İki değişkenin değerleri değişirken çarpımları sabit kalıyorsa, bu iki değişken birbiriyle ters orantılıdır.
\( x \) ve \( y \) değişkenleri arasındaki orantı sabiti \( k \) olmak üzere, bu iki değişken arasındaki ters orantı ilişkisini aşağıdaki şekillerde ifade edebiliriz.
\( k \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( y \cdot x = k \)
\( y = \dfrac{k}{x} \)
\( a \), \( b \), \( c \) sayıları sırasıyla \( x \), \( y \), \( z \) sayıları ile ters orantılıysa aralarındaki orantıyı aşağıdaki şekilde ifade edebiliriz.
\( a \cdot x = b \cdot y = c \cdot z = k \)
Doğru ve ters orantı arasındaki temel fark, değişkenlerden biri artarken diğerinin artması ya da azalması değildir. Doğru orantıda değişkenlerin oranı sabitken, ters orantıda değişkenlerin çarpımı sabittir.
\( x \) ve \( y \) değişkenleri arasındaki ters orantı ilişkisi analitik düzlemde aşağıdaki şekilde gösterilebilir.
Ters orantı
Yukarıda verilen ters orantı ilişkisi için aşağıdaki eşitlik geçerli olacaktır.
Bu soruyu önce yukarıda paylaştığımız denklem ve grafik yardımıyla çözelim.
Orantı sorularında öncelikle verilen değişkenler arasındaki orantı tipini belirlememiz gerekir. Ortalama hız arttıkça yolculuk süresi azalacağı için, bu iki değişken arasında ters orantı olduğunu söyleyebiliriz. Hız ve süre arasındaki "Yol = Hız x Süre" ilişkisi de biz hız ve süre arasında ters orantı olduğunu göstermektedir.
Ters orantıda değişkenler arasında bir denklemsel ve grafiksel ilişki olduğunu belirtmiştik. Soruda verilen değişkenleri öncelikle koordinat düzleminde birer eksen olarak tanımlayalım. Bu soruda yolculuk süresini \( x \) ekseni, ortalama hızı da \( y \) ekseni olarak tanımlayacağız. Soruda verilen iki durum ((1) 80 km/s için 6 saat ve (2) 120 km/s için x saat) bu grafik üzerinde birer noktaya karşılık gelmektedir. Bu iki nokta için değişken değerlerini aşağıdaki orantıda yerlerine koyarsak bilinmeyen \( x \) değerini ve orantı sabitini buluruz.
\( y_1 \cdot x_1 = y_2 \cdot x_2 = k \)
\( 80 \cdot 6 = 120 \cdot x = k \)
\( x = 4 \) saat
\( k = 480 \)
Bu ters orantının grafiğini de aşağıdaki gibi çizebiliriz.
Bu sonuçlar bize şunları söylemektedir.
Ortalama 80 km/s hızla gittiğimizde 6 saatte tamamladığımız bir yolu, 120 km/s hızla gidersek 4 saatte tamamlarız.
Bu ters orantının orantı sabiti 480'dir ve bu orantı sabitini kullanarak ortalama hız ya da yolculuk süresi değerini bildiğimiz başka durumlar için de bilinmeyen değişken değerini bulabiliriz.
Elde ettiğimiz orantı sabiti (ortalama hız ve yolculuk süresinin çarpımı) bize toplam mesafeyi vermektedir.
Orantı sorularının çözümünde kullanabileceğimiz bir diğer (ve daha pratik) yöntemde, değişkenleri aşağıdaki şekildeki gibi birer kolon olarak tanımlarız, sonra verilen her durum için değişken değerlerini ilgili değişkenin altına yerleştiririz.
Eğer değişkenler arasında bu soruda olduğu gibi ters orantı varsa, doğru orantıdan farklı olarak değişken değerleri arasında şekildeki gibi yatay birer ok çizeriz, bu oklar yukarıda bahsettiğimiz ters orantı eşitliğinde hangi değerleri birbiri ile çarpacağımızı görebilmemiz için bize kolaylık sağlayacaktır. Okların işaret ettiği değerlerin çarpımını birbirine eşitlersek aşağıdaki eşitliği elde ederiz.
Bu eşitlik yukarıdaki yöntemde elde ettiğimiz orantı ile aynıdır. Bu eşitliği \( x \) için çözersek, yukarıdaki bulduğumuz aynı cevabı elde ederiz.
Belirli bir iş için, işçi sayısı arttığında her işçinin çalışması gereken süre azalacağı için, bu iki değişken arasında ters orantı olduğunu söyleyebiliriz.
Okların işaret ettiği değerleri birbiriyle çarpıp sonuçları birbirine eşitlersek sonucu aşağıdaki gibi buluruz.
Bir yürüyen merdivenin hareketini sağlayan birbirine temas eden iki dişli çarktan büyük olanın yarıçapının küçük olanın yarıçapına oranı \( \frac{39}{21} \)'dir. Bu yürüyen merdiven belirli bir yol aldığında küçük dişli 78 devir yaptığına göre, büyük dişli kaç devir yapar?
Sorudaki değişkenleri aşağıdaki şekilde tanımlayalım:
\( r_k, r_b \): Küçük ve büyük dişlilerin yarıçapları
\( d_k, d_b \): Küçük ve büyük dişlilerin yaptıkları devir sayıları
Dişlilerin yarıçapları arasındaki orantıyı aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( \quad \dfrac{r_k}{21} = \dfrac{r_b}{39} = k \)
\( \quad r_k = 21k, \quad r_b = 39k \)
Dişliler birbirine temas ettiği için belirli bir sürede aldıkları yol birbirine eşittir. Bu eşitliği aşağıdaki formülle ifade edebiliriz. Dişlilerin yarıçapları ve devir sayılarının çarpımı sabit olduğu için, bu formül bize iki değişken arasında ters orantı olduğunu göstermektedir.
Küçük dişlinin çevresi x küçük dişlinin devir sayısı = Büyük dişlinin çevresi x büyük dişlinin devir sayısı
Bir çitanın dakikada soluk alıp verme hızı vücudundaki yağ oranının karesi ile ters orantılıdır. Yağ oranı %9 olan bir çitanın soluk alıp verme hızı dakikada 100 'dür. Buna göre, yağ oranı %10 olan bir çitanın dakikada soluk alıp verme hızı nedir?
Azra, Burak ve Cüneyt'in 90 metreyi koşma sürelerine sırasıyla \( a \), \( b \) ve \( c \) diyelim.
Koşma süreleri arasında ters orantı kuralım ve orantı sabitine işlem kolaylığı açısından \( 90k \) diyelim.
\( 9a = 15b = 18c = 90k \)
\( a = 10k, b = 6k, c = 5k \)
\( 10k \) sürede 90 metre koşan Azra, birim sürede \( \frac{9}{k} \) metre koşar.
\( 6k \) sürede 90 metre koşan Burak, birim sürede \( \frac{15}{k} \) metre koşar.
\( 5k \) sürede 90 metre koşan Cüneyt, birim sürede \( \frac{18}{k} \) metre koşar.
Üç kişinin koşma süresine \( t \) diyelim.
Burak ve Cüneyt birim sürede \( \frac{15}{k} + \frac{18}{k} = \frac{33}{k} \) metre koştuklarına göre 561 metreyi ne kadar sürede koştuklarını bulalım.
\( t = \dfrac{561}{\frac{33}{k}} = 17k \)
Birim sürede \( \frac{9}{k} \) metre koşan Azra \( 17k \) sürede \( 17k \cdot \frac{9}{k} = 153 \) metre koşar.
