Bu bölümde vektörlerin birbirleriyle ve eksenlerle yaptıkları açıları inceleyeceğiz. Bu bölümde örnek olarak kullanacağımız iki vektörü aşağıdaki gibi tanımlayalım.
\( \vec{A} = (A_x, A_y, A_z) \)
\( \vec{B} = (B_x, B_y, B_z) \)
İki vektör arasındaki açıyı vektörlerin skaler çarpımı formülünden yola çıkarak bulabiliriz. Tekrar hatırlamak gerekirse, iki vektörün skaler çarpımı, vektörlerin büyüklükleri ile aralarındaki açının kosinüs değerinin çarpımına eşittir.
\( \vec{A} \cdot \vec{B} = \abs{\vec{B}} \abs{\vec{A}} \cos{\alpha} \)
Bu ifadede kosinüs fonksiyonunu yalnız bırakalım.
\( \cos{\alpha} = \dfrac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{\abs{\vec{A}} \abs{\vec{B}}} \)
\( \cos{\alpha} = \dfrac{\vec{A}}{\abs{\vec{A}}} \cdot \dfrac{\vec{B}}{\abs{\vec{B}}} \)
Yukarıdaki ifadede skaler çarpımı alınan iki ifade, \( \vec{A} \) ve \( \vec{B} \) vektörlerinin birim vektörleridir.
\( \cos{\alpha} = \hat{a} \cdot \hat{b} \)
Yukarıda en son satırda elde ettiğimiz eşitliğe göre, iki vektör arasındaki açının kosinüs değeri, bu iki vektörle aynı yöndeki birim vektörlerin skaler çarpımına eşittir.
\( \cos{\alpha} = \hat{a} \cdot \hat{b} \)
\( \alpha = \arccos(\hat{a} \cdot \hat{b}) \)
Bir \( \vec{A} \) vektörünün \( x \), \( y \) ve \( z \) eksenleriyle yaptığı açılara sırasıyla \( \alpha_x \), \( \alpha_y \) ve \( \alpha_z \) diyelim. Her bir ekseni de birer vektör olarak düşünürsek, her bir eksenin birim vektörünü yukarıdaki formüle uygulayarak vektörün her bir eksenle yaptığı açının kosinüs değerini bulabiliriz.
\( \cos{\alpha_x} = \hat{a} \cdot \hat{i} \)
\( \cos{\alpha_y} = \hat{a} \cdot \hat{j} \)
\( \cos{\alpha_z} = \hat{a} \cdot \hat{k} \)