Bir Vektörün Bileşenleri
Önceki bölümde bir konum vektörünü uç noktasının koordinatları şeklinde ifade ettik ve vektörler arası işlemleri bu koordinatlar üzerinden gerçekleştirdik. Vektörleri tanımlamak ve vektörler arası işlemleri gerçekleştirmek için kullanabileceğimiz bir diğer yöntem de vektörleri bileşenleri cinsinden yazmaktır.
Birim Vektörler
İlk bölümde birim vektörü büyüklüğü bir birim olan vektör olarak tanımlamıştık. Herhangi bir vektörü o vektörün büyüklüğüne böldüğümüzde, o vektörle aynı yöndeki birim vektörü elde ederiz ve bir vektörü birim vektörü ve büyüklüğünün çarpımı şeklinde ifade edebiliriz.
\( \hat{a} = \dfrac{\vec{A}}{\abs{\vec{A}}} \)
\( \abs{\hat{a}} = 1 \)
\( \vec{A} = \abs{\vec{A}} \hat{a} \)
Aşağıda üç farklı vektör için, her vektörle aynı yöndeki birim vektör gösterilmiştir.
Herhangi bir vektör için birim vektör tanımlayabildiğimiz gibi, \( x \) ve \( y \) eksenleri için de birer birim vektör tanımlayabiliriz. Bu iki eksen için tanımlanmış özel birim vektörler aşağıda gösterilmiştir. \( x \) ekseni için tanımladığımız birim vektör \( \hat{i} \) sembolüyle, \( y \) ekseni için tanımladığımız birim vektör \( \hat{j} \) sembolüyle gösterilir.
\( \hat{i} = (1, 0) \)
\( \hat{j} = (0, 1) \)
\( \abs{\hat{i}} = \abs{\hat{j}} = 1 \)
Birim Vektörlerin Skaler Çarpımı
Bir vektörün kendisiyle yaptığı açı 0° olduğu için, \( \hat{i} \) ve \( \hat{j} \) birim vektörlerinin kendileriyle skaler çarpımı 1'e eşittir.
\( \hat{i} \cdot \hat{i} = \abs{\hat{i}} \abs{\hat{i}} \cos{0°} \)
\( \hat{i} \cdot \hat{i} = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1 \)
\( \hat{j} \cdot \hat{j} = 1 \)
\( \hat{i} \) ve \( \hat{j} \) birim vektörleri birbirlerine dik oldukları için, skaler çarpımları 0'a eşittir.
\( \hat{i} \cdot \hat{j} = \abs{\hat{i}} \abs{\hat{j}} \cos{90°} \)
\( \hat{i} \cdot \hat{j} = 1 \cdot 1 \cdot 0 = 0 \)
Bir Vektörün Bileşenleri
Bir \( \vec{A} \) vektörünün bileşenleri, her biri \( \vec{A} \) vektörünün eksenler üzerindeki izdüşümlerine karşılık gelen ve vektörel toplamları \( \vec{A} \) vektörüne eşit olan vektörlerdir. Aşağıda \( \vec{A} \) vektörünün \( x \) ve \( y \) eksenleri üzerindeki izdüşümü olan \( \vec{A}_x \) ve \( \vec{A}_y \) vektörleri gösterilmiştir.
Vektörlerin toplamı konusunda iki vektörün toplamının, bu iki vektörün oluşturduğu paralelkenarın köşegeni olduğunu belirtmiştik. Yukarıdaki şekli bu açıdan incelediğimizde, \( \vec{A} \) vektörünün aynı zamanda bileşenlerinin vektörel toplamı olduğunu görebiliriz.
\( \vec{A} = \vec{A}_x + \vec{A}_y \)
\( (8, 6) = (8, 0) + (0, 6) \)
Bu bileşenlerin büyüklüklerini trigonometrik fonksiyonları kullanarak aşağıdaki şekilde hesaplayabiliriz.
\( \abs{\vec{A_x}} = \abs{\vec{A}} \cos{\alpha} \)
\( \abs{\vec{A_y}} = \abs{\vec{A}} \sin{\alpha} \)
Her bir bileşen vektörü, vektörün büyüklüğü ile yukarıda tanımladığımız ilgili eksenin birim vektörünün çarpımı şeklinde de yazılabilir.
\( \vec{A}_x = \abs{\vec{A}_x} \hat{i} \)
\( \vec{A}_y = \abs{\vec{A}_y} \hat{j} \)
\( (8, 0) = 8 \cdot (1, 0) \)
\( (0, 6) = 6 \cdot (0, 1) \)
\( \abs{\vec{A}_x} \) ve \( \abs{\vec{A}_y} \) skaler büyüklüklerini kısaca \( A_x \) ve \( A_y \) şeklinde ifade edersek, \( \vec{A} \) vektörünü bileşenleri ve birim vektörler cinsinden aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( \vec{A} = A_x \hat{i} + A_y \hat{j} \)
\( (8, 6) = 8 \hat{i} + 6 \hat{j} \)
\( i \) ve \( j \) birim vektörlerini matris şeklinde yazarak bir vektörün ve bileşenlerinin toplamının eşitliğini gösterebiliriz.
\( (A_x, A_y) = A_x \cdot (1, 0) + A_y \cdot (0, 1) \)
\( (A_x, A_y) = (A_x, 0) + (0, A_y) \) \( = (A_x, A_y) \)
\( (8, 6) = 8 \cdot (1, 0) + 6 \cdot (0, 1) \) \( = (8, 0) + (0, 6) \) \( = (8, 6) \)
\( \vec{A} \) vektörünün büyüklüğünü Pisagor teoremini kullanarak bileşenlerinin büyüklükleri cinsinden aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( \abs{\vec{A}} = \sqrt{A_x^2 + A_y^2} \)
\( \vec{A} \) vektörünün \( x \) ekseniyle pozitif yönde yaptığı açının tanjant değeri ve açının ölçüsü aşağıdaki şekilde bulunur.
\( \tan{\alpha} = \dfrac{A_y}{A_x} \)
\( \alpha = \arctan{\dfrac{A_y}{A_x}} \)
Vektör Bileşenleriyle İşlemler
Önceki bölümlerde vektörlerle işlemleri geometrik olarak ve vektörlerin uç noktalarının koordinatları ile nasıl yapabileceğimizi görmüştük. Bu işlemleri vektörlerin bileşenleri cinsinden de gerçekleştirebiliriz.
Vektörlerle Toplama
İki vektörün toplamının bileşenleri, vektörlerin bileşenlerinin toplamına eşittir.
\( \vec{A} = A_x \hat{i} + A_y \hat{j} \)
\( \vec{B} = B_x \hat{i} + B_y \hat{j} \)
\( \vec{A} + \vec{B} = (A_x \hat{i} + A_y \hat{j}) + (B_x \hat{i} + B_y \hat{j}) \)
\( \vec{A} + \vec{B} = (A_x + B_x) \hat{i} + (A_y + B_y) \hat{j} \)
Vektörlerle Çıkarma
İki vektörün farkının bileşenleri, vektörlerin bileşenlerinin farkına eşittir.
\( \vec{A} = A_x \hat{i} + A_y \hat{j} \)
\( \vec{B} = B_x \hat{i} + B_y \hat{j} \)
\( \vec{A} - \vec{B} = (A_x \hat{i} + A_y \hat{j}) - (B_x \hat{i} + B_y \hat{j}) \)
\( \vec{A} - \vec{B} = (A_x - B_x) \hat{i} + (A_y - B_y) \hat{j} \)
Bir Vektörü Bir Skaler Büyüklükle Çarpma
Bir vektörün bir skaler büyüklükle çarpımının bileşenleri, vektörlerin bileşenlerinin skaler büyüklükle çarpımına eşittir.
\( k \in \mathbb{R} \)
\( \vec{A} = A_x \hat{i} + A_y \hat{j} \)
\( k \vec{A} = k(A_x \hat{i} + A_y \hat{j}) = k A_x \hat{i} + k A_y \hat{j} \)
İki Vektörün Skaler Çarpımı
İki vektörün skaler çarpımını bulmak için vektörlerin bileşenlerinin skaler çarpımını alırız.
\( \vec{A} = A_x \hat{i} + A_y \hat{j} \)
\( \vec{B} = B_x \hat{i} + B_y \hat{j} \)
\( \vec{A} \cdot \vec{B} = (A_x \hat{i} + A_y \hat{j}) \cdot (B_x \hat{i} + B_y \hat{j}) \)
\( \vec{A} \cdot \vec{B} = A_xB_x (\hat{i} \cdot \hat{i}) \) \( + A_xBy (\hat{i} \cdot \hat{j}) \) \( + A_yB_x (\hat{i} \cdot \hat{j}) \) \( + A_yB_y (\hat{j} \cdot \hat{j}) \)
Yukarıda gördüğümüz birim vektörler arası skaler çarpım kurallarını kullanırsak:
\( \vec{A} \cdot \vec{B} = A_xB_x + A_yB_y \)
Buna göre, iki vektörün skaler çarpımları vektörlerin \( x \) ekseni bileşenlerinin büyüklüklerinin çarpımı ile \( y \) ekseni bileşenlerinin büyüklüklerinin çarpımının skaler toplamına eşittir.
İki Vektörün Vektörel Çarpımı
İki vektörün vektörel çarpımının büyüklüğünün formülünü aşağıdaki şekilde görmüştük.
\( \vec{A} = (x_1, y_1) \)
\( \vec{B} = (x_2, y_2) \) olmak üzere,
\( \abs{\vec{A} \times \vec{B}} = \abs{x_1 y_2 - x_2 y_1} \)
Bu formülü vektörün bileşenlerine uyarlarsak aşağıdaki formülü elde ederiz.
\( \vec{A} = A_x \hat{i} + A_y \hat{j} \)
\( \vec{B} = B_x \hat{i} + B_y \hat{j} \)
\( \abs{\vec{A} \times \vec{B}} = \abs{A_x B_y - B_x A_y} \)
Vektörel çarpımın sonucunun yönünü önceki bölümde gördüğümüz sağ el kuralını kullanarak bulabiliriz.