Orantı
İki ya da daha fazla oranın eşitliğine orantı denir. Bu oranların eşit oldukları değere orantı sabiti denir ve genellikle \( k \) ile ifade edilir.
\( \dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = k \)
Orantının bir diğer gösterimi aşağıdaki gibidir.
\( a:b = c:d \)
Orantıdaki değişkenler orantı sabiti cinsinden aşağıdaki şekilde ifade edilebilir.
\( a = k \cdot b \)
\( c = k \cdot d \)
\( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \) şeklindeki bir orantıda \( a \) ve \( d \) orantının dış terimleri/dışları, \( b \) ve \( c \) orantının iç terimleri/içleridir. İçler - dışlar çarpımı olarak adlandırılan yöntemdeki terimler de isimlerini buradan almaktadır.
Bu şekildeki gibi bir orantıda \( d \) sayısına \( a \), \( b \) ve \( c \) sayılarının dördüncü orantılısı denir.
\( \dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{\textcolor{red}{d}} \)
İç terimlerin birbirine eşit olduğu bir orantıda, bu iç terime \( a \) ve \( d \) sayılarının orta orantılısı ya da geometrik ortalaması denir.
\( b = c \) ise,
\( \dfrac{a}{\textcolor{red}{b}} = \dfrac{\textcolor{red}{b}}{d} \)
\( b^2 = a \cdot d \)
\( b = \sqrt{a \cdot d} \)
Bir orantı ikiden fazla oranın eşitliğinden oluşabilir.
\( \dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{e}{f} = \ldots = k \)
\( a:c:e = b:d:f \)
\( a = k \cdot b \)
\( c = k \cdot d \)
\( e = k \cdot f \)
Orantıya örnek olarak, farklı boyutlardaki üç Türk bayrağı ve bu bayrakların boyutlarının oranları arasındaki eşitlik verilebilir.
Aşağıda paylaşacağımız orantı özelliklerinde kullanmak üzere bu üç bayrağın ölçülerini aşağıdaki gibi alacağız.
| Bayrak | Yükseklik | Genişlik | Oran |
|---|---|---|---|
| Küçük boy | \( a = 10 \text{ cm} \) | \( b = 15 \text{ cm} \) | \( \frac{10}{15} = \frac{2}{3} \) |
| Orta boy | \( c = 30 \text{ cm} \) | \( d = 45 \text{ cm} \) | \( \frac{30}{45} = \frac{2}{3} \) |
| Büyük boy | \( e = 60 \text{ cm} \) | \( f = 90 \text{ cm} \) | \( \frac{60}{90} = \frac{2}{3} \) |
Orantı Özellikleri
Bir orantıda içlerin çarpımı dışların çarpımına eşittir.
\( \dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \) ise,
\( a \cdot d = b \cdot c \)
\( \dfrac{10}{15} = \dfrac{x}{45} \) ise,
\( 10 \cdot 45 = 15 \cdot x \)
\( x = 30 \)
Bir orantıda çapraz terimler aralarında yer değiştirirse eşitlik bozulmaz, ancak oluşan yeni orantının orantı sabiti farklı olur.
\( \dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = k_1 \) ise,
\( \dfrac{\textcolor{red}{d}}{b} = \dfrac{c}{\textcolor{red}{a}} = k_2 \)
\( \dfrac{a}{\textcolor{red}{c}} = \dfrac{\textcolor{red}{b}}{d} = k_3 \)
\( \dfrac{10}{15} = \dfrac{30}{45} = k_1 = \dfrac{2}{3} \) ise,
\( \dfrac{\textcolor{red}{45}}{15} = \dfrac{30}{\textcolor{red}{10}} = k_2 = 3 \)
\( \dfrac{10}{\textcolor{red}{30}} = \dfrac{\textcolor{red}{15}}{45} = k_3 = \dfrac{1}{3} \)
Bir orantıda oranların çarpmaya göre tersi alınırsa (pay ve paydadaki sayılar aralarında yer değiştirirse) orantı sabitinin de çarpmaya göre tersi alınır.
\( \dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = k \) ise,
\( \dfrac{b}{a} = \dfrac{d}{c} = \dfrac{1}{k} \)
\( \dfrac{10}{15} = \dfrac{30}{45} = \dfrac{2}{3} \) ise,
\( \dfrac{15}{10} = \dfrac{45}{30} = \dfrac{3}{2} \)
Bir orantıda oranların paylarının kendi aralarında, paydalarının da kendi aralarında toplamı ya da farkı alınırsa orantı sabiti değişmez.
\( \dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = k \) ise,
\( \dfrac{a + c}{b + d} = \dfrac{a - c}{b - d} = k \)
\( \dfrac{10}{15} = \dfrac{30}{45} = \dfrac{2}{3} \) ise,
\( \dfrac{10 + 30}{15 + 45} = \dfrac{40}{60} = \dfrac{2}{3} \)
\( \dfrac{10 - 30}{15 - 45} = \dfrac{-20}{-30} = \dfrac{2}{3} \)
Yukarıdaki orantı özellikleri kullanılarak aşağıdaki ek özellikler elde edilebilir. Bu işlemler sonucunda eşitliğin sağlandığına, ancak orantı sabitinin aynı kalmadığına dikkat edilmelidir.
