Koordinat Düzleminde Vektörler

Vektörleri şu ana kadar geometrik olarak ve herhangi bir koordinat sistemine bağlı kalmadan tanımladık ve gösterdik. Bu bölümde vektörlerin bir koordinat sistemi üzerinde nasıl tanımlanabileceğini ve vektörlerle işlemlerin gerçekleştirilebileceğini göreceğiz.

Vektörlerin Koordinat Düzleminde Gösterimi

Vektörlerin birer büyüklüğü ve yönü olduğunu ve bu iki özelliği aynı olan vektörlerin konumları farklı olsa da birbirine eşit olduğunu belirtmiştik. Buna göre, büyüklükleri ve yönleri eşit, koordinat düzlemindeki konumları farklı aşağıdaki üç vektör birbirine eşittir.

Vektörlerin kartezyen düzleminde gösterimi
Vektörlerin kartezyen düzleminde gösterimi

Başlangıç noktası sabit bir referans noktası olan vektörlere konum vektörü denir. Koordinat düzleminde bu sabit nokta \( (0, 0) \) noktası (orijin) olarak alınır. Koordinat düzleminde konum vektörleri uç noktalarının koordinatları ile ifade edilirler. Örnek olarak, başlangıç noktası orijin olan aşağıdaki \( \vec{a} \) vektörü bir konum vektörüdür ve uç noktası olan \( (8, 6) \) noktası ile ifade edilir.

Konum vektörü
Konum vektörü

Aşağıda uç noktaları koordinat düzleminin farklı bölgelerinde olan dört konum vektörü gösterilmiştir.

Farklı bölgelerdeki konum vektörleri
Farklı bölgelerdeki konum vektörleri

Konum vektörleri sıralı ikili ya da matris şeklinde gösterilebilir.

Sıralı İkili Gösterimi

Bu gösterimde vektörün uç noktasının koordinatları analitik düzlemde bir noktanın koordinatlarında olduğu gibi bir sıralı ikili şeklinde ifade edilir.

Matris Gösterimi

Matris gösteriminde vektörün uç noktasının koordinatları bir sütun matrisi şeklinde ifade edilir.

Diğer bir gösterimde, vektörün uç noktasının koordinatları bir satır matrisi şeklinde de ifade edilebilir.

Vektörün Büyüklüğü

\( (a, b) \) noktası ile ifade edilen bir konum vektörünün büyüklüğü, Pisagor teoremi kullanılarak aşağıdaki formülle hesaplanabilir.

Konum vektörünün büyüklüğü
Konum vektörünün büyüklüğü

Koordinat Düzleminde Vektörlerle İşlemler

Vektörler koordinat düzleminde birer konum vektörü olarak ifade edildiğinde, önceki bölümde gördüğümüz toplama, çıkarma ve çarpma gibi işlemler oldukça kolaylaşmaktadır.

Vektörlerle Toplama

İki konum vektörünün toplamı, vektörlerin uç noktalarının koordinatlarının toplamıyla oluşan yeni noktanın temsil ettiği vektördür.

Aşağıdaki şekilde \( \vec{a} \) ve \( \vec{b} \) vektörlerinin toplamı olan vektör gösterilmiştir. \( \vec{a} \) ve \( \vec{b} \) vektörleri bir paralelkenara tamamlandığında, toplam vektörünün önceki bölümde gördüğümüz paralelkenar yöntemiyle elde edilen vektörle aynı olduğu görülebilir.

Vektörlerle toplama işlemi
Vektörlerle toplama işlemi

Vektörlerle Çıkarma

İki konum vektörünün farkı, vektörlerin uç noktalarının koordinatlarının birbirinden çıkarılmasıyla oluşan yeni noktanın temsil ettiği vektördür.

Aşağıdaki şekilde \( \vec{a} \) ve \( \vec{b} \) vektörlerinin farkı olan vektör gösterilmiştir.

Vektörlerle çıkarma işlemi
Vektörlerle çıkarma işlemi

Bir Skaler Büyüklükle Çarpma

İki konum vektörünün bir skaler büyüklükle çarpımı, vektörlerin uç noktalarının koordinatlarının bu skaler büyüklükle ayrı ayrı çarpılmasıyla oluşan yeni noktanın temsil ettiği vektördür.

Bir vektörü skaler bir büyüklükle çarpma
Bir vektörü skaler bir büyüklükle çarpma

Nokta Çarpımı

İki konum vektörünün nokta çarpımı, vektörlerin uç noktalarının apsislerin çarpımı ile ordinatlarının çarpımının toplamına eşittir ve skaler bir büyüklüktür.

Yukarıdaki formül önceki bölümde gördüğümüz aşağıdaki formülle aynı sonucu verir.

Vektörel Çarpım

İki konum vektörünün vektörel çarpımının büyüklüğü aşağıdaki formülle bulunabilir. Vektörel çarpımın sonucunun yönü önceki bölümde gördüğümüz sağ el kuralı kullanılarak bulunabilir.


« Önceki
Vektörel Çarpım
Sonraki »
Bir Vektörün Bileşenleri


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır