Binom Açılımı

Binom açılımında kullanacağımız 6'nın farklı kombinasyonlarını bulalım.

\( \binom{6}{0} = \binom{6}{6} = \dfrac{6!}{0!6!} = 1 \)

\( \binom{6}{1} = \binom{6}{5} = \dfrac{6!}{1!5!} = 6 \)

\( \binom{6}{2} = \binom{6}{4} = \dfrac{6!}{2!4!} = 15 \)

\( \binom{6}{3} = \dfrac{6!}{3!3!} = 20 \)

İfadenin açılımını yazalım.

\( (x + y)^6 = \binom{6}{0} x^6y^0 + \binom{6}{1} x^5y^1 \) \( + \binom{6}{2} x^4y^2 \) \( + \binom{6}{3} x^3y^3 \) \( + \binom{6}{4} x^2y^4 \) \( + \binom{6}{5} x^1y^5 \) \( + \binom{6}{6} x^0y^6 \)

\( = x^6 + 6x^5y + 15x^4y^2 \) \( + 20x^3y^3 + 15x^2y^4 \) \( + 6xy^5 + y^6 \)

Binom açılım formülü aşağıdaki gibidir.

\( (x + y)^n = \binom{n}{0}x^ny^0 + \binom{n}{1}x^{n - 1}y^1 + \binom{n}{2}x^{n - 2}y^2 + \ldots + \binom{n}{n - 1}x^1y^{n - 1} + \binom{n}{n}x^0y^n \)

1. İfade:

\( (4x + 5y)^3 = \binom{3}{0}(4x)^3(5y)^0 + \binom{3}{1}(4x)^2(5y)^1 + \binom{3}{2}(4x)^1(5y)^2 + \binom{3}{3}(4x)^0(5y)^3 \)

\( = 1 \cdot 64x^3 \cdot 1 + 3 \cdot 16x^2 \cdot 5y + 3 \cdot 4x \cdot 25y^2 + 1 \cdot 1 \cdot 125y^3 \)

\( = 64x^3 + 240x^2y + 300xy^2 + 125y^3 \)

2. İfade:

\( (2x - 3y)^4 = \binom{4}{0}(2x)^4(-3y)^0 + \binom{4}{1}(2x)^3(-3y)^1 + \binom{4}{2}(2x)^2(-3y)^2 + \binom{4}{3}(2x)^1(-3y)^3 + \binom{4}{4}(2x)^0(-3y)^4 \)

\( = 1 \cdot 16x^4 \cdot 1 + 4 \cdot 8x^3 \cdot (-3y) + 6 \cdot 4x^2 \cdot 9y^2 + 4 \cdot 2x \cdot (-27y^3) + 1 \cdot 1 \cdot 81y^4 \)

\( = 16x^4 - 96x^3y + 216x^2y^2 - 216xy^3 + 81y^4 \)

3. İfade:

\( (x + 2y)^5 = \binom{5}{0}x^5(2y)^0 + \binom{5}{1}x^4(2y)^1 + \binom{5}{2}x^3(2y)^2 + \binom{5}{3}x^2(2y)^3 + \binom{5}{4}x^1(2y)^4 + \binom{5}{5}x^0(2y)^5 \)

\( = 1 \cdot x^5 \cdot 1 + 5 \cdot x^4 \cdot 2y + 10 \cdot x^3 \cdot 4y^2 + 10 \cdot x^2 \cdot 8y^3 + 5 \cdot x \cdot 16y^4 + 1 \cdot 1 \cdot 32y^5 \)

\( = x^5 + 10x^4y + 40x^3y^2 + 80x^2y^3 + 80xy^4 + 32y^5 \)

Binom açılım formülü aşağıdaki gibidir.

\( (x + y)^n = \binom{n}{0}x^ny^0 + \binom{n}{1}x^{n - 1}y^1 + \binom{n}{2}x^{n - 2}y^2 + \ldots + \binom{n}{n - 1}x^1y^{n - 1} + \binom{n}{n}x^0y^n \)

1. İfade:

\( (2x + 5)^4 = \binom{4}{0}(2x)^4(5)^0 + \binom{4}{1}(2x)^3(5)^1 + \binom{4}{2}(2x)^2(5)^2 + \binom{4}{3}(2x)^1(5)^3 + \binom{4}{4}(2x)^0(5)^4 \)

\( = 1 \cdot 16x^4 \cdot 1 + 4 \cdot 8x^3 \cdot 5 + 6 \cdot 4x^2 \cdot 25 + 4 \cdot 2x \cdot 125 + 1 \cdot 1 \cdot 625 \)

\( = 16x^4 + 160x^3 + 600x^2 + 1000x + 625 \)

