Koordinat Düzleminde Vektörler

Vektörleri şu ana kadar geometrik olarak ve herhangi bir koordinat sistemine bağlı kalmadan tanımladık ve gösterdik. Bu bölümde vektörleri bir koordinat sistemi üzerinde nasıl tanımlayabileceğimizi ve vektörlerle işlemleri gerçekleştirebileceğimizi göreceğiz.

Vektörlerin Koordinat Düzleminde Gösterimi

Vektörlerin birer büyüklüğü ve yönü olduğunu ve bu iki özelliği aynı olan vektörlerin konumları farklı olsa da birbirine eşit olduğunu belirtmiştik. Buna göre, büyüklükleri ve yönleri eşit, koordinat düzlemindeki konumları farklı aşağıdaki üç vektör birbirine eşittir.

Vektörlerin kartezyen düzleminde gösterimi
Vektörlerin kartezyen düzleminde gösterimi

Başlangıç noktası sabit bir referans noktası olan vektörlere konum vektörü denir. Koordinat düzleminde bu sabit nokta \( (0, 0) \) noktası (orijin) olarak alınır. Koordinat düzleminde konum vektörleri uç noktalarının koordinatları ile ifade edilirler. Örnek olarak, başlangıç noktası orijin olan aşağıdaki \( \vec{A} \) vektörü bir konum vektörüdür ve uç noktası olan \( (8, 6) \) noktası ile ifade edilir.

Konum vektörü
Konum vektörü

Uç noktaları koordinat düzleminin farklı bölgelerinde olan dört konum vektörü aşağıda gösterilmiştir.

Farklı bölgelerdeki konum vektörleri
Farklı bölgelerdeki konum vektörleri

Konum vektörleri sıralı ikili ya da matris şeklinde gösterilebilir.

Sıralı İkili Gösterimi

Bu gösterimde vektörün uç noktasının koordinatları analitik düzlemde bir noktanın koordinatlarında olduğu gibi bir sıralı ikili şeklinde ifade edilir.

Matris Gösterimi

Matris gösteriminde vektörün uç noktasının koordinatları bir sütun matrisi şeklinde ifade edilir.

Diğer bir gösteriminde, vektörün uç noktasının koordinatları bir satır matrisi şeklinde de ifade edilebilir.

Vektörün Büyüklüğü

\( (a, b) \) noktası ile ifade edilen bir konum vektörünün büyüklüğünü Pisagor Teoremi'ni kullanarak aşağıdaki formülle hesaplayabiliriz.

Konum vektörünün büyüklüğü
Konum vektörünün büyüklüğü

Koordinat Düzleminde Vektörlerle İşlemler

Vektörleri koordinat düzleminde birer konum vektörü olarak ifade ettiğimizde, önceki bölümde gördüğümüz toplama, çıkarma ve çarpma gibi işlemleri oldukça kolaylaşmaktadır.

Vektörlerle Toplama

İki konum vektörünün toplamı, vektörlerin uç noktalarının koordinatlarının toplamıyla oluşan yeni noktanın temsil ettiği vektördür.

Aşağıdaki şekilde \( \vec{A} \) ve \( \vec{B} \) vektörlerinin toplamı olan vektör gösterilmiştir. \( \vec{A} \) ve \( \vec{B} \) vektörlerini bir paralelkenara tamamladığımızda, toplam vektörünün önceki bölümde gördüğümüz paralelkenar yöntemiyle elde ettiğimiz vektörle aynı olduğunu görebiliriz.

Vektörlerle toplama işlemi
Vektörlerle toplama işlemi

Vektörlerle Çıkarma

İki konum vektörünün farkı, vektörlerin uç noktalarının koordinatlarının birbirinden çıkarılmasıyla oluşan yeni noktanın temsil ettiği vektördür.

Aşağıdaki şekilde \( \vec{A} \) ve \( \vec{B} \) vektörlerinin farkı olan vektör gösterilmiştir.

Vektörlerle çıkarma işlemi
Vektörlerle çıkarma işlemi

Bir Vektörü Bir Skaler Büyüklükle Çarpma

İki konum vektörünün bir skaler büyülükle çarpımı, vektörlerin uç noktalarının koordinatlarının bu skaler büyüklükle ayrı ayrı çarpılmasıyla oluşan yeni noktanın temsil ettiği vektördür.

Bir vektörü skaler bir büyüklükle çarpma
Bir vektörü skaler bir büyüklükle çarpma

İki Vektörün Skaler Çarpımı

İki konum vektörünün skaler çarpımı, vektörlerin uç noktalarının apsislerin çarpımı ile ordinatlarının çarpımının toplamına eşittir ve skaler bir büyüklüktür.

Yukarıdaki formül önceki bölümde gördüğümüz aşağıdaki formülle aynı sonucu verecektir.

İki Vektörün Vektörel Çarpımı

İki konum vektörünün vektörel çarpımının büyüklüğünü aşağıdaki formülle bulabiliriz. Vektörel çarpımın sonucunun yönünü önceki bölümde gördüğümüz sağ el kuralını kullanarak bulabiliriz.


« Önceki
Vektörlerle Çarpma
Sonraki »
Bir Vektörün Bileşenleri


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır