Bir Vektörün Bileşenleri
Önceki bölümde bir konum vektörünü uç noktasının koordinatları şeklinde ifade ettik ve vektörler arası işlemleri bu koordinatlar üzerinden gerçekleştirdik. Vektörleri tanımlamak ve vektörler arası işlemleri gerçekleştirmek için kullanılabilecek bir diğer yöntem vektörleri bileşenleri cinsinden yazmaktır.
Birim Vektörler
İlk bölümde birim vektörü büyüklüğü bir birim olan vektör olarak tanımlamıştık. Herhangi bir vektör o vektörün büyüklüğüne bölündüğünde, o vektörle aynı yöndeki birim vektör elde edilir ve bir vektör birim vektörü ve büyüklüğünün çarpımı şeklinde ifade edilebilir.
\( \hat{a} = \dfrac{\vec{a}}{\norm{\vec{a}}} \)
\( \vec{a} = \norm{\vec{a}} \hat{a} \)
Aşağıda üç farklı vektör için, her vektörle aynı yöndeki birim vektör gösterilmiştir.
Herhangi bir vektör için birim vektör tanımlanabileceği gibi, koordinat eksenleri için de birer birim vektör tanımlanabilir. \( x \) ve \( y \) eksenleri için tanımlanmış özel birim vektörler aşağıda gösterilmiştir. \( x \) ekseni için tanımlanan birim vektör \( \hat{i} \) sembolüyle, \( y \) ekseni için tanımlanan birim vektör \( \hat{j} \) sembolüyle gösterilir.
\( \hat{i} = (1, 0) \)
\( \hat{j} = (0, 1) \)
\( \norm{\vec{i}} = \norm{\vec{j}} = 1 \)
Birim Vektörlerin Nokta Çarpımı
Bir vektörün kendisiyle yaptığı açı 0° olduğu için, \( \hat{i} \) ve \( \hat{j} \) birim vektörlerinin kendileriyle nokta çarpımı 1'e eşittir.
\( \hat{i} \cdot \hat{i} = \norm{\vec{i}} \norm{\vec{i}} \cos{0°} \)
\( \hat{i} \cdot \hat{i} = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1 \)
\( \hat{j} \cdot \hat{j} = 1 \)
\( \hat{i} \) ve \( \hat{j} \) birim vektörleri birbirlerine dik oldukları için, nokta çarpımları 0'a eşittir.
\( \hat{i} \cdot \hat{j} = \norm{\vec{i}} \norm{\vec{j}} \cos{90°} \)
\( \hat{i} \cdot \hat{j} = 1 \cdot 1 \cdot 0 = 0 \)
Bir Vektörün Bileşenleri
Bir \( \vec{a} \) vektörünün bileşenleri, her biri \( \vec{a} \) vektörünün eksenler üzerindeki izdüşümlerine karşılık gelen ve vektörel toplamları \( \vec{a} \) vektörüne eşit olan vektörlerdir. Aşağıda \( \vec{a} \) vektörünün \( x \) ve \( y \) eksenleri üzerindeki izdüşümü olan \( \vec{a}_x \) ve \( \vec{a}_y \) vektörleri gösterilmiştir.
Vektörlerin toplamı konusunda iki vektörün toplamının, bu iki vektörün oluşturduğu paralelkenarın köşegeni olduğunu belirtmiştik. Yukarıdaki şekil bu açıdan incelendiğinde, \( \vec{a} \) vektörünün aynı zamanda bileşenlerinin vektörel toplamı olduğu görülebilir.
\( \vec{a} = \vec{a}_x + \vec{a}_y \)
\( (8, 6) = (8, 0) + (0, 6) \)
Bu bileşenlerin büyüklükleri trigonometrik fonksiyonlar kullanılarak aşağıdaki şekilde hesaplanabilir.
\( \norm{\vec{a_x}} = \norm{\vec{a}} \cos{\alpha} \)
\( \norm{\vec{a_y}} = \norm{\vec{a}} \sin{\alpha} \)
Her bir bileşen vektörü, vektörün büyüklüğü ile yukarıda tanımladığımız ilgili eksenin birim vektörünün çarpımı şeklinde de yazılabilir.
\( \vec{a}_x = \norm{\vec{a}_x} \hat{i} \)
\( \vec{a}_y = \norm{\vec{a}_y} \hat{j} \)
\( (8, 0) = 8 \cdot (1, 0) \)
\( (0, 6) = 6 \cdot (0, 1) \)
\( \norm{\vec{a}_x} \) ve \( \norm{\vec{a}_y} \) skaler büyüklükleri kısaca \( a_x \) ve \( a_y \) şeklinde ifade edilirse \( \vec{a} \) vektörü bileşenleri ve birim vektörler cinsinden aşağıdaki şekilde yazılabilir.
\( \vec{a} = a_x \hat{i} + a_y \hat{j} \)
\( (8, 6) = 8 \hat{i} + 6 \hat{j} \)
\( \hat{i} \) ve \( \hat{j} \) birim vektörleri matris şeklinde yazılarak bir vektörün ve bileşenlerinin toplamının eşitliği gösterilebilir.