2. İfade:

\( (4x - 1)^5 = \binom{5}{0}(4x)^5(-1)^0 + \binom{5}{1}(4x)^4(-1)^1 + \binom{5}{2}(4x)^3(-1)^2 + \binom{5}{3}(4x)^2(-1)^3 + \binom{5}{4}(4x)^1(-1)^4 + \binom{5}{5}(4x)^0(-1)^5 \)

\( = 1 \cdot 1024x^5 \cdot 1 + 5 \cdot 256x^4 \cdot (-1) + 10 \cdot 64x^3 \cdot 1 + 10 \cdot 16x^2 \cdot (-1) + 5 \cdot 4x \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot (-1) \)

\( = 1024x^5 - 1280x^4 + 640x^3 - 160x^2 + 20x - 1 \)

3. İfade:

\( (-x + 3)^6 = \binom{6}{0}(-x)^6(3)^0 + \binom{6}{1}(-x)^5(3)^1 + \binom{6}{2}(-x)^4(3)^2 + \binom{6}{3}(-x)^3(3)^3 + \binom{6}{4}(-x)^2(3)^4 + \binom{6}{5}(-x)^1(3)^5 + \binom{6}{6}(-x)^0(3)^6 \)

\( = 1 \cdot x^6 \cdot 1 + 6 \cdot (-x^5) \cdot 3 + 15 \cdot x^4 \cdot 9 + 20 \cdot (-x^3) \cdot 27 + 15 \cdot x^2 \cdot 81 + 6 \cdot (-x) \cdot 243 + 1 \cdot 1 \cdot 729 \)

\( = x^6 - 18x^5 + 135x^4 - 540x^3 + 1215x^2 - 1458x + 729 \)

Binom açılım formülü aşağıdaki gibidir.

\( (x + y)^n = \binom{n}{0}x^ny^0 + \binom{n}{1}x^{n - 1}y^1 + \binom{n}{2}x^{n - 2}y^2 + \ldots + \binom{n}{n - 1}x^1y^{n - 1} + \binom{n}{n}x^0y^n \)

1. İfade:

\( (2x + \dfrac{3}{x})^3 = \binom{3}{0}(2x)^3(\dfrac{3}{x})^0 + \binom{3}{1}(2x)^2(\dfrac{3}{x})^1 + \binom{3}{2}(2x)^1(\dfrac{3}{x})^2 + \binom{3}{3}(2x)^0(\dfrac{3}{x})^3 \)

\( = 1 \cdot 8x^3 \cdot 1 + 3 \cdot 4x^2 \cdot \dfrac{3}{x} + 3 \cdot 2x \cdot \dfrac{9}{x^2} + 1 \cdot 1 \cdot \dfrac{27}{x^3} \)

\( = 8x^3 + 36x + \dfrac{54}{x} + \dfrac{27}{x^3} \)

2. İfade:

\( (x - \dfrac{4}{x})^5 = \binom{5}{0}x^5(-\dfrac{4}{x})^0 + \binom{5}{1}x^4(-\dfrac{4}{x})^1 + \binom{5}{2}x^3(-\dfrac{4}{x})^2 + \binom{5}{3}x^2(-\dfrac{4}{x})^3 + \binom{5}{4}x^1(-\dfrac{4}{x})^4 + \binom{5}{5}x^0(-\dfrac{4}{x})^5 \)

\( = 1 \cdot x^5 \cdot 1 + 5 \cdot x^4 \cdot (-\dfrac{4}{x}) + 10 \cdot x^3 \cdot \dfrac{16}{x^2} + 10 \cdot x^2 \cdot (-\dfrac{64}{x^3}) + 5 \cdot x \cdot \dfrac{256}{x^4} + 1 \cdot 1 \cdot (-\dfrac{1024}{x^5}) \)

\( = x^5 - 20x^3 + 160x - \dfrac{640}{x} + \dfrac{1280}{x^3} - \dfrac{1024}{x^5} \)

3. İfade:

\( (x + \dfrac{1}{2x})^6 = \binom{6}{0}x^6(\dfrac{1}{2x})^0 + \binom{6}{1}x^5(\dfrac{1}{2x})^1 + \binom{6}{2}x^4(\dfrac{1}{2x})^2 + \binom{6}{3}x^3(\dfrac{1}{2x})^3 + \binom{6}{4}x^2(\dfrac{1}{2x})^4 + \binom{6}{5}x^1(\dfrac{1}{2x})^5 + \binom{6}{6}x^0(\dfrac{1}{2x})^6 \)

\( = 1 \cdot x^6 \cdot 1 + 6 \cdot x^5 \cdot \dfrac{1}{2x} + 15 \cdot x^4 \cdot \dfrac{1}{4x^2} + 20 \cdot x^3 \cdot \dfrac{1}{8x^3} + 15 \cdot x^2 \cdot \dfrac{1}{16x^4} + 6 \cdot x \cdot \dfrac{1}{32x^5} + 1 \cdot 1 \cdot \dfrac{1}{64x^6} \)

\( = x^6 + 3x^4 + \dfrac{15x^2}{4} + \dfrac{5}{2} + \dfrac{15}{16x^2} + \dfrac{3}{16x^4} + \dfrac{1}{64x^6} \)

Binom açılım formülü aşağıdaki gibidir.

\( (x + y)^n = \binom{n}{0}x^ny^0 + \binom{n}{1}x^{n - 1}y^1 + \binom{n}{2}x^{n - 2}y^2 + \ldots + \binom{n}{n - 1}x^1y^{n - 1} + \binom{n}{n}x^0y^n \)

1. İfade:

\( (2x^2 + 5)^3 = \binom{3}{0}(2x^2)^3(5)^0 + \binom{3}{1}(2x^2)^2(5)^1 + \binom{3}{2}(2x^2)^1(5)^2 + \binom{3}{3}(2x^2)^0(5)^3 \)

\( = 1 \cdot 8x^6 \cdot 1 + 3 \cdot 4x^4 \cdot 5 + 3 \cdot 2x^2 \cdot 25 + 1 \cdot 1 \cdot 125 \)

\( = 8x^6 + 60x^4 + 150x^2 + 125 \)

2. İfade:

\( (3x^4 - 2)^4 = \binom{4}{0}(3x^4)^4(-2)^0 + \binom{4}{1}(3x^4)^3(-2)^1 + \binom{4}{2}(3x^4)^2(-2)^2 + \binom{4}{3}(3x^4)^1(-2)^3 + \binom{4}{4}(3x^4)^0(-2)^4 \)

\( = 1 \cdot 81x^{16} \cdot 1 + 4 \cdot 27x^{12} \cdot (-2) + 6 \cdot 9x^8 \cdot 4 + 4 \cdot 3x^4 \cdot (-8) + 1 \cdot 1 \cdot 16 \)

\( = 81x^{16} - 216x^{12} + 216x^8 - 96x^4 + 16 \)

3. İfade:

\( (x^3 + 1)^6 = \binom{6}{0}(x^3)^6(1)^0 + \binom{6}{1}(x^3)^5(1)^1 + \binom{6}{2}(x^3)^4(1)^2 + \binom{6}{3}(x^3)^3(1)^3 + \binom{6}{4}(x^3)^2(1)^4 + \binom{6}{5}(x^3)^1(1)^5 + \binom{6}{6}(x^3)^0(1)^6 \)

\( = 1 \cdot x^{18} \cdot 1 + 6 \cdot x^{15} \cdot 1 + 15 \cdot x^{12} \cdot 1 + 20 \cdot x^9 \cdot 1 + 15 \cdot x^6 \cdot 1 + 6 \cdot x^3 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot 1 \)

\( = x^{18} + 6x^{15} + 15x^{12} + 20x^9 + 15x^6 + 6x^3 + 1 \)

Sorunun çözümünde binom açılımını kullanalım.

\( (0,84)^5 = (1 - 0,16)^5 \)

Elde ettiğimiz ifadenin açılımını yazalım.

\( (1 - 0,16)^5 = \binom{5}{0}1^5(-0,16)^0 + \binom{5}{1}1^4(-0,16)^1 + \binom{5}{2}1^3(-0,16)^2 + \binom{5}{3}1^2(-0,16)^3 + \binom{5}{4}1^1(-0,16)^4 + \binom{5}{5}1^0(-0,16)^5 \)

\( = 1 \cdot 1 \cdot 1 + 5 \cdot 1 \cdot \dfrac{-16}{10^2} + 10 \cdot 1 \cdot \dfrac{16^2}{10^4} + 10 \cdot 1 \cdot \dfrac{-16^3}{10^6} + 5 \cdot 1 \cdot \dfrac{16^4}{10^8} + 1 \cdot 1 \cdot \dfrac{-16^5}{10^{10}} \)

Bu açılımda virgülden sonraki 2. basamağı etkileyebilecek olan terimleri dikkate almamız yeterlidir.

\( = 1 - 0,8 + 0,256 - 0,04096 + \ldots \)

\( = 0,41\ldots \)

Buna göre virgülden sonraki ikinci basamak 1'dir.

