Çok Terimli İfadelerin Açılımı

Sabit terimi bulmak için tüm değişkenlerin yerine 0 yazılır.

\( (3(0) - a(0) - 2)^n = -32 \)

\( (-2)^n = -32 \Longrightarrow n = 5 \)

Katsayılar toplamını bulmak için tüm değişkenlerin yerine 1 yazılır.

\( (3(1) - a(1) - 2)^5 = 243 \)

\( 3 - a - 2 = 3 \Longrightarrow a = -2 \)

\( a + n = 5 + (-2) = 3 \) olarak bulunur.

Dereceleri bir olan çok terimli bir ifadenin açılımında tüm terimlerde değişkenlerin üsleri toplamı \( n \)'ye eşittir. Buna göre çok terimli ifadenin derecesini 9 olarak buluruz.

\( 2 + 5 + 2 = 9 = n \)

Verilen terimde değişkenlerin üslerine bakarak bu terimin açılım formülünde \( a = 2 \), \( b = 5 \) ve \( c = 2 \) olan terime karşılık geldiğini görebiliriz.

Üç terimli ifadeler için genel terim bulma formülünü verilen terime eşitleyelim.

\( \dfrac{9!}{2!5!2!}x^2(-y)^5(-2z)^2 = Ax^2y^5z^2 \)

\( -756x^2y^52^2z^2 = Ax^2y^5z^2 \)

\( -3024x^2y^5z^2 = Ax^2y^5z^2 \)

Buna göre \( A = -3024 \) olarak bulunur.

Verilen terimde değişkenlerin üslerine bakarak bu terimin açılım formülünde \( a = 3 \), \( b = 3 \) ve \( c = 2 \) olan terime karşılık geldiğini görebiliriz.

\( a + b + c = n \) olacağı için \( n = 8 \) olur.

Üç terimli ifadeler için genel terim bulma formülünü verilen terime eşitleyelim.

\( \dfrac{8!}{3!3!2!}(2x)^3(-y^2)^3(3z)^2 = Ax^3y^6z^2 \)

\( -560 \cdot 2^3 \cdot 3^2 \cdot x^3y^6z^2 = Ax^3y^6z^2 \)

Buna göre \( A = -560 \cdot 2^3 \cdot 3^2 \) olarak bulunur.

Üç terimli bir ifadenin açılımındaki terim sayısı formülünün ispatında gösterdiğimiz gibi, açılımdaki terim sayısı \( a + b + c = n \) eşitliğinin çözüm kümesindeki farklı \( (a, b, c) \) sıralı üçlülerinin sayısına eşittir.

\( y^8 \)'li terim için \( b = 4 \) değeri almaktadır. Buna göre, yukarıdaki eşitlik aşağıda şekle dönüşmektedir.

\( a + 4 + c = 12 \)

\( a + c = 8 \)

Buna göre, açılımda \( a + c = 8 \) eşitliğini sağlayan \( (a, c) \) sıralı ikilisi kadar \( y^8 \)'li terim olacaktır.

Toplamları 8 olan doğal sayı 9 \( (a, c) \) ikilisi vardır.

\( (a, c) = \{(8, 0), (7, 1), \ldots, (0, 8)\} \)

Buna göre ifadenin açılımında \( y^8 \)'li 9 terim bulunur.

Bu soruyu iki yöntemle çözebiliriz.

Yöntem 1:

Verilen üç terimli ifadeyi aşağıdaki şekilde iki terimli bir ifade olarak yazabiliriz.

\( (x + y + z)^7 = ((x + z) + y)^7 \)

Bu ifadenin açılımındaki 5. terim \( y^4 \)'lü terimleri içerir.

\( T_5 = \binom{7}{4} (x + z)^{7 - 4} y^4 \)

\( = \binom{7}{4} (x + z)^3 y^4 \)

Bu terimdeki \( (x + z)^3 \) çarpanının açılımında 4 terim olduğu için, verilen üç terimli ifadenin tam açılımında \( y^4 \) bu 4 terimle çarpılacak ve toplam 4 \( y^4 \)'lü terim olacaktır.

