\( (x + y)^n \) ifadesinin açılımındaki \( (k + 1) \). terimi aşağıda formülle bulabiliriz. Bu formülde dikkat etmemiz gereken husus, binom katsayısına ve değişkenlerin kuvvetlerine \( k \) değerini verdiğimizde açılımın \( k \). değil, \( (k + 1). \) terimini buluyor olmamızdır.
SORU:
\( (2x^2 + 8y)^n \) ifadesinin açılımındaki bir terim \( Ax^8y^5 \) olduğuna göre, \( n \) doğal sayısı kaçtır?
Çözümü Göster
\( (x + y)^n \) ifadesinin açılımındaki \( (k + 1). \) terim aşağıdaki formülle bulunur.
\( \binom{n}{k} x^{n - k}y^k \)
Buna göre, \( (2x^2 + 8y)^n \) ifadesinin açılımındaki \( (k + 1). \) terim aşağıdaki gibi olur.
\( \binom{n}{k}(2x^2)^{n - k}(8y)^k \)
İfadenin açılımındaki bir terim \( Ax^8y^5 \) olduğuna göre iki ifadeyi eşitleyelim.
\( \binom{n}{k}(2x^2)^{n - k}(8y)^k = Ax^8y^5 \)
\( \binom{n}{k}2^{n - k}x^{2(n - k)}8^ky^k = Ax^8y^5 \)
İfadenin her iki tarafındaki \( x \) ve \( y \) değişkenlerinin kuvvetleri birbirine eşit olmalıdır.
\( x \) için: \( 2(n - k) = 8 \)
\( y \) için: \( k = 5 \)
Buna göre,
\( 2(n - 5) = 8 \Longrightarrow n = 9 \) bulunur.
Bulduğumuz sonucun sağlamasını yapmak adına \( (2x^2 + 8y)^9 \) ifadesinin açılımındaki 6. terimi bulmak için \( k = 5 \) koyalım.
\( \binom{9}{5}(2x^2)^{9 - 5}(8y)^5 \)
\( = \binom{9}{5}2^4x^88^5y^5 \)
Açılımdaki 6. terimin değişken kısmının \( x^8y^5 \) olduğunu bu şekilde teyit etmiş olduk.
SORU:
\( (2x^3 - 4y^2)^n \) ifadesinin açılımındaki bir terim \( Ax^9y^8 \) olduğuna göre, n doğal sayısı kaçtır?
Çözümü Göster
\( (x + y)^n \) ifadesinin açılımındaki \( (k + 1). \) terim aşağıdaki formülle bulunur.
\( \binom{n}{k} x^{n - k}y^k \)
Buna göre, \( (2x^3 - 4y^2)^n \) ifadesinin açılımındaki \( (k + 1). \) terim aşağıdaki gibi olur.
\( \binom{n}{k}(2x^3)^{n - k}(-4y^2)^k \)
İfadenin açılımındaki bir terim \( Ax^9y^8 \) olduğuna göre iki ifadeyi eşitleyelim.
\( \binom{n}{k}(2x^3)^{n - k}(-4y^2)^k = Ax^9y^8 \)
\( = \binom{n}{k}2^{n - k}x^{3(n - k)}(-4)^ky^{2k} = Ax^9y^8 \)
İfadenin her iki tarafındaki \( x \) ve \( y \) değişkenlerinin kuvvetleri birbirine eşit olmalıdır.
\( x \) için: \( 3(n - k) = 9 \)
\( y \) için: \( 2k = 8 \)
Buna göre,
\( k = 4 \)
\( n - k = 3 \Longrightarrow n = 7 \) bulunur.
SORU:
\( (a^4 + \dfrac{2}{a})^5 \) ifadesinin açılımındaki \( a^{10} \)'lu terimin katsayısı kaçtır?
Çözümü Göster
\( (x + y)^n \) ifadesinin açılımındaki \( (k + 1). \) terim aşağıdaki formülle bulunur.
\( \binom{n}{k} x^{n - k}y^k \)
Buna göre, \( (a^4 + \frac{2}{a})^5 \) ifadesinin açılımındaki \( (k + 1). \) terim aşağıdaki gibi olur.
