Vektörlerle Çarpma

Terimlerinden en az biri bir vektör olan üç farklı çarpma işlemi vardır. Bu bölümde bu çarpma işlemlerini inceleyeceğiz.

Bir Vektörü Bir Skaler Büyüklükle Çarpma

Bir vektörü bir skaler büyüklükle çarpma işlemi aşağıdaki şekilde ifade edilir. Bir vektörü bir skaler büyüklükle çarpma işleminin sonucu yine bir vektördür.

\( k \in \mathbb{R} \) olmak üzere,

\( k \vec{A} \)

Bir vektörü pozitif bir skaler büyüklükle çarparsak vektörün yönü değişmez, büyüklüğü skalerin büyüklüğü oranında artar ya da azalır. Aşağıda bir \( \vec{A} \) vektörünün farklı pozitif skaler büyüklüklerle çarpımı sonucunda oluşan vektörler gösterilmiştir.

Bir vektörü pozitif bir skaler ile çarpma

Bir vektörü negatif bir skaler büyüklükle çarparsak vektörün yönü zıt yöne döner, büyüklüğü skalerin büyüklüğünün mutlak değeri oranında artar ya da azalır. Aşağıda bir \( \vec{A} \) vektörünün farklı negatif skaler büyüklüklerle çarpımı sonucunda oluşan vektörler gösterilmiştir.

Bir vektörü negatif bir skaler ile çarpma

Bir vektörün sıfır sayısı ile skaler çarpımının sonucu sıfır vektörüdür.

\( 0 \vec{A} = \vec{0} \)

İki Vektörün Skaler Çarpımı

İki vektörün birbiriyle çarpım yöntemlerinden biri olan skaler çarpım işleminin formülü aşağıdaki gibidir. Skaler çarpımda vektörler arasında nokta (\( \cdot \)) sembolü kullanılır. Skaler çarpmaya iç çarpım ya da nokta çarpımı da denir.

\( \vec{A} \cdot \vec{B} = \abs{\vec{A}} \abs{\vec{B}} \cos{\alpha} \)

Sayılar arasındaki çarpma işleminde değişkenler arasında çarpma sembolü kullanılmayabilir (\( xy = x \cdot y \)), ancak vektörel skaler çarpma işleminde aradaki nokta işareti mutlaka kullanılmalıdır.

Yukarıdaki formülde \( \abs{\vec{A}} \) ve \( \abs{\vec{B}} \) sırasıyla \( \vec{A} \) ve \( \vec{B} \) vektörlerinin (skaler) büyüklükleridir. \( \cos{\alpha} \) değeri de iki vektör arasındaki açının kosinüs değeri olarak yine skaler bir büyüklüktür, dolayısıyla bu üç skaler büyüklüğün çarpımının sonucu da bir skalerdir, yani şu ana kadar gördüğümüz diğer işlemlerin sonucu gibi bir vektör değildir.

İki vektörün skaler çarpımını, vektörlerden birinin diğer vektör üzerindeki izdüşümünün büyüklüğü ile üzerinde izdüşüm alınan vektörün büyüklüğünün çarpımı olarak ifade edebiliriz. Şimdi aralarındaki açı \( \alpha \) olan aşağıdaki gibi iki vektör üzerinde bu işlemin nasıl gerçekleştiğine bakalım. (İzdüşüm konu anlatımı için analitik uygulamalar bölümünü inceleyebilirsiniz.)

Bu çarpma işlemini önce ikinci vektörün (\( \vec{B} \)) birinci vektör (\( \vec{A} \)) üzerindeki izdüşümünü alarak yapalım. Bir dik üçgendeki trigonometrik oranları kullanarak, \( \vec{B} \) vektörünün \( \vec{A} \) vektörü üzerindeki izdüşümünün \( \abs{\vec{B}} \cos{\alpha} \) olduğunu görebiliriz. Bu ifadeyi üzerinde izdüşüm alınan \( \vec{A} \) vektörünün büyüklüğü ile çarparsak yukarıdaki skaler çarpım formülünü elde ederiz.