\( \dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = k_1 \) ise,
\( \dfrac{a + b}{b} = \dfrac{c + d}{d} = k_2 \)
\( \dfrac{a - b}{b} = \dfrac{c - d}{d} = k_3 \)
\( k \ne 1 \) olmak üzere,
\( \dfrac{a + b}{a - b} = \dfrac{c + d}{c - d} = k_4 \)
\( \dfrac{10}{15} = \dfrac{30}{45} = \dfrac{2}{3} \) ise,
\( \dfrac{10 + 15}{15} = \dfrac{30 + 45}{45} = \dfrac{5}{3} \)
\( \dfrac{10 - 15}{15} = \dfrac{30 - 45}{45} = -\dfrac{1}{3} \)
İSPATI GÖSTER
Bir orantıdaki oranlar sabit sayılarla genişletildiğinde orantı sabiti değişmez.
\( m, n \in \mathbb{R} \) ve \( (m, n) \ne (0, 0) \) olmak üzere,
\( \dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = k \) ise,
\( \dfrac{ma}{mb} = \dfrac{nc}{nd} = k \)
\( \dfrac{ma \pm nc}{mb \pm nd} = k \)
\( m = 4, n = 2 \) olmak üzere,
\( \dfrac{10}{15} = \dfrac{30}{45} = \dfrac{2}{3} \) ise,
\( \dfrac{40}{60} = \dfrac{60}{90} = \dfrac{2}{3} \)
\( \dfrac{40 + 60}{60 + 90} = \dfrac{100}{150} = \dfrac{2}{3} \)
Bir orantıda belirli sayıda oranın çarpımı, orantı sabitinin aynı sayıda kuvvetine eşittir.
\( \dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{e}{f} = k \) ise,
\( \dfrac{a \cdot c}{b \cdot d} = k^2 \)
\( \dfrac{a \cdot c \cdot e}{b \cdot d \cdot f} = k^3 \)
\( \dfrac{10}{15} = \dfrac{30}{45} = \dfrac{2}{3} \) ise,
\( \dfrac{10 \cdot 30}{15 \cdot 45} = {\left( \dfrac{2}{3} \right)}^2 = \dfrac{4}{9} \)
Bir orantıda oranların paylarının ve paydalarının kendi aralarında bölümlerinin oranı bire eşittir.
\( \dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = k \) ise,
\( \dfrac{a \div c}{b \div d} = 1 \)
\( \dfrac{10}{15} = \dfrac{30}{45} = \dfrac{2}{3} \) ise,
\( \dfrac{10 \div 30}{15 \div 45} = 1 \)
Bir orantıda oranların belirli bir kuvveti/kökü, orantı sabitinin aynı sayıda kuvvetine/köküne eşittir.
\( \dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = k \) ise,
\( \dfrac{a^2}{b^2} = \dfrac{c^2}{d^2} = k^2 \)
\( \dfrac{a^n}{b^n} = \dfrac{c^n}{d^n} = k^n \)
\( \dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \dfrac{\sqrt[n]{c}}{\sqrt[n]{d}} = \sqrt[n]{k} \)
\( \dfrac{10}{15} = \dfrac{2}{3} \) ise,
\( \dfrac{10^2}{15^2} = \dfrac{2^2}{3^2} \)
\( \dfrac{100}{225} = \dfrac{4}{9} \)
\( \dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{e}{f} = k \) olduğuna göre,
\( \dfrac{a^2 \cdot d \cdot f^3}{b^2 \cdot c \cdot e^3} \) ifadesi \( k \) cinsinden kaçtır?
Çözümü Göster\( \dfrac{a}{3} = \dfrac{b}{5} = \dfrac{2}{c} \) olduğuna göre,
\( \sqrt{c(a + b)} \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( a, b, c \in \mathbb{Z^-} \) olmak üzere,
\( \dfrac{a}{b} = \dfrac{3}{7} \) ve \( \dfrac{b}{c} = \dfrac{2}{9} \)
olduğuna göre, \( a, b, c \) sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayın.
Çözümü Göster\( x, y, z, t \) birer rakam olmak üzere,
\( \dfrac{x}{4} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{z}{3} = t \)
olduğuna göre, \( x + y + z + t \) ifadesinin değeri en fazla kaçtır?
Çözümü Göster\( (a + b) : (b + c) : (a + c) = 5 : 9 : 13 \)
\( a + b + c = 15 \)
olduğuna göre, \( a \) kaçtır?
Çözümü Göster\( A \) ve \( B \) sayıları arasında \( \frac{3}{23} : \frac{1}{4} \), \( B \) ve \( C \) sayıları arasında \( \frac{1}{3} : \frac{1}{2} \) oranları vardır.
Buna göre \( \frac{C - A}{A + B} \) oranı kaçtır?
Çözümü Göster\( A : B : C = 3 : 5 : 6 \) olduğuna göre,
\( \dfrac{A}{B} : \dfrac{B}{C} : \dfrac{C}{A} \) orantısını bulunuz.
Çözümü Göster