitiş noktasına bir ok çizilir. Çizilen bu ok iki vektörün fark vektörüdür.
Bitiş Noktalarını Birleştirme
Bu yöntemde birbirinden çıkarılacak vektörler uçları denk gelecek şekilde yerleştirilir ve birinci vektörün başlangıç noktasından ikinci vektörün başlangıç noktasına bir ok çizilir. Çizilen bu ok iki vektörün fark vektörüdür.
Bu üç yöntem ile elde edilen fark vektörlerinin yön ve büyüklük olarak aynı oldukları yukarıdaki şekillerde görülebilir.
Çıkarmanın İşlem Özellikleri
Vektörlerle çıkarma işleminin değişme özelliği yoktur.
Vektörlerle çıkarma işleminin birleşme özelliği yoktur.