3 Boyutlu Koordinat Sisteminde Vektörler
Şu ana kadar gördüğümüz vektörler sadece \( x \) ve \( y \) bileşenleri olan iki boyutlu vektörlerdi. Bu bileşenlere üçüncü bir \( z \) bileşenin eklenmesiyle üç boyutlu vektörler elde ederiz ve bu vektörleri üç eksenli koordinat sisteminde gösterebiliriz.
Üç Boyutlu Vektörlerin Sıralı Üçlü Gösterimi
\( x \) ve \( y \) eksenlerine dik üçüncü bir \( z \) ekseninin eklenmesiyle elde edeceğimiz üç boyutlu koordinat sistemini kullanarak üç boyutlu vektörleri gösterebiliriz. Aşağıdaki örnek bir vektörün gösterimi verilmiştir.
Bu vektörün bir sıralı üçlü olarak gösterimi aşağıdaki gibidir. Bu gösterimde parantez içindeki bileşenler sırasıyla vektörün uç noktasının \( x \), \( y \) ve \( z \) koordinatlarını vermektedir.
\( \vec{A} = (6, 8, 10) \)
Sıralı Üçlü Gösterimi ile İşlemler
Başlangıç noktaları orijin olan ve uç noktalarının koordinatları verilen iki vektörün toplamı olan vektörü, vektörlerin \( x \), \( y \) ve \( z \) koordinatlarını kendi aralarında toplayarak bulabiliriz.
\( \vec{A} = (a_x, a_y, a_z) \)
\( \vec{B} = (b_x, b_y, b_z) \)
\( \vec{A} + \vec{B} = (a_x, a_y, a_z) \) \( + (b_x, b_y, b_z) \) \( = (a_x + b_x, a_y + b_y, a_z + b_z) \)
İki vektörün ve toplamlarının üç boyutlu koordinat sisteminde aşağıdaki şekilde gösterebiliriz. Bu gösterimde kesikli çizgi ile gösterilen içteki prizmanın köşegeni kırmızı ile çizilmiş \( \vec{A} \) vektörüne, dıştaki prizmanın köşegeni siyah ile çizilmiş \( \vec{A} + \vec{B} \) vektörüne karşılık gelmektedir.
Sıralı üçlü gösterimini kullanarak iki vektör arasında çıkarma işlemini de benzer şekilde yapabiliriz.
\( \vec{A} - \vec{B} = (a_x, a_y, a_z) \) \( - (b_x, b_y, b_z) \) \( = (a_x - b_x, a_y - b_y, a_z - b_z) \)
Bir vektörün skaler bir büyüklükle çarpımında, vektörün her bir eksen için koordinatını skaler büyüklükle çarparız.
\( k \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( k \vec{A} = k \cdot (a_x, a_y, a_z) \)
\( k \vec{A} = (k a_x, k a_y, k a_z) \)
Üç boyutlu iki vektörün skaler çarpımında, vektörlerin her bir eksen için koordinatlarının birbiriyle çarpımını toplarız.
\( \vec{A} \cdot \vec{B} = (a_x, a_y, a_z) \) \( \cdot (b_x, b_y, b_z) \) \( = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z \)
Üç Boyutlu Vektörlerin Bileşenleri Cinsinden Gösterimi
Üç boyutlu vektörleri bileşenleri cinsinden gösterebilmemiz için öncelikle üçüncü bileşen için de bir birim vektör tanımlamamız gerekir. Aşağıdaki şekilde, daha önce \( x \) ve \( y \) eksenleri için tanımladığımız \( \hat{i} \) ve \( \hat{j} \) birim vektörlerine ek olarak, \( z \) eksenine ait \( \hat{k} \) birim vektörü gösterilmiştir.
\( \hat{i} = (1, 0, 0) \)
\( \hat{j} = (0, 1, 0) \)
\( \hat{k} = (0, 0, 1) \)
\( \abs{\hat{i}} = \abs{\hat{j}} \) \( = \abs{\hat{k}} = 1 \)
Bir \( \vec{A} \) vektörünün bileşenlerinin koordinat sisteminde gösterimi ve bileşenleri cinsinden yazılışı aşağıda gösterilmiştir. İki boyutlu vektörlerde olduğu gibi, üç boyutlu vektörler de her bir eksen için bileşenlerinin vektörel toplamına eşittir.
