Binom Açılımında Terim Bulma

\( n \) çift sayı olduğu için ortadaki terim \( \frac{n}{2} + 1 = \frac{10}{2} + 1 = 6 \). terimdir.

6. terimi bulmak için formülde \( k = 5 \) yazalım.

\( T_6 = \binom{10}{5} (\tan{40°})^5 (\tan{50°})^5 \)

\( \tan{50°} = \cot{40°} \) ve \( \tan{40°}\cot{40°} = 1 \) özdeşliklerini kullanalım.

\( = \binom{10}{5} (\tan{40°})^5 (\cot{40°})^5 \)

\( = \binom{10}{5} (\tan{40°}\cot{40°})^5 \)

\( = \binom{10}{5} 1^5 = 252 \) bulunur.

\( (x + y)^n \) formundaki bir ifadenin açılımındaki \( (k + 1) \). terim aşağıdaki formülle bulunur.

\( T_{k+1} = \binom{n}{k} x^{n - k}y^k \)

(a) seçeneği:

\( (x^2 - 2)^7 \) ifadesindeki 5. terimi bulmak için formülde \( k = 4 \) yazalım.

\( T_5 = \binom{7}{4}\ (x^2)^{7 - 4}\ (-2)^4 \)

\( = 35 \cdot x^6 \cdot 16 \)

\( = 560x^6 \)

(b) seçeneği:

\( (2x + \dfrac{y}{2})^{14} \) ifadesindeki 12. terimi bulmak için formülde \( k = 11 \) yazalım.

\( T_{12} = \binom{14}{11}\ (2x)^{14 - 11}\ (\dfrac{y}{2})^{11} \)

\( = 364 \cdot 2^3x^3 \cdot \dfrac{y^{11}}{2^{11}} \)

\( = \dfrac{91x^3y^{11}}{64} \)

(c) seçeneği:

\( (\sqrt{x} - 1)^{20} \) ifadesindeki 17. terimi bulmak için formülde \( k = 16 \) yazalım.

\( T_{17} = \binom{20}{16}\ (\sqrt{x})^{20 - 16}\ 1^{16} \)

\( = 4845 \cdot x^2 \cdot 1 \)

\( = 4845x^2 \)

\( (x + y)^n \) formundaki bir ifadenin açılımındaki \( (k + 1) \). terim aşağıdaki formülle bulunur.

\( T_{k + 1} = \binom{n}{k} x^{n - k}y^k \)

Binom ifadenin birinci terimi sabit olduğu için \( x^2 \)'li terim \( k = 2 \) olduğunda elde edilir.

Formülde \( k = 2 \) yazarak açılımın 3. terimini bulalım.

\( T_3 = \binom{5}{2} \cdot 5^3 \cdot (4x)^2 \)

\( = 10 \cdot 125 \cdot 16x^2 \)

\( = 20000x^2 \)

\( x^2 \)'li terimin katsayısı \( 20000 \) olarak bulunur.

\( (x + y)^n \) formundaki bir ifadenin açılımındaki \( (k + 1) \). terim aşağıdaki formülle bulunur.

\( T_{k + 1} = \binom{n}{k} x^{n - k}y^k \)

Bu formülü verilen ifadeye uygulayalım.

\( T_{k + 1} = \binom{10}{k}(x^3)^{10 - k}(-x^{-2})^{k} \)

\( = \binom{10}{k}x^{30 - 3k}(-1)^{k}x^{-2k} \)

\( = \binom{10}{k}(-1)^{k}x^{30 - 5k} \)

\( x \)'in üssünün 5 olması için \( k \)'nın alması gereken değeri bulalım.

\( 30 - 5k = 5 \Longrightarrow k = 5 \)

Formülde \( k = 5 \) yazarak açılımın 6. terimini bulalım.

\( T_6 = \binom{10}{5}(-1)^{5}x^{30 - 5(5)} \)

\( = -252x^5 \)

Buna göre \( a^5 \)'li terimin katsayısı \( -252 \) olarak bulunur.

\( (x + y)^n \) formundaki bir ifadenin açılımındaki \( (k + 1) \). terim aşağıdaki formülle bulunur.

\( T_{k + 1} = \binom{n}{k} x^{n - k}y^k \)

Bu formülü verilen ifadeye uygulayalım.

\( T_{k + 1} = \binom{13}{k}(\sqrt[3]{x})^{13 - k}(-\sqrt{x})^k \)

\( = \binom{13}{k}(\sqrt[3]{x})^{13 - k}(\sqrt{x})^k(-1)^k \)

\( = \binom{13}{k}x^{\frac{13 - k}{3}}x^{\frac{k}{2}}(-1)^k \)

\( = \binom{13}{k}x^{\frac{13 - k}{3} + \frac{k}{2}}(-1)^k \)

\( = \binom{13}{k}x^{\frac{26 + k}{6}}(-1)^k \)

\( x \)'in üssünün 5 olması için \( k \)'nın alması gereken değeri bulalım.

\( \dfrac{26 + k}{6} = 5 \)

\( k = 4 \)

Formülde \( k = 4 \) yazarak açılımın 5. terimini bulalım.

\( T_5 = \binom{13}{4}x^{\frac{26 + 4}{6}}(-1)^4 \)

\( = 715x^5 \)

Buna göre \( x^5 \)'li terimin katsayısı 715'tir.

\( (x + y)^n \) formundaki bir ifadenin açılımındaki \( (k + 1) \). terim aşağıdaki formülle bulunur.

\( T_{k + 1} = \binom{n}{k} x^{n - k}y^k \)

Bu formülü verilen ifadeye uygulayalım.

\( T_{k + 1} = \binom{8}{k} \cdot (\dfrac{2^4}{3x})^{8 - k} \cdot (-\dfrac{3^3x^3}{2^2})^k \)

\( = \binom{8}{k} \cdot \dfrac{2^{32 - 4k}}{3^{8 - k} \cdot x^{8 - k}} \cdot \dfrac{(-1)^k \cdot 3^{3k} \cdot x^{3k}}{2^{2k}} \)

\( = \binom{8}{k} \cdot 2^{32 - 6k} \cdot (-1)^k \cdot 3^{4k - 8} \cdot x^{4k - 8} \)

\( x \)'in üssünün 20 olması için \( k \)'nın alması gereken değeri bulalım.

\( 4k - 8 = 20 \Longrightarrow k = 7 \)

\( k = 7 \) vererek açılımın 8. terimini bulalım.

\( T_8 = \binom{8}{7} \cdot 2^{32 - 6(7)} \cdot (-1)^7 \cdot 3^{4(7) - 8} \cdot x^{4(7) - 8} \)

\( = 8 \cdot 2^{-10} \cdot (-1) \cdot 3^{20} \cdot x^{20} \)

\( = -\dfrac{3^{20}}{2^7}x^{20} \)

\( x^{20} \)'li terimin katsayısı \( -\dfrac{3^{20}}{2^7} \) olarak bulunur.

\( (x + y)^n \) formundaki bir ifadenin açılımındaki \( (k + 1) \). terim aşağıdaki formülle bulunur.

\( T_{k + 1} = \binom{n}{k} x^{n - k}y^k \)

Bu formülü verilen ifadeye uygulayalım.

\( T_{k + 1} = \binom{n}{k}(2x^2)^{n - k}(8y)^k \)

\( = \binom{n}{k}2^{n - k}x^{2n - 2k}2^{3k}y^k \)

\( = \binom{n}{k}2^{n + 2k}x^{2n - 2k}y^k \)

İfadenin açılımındaki bir terim \( Ax^8y^5 \) olduğuna göre iki ifadeyi eşitleyelim.

\( \binom{n}{k}2^{n + 2k}x^{2n - 2k}y^k = Ax^8y^5 \)

İfadenin her iki tarafındaki \( x \) ve \( y \) değişkenlerinin kuvvetleri birbirine eşit olmalıdır.

\( y \) için:

\( k = 5 \)

\( x \) için:

\( 2n - 2k = 8 \)

\( 2n - 2(5) = 8 \)

\( n = 9 \) olarak bulunur.

Terimleri birinci dereceden değişkenler olan bir binom ifadenin açılımındaki her terimde dereceler toplamı \( n \) olur.

\( Ax^2y^4 \) açılımın terimlerinden biri olduğuna göre \( n = 2 + 4 = 6 \) olur.

\( (x + y)^n \) formundaki bir ifadenin açılımındaki \( (k + 1) \). terim aşağıdaki formülle bulunur.

\( T_{k + 1} = \binom{n}{k} x^{n - k}y^k \)

Bu formülü verilen ifadeye uygulayalım.

\( T_5 = \binom{6}{4} \cdot x^2 \cdot (-2y)^4 = Ax^2y^4 \)

\( = 15 \cdot x^2 \cdot 16y^4 = Ax^2y^4 \)

\( A = 15 \cdot 16 = 240 \)

\( \frac{A}{n} = \frac{240}{6} = 40 \) olarak bulunur.

Binom açılımında çarpanların üslerinin toplamı tüm terimlerde \( n \)'ye eşit olur.

\( x + y = 17 \)

Buna göre verilen terim \( \binom{17}{6}a^xb^y \) olur.

\( \binom{17}{6} = \binom{17}{11} \) olduğu için \( (x, y) \) ikilisi \( (11, 6) \) ya da \( (6, 11) \) olabilir.

\( x \gt y \) olarak veriliyor.

Buna göre \( x = 11 \) ve \( y = 6 \) olur.

\( x - y = 5 \) bulunur.

\( (x + y)^n \) formundaki bir ifadenin açılımındaki \( (k + 1) \). terim aşağıdaki formülle bulunur.

\( T_{k + 1} = \binom{n}{k} x^{n - k}y^k \)

Açılımda verilen terimi \( (k + 1) \). terim olarak kabul edelim.

\( T_{k + 1} = \binom{9}{k} (x^2y)^{9 - k} (-\dfrac{x}{y})^k \)

\( = \binom{9}{k} x^{18 - 2k} y^{9 - k} \dfrac{x^k}{y^k} (-1)^k \)

\( = \binom{9}{k} x^{18 - k} y^{9 - 2k} (-1)^k \)

Bu terimi soruda verilen açılımdaki terime eşitleyelim.

\( \binom{9}{k} x^{18 - k} y^{9 - 2k} (-1)^k = m\dfrac{x^{13}}{y} \)

\( 18 - k = 13 \)

\( 9 - 2k = -1 \)

Her iki eşitliği de sağlayan \( k \) değeri 5'tir.

Formülde \( k = 5 \) yazarak açılımın 6. terimini bulalım.

\( T_6 = \binom{9}{5} x^{18 - 5} y^{9 - 2(5)} (-1)^k \)

\( = -126 x^{13} y^{-1} \)

Buna göre \( m = -126 \) bulunur.

Tam sayı terim elde etmek için \( \sqrt[3]{5} \) ifadesinin üssü 0, 3 ya da 6 olmalıdır.

Formülde \( k = 0 \) yazarak açılımın 1. terimini bulalım.

\( T_1 = \binom{6}{0} \cdot 1^{6 - 0} \cdot (\sqrt[3]{5})^0 = 1 \cdot 1^6 \cdot 1 = 1 \)

Formülde \( k = 3 \) yazarak açılımın 4. terimini bulalım.

\( T_4 = \binom{6}{3} \cdot 1^{6 - 3} \cdot (\sqrt[3]{5})^3 = 20 \cdot 1^3 \cdot 5^{\frac{3}{3}} = 100 \)

Formülde \( k = 6 \) yazarak açılımın 7. terimini bulalım.

\( T_7 = \binom{6}{6} \cdot 1^{6 - 6} \cdot (\sqrt[3]{5})^6 = 1 \cdot 1^0 \cdot 5^{\frac{6}{3}} = 25 \)

Bulduğumuz tam sayı değerlerin toplamını alalım.

\( 1 + 100 + 25 = 126 \) bulunur.

\( (x + y)^n \) formundaki bir ifadenin açılımındaki \( (k + 1) \). terim aşağıdaki formülle bulunur.

\( T_{k + 1} = \binom{n}{k} x^{n - k}y^k \)

Bu formülü verilen ifadeye uygulayalım.

\( T_{k + 1} = \binom{6}{k}(\sqrt[4]{3})^{6 - k}(\sqrt{3})^k \)

\( = \binom{6}{k}3^{\frac{6 - k}{4}} 3^{\frac{k}{2}} \)

\( = \binom{6}{k}3^{\frac{6 + k}{4}} \)

Bu terimin rasyonel olması için, \( \frac{6 + k}{4} \) ifadesi bir tam sayı olmalıdır. \( 0 \le k \le 6 \) olduğunu da dikkate alırsak \( k = 2 \) ve \( k = 6 \) bulunur.

