Vektörlerle Toplama ve Çıkarma
Skaler büyüklüklerde olduğu gibi, vektörler arasında da toplama, çıkarma ve çarpma işlemleri yapabiliriz.
Vektörlerle Toplama
İki vektörün toplamı aşağıdaki şekilde ifade edilir.
\( \vec{A} + \vec{B} \)
Her iki işlemde de aynı toplama sembolü kullanılsa da, iki vektörün toplamı vektörlerin büyüklüklerinin skaler toplamından farklı bir işlemdir. Vektörlerle toplama işleminin sonucu yine bir vektördür.
Vektörleri iki farklı yöntemle toplayabiliriz.
Uç Uca Ekleme Yöntemi
Uç uca ekleme yönteminde ikinci vektör, başlangıç noktası birinci vektörün ucuna denk gelecek şekilde yerleştirilir ve ilk vektörün başlangıç noktasından ikinci vektörün ucuna bir ok çizilir. Çizilen bu ok iki vektörün toplam vektörüdür.
Aşağıdaki şekilde \( \vec{A} \) vektörü ile \( \vec{B} \) vektörünün toplamı ile oluşan \( \vec{A} + \vec{B} \) vektörü gösterilmiştir.
İki vektörü farklı sırada uç uca eklememiz sonucu değiştirmeyecektir, aşağıda birinci vektörü ikinci vektörün ucuna eklediğimizde yukarıdaki ile yön ve büyüklük olarak aynı toplam vektörünü elde ettiğimizi görebiliriz.
Paralelkenar Yöntemi
Paralelkenar yönteminde iki vektör başlangıç noktaları denk gelecek şekilde yerleştirilir ve bu iki vektöre paralel birer vektör çizilerek şekil bir paralelkenara tamamlanır. İki vektörün başlangıç noktalarından paralelkenarın karşı köşesine bir ok çizilir. Bu çizilen ok iki vektörün toplam vektörüdür.
Uç uca ekleme ve paralelkenar yöntemleri ile elde ettiğimiz toplam vektörlerinin yön ve büyüklük olarak eşit olduklarını yukarıdaki şekillerde görebiliriz.
Toplam Vektör Büyüklüğü ve Kosinüs Teoremi
İki vektörün toplamının büyüklüğünü kosinüs teoremini kullanarak hesaplayabiliriz. Kosinüs teoremi özetle iki kenar uzunluğunu ve bu iki kenar arasındaki açıyı bildiğimiz bir üçgenin üçüncü kenar uzunluğunu bulmamızı sağlar.
Buna göre, uç uca ekleme yöntemini kullandığımızda vektörler arasında oluşan açıya \( \alpha \) dersek, toplam vektörünün uzunluğunu aşağıdaki formülle bulabiliriz.
\( \abs{\vec{C}}^2 = \abs{\vec{A}}^2 + \abs{\vec{B}}^2 - 2 \abs{\vec{A}} \cdot \abs{\vec{B}} \cdot \cos{\alpha} \)
Paralelkenar yöntemini kullandığımızda vektörler arasında oluşan \( \alpha \) ve \( \beta \) açıları bütünler açılar oldukları için, \( \alpha \) yerine \( \beta \) açısını kullanmamız durumunda son terimin işareti aşağıdaki gibi pozitiften negatife döner.
\( \alpha + \beta = 180° \)
\( \cos{\alpha} = \cos(180° - \beta) = -\cos{\beta} \)
\( \abs{\vec{C}}^2 = \abs{\vec{A}}^2 + \abs{\vec{B}}^2 \textcolor{red}{+} 2 \abs{\vec{A}} \cdot \abs{\vec{B}} \cdot \cos{\beta} \)
Toplamanın İşlem Özellikleri
Yukarıdaki örnekte gördüğümüz gibi, vektörlerle toplama işleminin değişme özelliği vardır.
\( \vec{A} + \vec{B} = \vec{B} + \vec{A} \)
Vektörlerle toplama işleminin birleşme özelliği vardır. Buna göre, ikiden fazla sayıda vektörün toplama işleminde vektörleri hangi sırada topladığımızın bir önemi yoktur.
\( \vec{A} + (\vec{B} + \vec{C}) = (\vec{A} + \vec{B}) + \vec{C} \)
Vektörlerle toplama işleminin birim (etkisiz) elemanı sıfır vektörüdür.
\( \vec{A} + \vec{0} = \vec{0} + \vec{A} = \vec{A} \)
Vektörlerle Çıkarma
Bir vektörün diğer bir vektörden çıkarma işlemi aşağıdaki şekilde ifade edilir.
\( \vec{A} - \vec{B} \)
Her iki işlemde de aynı çıkarma sembolü kullanılsa da, iki vektör arası çıkarma işlemi vektörlerin büyüklükleri arası çıkarmadan farklı bir işlemdir. Vektörlerle çıkarma işleminin sonucu yine bir vektördür.
Bir vektörü diğer bir vektörden çıkarma işlemini birkaç yöntemle yapabiliriz.
Zıt Vektörle Toplama
Önceki bölümde zıt vektörleri büyüklükleri aynı, yönleri zıt yönlü vektörler olarak tanımlamıştık. Zıt vektörle toplama yönteminde, çıkarma işleminin ikinci terimi olan vektörün zıt vektörünü birinci vektörle önceki bölümde gördüğümüz yöntemlerden biriyle toplarız.
\( \vec{A} - \vec{B} = \vec{A} + (-\vec{B}) \)
Vektörlerin Başlangıç Noktalarını Birleştirme
Bu yöntemde birbirinden çıkarılacak vektörler başlangıç noktaları denk gelecek şekilde yerleştirilir ve ikinci vektörün ucundan birinci vektörün ucuna bir ok çizilir. Bu ok iki vektörün fark vektörüdür.
Vektörlerin Uçlarını Birleştirme
Bu yöntemde birbirinden çıkarılacak vektörler uçları denk gelecek şekilde yerleştirilir ve birinci vektörün başlangıç noktasından ikinci vektörün başlangıç noktasına bir ok çizilir. Bu ok iki vektörün fark vektörüdür.
Yukarıdaki üç yöntemle elde ettiğimiz fark vektörlerinin yön ve büyüklük olarak eşit olduklarını yukarıdaki şekillerde görebiliriz.
Çıkarmanın İşlem Özellikleri
Vektörlerle çıkarma işleminin değişme özelliği yoktur.
Vektörlerle çıkarma işleminin birleşme özelliği yoktur.