Orantı
İki ya da daha fazla oranın eşitliğine orantı denir. Bu oranların eşit oldukları değere orantı sabiti denir. Orantı sabiti k ile ifade edilir.
\( \dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = k \)
Orantının bir diğer gösterimi aşağıdaki gibidir.
\( a:b = c:d \)
Orantıdaki terimleri orantı sabiti cinsinden aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( a = k \cdot b \)
\( c = k \cdot d \)
Yukarıdaki gibi bir orantıda \( a \) ve \( d \) orantının dış terimleri/dışları, \( b \) ve \( c \) orantının iç terimleri/içleridir. İçler-dışlar çarpımı olarak adlandırdığımız yöntemdeki iç ve dış terimler de isimlerini buradan almaktadır.
\( d \) sayısına, \( a \), \( b \) ve \( c \) sayılarının dördüncü orantılısı denir.
İç terimlerin birbirine eşit olduğu bir orantıda, bu iç terime \( a \) ve \( d \) sayılarının orta orantılısı ya da geometrik ortalaması denir ve aşağıdaki formülle hesaplanır.
\( \dfrac{a}{b} = \dfrac{b}{d} \) ise,
\( b^2 = a \cdot d \)
\( b = \sqrt{a \cdot d} \)
Bir orantı ikiden fazla oranın eşitliğinden de oluşabilir.
\( \dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{e}{f} = \ldots = k \)
\( a:c:e = b:d:f \)
Orantıya örnek olarak, farklı boyutlardaki üç Türk bayrağını ve bu bayrakların boyutlarının oranları arasındaki eşitliği verebiliriz.
Bu bölümde bahsedeceğimiz orantı özelliklerinde kullanmak üzere bu üç bayrağın ölçülerini aşağıdaki gibi alacağız.
| Bayrak | Yükseklik | Genişlik | Oran |
|---|---|---|---|
| Küçük boy | \( a = 10 \text{ cm} \) | \( b = 15 \text{ cm} \) | \( \frac{10}{15} = \frac{2}{3} \) |
| Orta boy | \( c = 30 \text{ cm} \) | \( d = 45 \text{ cm} \) | \( \frac{30}{45} = \frac{2}{3} \) |
| Büyük boy | \( e = 60 \text{ cm} \) | \( f = 90 \text{ cm} \) | \( \frac{60}{90} = \frac{2}{3} \) |
Bu örnekteki orantı sabitine göre, yüksekliği 120 cm olan bir bayrak üretmek istersek, bayrağın olması gereken genişliğini aşağıdaki şekilde hesaplayabiliriz.
\( \dfrac{120}{x} = k = \dfrac{2}{3} \)
\( 2 \cdot x = 3 \cdot 120 \)
\( x = 180 \text{ cm} \)
Orantının Özellikleri
Bir orantıda içlerin çarpımı dışların çarpımına eşittir.
\( \dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \) ise,
\( a \cdot d = b \cdot c \)
\( \dfrac{10}{15} = \dfrac{x}{45} \) ise,
\( 10 \cdot 45 = 15 \cdot x \)
\( x = 30 \)
Orantıdaki çapraz terimler aralarında yer değiştirirse oranların eşitliği bozulmaz, ancak oluşan yeni orantının orantı sabiti farklı olur.
\( \dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = k_1 \) ise,
\( \dfrac{\textcolor{red}{d}}{b} = \dfrac{c}{\textcolor{red}{a}} = k_2 \)
\( \dfrac{a}{\textcolor{red}{c}} = \dfrac{\textcolor{red}{b}}{d} = k_3 \)
\( \dfrac{10}{15} = \dfrac{30}{45} = k_1 = \dfrac{2}{3} \) ise,
\( \dfrac{\textcolor{red}{45}}{15} = \dfrac{30}{\textcolor{red}{10}} = k_2 = 3 \)
\( \dfrac{10}{\textcolor{red}{30}} = \dfrac{\textcolor{red}{15}}{45} = k_3 = \dfrac{1}{3} \)
Bir orantıdaki oranların çarpmaya göre tersi alınırsa (pay ve paydasındaki sayılar aralarında yer değiştirirse), orantı sabitinin de çarpmaya göre tersi alınır.
\( \dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = k \) ise,
\( \dfrac{b}{a} = \dfrac{d}{c} = \dfrac{1}{k} \)
\( \dfrac{10}{15} = \dfrac{30}{45} = \dfrac{2}{3} \) ise,
\( \dfrac{15}{10} = \dfrac{45}{30} = \dfrac{3}{2} \)
Bir orantıdaki oranların payları kendi aralarında, paydaları da kendi aralarında toplanırsa ya da çıkarılırsa, orantı sabiti değişmez.