\( \vec{A} \cdot \vec{B} = \abs{\vec{A}} (\abs{\vec{B}} \cos{\alpha}) \)

İkinci vektörün birinci vektör üzerindeki izdüşümü

Bu çarpma işlemini şimdi de birinci vektörün (\( \vec{A} \)) ikinci vektör (\( \vec{B} \)) üzerindeki izdüşümünü alarak yapalım. Yine trigonometrik oranları kullanarak bu izdüşümün \( \abs{\vec{A}} \cos{\alpha} \) olduğunu görebiliriz. Bu ifadeyi üzerinde izdüşüm alınan \( \vec{B} \) vektörünün büyüklüğü ile çarparsak aynı skaler çarpım formülünü elde ederiz.

\( \vec{A} \cdot \vec{B} = \abs{\vec{B}} (\abs{\vec{A}} \cos{\alpha}) \)

Birinci vektörün ikinci vektör üzerindeki izdüşümü

Buna göre, vektörlerin skaler çarpımında hangi vektörün diğer vektör üzerindeki izdüşümünü alıyor olmamızın sonuca bir etkisi yoktur.

Skaler Çarpma İşlem Özellikleri

Yukarıda gördüğümüz gibi, vektörlerle skaler çarpma işleminin değişme özelliği vardır.

\( \vec{A} \cdot \vec{B} = \vec{B} \cdot \vec{A} \)

Vektörlerle skaler çarpma işleminin birleşme özelliği yoktur.

Vektörlerle skaler çarpma işleminin toplama ve çıkarma işlemleri üzerine soldan ve sağdan dağılma özelliği vardır.

\( \vec{A} \cdot (\vec{B} + \vec{C}) = \vec{A} \cdot \vec{B} + \vec{A} \cdot \vec{C} \)

\( (\vec{A} + \vec{B}) \cdot \vec{C} = \vec{A} \cdot \vec{C} + \vec{B} \cdot \vec{C} \)

\( \vec{A} \cdot (\vec{B} - \vec{C}) = \vec{A} \cdot \vec{B} - \vec{A} \cdot \vec{C} \)

\( (\vec{A} - \vec{B}) \cdot \vec{C} = \vec{A} \cdot \vec{C} - \vec{B} \cdot \vec{C} \)

Skaler Çarpma İşlem Kuralları

Yönleri aynı iki vektörün skaler çarpımı, vektörlerin büyüklüklerinin çarpımına eşittir.

\( \vec{A} \cdot \vec{B} = \abs{\vec{A}} \abs{\vec{B}} \cos{0°} = \abs{\vec{A}} \abs{\vec{B}} \)

Bir vektörün kendisiyle skaler çarpımı, vektörün büyüklüğünün karesine eşittir.

\( \vec{A} \cdot \vec{A} = \abs{\vec{A}} \abs{\vec{A}} \cos{0°} = {\abs{\vec{A}}}^2 \)

İki vektör arasındaki açı 90°'den küçükse vektörlerin skaler çarpımı pozitiftir (\( \cos{\alpha} \gt 0 \)). İki vektör arasındaki açı 90°'den büyükse vektörlerin skaler çarpımı negatiftir (\( \cos{\alpha} \lt 0 \)).

Aralarındaki açı 90° (birbirine dik) olan iki vektörün skaler çarpımı sıfıra eşittir (\( \cos{90°} = 0 \)). Bunun geometrik açıklaması bir vektörün kendisine dik bir vektör üzerindeki izdüşümünün büyüklüğünün sıfır olmasıdır.

\( \vec{A} \cdot \vec{B} = \abs{\vec{A}} \abs{\vec{B}} \cos{90°} = 0 \)

İki vektörün skaler çarpımının sonucu sıfır ise ya vektörlerden en az biri sıfır vektörüdür ya da vektörler birbirine diktir ve bunun sonucu olarak aralarındaki açının kosinüs değeri sıfırdır.

