Aralarında doğru ve/veya ters orantı olan üç ya da daha fazla değişkenden oluşan orantılara bileşik orantı denir.
Önceki bölümlerde bir \( a \) sayısı ile doğru orantılı olduğu \( b \) sayısı arasındaki ilişkiyi aşağıdaki şekilde ifade etmiştik.
\( \dfrac{a}{b} = k \)
Benzer şekilde, \( a \) sayısı ile ters orantılı olduğu \( c \) sayısı arasındaki ilişkiyi de aşağıdaki şekilde yazmıştık.
\( a \cdot c = k \)
Eğer bir \( a \) sayısı aynı anda \( b \) sayısı ile doğru, \( c \) sayısı ile ters orantılı ise bu üç sayı arasındaki ilişkiyi aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( \dfrac{a \cdot c}{b} = k \)
Bileşik orantı problemlerinin çözümünde en önemli adım, değişkenler arasındaki doğru/ters orantı ilişkilerini doğru belirlemektir. Bileşik orantıyı aşağıdaki gibi birkaç örnek üzerinden anlamaya çalışalım.
SORU 1:
Bir sabun fabrikası, 300 sabunu 1 makine ile 6 günde üretebiliyor. Buna göre, 2 makine ile 5 günde kaç sabun üretebilir?
Soruda üç değişken olduğunu görüyoruz: Üretilen sabun adedi, makine sayısı ve üretim yapılan gün sayısı. Soruyu cevaplayabilmemiz için öncelikle bu değişkenler arasındaki doğru/ters orantı ilişkilerini belirlememiz gerekir. Bunu yaparken, değişkenleri ikişer ikişer inceleyip, her incelemede üçüncü değişkenin değerinin sabit olduğunu varsayacağız.
Sabun miktarı - makine sayısı: Üretim yapılan gün sayısı sabit kaldığı durumda, daha çok makine çalışırsa daha çok sabun üretilebilir, ya da bir diğer deyişle, daha çok sabun üretebilmek için daha çok makineye ihtiyaç duyarız, dolayısıyla sabun miktarı - makine sayısı arasında doğru orantı vardır.
Makine sayısı - gün sayısı: Üretilecek sabun sayısı sabit kaldığı durumda, daha çok makine çalışırsa üretim daha az sayıda günde tamamlanır, ya da bir başka deyişle, daha çok günümüz varsa, daha az sayıda makine ile aynı sayıda sabunu üretebiliriz, dolayısıyla makine sayısı - gün sayısı arasında ters orantı vardır.
İkinci adımda, sorudaki değişkenleri ve değerlerini, doğru ve ters orantı konularında gördüğümüz gibi, her değişken bir kolon ve her durum bir satır olacak şekilde aşağıdaki tabloya yerleştiririz. Doğru ve ters orantı konularında uyguladığımız gibi, aralarında doğru orantı olan değişkenlerin arasına çapraz oklar, aralarında ters orantı olan değişkenlerin arasına da yatay oklar çizeriz.
Son adım olarak, oklarla birbirine bağlanmış değerleri birbiriyle çarparak bir eşitlik oluştururuz. Bu örnekte 1. durumun miktar değerini 2. durumun makine ve gün sayıları ile çarpmamız, 2. durumun miktar değerini de 1. durumun makine ve gün sayılar ile çarpmamız ve bu çarpımları eşitlememiz gerekecektir.
\( 300 \cdot 2 \cdot 5 = x \cdot 1 \cdot 6 \)
Bu eşitliği \( x \) için çözersek \( x \) değerini aşağıdaki gibi buluruz.
Soruda yine üç değişken olduğunu görüyoruz: Kişi sayısı, bir günde çalışılan saat sayısı ve çalışılan gün sayısı. Soruyu cevaplayabilmemiz için öncelikle bu değişkenler arasındaki doğru/ters orantı ilişkilerini belirlememiz gerekir.
Kişi sayısı - saat sayısı: Çalışılacak gün sayısını sabit kabul edersek, aynı işi yapmak için işe daha fazla kişi koyarsak, bir günde daha az çalışarak aynı iş tamamlanabilecektir, dolayısıyla bu iki değişken arasında ters orantı vardır. Bu tip bir ilişkide, daha fazla kişi olursa, daha fazla çalışılır diye düşünerek doğru orantı sonucuna varılmamalıdır ve üçüncü değişkenin sabit olduğu durumda aynı işi tamamlama durumunda iki değişken arasındaki ilişki incelenmelidir.
Günde çalışılan saat - gün sayısı: Kişi sayısı sabit kabul edilirse, aynı işi tamamlamak için bir günde daha fazla çalışılırsa, iş daha az günde tamamlanacaktır, dolayısıyla bu iki değişken arasında da ters orantı vardır. Bu iki değişkenle ilgili olarak da, daha fazla gün daha fazla saat anlamına gelir diye düşünerek doğru orantı sonucuna varılmamalıdır.
İkinci adımda yine değişkenleri ve değerlerini aşağıdaki gibi tabloya yerleştiririz. Her iki ilişki de ters orantı olduğu için, değişkenlerin arasına yatay oklar çizeriz.
Son adım olarak, oklarla birbirine bağlanmış değerleri birbiriyle çarparak bir eşitlik oluştururuz. Bu örnekte her satırdaki değerleri kendi aralarında çarparız.
\( 30 \cdot 8 \cdot 10 = 20 \cdot x \cdot 12 \)
Bu eşitliği \( x \) için çözersek \( x \) değerini aşağıdaki gibi buluruz.
\( x = \dfrac{30 \cdot 8 \cdot 10}{20 \cdot 12} \) saat
Özdeş 5 makine günde 24 saat çalıştırılmak kaydıyla 11 gün çalıştırılırsa \( m \) kalem üretmektedir. Buna göre, \( 3m \) kalem üretebilmek için günde 15 saat ve 12 gün çalıştırılmak kaydıyla \( x \) makine çalıştırılması gerekiyorsa \( x \) kaçtır?