\( \vec{A} = \vec{A_x} + \vec{A_y} + \vec{A_z} \)
\( \vec{A_x} = \abs{A_x} \hat{i} \)
\( \vec{A_y} = \abs{A_y} \hat{j} \)
\( \vec{A_z} = \abs{A_z} \hat{k} \)
Yazılışı sadeleştirmek adına, mutlak değer içindeki bileşen büyüklüklerine sırasıyla \( A_x \), \( A_y \) ve \( A_z \) diyelim.
\( \vec{A} = A_x \hat{i} + A_y \hat{j} + A_z \hat{k} \)
Bileşen Gösterimi ile İşlemler
Bileşenleri cinsinden yazılmış iki vektörün toplamı olan vektörü, vektörlerin \( x \), \( y \) ve \( z \) bileşenlerini toplayarak bulabiliriz.
\( \vec{A} = A_x \hat{i} + A_y \hat{j} + A_z \hat{k} \)
\( \vec{B} = B_x \hat{i} + B_y \hat{j} + B_z \hat{k} \)
\( \vec{A} + \vec{B} = (A_x \hat{i} + A_y \hat{j} + A_z \hat{k}) \) \( + (B_x \hat{i} + B_y \hat{j} + B_z \hat{k}) \)
\( \vec{A} + \vec{B} = (A_x + B_x) \hat{i} + (A_y + B_y) \hat{j} \) \( + (A_z + B_z) \hat{k} \)
Vektörlerin bileşenleri cinsinden gösterimini kullanarak iki vektör arasında çıkarma işlemini de benzer şekilde yapabiliriz.
\( \vec{A} - \vec{B} = (A_x - B_x) \hat{i} + (A_y - B_y) \hat{j} \) \( + (A_z - B_z) \hat{k} \)
Bir vektörün skaler bir büyüklükle çarpımında, vektörün her bir bileşenini skaler büyüklükle çarparız.
\( k \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( k \vec{A} = k \cdot (A_x \hat{i} + A_y \hat{j} + A_z \hat{k}) \)
\( k \vec{A} = k A_x \hat{i} + k A_y \hat{j} + k A_z \hat{k} \)
Üç boyutlu iki vektörün skaler çarpımında, vektörlerin her bir eksen için koordinatını birbiriyle çarparız.
\( \vec{A} \cdot \vec{B} = A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z \)
Önceki bölümlerde iki vektörün vektörel çarpımını alırken çarpım vektörünün büyüklüğünü ve yönünü ayrı ayrı bulmuştuk. Üç boyutlu iki vektörün bileşenleri cinsinden yazılışlarının vektörel çarpımında ise çarpım vektörünün büyüklüğünü ve yönünü tek bir işlem sonucunda bulabiliriz.
\( \vec{A} \times \vec{B} = (A_y B_z − A_z B_y) \hat{i} \) \( + (A_z B_x − A_x B_z) \hat{j} \) \( + (A_x B_y − A_y B_x) \hat{k} \)
n Boyutlu Vektörler
Görsel olarak ifade etmemiz mümkün olmasa da, üçten fazla boyuta sahip vektörler tanımlamamız ve bu vektörler arasında işlemler yapmamız mümkündür. Burada bu vektörlerin tanımlanmasından ve işlem kurallarında kısaca bahsedeceğiz.
\( n \) boyutlu iki vektörü aşağıdaki şekilde tanımlayabiliriz.
\( \vec{A} = (a_1, a_2, \ldots, a_n) \)
\( \vec{B} = (b_1, b_2, \ldots, b_n) \)
Bu iki vektör arasında toplama ve çıkarma işlemleri aşağıdaki şekilde gerçekleşir.
\( \vec{A} + \vec{B} = (a_1, a_2, \ldots, a_n) \) \( + (b_1, b_2, \ldots, b_n) \) \( = (a_1 + b_1, a_2 + b_2, \ldots, a_n + b_n) \)
\( \vec{A} - \vec{B} = (a_1, a_2, \ldots, a_n) \) \( - (b_1, b_2, \ldots, b_n) \) \( = (a_1 - b_1, a_2 - b_2, \ldots, a_n - b_n) \)
Bu iki vektör arasında skaler çarpma işlemi aşağıdaki şekilde gerçekleşir.
\( \vec{A} \cdot \vec{B} = (a_1, a_2, \ldots, a_n) \) \( \cdot (b_1, b_2, \ldots, b_n) \) \( = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + \ldots + a_n \cdot b_n \)