Üç vektörün skaler çarpımı geçerli bir işlem değildir. Bunun sebebi, iki vektörün skaler çarpımının skaler bir büyüklük olması ve skaler ve vektörel iki büyüklük arasında vektörel skaler çarpma işlemi yapamayacak olmamızdır.

\( k \in \mathbb{R} \)

\( \vec{A} \cdot \vec{B} = k \) olmak üzere,

\( \vec{A} \cdot \vec{B} \cdot \vec{C} = k \cdot \vec{C} \Longrightarrow \) Geçersiz işlem

Skaler Çarpma ve Kosinüs Teoremi

İki vektörün skaler çarpımını kullanarak trigonometri konusunda öğrendiğimiz kosinüs teoremi formülünü türetebiliriz.

Bunun için aralarındaki açı \( \alpha \) olan \( \vec{A} \) ve \( \vec{B} \) vektörleri ve \( \vec{A} - \vec{B} \) farkına eşit olan bir \( \vec{C} \) vektörü tanımlayalım.

\( \vec{C} = \vec{A} - \vec{B} \)

Her iki tarafın kendisiyle skaler çarpımını alalım.

\( \vec{C} \cdot \vec{C} = (\vec{A} - \vec{B}) \cdot (\vec{A} - \vec{B}) \)

\( \vec{C} \cdot \vec{C} = \vec{A} \cdot \vec{A} \) \( - \vec{A} \cdot \vec{B} \) \( - \vec{B} \cdot \vec{A} \) \( + \vec{B} \cdot \vec{B} \)

Şimdi de skaler çarpımlarının skaler karşılıklarını yazalım.

\( \abs{\vec{C}} \abs{\vec{C}} \cos{0°} \) \( = \abs{\vec{A}} \abs{\vec{A}} \cos{0°} \) \( - \abs{\vec{A}} \abs{\vec{B}} \cos{\alpha} \) \( - \abs{\vec{B}} \abs{\vec{A}} \cos{\alpha} \) \( + \abs{\vec{B}} \abs{\vec{B}} \cos{0°} \)

\( \vec{A} \), \( \vec{B} \), \( \vec{C} \) vektörlerinin büyüklüklerine sırasıyla \( a \), \( b \), \( c \) diyelim.

\( c^2 = a^2 - a \cdot b \cdot \cos{\alpha} \) \( - b \cdot a \cdot \cos{\alpha} \) \( + b^2 \)

\( c^2 = a^2 +b^2 - 2ab\cos{\alpha} \)

Elde ettiğimiz bu formül kosinüs teoremi formülüdür.

İki Vektörün Vektörel Çarpımı

İki vektörün birbiriyle çarpma yöntemlerinden biri olan vektörel çarpma işleminin gösterimi aşağıdaki gibidir. Vektörel çarpma işleminde vektörler arasında çarpı (\( \times \)) sembolü kullanılır. Vektörel çarpma işleminin sonucu yine bir vektördür.

\( \vec{C} = \vec{A} \times \vec{B} \)

Vektörel çarpma işleminde sonucun büyüklüğünü ve yönünü ayrı ayrı bulmamız gerekmektedir.

İki vektörün çarpım vektörünün büyüklüğü, bu iki vektör aşağıdaki şekildeki gibi bir paralelkenara tamamlandığında oluşan paralelkenarın alanına eşittir. Aralarındaki açı \( \alpha \) olan iki vektörün oluşturduğu paralelkenarın alanını aşağıdaki formülle hesaplayabiliriz. Bu formülde \( \abs{\vec{A}} \) paralelkenarın taban uzunluğunu, \( \abs{\vec{B}} \cdot \sin{\alpha} \) da yüksekliğini vermektedir.

\( \abs{\vec{C}} = \abs{\vec{A} \times \vec{B}} = \abs{\vec{A}} \abs{\vec{B}} \sin{\alpha} \)

İki vektörün çarpım vektörü, bu iki vektörün bulunduğu düzleme dik bir yöndedir. Bu vektörün düzleme hangi yönde dik olduğunu sağ el kuralı kullanarak bulabiliriz. Aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi, sağ elimizi işaret parmağımız birinci vektörü, orta parmağımız ikinci vektörü gösterecek şekilde tuttuğumuzda baş parmağımızın gösterdiği yön çarpım vektörünün yönüdür.

