İki ya da daha fazla oranın eşitliğine orantı denir. Bu oranların eşit oldukları değere orantı sabiti denir. Orantı sabiti k ile ifade edilir.
\( \dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = k \)
Orantının bir diğer gösterimi aşağıdaki gibidir.
\( a:b = c:d \)
Orantıdaki terimleri orantı sabiti cinsinden aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( a = k \cdot b \)
\( c = k \cdot d \)
Yukarıdaki gibi bir orantıda \( a \) ve \( d \) orantının dış terimleri/dışları, \( b \) ve \( c \) orantının iç terimleri/içleridir. İçler-dışlar çarpımı olarak adlandırdığımız yöntemdeki iç ve dış terimler de isimlerini buradan almaktadır.
\( d \) sayısına, \( a \), \( b \) ve \( c \) sayılarının dördüncü orantılısı denir.
İç terimlerin birbirine eşit olduğu bir orantıda, bu iç terime \( a \) ve \( d \) sayılarının orta orantılısı ya da geometrik ortalaması denir ve aşağıdaki formülle hesaplanır.
\( \dfrac{a}{b} = \dfrac{b}{d} \) ise,
\( b^2 = a \cdot d \)
\( b = \sqrt{a \cdot d} \)
Bir orantı ikiden fazla oranın eşitliğinden de oluşabilir.
\( \dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{e}{f} = \ldots = k \)
\( a:c:e = b:d:f \)
Orantıya örnek olarak, farklı boyutlardaki üç Türk bayrağını ve bu bayrakların boyutlarının oranları arasındaki eşitliği verebiliriz.
Bu bölümde bahsedeceğimiz orantı özelliklerinde kullanmak üzere bu üç bayrağın ölçülerini aşağıdaki gibi alacağız.
Bayrak | Yükseklik | Genişlik | Oran |
---|---|---|---|
Küçük boy | \( a = 10 \text{ cm} \) | \( b = 15 \text{ cm} \) | \( \frac{10}{15} = \frac{2}{3} \) |
Orta boy | \( c = 30 \text{ cm} \) | \( d = 45 \text{ cm} \) | \( \frac{30}{45} = \frac{2}{3} \) |
Büyük boy | \( e = 60 \text{ cm} \) | \( f = 90 \text{ cm} \) | \( \frac{60}{90} = \frac{2}{3} \) |
Bu örnekteki orantı sabitine göre, yüksekliği 120 cm olan bir bayrak üretmek istersek, bayrağın olması gereken genişliğini aşağıdaki şekilde hesaplayabiliriz.
\( \dfrac{120}{x} = k = \dfrac{2}{3} \)
\( 2 \cdot x = 3 \cdot 120 \)
\( x = 180 \text{ cm} \)
Bir orantıda içlerin çarpımı dışların çarpımına eşittir.
\( \dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \) ise,
\( a \cdot d = b \cdot c \)
\( \dfrac{10}{15} = \dfrac{x}{45} \) ise,
\( 10 \cdot 45 = 15 \cdot x \)
\( x = 30 \)
Orantıdaki çapraz terimler aralarında yer değiştirirse oranların eşitliği bozulmaz, ancak oluşan yeni orantının orantı sabiti farklı olur.
\( \dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = k_1 \) ise,
\( \dfrac{\textcolor{red}{d}}{b} = \dfrac{c}{\textcolor{red}{a}} = k_2 \)
\( \dfrac{a}{\textcolor{red}{c}} = \dfrac{\textcolor{red}{b}}{d} = k_3 \)
\( \dfrac{10}{15} = \dfrac{30}{45} = k_1 = \dfrac{2}{3} \) ise,
\( \dfrac{\textcolor{red}{45}}{15} = \dfrac{30}{\textcolor{red}{10}} = k_2 = 3 \)
\( \dfrac{10}{\textcolor{red}{30}} = \dfrac{\textcolor{red}{15}}{45} = k_3 = \dfrac{1}{3} \)
Bir orantıdaki oranların çarpmaya göre tersi alınırsa (pay ve paydasındaki sayılar aralarında yer değiştirirse), orantı sabitinin de çarpmaya göre tersi alınır.
\( \dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = k \) ise,
\( \dfrac{b}{a} = \dfrac{d}{c} = \dfrac{1}{k} \)
\( \dfrac{10}{15} = \dfrac{30}{45} = \dfrac{2}{3} \) ise,
\( \dfrac{15}{10} = \dfrac{45}{30} = \dfrac{3}{2} \)
Bir orantıdaki oranların payları kendi aralarında, paydaları da kendi aralarında toplanırsa ya da çıkarılırsa, orantı sabiti değişmez.