\( \binom{5}{k}(a^4)^{5 - k}(\frac{2}{a})^k \)
\( = \binom{5}{k}a^{4(5 - k)}\frac{2^k}{a^k} \)
İfadedeki sabit sayıları başa alıp \( a \) değişkenini içeren çarpanları birleştirelim.
\( = \binom{5}{k} \cdot 2^k a^{20 - 4k}a^{-k} \)
\( = \binom{5}{k} \cdot 2^k a^{20 - 5k} \)
\( a \)'nın üssünün 10 olabilmesi için \( k \)'nın alması gereken değeri bulalım.
\( 20 - 5k = 10 \Longrightarrow k = 2 \)
Bu değeri yukarıdaki genel terim bulma formülünde yerine koyalım.
\( \binom{5}{2} \cdot 2^2 a^{20 - 5(2)} \)
\( = 10 \cdot 4a^{10} \)
\( = 40a^{10} \)
Buna göre \( a^{10} \)'lu terimin katsayısı 40'tır.
\( \binom{5}{2} = \dfrac{5!}{2!3!} = 10 \)
SORU:
\( (x^3 - \dfrac{1}{x^4})^7 \) ifadesinin açılımındaki sabit terim kaçtır?
Çözümü Göster
Bu ifadenin açılımındaki sabit terim her iki terimden gelen \( x \)'li ifadeler sadeleşerek \( A \cdot x^0 \) şeklinde bir terim oluştuğunda oluşur.
\( (x + y)^n \) ifadesinin açılımındaki \( (k + 1). \) terim aşağıdaki formülle bulunur.
\( \binom{n}{k} x^{n - k}y^k \)
Buna göre, \( (x^3 - \frac{1}{x^4})^7 \) ifadesinin açılımındaki \( (k + 1). \) terim aşağıdaki gibi olur.
\( \binom{7}{k}(x^3)^{7 - k}(-\frac{1}{x^4})^k \)
\( = \binom{7}{k}x^{3(7 - k)}\frac{(-1)^k }{x^{4k}} \)
\( = (-1)^k \cdot \binom{7}{k} x^{3(7 - k)}x^{-4k} \)
\( = (-1)^k \cdot \binom{7}{k} x^{3(7 - k) - 4k} \)
\( x \)'li terimin üssünü sıfıra eşitleyelim.
\( 3(7 - k) - 4k = 0 \)
\( 21 - 3k - 4k = 0 \)
\( k = 3 \)
Buna göre \( k = 3 \) olduğunda binom açılımında sabit terim oluşmaktadır. Açılımdaki bu terimi yukarıdaki genel terim bulma formülü ile bulalım.
\( (-1)^3 \cdot \binom{7}{3} x^0 \)
\( = -35 \)
Buna göre binom açılımının sabit terimi -35'tir.
\( \binom{7}{3} = \dfrac{7!}{3!4!} = 35 \)
SORU:
\( (\sqrt[3]{x} - \sqrt{x})^{13} \) ifadesinin açılımında değişken kısmı \( x^5 \) olan terimin katsayısı kaçtır?
Çözümü Göster
\( (x + y)^n \) ifadesinin açılımındaki \( (k + 1). \) terim aşağıdaki formülle bulunur.
\( \binom{n}{k} x^{n - k}y^k \)
Buna göre, \( (\sqrt[3]{x} - \sqrt{x})^{13} \) ifadesinin açılımındaki \( (k + 1). \) terim aşağıdaki gibi olur.
\( \binom{13}{k}(\sqrt[3]{x})^{13 - k}(\sqrt{x})^k \)
Bu ifadenin değişken kısmını \( x^5 \)'e eşitleyelim.
\( (\sqrt[3]{x})^{13 - k}(\sqrt{x})^k = x^5 \)
\( x^\frac{13 - k}{3}x^\frac{k}{2} = x^5 \)
\( x^{\frac{13 - k}{3} + \frac{k}{2}} = x^5 \)
Tabanlar eşit olduğu için üsleri eşitleyelim.