Formülde \( k = 2 \) yazarak açılımın 3. terimini bulalım.

\( T_3 = \binom{6}{2} (\sqrt[4]{3})^{6 - 2}(\sqrt{3})^2 \)

\( = 15 \sqrt[4]{3}^4\sqrt{3}^2 \)

\( = 15 \cdot 3 \cdot 3 = 135 \)

Formülde \( k = 6 \) yazarak açılımın 7. terimini bulalım.

\( T_7 = \binom{6}{6} (\sqrt[4]{3})^{6 - 6}(\sqrt{3})^6 \)

\( = 1 \sqrt[4]{3}^0\sqrt{3}^6 \)

\( = 3^3 = 27 \)

Bulduğumuz rasyonel değerlerin toplamını alalım.

\( 135 + 27 = 162 \) bulunur.

\( (1 - \sqrt{5})^6 \) ifadesinin binom açılımını yazalım.

\( (1 - \sqrt{5})^6 = \binom{6}{0}1^6 (-\sqrt{5})^0 + \binom{6}{1}1^5 (-\sqrt{5})^1 + \binom{6}{2}1^4 (-\sqrt{5})^2 + \binom{6}{3}1^3 (-\sqrt{5})^3 + \binom{6}{4}1^2 (-\sqrt{5})^4 + \binom{6}{5}1^1 (-\sqrt{5})^5 + \binom{6}{6}1^0 (-\sqrt{5})^6 \)

\( = 1 + 6 \cdot (-\sqrt{5}) + 15 \cdot 5 + 20 \cdot (-5\sqrt{5}) + 15 \cdot 25 + 6 \cdot (-25\sqrt{5}) + 125 \)

\( = 1 - 6\sqrt{5} + 75 - 100\sqrt{5} + 375 - 150\sqrt{5} + 125 \)

\( = 576 - 256\sqrt{5} \)

\( m = 576 \) ve \( k = -256 \) olarak bulunur.

\( (x + y)^n \) formundaki bir ifadenin açılımındaki \( (k + 1) \). terim aşağıdaki formülle bulunur.

\( T_{k + 1} = \binom{n}{k} x^{n - k}y^k \)

Bu formülü verilen ifadeye uygulayalım ve \( x^6 \)'lı terime \( (k + 1). \) terim diyelim.

\( T_{k + 1} = \binom{8}{k} \cdot (\dfrac{3}{x})^{8 - k} \cdot (\dfrac{-x}{3})^k \)

\( = \binom{8}{k} \cdot \dfrac{3^{8 - k}}{x^{8 - k}} \cdot \dfrac{(-x)^k}{3^k} \)

\( -x \)'in işareti \( k \)'ya bağlı olduğu için \( -1 \) çarpanını \( x \)'ten ayıralım.

\( = \binom{8}{k} \cdot 3^{8 - 2k} \cdot x^{2k - 8} \cdot (-1)^k \)

\( x \)'in üssünü 6 yapan \( k \) değerini bulalım.

\( 2k - 8 = 6 \Longrightarrow k = 7 \)

Formülde \( k = 7 \) yazarak açılımın 8. terimini bulalım.

\( T_8 = \binom{8}{7} \cdot 3^{8 - 2(7)} \cdot x^{2(7) - 8} \cdot (-1)^7 \)

\( = 8 \cdot 3^{-6} \cdot x^6 \cdot (-1) \)

\( = -\dfrac{8}{729}x^6 \)

Buna göre \( x^6 \)'lı terimin katsayısı \( -\frac{8}{729} \) olarak bulunur.

\( (x + y)^n \) formundaki bir ifadenin açılımındaki \( (k + 1) \). terim aşağıdaki formülle bulunur.

\( T_{k + 1} = \binom{n}{k} x^{n - k}y^k \)

Bu formülü verilen ifadeye uygulayalım ve \( x \)'li terimi \( (k + 1). \) terim olarak kabul edelim.

\( T_{k+1} = \binom{7}{k} x^{7 - k}{(\dfrac{1}{mx^2})^k} \)

\( = \binom{7}{k} x^{7 - k}{\dfrac{1}{m^kx^{2k}}} \)

\( = \binom{7}{k} \dfrac{x^{7 - 3k}}{m^k} \)

\( x \)'in üssünün 1 olması için \( k \)'nın alması gereken değeri bulalım.