\( \dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = k \) ise,
\( \dfrac{a + c}{b + d} = \dfrac{a - c}{b - d} = k \)
\( \dfrac{10}{15} = \dfrac{30}{45} = \dfrac{2}{3} \) ise,
\( \dfrac{10 + 30}{15 + 45} = \dfrac{40}{60} = \dfrac{2}{3} \)
\( \dfrac{10 - 30}{15 - 45} = \dfrac{-20}{-30} = \dfrac{2}{3} \)
Yukarıdaki orantı özelliklerini kullanarak aşağıdaki özellikleri elde edebiliriz.
\( \dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = k \) ise,
\( \dfrac{a + b}{b} = \dfrac{c + d}{d} \)
\( \dfrac{a - b}{b} = \dfrac{c - d}{d} \)
\( k \ne 1 \) olmak üzere,
\( \dfrac{a + b}{a - b} = \dfrac{c + d}{c - d} \)
\( \dfrac{10}{15} = \dfrac{30}{45} = \dfrac{2}{3} \) ise,
\( \dfrac{10 + 15}{15} = \dfrac{30 + 45}{45} = \dfrac{5}{3} \)
\( \dfrac{10 - 15}{15} = \dfrac{30 - 45}{45} = -\dfrac{1}{3} \)
Aynı işlemi bir orantıdaki oranları belirli sayılarla genişleterek yaparsak da orantı sabiti değişmez.
\( m, n \in \mathbb{R} \) ve \( (m, n) \ne (0, 0) \) olmak üzere,
\( \dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = k \) ise,
\( \dfrac{m \cdot a}{m \cdot b} = \dfrac{n \cdot c}{n \cdot d} = k \)
\( \dfrac{m \cdot a \pm n \cdot c}{m \cdot b \pm n \cdot d} = k \)
\( m = 2, n = 3 \) olmak üzere,
\( \dfrac{10}{15} = \dfrac{30}{45} = \dfrac{2}{3} \) ise,
\( \dfrac{2 \cdot 10 + 3 \cdot 30}{2 \cdot 15 + 3 \cdot 45} = \dfrac{110}{165} = \dfrac{2}{3} \)
Bir orantıdaki belirli sayıda oranın çarpımının oranı, orantı sabitinin aynı sayıda kuvvetine eşittir.
\( \dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{e}{f} = k \) ise,
\( \dfrac{a \cdot c}{b \cdot d} = k^2 \)
\( \dfrac{a \cdot c \cdot e}{b \cdot d \cdot f} = k^3 \)
\( \dfrac{10}{15} = \dfrac{30}{45} = \dfrac{2}{3} \) ise,
\( \dfrac{10 \cdot 30}{15 \cdot 45} = {\left( \dfrac{2}{3} \right)}^2 \)
İki orantılı terimin paylarının ve paydalarının kendi aralarında bölümlerinin oranı bire eşittir.
\( \dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = k \) ise,
\( \dfrac{a \div c}{b \div d} = 1 \)
\( \dfrac{10}{15} = \dfrac{30}{45} = \dfrac{2}{3} \) ise,
\( \dfrac{10 \div 30}{15 \div 45} = 1 \)
Bir orantıdaki oranların belirli bir kuvvetinin oranı, orantı sabitinin aynı sayıda kuvvetine eşittir.
\( \dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = k \) ise,
\( \dfrac{a^2}{b^2} = \dfrac{c^2}{d^2} = k^2 \)
\( \dfrac{a^n}{b^n} = \dfrac{c^n}{d^n} = k^n \)
\( \dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \dfrac{\sqrt[n]{c}}{\sqrt[n]{d}} = \sqrt[n]{k} \)
\( \dfrac{10}{15} = \dfrac{2}{3} \) ise,
\( \dfrac{10^2}{15^2} = \dfrac{2^2}{3^2} \)
\( \dfrac{100}{225} = \dfrac{4}{9} \)
\( \dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{e}{f} = k \) olduğuna göre,
\( \dfrac{a^2 \cdot d \cdot f}{b^2 \cdot c \cdot e} \) ifadesinin eşitini bulalım.
Çözümü Göster
\( \dfrac{a}{3} = \dfrac{b}{5} = \dfrac{2}{c} \) olduğuna göre,
\( \sqrt{c \cdot (a + b)} \) ifadesinin değerini bulalım.
Çözümü Göster
Ali, Berke ve Can'ın paraları 2, 3 ve 4 sayıları ile doğru orantılıdır. Ali, Berke'ye, Berke Can'a, Can da Ali'ye başlangıçta sahip oldukları paranın \( \frac{1}{3} \)'ünü veriyor. Buna göre son durumdaki paraların oranlarını bulalım.
Çözümü Göster