\( 11 = 10 + 1 \) eşitliğini kullanarak sayıyı bir binom ifadeye dönüştürelim ve açılımını yazalım.

\( 11^{75} = (10 + 1)^{75} \)

Binom açılımı aşağıdaki gibidir.

\( (x + y)^n = \binom{n}{0} \cdot x^n \cdot y^0 + \binom{n}{1} \cdot x^{n - 1} \cdot y^1 + \ldots + \binom{n}{k} \cdot x^{n - k} \cdot y^k + \ldots + \binom{n}{n} \cdot x^{n - n} \cdot y^n \)

Bu açılımı \( (10 + 1)^{75} \) için yazalım.

\( (10 + 1)^{75} = \binom{75}{0} \cdot 10^{75} \cdot 1^0 + \binom{75}{1} \cdot 10^{74} \cdot 1^1 + \binom{75}{2} \cdot 10^{73} \cdot 1^2 + \ldots + \binom{75}{73} \cdot 10^2 \cdot 1^{73} + \binom{75}{74} \cdot 10^1 \cdot 1 ^{74} + \binom{75}{75} \cdot 10^0 \cdot 1^{75} \)

Görülebileceği üzere, açılımdaki 76 terimden ilk 74'ünde 10'un kuvveti 2'ye eşit ya da daha büyüktür, dolayısıyla bu terimler 100'e tam bölünür ve son iki basamakları sıfırdır.

Buna göre \( 11^{75} \)'in son iki basamağı son iki terimin toplamının son iki basamağına eşit olur.

\( \binom{75}{74} \cdot 10^1 \cdot 1^{74} + \binom{75}{75} \cdot 10^0 \cdot 1^{75} \)

\( = 75 \cdot 10 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot 1 \)

\( = 751 \)

\( 11^{75} \) sayısının son iki basamağının toplamı \( 5 + 1 = 6 \) olur.

Verilen açılım \( (k + 1) \). terimi aşağıdaki ifade olan binom açılımıdır.

\( T_{k + 1} = \binom{12}{k} 10^{12 - k}(-1)^k \)

Buna göre ifade aşağıdaki gibidir.

\( (10 - 1)^{12} = 9^{12} = 3^{24} \) bulunur.

\( n. \) dereceden bir binom ifadenin açılımında \( n + 1 \) terim vardır.

\( n + 1 = 13 \)

\( n = 12 \) bulunur.

\( (x + 2)^5 \) ifadesinin açılımında \( 5 + 1 = 6 \) terim vardır.

\( (x - y)^8 \) ifadesinin açılımında \( 8 + 1 = 9 \) terim vardır.

\( (x + 2)^5 \cdot (x - y)^8 \) ifadesinin açılımı birinci ifadenin açılımındaki 6 terimin her birinin ikinci ifadenin açılımındaki 9 terimin her biri ile çarpılması ile oluşur, dolayısıyla bu iki ifadenin açılımlarının çarpılması sonucunda oluşan ifadede \( 6 \cdot 9 = 54 \) terim vardır.

Bu iki ifadenin \( x \) terimleri benzer olsa da ikinci terimleri benzer olmadığı için (\( 2 \) ve \( -y \)), her iki ifadenin açılımlarının çarpımları sonucunda oluşan 54 terimli ifadede benzer terimler oluşmayacak, dolayısıyla benzer terimlerin aralarında toplanması sonucunda terim sayısı azalmayacaktır.

Bir binom ifadenin açılımındaki sabit terimi bulmak için ifadedeki tüm değişkenlere 0 değeri verilir ve açılımda değişken içeren terimlerin yok olması sağlanır.

\( x = 0 \) yazalım.

\( (0^2 - 3)^4 = (-3)^4 = 81 \) bulunur.

Bir binom ifadenin açılımındaki katsayılar toplamını bulmak için ifadedeki tüm değişkenlere 1 değeri verilir ve açılımdaki değişkenlerin yok olması sağlanır.

\( a = b = 1 \) yazalım.

\( (1 - 3(1))^6 = (-2)^6 = 64 \) bulunur.

Bir binom ifadenin açılımındaki katsayılar toplamını bulmak için ifadedeki tüm değişkenlere 1 değeri verilir ve açılımdaki değişkenlerin yok olması sağlanır.

\( (1^3 - \dfrac{2}{1^2})^n = (-1)^n \)

\( n \). dereceden bir binom ifadenin açılımında \( n + 1 \) terim vardır.

Katsayılar toplamını terim sayısına bölerek katsayıların aritmetik ortalamasına eşitleyelim.

\( \dfrac{(-1)^n}{n + 1} = \dfrac{1}{5} \)

Bu eşitliği sağlayan \( n \) değeri 4'tür.