Yöntem 2:

\( (x + y + z)^7 \) ifadesinin açılımındaki terimlerin tümünde değişkenlerin üsleri toplamı 7 olur. Bizden \( y^4 \)'lü terimler istendiği için, diğer iki değişkenin üsleri toplamının 3 olduğu durumların toplamı \( y^4 \)'lü terim sayısını verir.

\( x \) ve \( z \) değişkenlerinin üsleri sırasıyla \( a \) ve \( c \) olmak üzere, aşağıdaki \( (a, c) \) sıralı ikili sayısı kadar \( y^4 \)'lü terim olur.

\( (a, c) = \{ (0, 3), (1, 2), (2, 1), (3, 0) \} \)

Üç terimli bir ifadenin açılımındaki katsayılar toplamını bulmak için ifadedeki tüm değişkenlere 1 değeri verilir ve açılımdaki değişkenlerin yok olması sağlanır.

\( (2 - 4(1^2) + 1^2)^{224} = (-1)^{224} \)

\( = 1 \) olarak bulunur.

Verilen üç terimli ifadenin açılımındaki belirli bir terim \( a + b + c = 4 \) olmak üzere aşağıdaki formülle bulunur.

\( \dfrac{4!}{a!b!c!} (x^3)^a x^b (-1)^c \)

\( = \dfrac{4!}{a!b!c!} x^{3a + b} (-1)^c \)

\( a + b + c = 4 \) olmak üzere, \( x \)'in üssü iki durumda 6 olur.

Durum 1: \( (a, b, c) = (1, 3, 0) \)

\( \dfrac{4!}{1!3!0!} x^{3(1) + 3} (-1)^0 = 4x^6 \)

Durum 2: \( (a, b, c) = (2, 0, 2) \)

\( \dfrac{4!}{2!0!2!} x^{3(2) + 0} (-1)^2 = 6x^6 \)

\( x^6 \)'lı terimin katsayısı bu iki terimin toplanması ile elde edilen terimin katsayısıdır.

Bu durumda \( x^6 \)'lı terimin katsayısı \( 4 + 6 = 10 \) olarak bulunur.

Verilen üç terimli ifadenin açılımındaki belirli bir terim \( a + b + c = 16 \) olmak üzere aşağıdaki formülle bulunur.

\( \dfrac{16!}{a!b!c!} 1^a (x^6)^b (-x^9)^c \)

\( = \dfrac{16!}{a!b!c!} x^{6b + 9c} (-1)^c \)

Verilen ifadeyi incelediğimizde \( x \)'in üssünün 3'ün bir tam sayı katı olduğu görülür.

22 3'ün tam sayı katı olmadığı için açılımda \( x^{22} \)'li bir terim oluşmaz.

Buna göre cevap 0 olur.

Dört terimli bir ifadenin açılımdaki terim sayısı \( a + b + c + d = n \) eşitliğinin çözüm kümesindeki farklı \( (a, b, c, d) \) sıralı dörtlülerinin sayısına eşittir.

\( x^4y^2 \)'li terim için \( a = 2 \) ve \( b = 2 \) değeri almaktadır. Buna göre, yukarıdaki eşitlik aşağıda şekle dönüşmektedir.

\( 2 + 2 + c + d = 11 \)

\( c + d = 7 \)

Buna göre, açılımda \( c + d = 7 \) eşitliğini sağlayan \( (c, d) \) sıralı ikilisi kadar \( x^4y^2 \)'li terim olacaktır.

Toplamları 7 olan doğal sayı 8 \( (c, d) \) ikilisi vardır.

\( (c, d) = \{(7, 0), (6, 1), \ldots, (0, 7)\} \)

Buna göre ifadenin açılımında \( x^4y^2 \)'li 8 terim bulunur.

\( x^5 \)'li terimler, ilk parantez içindeki terimlerin ikinci parantez içinde kendini \( x^5 \)'e tamamlayan terimlerle çarpımı ile oluşur. Örneğin \( 3x^4 \) terimi \( -8x \) terimi ile çarpıldığında \( x^5 \)'li bir terim oluşur.