\( 7 - 3k = 1 \Longrightarrow k = 2 \)

Formülde \( k = 2 \) yazarak açılımın 3. terimini bulalım.

\( T_3 = \binom{7}{2} \dfrac{x^{7 - 3(2)}}{m^2} \)

\( = 21 \dfrac{x}{m^2} \)

Bu terimin katsayısı \( \frac{525}{4} \) olarak veriliyor.

\( \dfrac{21}{m^2} = \dfrac{525}{4} \)

\( m^2 = \dfrac{4}{25} \)

\( m \lt 0 \) olarak veriliyor.

\( m = -\dfrac{2}{5} \) olarak bulunur.

\( (x + y)^n \) formundaki bir ifadenin açılımındaki \( (k + 1) \). terim aşağıdaki formülle bulunur.

\( T_{k + 1} = \binom{n}{k} x^{n - k}y^k \)

Formülde \( k = 11 \) yazarak açılımın 12. terimini bulalım.

\( T_{12} = \binom{24}{11} \cdot 1^{24 - 11} \cdot (x^2)^{11} \)

\( = \dfrac{24!}{11! \cdot 13!} \cdot x^{22} \)

Formülde \( k = 12 \) yazarak açılımın 13. terimini bulalım.

\( T_{13} = \binom{24}{12} \cdot 1^{24 - 12} \cdot (x^2)^{12} \)

\( = \dfrac{24!}{12! \cdot 12!} \cdot x^{24} \)

Bu iki terim birbirine eşittir.

\( \dfrac{24!}{11! \cdot 13!} \cdot x^{22} = \dfrac{24!}{12! \cdot 12!} \cdot x^{24} \)

\( \dfrac{x^{22}}{13} = \dfrac{x^{24}}{12} \)

\( x^2 = \dfrac{12}{13} \)

\( x \in \{\sqrt{\frac{12}{13}}, -\sqrt{\frac{12}{13}}\} \) olarak bulunur.

Açılımın ilk üç terimini yazalım.

\( (x^3 - \dfrac{1}{x^2})^m = \binom{m}{0}(x^3)^m(\dfrac{-1}{x^2})^0 + \binom{m}{1}(x^3)^{m - 1}(\dfrac{-1}{x^2})^1 + \binom{m}{2}(x^3)^{m - 2}(\dfrac{-1}{x^2})^2 + \ldots \)

Bu üç terimin katsayılarının toplamını 15'tir.

\( \dfrac{m!}{0! \cdot m!} + \dfrac{m!}{(m - 1)! \cdot 1!} \cdot (-1) + \dfrac{m!}{(m - 2)! \cdot 2!} = 15 \)

\( 1 - m + \dfrac{m \cdot (m - 1)}{2} = 15 \)

\( \dfrac{-2m + m^2 - m}{2} = 14 \)

\( m^2 - 3m - 28 = 0 \)

\( (m - 7)(m + 4) = 0 \)

\( m = 7 \) veya \( m = -4 \)

\( m \) doğal sayı olabileceği için \( m = -4 \) geçerli bir çözüm değildir.

\( m = 7 \)

\( x \)'li terimin katsayısını bulalım.

\( (x + y)^n \) formundaki bir ifadenin açılımındaki \( (k + 1) \). terim aşağıdaki formülle bulunur.

\( T_{k + 1} = \binom{n}{k} x^{n - k}y^k \)

\( x \)'li terime \( (k + 1). \) terim diyelim.

\( T_{k + 1} = \binom{7}{k} \cdot (x^3)^{7 - k} \cdot (-x^{-2})^k \)

\( = \binom{7}{k} \cdot x^{21 - 3k} \cdot x^{-2k} \cdot (-1)^k \)

\( = \binom{7}{k} \cdot x^{21 - 5k} \cdot (-1)^k \)

\( x \)'in derecesini 1 yapan \( k \) değerini bulalım.

\( 21 - 5k = 1 \Rightarrow k = 4 \)

Formülde \( k = 4 \) yazarak açılımın 5. terimini bulalım.