\( (a_x, a_y) = a_x \cdot (1, 0) + a_y \cdot (0, 1) \)
\( (a_x, a_y) = (a_x, 0) + (0, a_y) \) \( = (a_x, a_y) \)
\( (8, 6) = 8 \cdot (1, 0) + 6 \cdot (0, 1) \) \( = (8, 0) + (0, 6) \) \( = (8, 6) \)
\( \vec{a} \) vektörünün büyüklüğü Pisagor teoremi kullanılarak bileşenlerinin büyüklükleri cinsinden aşağıdaki şekilde yazılabilir.
\( \norm{\vec{a}} = \sqrt{a_x^2 + a_y^2} \)
\( \vec{a} \) vektörünün \( x \) ekseniyle pozitif yönde yaptığı açının tanjant değeri ve açının ölçüsü aşağıdaki şekilde bulunur.
\( \tan{\alpha} = \dfrac{a_y}{a_x} \)
\( \alpha = \arctan{\dfrac{a_y}{a_x}} \)
Vektör Bileşenleriyle İşlemler
Önceki bölümlerde vektörlerle işlemleri geometrik olarak ve vektörlerin uç noktalarının koordinatları ile nasıl yapabileceğimizi görmüştük. Bu işlemler vektörlerin bileşenleri cinsinden de gerçekleştirilebilir.
Vektörlerle Toplama
İki vektörün toplamının bileşenleri, vektörlerin bileşenlerinin toplamına eşittir.
\( \vec{a} = a_x \hat{i} + a_y \hat{j} \)
\( \vec{b} = b_x \hat{i} + b_y \hat{j} \)
\( \vec{a} + \vec{b} = (a_x \hat{i} + a_y \hat{j}) + (b_x \hat{i} + b_y \hat{j}) \)
\( \vec{a} + \vec{b} = (a_x + b_x) \hat{i} + (a_y + b_y) \hat{j} \)
Vektörlerle Çıkarma
İki vektörün farkının bileşenleri, vektörlerin bileşenlerinin farkına eşittir.
\( \vec{a} = a_x \hat{i} + a_y \hat{j} \)
\( \vec{b} = b_x \hat{i} + b_y \hat{j} \)
\( \vec{a} - \vec{b} = (a_x \hat{i} + a_y \hat{j}) - (b_x \hat{i} + b_y \hat{j}) \)
\( \vec{a} - \vec{b} = (a_x - b_x) \hat{i} + (a_y - b_y) \hat{j} \)
Bir Skaler Büyüklükle Çarpma
Bir vektörün bir skaler büyüklükle çarpımının bileşenleri, vektörlerin bileşenlerinin skaler büyüklükle çarpımına eşittir.
\( k \in \mathbb{R} \)
\( \vec{a} = a_x \hat{i} + a_y \hat{j} \)
\( k \vec{a} = k \cdot (a_x \hat{i} + a_y \hat{j}) = k a_x \hat{i} + k a_y \hat{j} \)
Nokta Çarpımı
İki vektörün nokta çarpımını bulmak için vektörlerin bileşenlerinin nokta çarpımı alınır.
\( \vec{a} = a_x \hat{i} + a_y \hat{j} \)
\( \vec{b} = b_x \hat{i} + b_y \hat{j} \)
\( \vec{a} \cdot \vec{b} = (a_x \hat{i} + a_y \hat{j}) \cdot (b_x \hat{i} + b_y \hat{j}) \)
\( \vec{a} \cdot \vec{b} = a_xb_x (\hat{i} \cdot \hat{i}) \) \( + a_xby (\hat{i} \cdot \hat{j}) \) \( + a_yb_x (\hat{i} \cdot \hat{j}) \) \( + a_yb_y (\hat{j} \cdot \hat{j}) \)
Yukarıda gördüğümüz birim vektörler arası nokta çarpım kurallarını kullanalım.
\( \vec{a} \cdot \vec{b} = a_xb_x + a_yb_y \)
Buna göre, iki vektörün nokta çarpımı vektörlerin \( x \) ekseni bileşenlerinin büyüklüklerinin çarpımı ile \( y \) ekseni bileşenlerinin büyüklüklerinin çarpımının skaler toplamına eşittir.
Vektörel Çarpım
İki vektörün vektörel çarpımının büyüklüğünün formülünü aşağıdaki şekilde görmüştük.
\( \vec{a} = (x_1, y_1) \)
\( \vec{b} = (x_2, y_2) \) olmak üzere,
\( \norm{\vec{a} \times \vec{b}} = \abs{x_1 y_2 - x_2 y_1} \)
Bu formül vektörün bileşenlerine uyarlandığında aşağıdaki formül elde edilir.
\( \vec{a} = a_x \hat{i} + a_y \hat{j} \)
\( \vec{b} = b_x \hat{i} + b_y \hat{j} \)
\( \norm{\vec{a} \times \vec{b}} = \abs{a_x b_y - b_x a_y} \)
Vektörel çarpımın sonucunun yönü önceki bölümde gördüğümüz sağ el kuralı kullanılarak bulunabilir.