Tüm bu çarpımları belirleyip katsayılarını toplayalım.

\( 3x^4 \cdot (-8x) + (-5x^3) \cdot 7x^2 \)

\( = -24x^5 - 35x^5 = -59x^5 \)

Buna göre \( x^5 \)'li terimin katsayısı \( -59 \)'dur.

Çok terimli ifadelerin açılımında belirli bir terim \( a + b + c + d = n \) olmak üzere aşağıdaki formülle bulunur.

\( \dfrac{n!}{a!b!c!d!} \cdot x^a \cdot y^b \cdot z^c \cdot t^d \)

Bu formülü verilen ifadeye uygulayalım.

\( \dfrac{{10}!}{a!b!c!d!} \cdot 1^a \cdot (-k)^b \cdot (m^2)^c \cdot (-t)^d \)

İstenen terimde \( b = 3 \), \( c = 4 \) ve \( d = 2 \) olur.

Bu durumda \( a = 10 - 3 - 4 - 2 = 1 \) olur.

\( \dfrac{10!}{1!3!4!2!} \cdot 1^1 \cdot (-k)^3 \cdot (m^2)^4 \cdot (-t)^2 \)

\( = 12600 \cdot (-k^3) \cdot (m^8) \cdot (t^2) \)

\( = -12600k^3m^8t^2 \)

Buna göre \( k^3m^8t^2 \)'li terimin katsayısı -12600 olarak bulunur.

Verilen ifadeyi bir polinom olarak düşünürsek tek dereceli terimlerin katsayıları toplamını \( \frac{P(1) - P(-1)}{2} \) formülü ile bulabiliriz.

\( P(1) = (1 - 1^2 + 1^3 + 1^4)^4 \)

\( = 2^4 = 16 \)

\( P(-1) = (1 - (-1)^2 + (-1)^3 + (-1)^4)^4 \)

\( = 0^4 = 0 \)

Bu durumda tek dereceli terimlerin katsayıları toplamı \( \frac{16 - 0}{2} = 8 \) olarak bulunur.

Verilen ifadedeki \( x \) çarpanını ayıralım.

\( (x + x^2 - x^4 - x^5)^8 = (x(1 + x - x^3 - x^4))^8 \)

\( = x^8 \cdot (1 + x - x^3 - x^4)^8 \)

Buna göre tüm ifadenin açılımındaki terimler \( (1 + x - x^3 - x^4)^8 \) ifadesinin açılımındaki her terimin \( x^8 \) ile çarpımından oluşur.

Dolayısıyla tüm ifadenin açılımındaki \( x^{11} \)'li terimin katsayısı \( (1 + x - x^3 - x^4)^8 \) ifadesinin açılımındaki \( x^3 \)'lü terimin katsayısına eşittir.

Verilen dört terimli ifadenin açılımındaki belirli bir terimin formülü aşağıdaki gibidir.

\( \dfrac{8!}{a!b!c!d!} 1^a x^b (-x^3)^c (-x^4)^d \)

\( = \dfrac{8!}{a!b!c!d!} x^{b + 3c + 4d} (-1)^c (-1)^d \)

\( a + b + c + d = 8 \) olmak üzere, \( x \)'in üssünün \( b + 3c + 4d = 3 \) olduğu iki durum aşağıdaki gibidir.

Durum 1: \( (a, b, c, d) = (7, 0, 1, 0) \)

\( \dfrac{8!}{7!0!1!0!} x^{0 + 3(1) + 4(0)} (-1)^1 (-1)^0 \)

\( = -8x^3 \)

Durum 2: \( (a, b, c, d) = (5, 3, 0, 0) \)

\( \dfrac{8!}{5!3!0!0!} x^{3 + 3(0) + 4(0)} (-1)^0 (-1)^0 \)

\( = 56x^3 \)

\( x^{11} \)'li terimin katsayısı bu iki terimin toplanması ile elde edilen terimin katsayısıdır.

Bu durumda \( x^{11} \)'li terimin katsayısı \( -8 + 56 = 48 \) olarak bulunur.