\( T_5 = \binom{7}{4} \cdot x^{21 - 5(4)} \cdot (-1)^4 \)

\( = 35x \)

Buna göre \( x \)'li terimin katsayısı 35 olarak bulunur.

Bir ifadenin sabit terimini bilinmeyenlere 0 vererek bulabiliriz, ancak verilen ifadede 0 değeri tanımsızlık yaratacağı için farklı bir yol izlemeliyiz.

Bu ifadenin açılımındaki sabit terim her iki terimden gelen \( x \)'li çarpanlar birbirini götürdüğünde ve \( A \cdot x^0 \) şeklinde bir terim oluştuğunda oluşur.

\( (x + y)^n \) formundaki bir ifadenin açılımındaki \( (k + 1) \). terim aşağıdaki formülle bulunur.

\( T_{k + 1} = \binom{n}{k} x^{n - k}y^k \)

Sabit terimin oluştuğu terime \( ( k + 1) \). terim diyelim.

\( T_{k + 1} = \binom{7}{k}(x^3)^{7 - k}(-\frac{1}{x^4})^k \)

\( = \binom{7}{k}x^{21 - 3k}\frac{(-1)^k }{x^{4k}} \)

\( = \binom{7}{k} x^{21 - 7k}(-1)^k \)

\( x \)'in üssünün 0 olması için \( k \)'nın alması gereken değeri bulalım.

\( 21 - 7k = 0 \)

\( k = 3 \)

Formülde \( k = 3 \) yazarak açılımın 4. terimini bulalım.

\( T_4 = \binom{7}{3} x^{21 - 7(3)}(-1)^3 \)

\( = 35 x^0(-1) \)

\( = -35 \)

Buna göre verilen ifadenin açılımının sabit terimi -35'tir.

Bir ifadenin sabit terimini bilinmeyenlere 0 vererek bulabiliriz, ancak verilen ifadede 0 değeri tanımsızlık yaratacağı için farklı bir yol izlemeliyiz.

Bu ifadenin açılımındaki sabit terim her iki terimden gelen \( x \)'li çarpanlar birbirini götürdüğünde ve \( A \cdot x^0 \) şeklinde bir terim oluştuğunda oluşur.

\( (x + y)^n \) formundaki bir ifadenin açılımındaki \( (k + 1) \). terim aşağıdaki formülle bulunur.

\( T_{k + 1} = \binom{n}{k} x^{n - k}y^k \)

Sabit terimin oluştuğu terime \( ( k + 1) \). terim diyelim.

\( T_{k + 1} = \binom{5}{k}(\dfrac{x^3}{3})^{5 - k}(\dfrac{-9}{x^2})^k \)

\( = \binom{5}{k}\dfrac{x^{15 - 3k}}{3^{5 - k}}\dfrac{(-1)^k \cdot 3^{2k}}{x^{2k}} \)

\( = \binom{5}{k}x^{15 - 5k}3^{3k - 5}(-1)^3 \)

\( x \)'in üssünün 0 olması için \( k \)'nın alması gereken değeri bulalım.

\( 15 - 5k = 0 \)

\( k = 3 \)

Formülde \( k = 3 \) yazarak açılımın 4. terimini bulalım.

\( T_4 = \binom{5}{3}x^{15 - 5(3)}3^{3(3) - 5}(-1)^3 \)

\( = 10x^03^4(-1) \)

\( = -810 \)

Buna göre verilen ifadenin açılımının sabit terimi -810'dur.

Binom açılımının \( (k + 1) \). terimini yazalım.

\( T_{k + 1} = \binom{m}{k} (x^{\frac{1}{2}})^{m - k} (x^{-\frac{1}{5}})^k \)

\( = \binom{m}{k} x^{\frac{m - k}{2}} x^{-\frac{k}{5}} \)

\( = \binom{m}{k} x^{\frac{5m - 7k}{10}} \)

\( x \)'in üssünün 0 olması için \( k \)'nın alması gereken değeri bulalım.

\( 5m - 7k = 0 \)

\( m \) pozitif tam sayı, \( k \) doğal sayı ve \( k \le m \) olduğu için, \( m \) en küçük değerini \( k = 5 \) ve \( m = 7 \) olduğu durumda alır.

Buna göre açılımda sabit terim var olabilmesi için \( m \) en az 7 olmalıdır.