\( \dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = k \) ise,
\( \dfrac{a + c}{b + d} = \dfrac{a - c}{b - d} = k \)
\( \dfrac{10}{15} = \dfrac{30}{45} = \dfrac{2}{3} \) ise,
\( \dfrac{10 + 30}{15 + 45} = \dfrac{40}{60} = \dfrac{2}{3} \)
\( \dfrac{10 - 30}{15 - 45} = \dfrac{-20}{-30} = \dfrac{2}{3} \)
Yukarıdaki orantı özelliklerini kullanarak aşağıdaki özellikleri elde edebiliriz.
\( \dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = k \) ise,
\( \dfrac{a + b}{b} = \dfrac{c + d}{d} \)
\( \dfrac{a - b}{b} = \dfrac{c - d}{d} \)
\( k \ne 1 \) olmak üzere,
\( \dfrac{a + b}{a - b} = \dfrac{c + d}{c - d} \)
\( \dfrac{10}{15} = \dfrac{30}{45} = \dfrac{2}{3} \) ise,
\( \dfrac{10 + 15}{15} = \dfrac{30 + 45}{45} = \dfrac{5}{3} \)
\( \dfrac{10 - 15}{15} = \dfrac{30 - 45}{45} = -\dfrac{1}{3} \)
Aynı işlemi bir orantıdaki oranları belirli sayılarla genişleterek yaparsak da orantı sabiti değişmez.
\( m, n \in \mathbb{R} \) ve \( (m, n) \ne (0, 0) \) olmak üzere,
\( \dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = k \) ise,
\( \dfrac{m \cdot a}{m \cdot b} = \dfrac{n \cdot c}{n \cdot d} = k \)
\( \dfrac{m \cdot a \pm n \cdot c}{m \cdot b \pm n \cdot d} = k \)
\( m = 2, n = 3 \) olmak üzere,
\( \dfrac{10}{15} = \dfrac{30}{45} = \dfrac{2}{3} \) ise,
\( \dfrac{2 \cdot 10 + 3 \cdot 30}{2 \cdot 15 + 3 \cdot 45} = \dfrac{110}{165} = \dfrac{2}{3} \)
Bir orantıdaki belirli sayıda oranın çarpımının oranı, orantı sabitinin aynı sayıda kuvvetine eşittir.
\( \dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{e}{f} = k \) ise,
\( \dfrac{a \cdot c}{b \cdot d} = k^2 \)
\( \dfrac{a \cdot c \cdot e}{b \cdot d \cdot f} = k^3 \)
\( \dfrac{10}{15} = \dfrac{30}{45} = \dfrac{2}{3} \) ise,
\( \dfrac{10 \cdot 30}{15 \cdot 45} = {\left( \dfrac{2}{3} \right)}^2 \)
İki orantılı terimin paylarının ve paydalarının kendi aralarında bölümlerinin oranı bire eşittir.
\( \dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = k \) ise,
\( \dfrac{a \div c}{b \div d} = 1 \)
\( \dfrac{10}{15} = \dfrac{30}{45} = \dfrac{2}{3} \) ise,
\( \dfrac{10 \div 30}{15 \div 45} = 1 \)
Bir orantıdaki oranların belirli bir kuvvetinin oranı, orantı sabitinin aynı sayıda kuvvetine eşittir.
\( \dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = k \) ise,
\( \dfrac{a^2}{b^2} = \dfrac{c^2}{d^2} = k^2 \)
\( \dfrac{a^n}{b^n} = \dfrac{c^n}{d^n} = k^n \)
\( \dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \dfrac{\sqrt[n]{c}}{\sqrt[n]{d}} = \sqrt[n]{k} \)
\( \dfrac{10}{15} = \dfrac{2}{3} \) ise,
\( \dfrac{10^2}{15^2} = \dfrac{2^2}{3^2} \)
\( \dfrac{100}{225} = \dfrac{4}{9} \)
\( \dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{e}{f} = k \) olduğuna göre,
\( \dfrac{a^2 \cdot d \cdot f}{b^2 \cdot c \cdot e} \) ifadesinin eşitini bulalım.
Çözümü Göster
\( \dfrac{a}{3} = \dfrac{b}{5} = \dfrac{2}{c} \) olduğuna göre,
\( \sqrt{c \cdot (a + b)} \) ifadesinin değerini bulalım.
Çözümü Göster
Ali, Berke ve Can'ın paraları 2, 3 ve 4 sayıları ile doğru orantılıdır. Ali, Berke'ye, Berke Can'a, Can da Ali'ye başlangıçta sahip oldukları paranın \( \frac{1}{3} \)'ünü veriyor. Buna göre son durumdaki paraların oranlarını bulalım.
Çözümü Göster