Çok Terimli İfadelerin Açılımı
İki terimli (binom) ifadelerin açılımında kullanılan yöntemler benzer bir yaklaşımla üç terimli (trinom) ya da daha çok terimli (multinom) ifadelerin açılımına da uyarlanabilir.
Üç Terimli (Trinom) İfadelerin Açılımı
\( (x + y + z)^n \) şeklindeki üç terimli bir ifadenin genel açılım formülü aşağıdaki gibidir.
\( n, i, j, k \in \mathbb{N} \) olmak üzere,
\( (x + y + z)^n = \displaystyle\sum_{\substack{i, j, k \\ i + j + k = n}} \dfrac{n!}{i!\ j!\ k!}x^iy^jz^k \)
\( 0 \le i, j, k \le n \) olmak üzere, yukarıdaki toplama işlemi \( i + j + k = n \) koşulunu sağlayan her \( (i, j, k) \) üçlüsü için açılımda bir terim üretir.
Bu açılımdaki \( \frac{n!}{i!\ j!\ k!} \) ifadesine trinom katsayısı denir ve her biri sırasıyla \( i, j, k \) adet ve toplamları \( n \) olmak üzere özdeş \( x, y, z \) nesnelerinin tekrarlı permütasyonuna (dizilişine) karşılık gelir.
\( (x + y + z)^2 = \frac{2!}{2!\ 0!\ 0!}x^2y^0z^0 + \frac{2!}{0!\ 2!\ 0!}x^0y^2z^0 + \frac{2!}{0!\ 0!\ 2!}x^0y^0z^2 + \frac{2!}{1!\ 1!\ 0!}x^1y^1z^0 + \frac{2!}{1!\ 0!\ 1!}x^1y^0z^1 + \frac{2!}{0!\ 1!\ 1!}x^0y^1z^1 \)
\( = x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2xz + 2yz \)
Terim Sayısı
\( (x + y + z)^n \) ifadesindeki \( n \) tane \( (x + y + z) \) ifadesinin çarpımı sonucunda \( 3^n \) terim oluşur. Bu terimlerden benzer olanlar aralarında toplandığında geriye kalan terim sayısı aşağıdaki formülle hesaplanır.
Terim sayısı \( = \dfrac{(n + 2)(n + 1)}{2} \)
\( (x + y + z)^{16} \) ifadesinin açılımındaki terim sayısı:
\( = \dfrac{(16 + 2)(16 + 1)}{2} = 153 \)
İSPATI GÖSTER
\( (x + y + z)^n = \displaystyle\sum_{\substack{i, j, k \\ i + j + k = n}} \dfrac{n!}{i!\ j!\ k!}x^iy^jz^k \)
Üç terimli bir ifadenin açılımındaki terim sayısı yukarıdaki toplama işleminin ürettiği terim sayısına eşittir, bir başka deyişle açılımdaki terim sayısı \( i + j + k = n \) eşitliğinin çözüm kümesindeki farklı \( (i, j, k) \) sıralı üçlülerinin sayısına eşittir.
Bu problemi kombinasyon konusundaki Nesnelerin Dağıtımı başlığı altında gördüğümüz "Özdeş Nesnelerin Farklı Kutulara Dağıtımı > Her Kutuda Herhangi Bir Sayıda Nesne" problemi şeklinde modelleyebiliriz.
Yukarıdaki eşitlikteki \( n \) sayısı birbirinden farklı ve özdeş nesne, \( i, j, k \) değerleri de farklı birer kutu olarak düşünülürse, bu \( n \) nesnenin \( 3 \) kutuya kaç farklı şekilde dağıtılabileceği bu yöntemle hesaplanabilir. Bu yöntemde nesneleri ("*") üç farklı kutuya dağıtmak için iki ayraca ("/") ihtiyaç duyulur.
Aşağıda \( (x + y + z)^5 \) ifadesi için 5 nesnenin 3 kutuya dağıtımına üç örnek verilmiştir.
\( **/**/* \Longrightarrow 2 + 2 + 1 = 5 \)
\( /***/** \Longrightarrow 0 + 3 + 2 = 5 \)
\( *****// \Longrightarrow 5 + 0 + 0 = 5 \)
Problemi bu yönteme göre modellediğimizde yöntemin farklı dağıtım sayısı formülünü kullanabiliriz. Bu formül aşağıdaki gibidir.
Farklı dağıtım sayısı \( = \dfrac{(n + r - 1)!}{n!\ (r - 1)!} \)
\( n \) özdeş nesneyi 3 farklı kutuya dağıttığımız için \( r = 3 \) koyarsak:
\( = \dfrac{(n + 3 - 1)!}{n!\ (3 - 1)!} \)
\( = \dfrac{(n + 2)!}{n!\ 2!} \)
\( = \dfrac{(n + 2)(n + 1)}{2} \)
Sabit Terim
Üç terimli bir ifadenin açılımındaki sabit terimi bulmak için ifadedeki tüm değişkenlere 0 değeri verilir ve açılımda değişken içeren terimlerin yok olması sağlanır.
\( (2a - 3b + 2)^6 \) ifadesinin açılımındaki sabit terim:
\( (2(0) - 3(0) + 2)^6 = 2^6 = 64 \)
Katsayılar Toplamı
Üç terimli bir ifadenin açılımındaki katsayılar toplamını bulmak için ifadedeki tüm değişkenlere 1 değeri verilir ve açılımdaki terimler yerinde kalarak değişkenlerin yok olması sağlanır.
\( (3x - 2y + z)^4 \) ifadesinin açılımındaki katsayılar toplamı:
\( (3(1) - 2(1) + 1)^4 = 2^4 = 16 \)
Terim Bulma
\( (x + y + z)^n \) şeklindeki üç terimli bir ifadede \( i + j + k = n \) koşulunu sağlayan belirli bir \( (i, j, k) \) üçlüsü için açılımdaki terim aşağıdaki formülle bulunur.
\( (i, j, k) \) üçlüsü için açılımdaki terim:
\( \dfrac{n!}{i!\ j!\ k!}x^iy^jz^k \)
\( (3x - 2y + z)^6 \) ifadesinde değişkenlerin üslerinin eşit olduğu terim:
\( i = j = k = 2 \)
\( \dfrac{6!}{2!\ 2!\ 2!}(3x)^2(-2y)^2z^2 \)
\( = 3240x^2y^2z^2 \)
\( (3x - ay - 2)^n \) ifadesinin sabit terimi \( -32 \) ve katsayılar toplamı \( 243 \) olduğuna göre, \( a + n \) kaçtır?
Çözümü GösterSabit terimi bulmak için tüm değişkenlerin yerine 0 yazılır.
\( (3(0) - a(0) - 2)^n = -32 \)
\( (-2)^n = -32 \Longrightarrow n = 5 \)
Katsayılar toplamını bulmak için tüm değişkenlerin yerine 1 yazılır.
\( (3(1) - a(1) - 2)^5 = 243 \)
\( 3 - a - 2 = 3 \Longrightarrow a = -2 \)
\( a + n = 5 + (-2) = 3 \) olarak bulunur.
\( (2 - 4x^2 + x^3)^{224} \) ifadesinin açılımındaki tüm terimlerin katsayıları toplamı kaçtır?
Çözümü GösterÜç terimli bir ifadenin açılımındaki katsayılar toplamını bulmak için ifadedeki tüm değişkenlere 1 değeri verilir ve açılımdaki değişkenlerin yok olması sağlanır.
\( (2 - 4(1^2) + 1^2)^{224} = (-1)^{224} \)
\( = 1 \) olarak bulunur.
\( (x - y - 2z)^n \) ifadesinin açılımındaki terimlerden birisi \( Ax^2y^5z^2 \) olduğunda göre, \( A \) kaçtır?
Çözümü GösterDereceleri bir olan çok terimli bir ifadenin açılımında tüm terimlerde değişkenlerin üsleri toplamı \( n \)'ye eşittir. Buna göre çok terimli ifadenin derecesini 9 olarak buluruz.
\( 2 + 5 + 2 = 9 = n \)
Verilen terimde değişkenlerin üslerine bakarak bu terimin açılım formülünde \( a = 2 \), \( b = 5 \) ve \( c = 2 \) olan terime karşılık geldiğini görebiliriz.
Üç terimli ifadeler için genel terim bulma formülünü verilen terime eşitleyelim.
\( \dfrac{9!}{2!5!2!}x^2(-y)^5(-2z)^2 = Ax^2y^5z^2 \)
\( -756x^2y^52^2z^2 = Ax^2y^5z^2 \)
\( -3024x^2y^5z^2 = Ax^2y^5z^2 \)
Buna göre \( A = -3024 \) olarak bulunur.
\( (2x - y^2 + 3z)^n \) ifadesinin açılımındaki terimlerden biri \( Ax^3y^6z^2 \) olduğuna göre, \( A \) kaçtır?