Verilen ifadenin binom açılımından yararlanarak \( A \) ve \( k \) değerlerini bulalım.

\( (5 + kx^2)^4 = \binom{4}{0} \cdot 5^4 \cdot (kx^2)^0 + \binom{4}{1} \cdot 5^3 \cdot (kx^2)^1 + \binom{4}{2} \cdot 5^2 \cdot (kx^2)^2 + \ldots \)

\( = 625 + 4 \cdot 125 \cdot kx^2 + 6 \cdot 25 \cdot k^2x^4 + \ldots \)

\( = 625 + 500kx^2 + 150k^2x^4 + \ldots \)

3. terimleri birbirine eşitleyelim.

\( \dfrac{200}{3}x^4 = 150k^2x^4 \)

\( \dfrac{4}{9} = k^2 \)

\( k \) pozitif olarak verilmiştir.

\( k = \dfrac{2}{3} \)

2. terimleri birbirine eşitleyelim.

\( Ax^2 = 500kx^2 \)

\( A = 500 \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{1000}{3} \)

\( kA \) çarpımını bulalım.

\( kA = \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{1000}{3} \)

\( = \dfrac{2000}{9} \) bulunur.

Binom ifadelerin açılımında terimler birinci terimin azalan kuvvetlerine göre sıralandığında \( (k + 1) \). terim aşağıdaki formülle bulunur.

\( T_{k + 1} = \binom{n}{k} x^{n - k}y^k \)

\( (a^5 + 9b^8)^{29} \) ifadesinde terimlerin yerini aralarında değiştirirsek açılımdaki sıralama \( a \)'nın artan kuvvetlerine göre olur.

Buna göre önce \( (9b^8 + a^5)^{29} \) ifadesinin açılımında \( b^{24} \)'lü terimin baştan kaçıncı terim olduğunu bulalım.

\( T_{k + 1} = \binom{29}{k} (9b^8)^{29 - k}(a^5)^k \)

\( b^{24} \)'lü terim için \( k = 26 \) olmalıdır.

\( T_{27} = \binom{29}{26} (9b^8)^{29 - 26}(a^5)^{26} \)

Buna göre \( b^{24} \)'lü terim açılımda baştan 27., sondan \( 29 + 2 - 27 = 4 \). terimdir.

\( (x + y)^n \) ifadesinin açılımındaki \( (k + 1) \). terim aşağıdaki formülle bulunur.

\( T_{k+1} = \binom{n}{k} x^{n - k}y^k \)

1. terimi bulmak için formülde \( k = 0 \) yazalım.

\( T_1 = \binom{8}{0} x^8y^0 \)

\( = x^8 \)

2. terimi bulmak için formülde \( k = 1 \) yazalım.

\( T_2 = \binom{8}{1} x^7y^1 \)

\( = 8x^7y \)

\( x = a \) ve \( y = b \) değerleri verildiğinde ilk iki terimin değeri birbirine eşit oluyor.

\( a^8 = 8a^7b \)

\( a = 8b \)

\( a + b = 1 \) olduğu biliniyor.

\( a + b = 8b + b = 1 \)

\( b = \dfrac{1}{9} \)

\( a = 8b = \dfrac{8}{9} \) bulunur.

Katsayının 15 ile tam bölünmesi için katsayı 3 ve 5 çarpanlarını içermelidir.

İfadenin açılımında \( n + 1 = 6 \) terim vardır.

Bu 6 terimin binom katsayıları sırasıyla aşağıdaki gibidir.

\( 1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1 \)

Her terimde birinci terimin katsayısından aşağıdaki değerler gelir.

\( 3^5 - 3^4 - 3^3 - 3^2 - 3^1 - 3^0 \)

Bu sayıların çarpımını aldığımızda ilk ve son terimler hariç diğer 4 terim 3 ve 5 çarpanlarını içerir, dolayısıyla 15 ile tam bölünür.

Buna göre terimlerin katsayılarından 4'ü 15 ile tam bölünür.

Bir binom açılımında iki farklı terimin binom katsayıları aşağıdaki durumda eşit olur.

\( \binom{n}{k} = \binom{n}{n - k} \)

4. terimde \( k = 3 \), 9. terimde \( k = 8 \) olur.

\( \binom{n}{3} = \binom{n}{8} \)

Buna göre \( n = 3 + 8 = 11 \) olur.