Bu kuralı yukarıdaki örneğe uyguladığımızda, vektörel çarpım vektörünün \( \vec{A} \) ve \( \vec{B} \) vektörlerine yukarı yönde dik olduğunu buluruz. Buna göre bu iki vektörün vektörel çarpımının sonucu olan \( \vec{C} \) vektörü, \( \vec{A} \) ve \( \vec{B} \) vektörlerinin bulunduğu \( xy \) düzlemine dik ve üçüncü bir \( z \) ekseni boyunca olmaktadır.

Vektörel çarpma işleminde koordinat sistemini sağ el kuralı ile tutarlı bir şekilde tanımlamamız gerekmektedir. Örneğin \( x \) ve \( y \) eksenlerinin aralarında yer değiştirdiği bir koordinat sistemi kullanılırsa sağ el kuralı ile bulacağımız çarpım vektörü ters ve yanlış yönlü olacaktır. Yukarıdaki üç boyutlu koordinat sistemi sağ el kuralı ile uyumlu olacak şekilde tanımlanmıştır.

Vektörel Çarpmanın İşlem Özellikleri

Vektörel çarpma işleminde vektörlerin sırası değiştirildiğinde, büyüklüğü aynı, yönü zıt yönde bir vektör elde edilir. Vektörlerin sırası değiştirildiğinde büyüklüğü temsil eden paralelkenarın alanı değişmemekte, ama sağ el kuralı gereği baş parmağımızın gösterdiği yön tam ters yön olmaktadır.

\( \vec{A} \times \vec{B} = -\vec{B} \times \vec{A} \)

Vektörel çarpma işleminin toplama işlemi üzerine soldan dağılma özelliği vardır.

\( \vec{A} \times (\vec{B} + \vec{C}) = \vec{A} \times \vec{B} + \vec{A} \times \vec{C} \)

Vektörel Çarpmanın İşlem Kuralları

Bir vektörün sıfır vektörü ile vektörel çarpımının sonucu sıfır vektörüdür (alanı sıfırdan büyük olan bir paralelkenar oluşmaz).

\( \vec{A} \cdot \vec{0} = \vec{0} \cdot \vec{A} = \vec{0} \)

Bir vektörün kendisiyle yaptığı açı 0° olduğu için, bir vektörün kendisiyle vektörel çarpımının sonucu sıfır vektörüdür (yine alanı sıfırdan büyük olan bir paralelkenar oluşmaz).

\( \vec{A} \cdot \vec{A} = \vec{0} \)

Skaler ve Vektörel Çarpım Karşılaştırması

İki vektörün skaler ve vektörel çarpımlarını aşağıdaki şekilde karşılaştırabiliriz.

Skaler Çarpım	Vektörel Çarpım
Çarpım sonucu bir skalerdir (sayıdır).	Çarpım sonucu bir vektördür.
Sonucun büyüklüğü vektörler arasındaki açının kosinüs değerine göre değişir.	Sonuç vektörünün büyüklüğü vektörler arasındaki açının sinüs değerine göre değişir.
Vektörlerin arasındaki açı 0° olduğunda sonuç maksimum değerini alır, 90° olduğunda sıfır olur.	Vektörlerin arasındaki açı 0° olduğunda sonuç sıfır vektörü olur, 90° olduğunda vektörün büyüklüğü maksimum değerini alır.
Vektörlerin arasındaki açı 0-90° aralığında arttıkça sonuç pozitif değer olarak küçülür.	Vektörlerin arasındaki açı 0-90° aralığında arttıkça sonuç vektörünün büyüklüğü artar.
Vektörlerin arasındaki açı 90-180° aralığında arttıkça sonuç negatif değer olarak küçülür.	Vektörlerin arasındaki açı 90-180° aralığında arttıkça sonuç vektörünün büyüklüğü azalır.