Çözümü GösterVerilen terimde değişkenlerin üslerine bakarak bu terimin açılım formülünde \( a = 3 \), \( b = 3 \) ve \( c = 2 \) olan terime karşılık geldiğini görebiliriz.
\( a + b + c = n \) olacağı için \( n = 8 \) olur.
Üç terimli ifadeler için genel terim bulma formülünü verilen terime eşitleyelim.
\( \dfrac{8!}{3!3!2!}(2x)^3(-y^2)^3(3z)^2 = Ax^3y^6z^2 \)
\( -560 \cdot 2^3 \cdot 3^2 \cdot x^3y^6z^2 = Ax^3y^6z^2 \)
Buna göre \( A = -560 \cdot 2^3 \cdot 3^2 \) olarak bulunur.
\( (x^3 + 4y^2 - z^5)^{12} \) ifadesinin açılımında \( y^8 \)'li kaç terim vardır?
Çözümü GösterÜç terimli bir ifadenin açılımındaki terim sayısı formülünün ispatında gösterdiğimiz gibi, açılımdaki terim sayısı \( a + b + c = n \) eşitliğinin çözüm kümesindeki farklı \( (a, b, c) \) sıralı üçlülerinin sayısına eşittir.
\( y^8 \)'li terim için \( b = 4 \) değeri almaktadır. Buna göre, yukarıdaki eşitlik aşağıda şekle dönüşmektedir.
\( a + 4 + c = 12 \)
\( a + c = 8 \)
Buna göre, açılımda \( a + c = 8 \) eşitliğini sağlayan \( (a, c) \) sıralı ikilisi kadar \( y^8 \)'li terim olacaktır.
Toplamları 8 olan doğal sayı 9 \( (a, c) \) ikilisi vardır.
\( (a, c) = \{(8, 0), (7, 1), \ldots, (0, 8)\} \)
Buna göre ifadenin açılımında \( y^8 \)'li 9 terim bulunur.
\( (x + y + z)^7 \) ifadesinin açılımında terimlerin kaç tanesinde \( y^4 \) çarpanı bulunur?
Çözümü GösterBu soruyu iki yöntemle çözebiliriz.
1. yöntem:
Verilen üç terimli ifadeyi aşağıdaki şekilde iki terimli bir ifade olarak yazabiliriz.
\( (x + y + z)^7 = ((x + z) + y)^7 \)
Bu ifadenin açılımındaki 5. terim \( y^4 \)'lü terimleri içerir.
\( T_5 = \binom{7}{4} (x + z)^{7 - 4} y^4 \)
\( = \binom{7}{4} (x + z)^3 y^4 \)
Bu terimdeki \( (x + z)^3 \) çarpanının açılımında 4 terim olduğu için, verilen üç terimli ifadenin tam açılımında \( y^4 \) bu 4 terimle çarpılacak ve toplam 4 \( y^4 \)'lü terim olacaktır.
2. yöntem:
\( (x + y + z)^7 \) ifadesinin açılımındaki terimlerin tümünde değişkenlerin üsleri toplamı 7 olur. Bizden \( y^4 \)'lü terimler istendiği için, diğer iki değişkenin üsleri toplamının 3 olduğu durumların toplamı \( y^4 \)'lü terim sayısını verir.
\( x \) ve \( z \) değişkenlerinin üsleri sırasıyla \( a \) ve \( c \) olmak üzere, aşağıdaki \( (a, c) \) sıralı ikili sayısı kadar \( y^4 \)'lü terim olur.
\( (a, c) = \{(0, 3), (1, 2), (2, 1), (3, 0)\} \)
\( (x^3 + x - 1)^4 \) ifadesinin açılımındaki \( x^6 \)'lı terimin katsayısı kaçtır?
Çözümü GösterVerilen üç terimli ifadenin açılımındaki belirli bir terim \( a + b + c = 4 \) olmak üzere aşağıdaki formülle bulunur.
\( \dfrac{4!}{a!b!c!} (x^3)^a x^b (-1)^c \)
\( = \dfrac{4!}{a!b!c!} x^{3a + b} (-1)^c \)
\( a + b + c = 4 \) olmak üzere, \( x \)'in üssü iki durumda 6 olur.