\( \frac{13 - k}{3} + \frac{k}{2} = 5 \)
\( \frac{2(13 - k)}{6} + \frac{3k}{6} = 5 \)
\( \frac{26 - 2k + 3k}{6} = 5 \)
\( 26 + k = 30 \)
\( k = 4 \)
Buna göre açılımda \( k = 4 \) olduğunda \( x^5 \)'li terim oluşmaktadır. Bu terimi genel terim bulma formülünde \( k = 4 \) koyarak bulalım.
\( \binom{13}{4}(\sqrt[3]{x})^{13 - 4}(\sqrt{x})^4 \)
\( = 715(\sqrt[3]{x})^9\sqrt{x}^4 \)
\( = 715x^3x^2 \)
\( = 715x^5 \)
Buna göre \( x^5 \)'li terimin katsayısı 715'tir.
\( \binom{13}{4} = \dfrac{13!}{4!9!} = 715 \)
SORU:
\( (\sqrt[4]{3} + \sqrt{3})^6 \) ifadesinin açılımındaki rasyonel terimler nedir?
Çözümü Göster
\( (x + y)^n \) ifadesinin açılımındaki \( (k + 1). \) terim aşağıdaki formülle bulunur.
\( \binom{n}{k} x^{n - k}y^k \)
Buna göre, \( (\sqrt[4]{3} + \sqrt{3})^6 \) ifadesinin açılımındaki \( (k + 1). \) terim aşağıdaki gibi olur.
\( \binom{6}{k}(\sqrt[4]{3})^{6 - k}(\sqrt{3})^k \)
\( = \binom{6}{k}3^{\frac{6 - k}{4}} 3^{\frac{k}{2}} \)
\( = \binom{6}{k}3^{\frac{6 - k}{4} + \frac{k}{2}} \)
\( = \binom{6}{k}3^{\frac{6 + k}{4}} \)
Bu terimin rasyonel olması için, \( \frac{6 + k}{4} \) ifadesi bir tamsayı olmalıdır. \( 0 \le k \le 6 \) olduğunu da dikkate alırsak \( k = 2 \) ve \( k = 6 \) bulunur.
Bu değerleri yukarıdaki \( (k + 1). \) terim formülünde yerine yazalım.
\( k = 2 \) için,
\( \binom{6}{2} (\sqrt[4]{3})^{6 - 2}(\sqrt{3})^2 \)
\( = 15 \sqrt[4]{3}^4\sqrt{3}^2 \)
\( = 15 \cdot 3 \cdot 3 = 135 \)
\( k = 6 \) için,
\( = \binom{6}{6} (\sqrt[4]{3})^{6 - 6}(\sqrt{3})^6 \)
\( = 1 \sqrt[4]{3}^0\sqrt{3}^6 \)
\( = 3^3 = 27 \)
O halde, verilen ifadenin açılımındaki rasyonel terimler 135 ve 27 olur.
\( \binom{6}{2} = \dfrac{6!}{2!4!} = 15 \)
\( \binom{6}{6} = \dfrac{6!}{6!0!} = 1 \)
\( n \) çift sayı ise \( n \). dereceden bir binom ifadenin \( (\frac{n}{2} + 1). \) terimi ortadaki terimdir. Bu terimi bulmak için formülde \( k = \frac{n}{2} \) koymamız gerekir.
\( n \) tek sayı ise terim sayısı çift sayı olacağı için açılımda orta terim olmaz.
Bir binom açılımındaki bir terimin baştan ve sondan kaçıncı terim olduğunu gösteren sayıların toplamı toplam terim sayısının bir fazlasına, yani binom ifadenin derecesinin iki fazlasına eşittir.
Baştan ve sondan terimler arası ilişki aşağıdaki şekilde gösterilmiştir. Buna göre, \( (x + y)^6 \) ifadesinin açılımında 7 terim vardır. Baştan 3. terim sondan 5. terimdir (3 + 5 = 7 + 1) ve sondan 2. terim baştan 6. terimdir (6 + 2 = 7 + 1).
Bir binom açılımında sondan belirli bir terimi bulmamız istenirse önce bu terimin baştan kaçıncı terim olduğunu bularak \( (k + 1). \) terim formülü ile istenen terimi bulabiliriz.