Durum 1: \( (a, b, c) = (1, 3, 0) \)
\( \dfrac{4!}{1!3!0!} x^{3(1) + 3} (-1)^0 = 4x^6 \)
Durum 2: \( (a, b, c) = (2, 0, 2) \)
\( \dfrac{4!}{2!0!2!} x^{3(2) + 0} (-1)^2 = 6x^6 \)
\( x^6 \)'lı terimin katsayısı bu iki terimin toplanması ile elde edilen terimin katsayısıdır.
Bu durumda \( x^6 \)'lı terimin katsayısı \( 4 + 6 = 10 \) olarak bulunur.
\( (1 + x^6 - x^9)^{16} \) ifadesinin açılımındaki \( x^{22} \)'li terimin katsayısı kaçtır?
Çözümü GösterVerilen üç terimli ifadenin açılımındaki belirli bir terim \( a + b + c = 16 \) olmak üzere aşağıdaki formülle bulunur.
\( \dfrac{16!}{a!b!c!} 1^a (x^6)^b (-x^9)^c \)
\( = \dfrac{16!}{a!b!c!} x^{6b + 9c} (-1)^c \)
Verilen ifadeyi incelediğimizde \( x \)'in üssünün 3'ün bir tam sayı katı olduğu görülür.
22 3'ün tam sayı katı olmadığı için açılımda \( x^{22} \)'li bir terim oluşmaz.
Buna göre cevap 0 olur.
Çok Terimli (Multinom) İfadelerin Açılımı
\( (x_1 + x_2 + \ldots + x_m)^n \) şeklindeki çok terimli bir ifadenin genel açılım formülü aşağıdaki gibidir.
\( n, k_1, k_2, \ldots, k_m \in \mathbb{N} \) olmak üzere,
\( (x_1 + x_2 + \ldots + x_m)^n = \displaystyle\sum_{\substack{k_1, k_2, \ldots, k_m \\ k_1 + k_2 + \ldots + k_m = n}} \dfrac{n!}{k_1!\ k_2! \ldots k_m!}x_1^{k_1}x_2^{k_2} \ldots x_m^{k_m} \)
\( 0 \le k_1, k_2, \ldots, k_m \le n \) olmak üzere, yukarıdaki toplama işlemi \( k_1 + k_2 + \ldots + k_m = n \) koşulunu sağlayan her \( (k_1, k_2, \ldots, k_m) \) sıralı \( m \)'lisi için açılımda bir terim üretir.
Bu açılımdaki \( \frac{n!}{k_1!\ k_2! \ldots k_m!} \) ifadesine multinom katsayısı denir ve her biri sırasıyla \( k_1, k_2, \ldots, k_m \) adet ve toplamları \( n \) olmak üzere özdeş \( x_1, x_2, \ldots, x_m \) nesnelerinin tekrarlı permütasyonuna (dizilişine) karşılık gelir.
Terim Sayısı
\( m \) terimden oluşan ve \( (x_1 + x_2 + \ldots + x_m)^n \) ifadesinin açılımındaki terim sayısı aşağıdaki formülle hesaplanabilir.
Terim sayısı \( = \dfrac{(n + m - 1)!}{n!\ (m - 1)!} \)
\( (x_1 + x_2 + \ldots + x_5)^6 \) ifadesinin açılımındaki terim sayısı:
\( = \dfrac{(6 + 5 - 1)!}{6!\ (5 - 1)!} = \dfrac{10!}{6!\ 4!} \)
İSPATI GÖSTER
\( (x_1 + x_2 + \ldots + x_m)^n = \displaystyle\sum_{\substack{k_1, k_2, \ldots, k_m \\ k_1 + k_2 + \ldots + k_m = n}} \dfrac{n!}{k_1!k_2! \ldots k_m!}x_1^{k_1}x_2^{k_2} \ldots x_m^{k_m} \)
\( m \) terimli bir ifadenin açılımındaki terim sayısı yukarıdaki toplama işleminin ürettiği terim sayısına eşittir, bir başka deyişle açılımdaki terim sayısı \( k_1 + k_2 + \ldots + k_m = n \) eşitliğinin çözüm kümesindeki farklı \( (k_1, k_2, \ldots, k_m) \) sıralı \( m \)'lisinin sayısına eşittir.
Bu problemi kombinasyon konusundaki Nesnelerin Dağıtımı başlığı altında gördüğümüz "Özdeş Nesnelerin Farklı Kutulara Dağıtımı > Her Kutuda Herhangi Bir Sayıda Nesne" problemi şeklinde modelleyebiliriz.
Yukarıdaki eşitlikteki \( n \) sayısı birbirinden farklı ve özdeş nesne, \( k_1, k_2, \ldots, k_m \) değerleri de farklı birer kutu olarak düşünülürse, bu \( n \) nesnenin \( m \) kutuya kaç farklı şekilde dağıtılabileceği bu yöntemle hesaplanabilir. Bu yöntemde nesneleri ("*") \( m \) farklı kutuya dağıtmak için \( m - 1 \) ayraca ("/") ihtiyaç duyulur.
Aşağıda \( (a + b + c + d + e)^9 \) ifadesi için 7 nesnenin 5 kutuya dağıtımına üç örnek verilmiştir.
\( */**/****/**/ \Longrightarrow 1 + 2 + 4 + 2 + 0 = 9 \)
\( ***//***/*/** \Longrightarrow 3 + 0 + 3 + 1 + 2 = 9 \)
\( ///******/*** \Longrightarrow 0 + 0 + 0 + 6 + 3 = 9 \)
Problemi bu yönteme göre modellediğimizde yöntemin farklı dağıtım sayısı formülünü kullanabiliriz. \( n \) özdeş nesnenin \( m \) kutuya dağıtımı için bu formül aşağıdaki gibidir.
Farklı dağıtım sayısı \( = \dfrac{(n + r - 1)!}{n!\ (r - 1)!} \)
Yukarıda formülle elde edeceğimiz değer, \( k_1 + k_2 + \ldots + k_m = n \) eşitliğini sağlayan farklı \( (k_1, k_2, \ldots, k_m) \) çözümleri, dolayısıyla açılımdaki farklı terim sayısıdır.
Terim Bulma
\( (x_1 + x_2 + \ldots + x_m)^n \) şeklindeki çok terimli bir ifadede \( k_1 + k_2 + \ldots + k_m = n \) koşulunu sağlayan belirli bir \( (k_1, k_2, \ldots, k_m) \) sıralı \( m \)'lisi için açılımdaki terim aşağıdaki formülle bulunabilir.
\( \dfrac{n!}{k_1!\ k_2! \ldots k_m!}x_1^{k_1}x_2^{k_2} \ldots x_m^{k_m} \)
\( (2a - 3b + 5c - 4d + e)^7 \) ifadesinde ilk 4 değişkenin derecelerinin 1 olduğu terim:
\( k_1 = k_2 = k_3 = k_4 = 1 \Longrightarrow k_5 = 3 \)
\( \dfrac{7!}{1!\ 1!\ 1!\ 1!\ 3!}(2a)^1(-3b)^1(5c)^1(-4d)^1e^3 \)
\( = \dfrac{7!}{3!} \cdot 120 \cdot abcde^3 \)
\( (3x^4 - 5x^3 + 2x - 1)(5x^3 + 7x^2 - 8x + 6) \) çarpımında \( x^5 \) 'li terimin katsayısı nedir?
Çözümü Göster\( x^5 \)'li terimler, ilk parantez içindeki terimlerin ikinci parantez içinde kendini \( x^5 \)'e tamamlayan terimlerle çarpımı ile oluşur. Örneğin \( 3x^4 \) terimi \( -8x \) terimi ile çarpıldığında \( x^5 \)'li bir terim oluşur.
Tüm bu çarpımları belirleyip katsayılarını toplayalım.
\( 3x^4 \cdot (-8x) + (-5x^3) \cdot 7x^2 \)
\( = -24x^5 - 35x^5 = -59x^5 \)
Buna göre \( x^5 \)'li terimin katsayısı \( -59 \)'dur.
\( (x^2 - y + 2z - 3t^2)^{11} \) ifadesinin açılımında \( x^4y^2 \) çarpanı olan kaç terim vardır?
Çözümü GösterDört terimli bir ifadenin açılımdaki terim sayısı \( a + b + c + d = n \) eşitliğinin çözüm kümesindeki farklı \( (a, b, c, d) \) sıralı dörtlülerinin sayısına eşittir.
\( x^4y^2 \)'li terim için \( a = 2 \) ve \( b = 2 \) değeri almaktadır. Buna göre, yukarıdaki eşitlik aşağıda şekle dönüşmektedir.
\( 2 + 2 + c + d = 11 \)
\( c + d = 7 \)
Buna göre, açılımda \( c + d = 7 \) eşitliğini sağlayan \( (c, d) \) sıralı ikilisi kadar \( x^4y^2 \)'li terim olacaktır.
Toplamları 7 olan doğal sayı 8 \( (c, d) \) ikilisi vardır.
\( (c, d) = \{(7, 0), (6, 1), \ldots, (0, 7)\} \)
Buna göre ifadenin açılımında \( x^4y^2 \)'li 8 terim bulunur.
\( (1 - k + m^2 - t)^{10} \) ifadesinin açılımındaki \( k^3m^8t^2 \)'li terimin katsayısı kaçtır?
Çözümü GösterÇok terimli ifadelerin açılımında belirli bir terim \( a + b + c + d = n \) olmak üzere aşağıdaki formülle bulunur.
\( \dfrac{n!}{a!b!c!d!} \cdot x^a \cdot y^b \cdot z^c \cdot t^d \)
Bu formülü verilen ifadeye uygulayalım.
\( \dfrac{{10}!}{a!b!c!d!} \cdot 1^a \cdot (-k)^b \cdot (m^2)^c \cdot (-t)^d \)
İstenen terimde \( b = 3 \), \( c = 4 \) ve \( d = 2 \) olur.
Bu durumda \( a = 10 - 3 - 4 - 2 = 1 \) olur.
\( \dfrac{10!}{1!3!4!2!} \cdot 1^1 \cdot (-k)^3 \cdot (m^2)^4 \cdot (-t)^2 \)
\( = 12600 \cdot (-k^3) \cdot (m^8) \cdot (t^2) \)
\( = -12600k^3m^8t^2 \)
Buna göre \( k^3m^8t^2 \)'li terimin katsayısı -12600 olarak bulunur.
\( (1 - x^2 + x^3 + x^4)^4 \) ifadesinin açılımındaki tek dereceli terimlerin katsayıları toplamı kaçtır?
Çözümü GösterVerilen ifadeyi bir polinom olarak düşünürsek tek dereceli terimlerin katsayıları toplamını \( \frac{P(1) - P(-1)}{2} \) formülü ile bulabiliriz.
\( P(1) = (1 - 1^2 + 1^3 + 1^4)^4 \)
\( = 2^4 = 16 \)
\( P(-1) = (1 - (-1)^2 + (-1)^3 + (-1)^4)^4 \)
\( = 0^4 = 0 \)
Bu durumda tek dereceli terimlerin katsayıları toplamı \( \frac{16 - 0}{2} = 8 \) olarak bulunur.
\( (x + x^2 - x^4 - x^5)^8 \) ifadesinin açılımındaki \( x^{11} \)'li terimin katsayısı kaçtır?
Çözümü GösterVerilen ifadedeki \( x \) çarpanını ayıralım.
\( (x + x^2 - x^4 - x^5)^8 = (x(1 + x - x^3 - x^4))^8 \)
\( = x^8 \cdot (1 + x - x^3 - x^4)^8 \)
Buna göre tüm ifadenin açılımındaki terimler \( (1 + x - x^3 - x^4)^8 \) ifadesinin açılımındaki her terimin \( x^8 \) ile çarpımından oluşur.
Dolayısıyla tüm ifadenin açılımındaki \( x^{11} \)'li terimin katsayısı \( (1 + x - x^3 - x^4)^8 \) ifadesinin açılımındaki \( x^3 \)'lü terimin katsayısına eşittir.
Verilen dört terimli ifadenin açılımındaki belirli bir terimin formülü aşağıdaki gibidir.
\( \dfrac{8!}{a!b!c!d!} 1^a x^b (-x^3)^c (-x^4)^d \)
\( = \dfrac{8!}{a!b!c!d!} x^{b + 3c + 4d} (-1)^c (-1)^d \)
\( a + b + c + d = 8 \) olmak üzere, \( x \)'in üssünün \( b + 3c + 4d = 3 \) olduğu iki durum aşağıdaki gibidir.
Durum 1: \( (a, b, c, d) = (7, 0, 1, 0) \)
\( \dfrac{8!}{7!0!1!0!} x^{0 + 3(1) + 4(0)} (-1)^1 (-1)^0 \)
\( = -8x^3 \)
Durum 2: \( (a, b, c, d) = (5, 3, 0, 0) \)
\( \dfrac{8!}{5!3!0!0!} x^{3 + 3(0) + 4(0)} (-1)^0 (-1)^0 \)
\( = 56x^3 \)
\( x^{11} \)'li terimin katsayısı bu iki terimin toplanması ile elde edilen terimin katsayısıdır.
Bu durumda \( x^{11} \)'li terimin katsayısı \( -8 + 56 = 48 \) olarak bulunur.