İfadenin açılımındaki \( (k + 1). \) terimi bulalım.

\( T_{k + 1} = \binom{11}{k} (x^3)^{11 - k}(\dfrac{2}{x^4})^{k} \)

\( = \binom{11}{k} x^{33 - 3k} \dfrac{2^k}{x^{4k}} \)

\( = \binom{11}{k} 2^k x^{33 - 7k} \)

\( x \)'in üssünün 19 olması için \( k \)'nın alması gereken değeri bulalım.

\( 33 - 7k = 19 \Longrightarrow k = 2 \)

Formülde \( k = 2 \) yazarak açılımın 3. terimini bulalım.

\( T_3 = \binom{11}{2} 2^2 x^{33 - 7(2)} \)

\( = 220 x^{19} \)

Buna göre \( x^{19} \) teriminin katsayısı 220 olarak bulunur.

Paydada \( x \) değişkeninin bulunduğu terimler \( x = 0 \) olduğunda tanımlı olmayacağı için, istenen terimler paydasında \( x \) bulunmayan terimlerdir.

İfadenin açılımındaki \( (k + 1). \) terimi bulalım.

\( \binom{6}{k} (x^{\frac{1}{3}})^{6 - k} (x^{-\frac{1}{4}})^k \)

\( = \binom{6}{k} x^{\frac{6 - k}{3}} x^{-\frac{k}{4}} \)

\( = \binom{6}{k} x^{\frac{24 - 4k}{12} - \frac{3k}{12}} \)

\( = \binom{6}{k} x^{\frac{24 - 7k}{12}} \)

Paydada \( x \) değişkeni bulunmaması için yukarıdaki ifadede \( x \)'in üssünün negatif olmaması gerekir.

\( 24 - 7k \ge 0 \)

Buna göre, \( k = \{ 0, 1, 2, 3 \} \) olan 4 terimde paydada \( x \) değişkeni bulunmaz, dolayısıyla bu terimler \( x = 0 \) için de tanımlı olurlar.

\( (x + y)^n \) formundaki bir ifadenin açılımındaki \( (k + 1) \). terim aşağıdaki formülle bulunur.

\( T_{k + 1} = \binom{n}{k} x^{n - k}y^k \)

Değişken içermeyen terimi \( (k + 1). \) terim olarak kabul edelim.

\( T_{k + 1} = \binom{12}{k} \cdot (\sqrt[3]{x})^{12 - k} \cdot (\dfrac{m}{x})^k \)

\( = \binom{12}{k} \cdot x^{\frac{12 - k}{3}} \cdot \dfrac{m^k}{x^k} \)

\( = \binom{12}{k} \cdot x^{\frac{12 - k}{3} - k} \cdot m^k \)

\( = \binom{12}{k} \cdot x^{\frac{12 - 4k}{3}} \cdot m^k \)

\( x \) değişkeninin üssünü sıfır yapan \( k \) değerini bulalım.

\( \dfrac{12 - 4k}{3} = 0 \Longrightarrow k = 3 \)

Formülde \( k = 3 \) yazarak açılımın 4. terimini bulalım.

Bu terim aynı zamanda 1760 sayısına eşittir.

\( T_4 = \binom{12}{3} \cdot x^{\frac{12 - 4(3)}{3}} \cdot m^3 \)

\( = \binom{12}{3} \cdot m^3 = 1760 \)

\( 220 \cdot m^3 = 1760 \)

\( m^3 = 8 \)

\( m = 2 \) bulunur.

\( (x + y)^n \) formundaki bir ifadenin açılımındaki \( (k + 1) \). terim aşağıdaki formülle bulunur.

\( T_{k + 1} = \binom{n}{k} x^{n - k}y^k \)

Köklü ifade içermeyen terimleri \( (k + 1). \) terim olarak kabul edelim.

\( T_{k + 1} = \binom{48}{k} \cdot (y^{\frac{1}{3}})^{48 - k} \cdot (x^{\frac{1}{4}})^k \)

\( = \binom{48}{k} \cdot y^{\frac{48 - k}{3}} \cdot x^{\frac{k}{4}} \)

Köklü bir ifadenin kökten kurtulması için ifadenin kuvveti kökün derecesinin bir tam sayı katı olmalıdır.

Buna göre \( 48 - k \) 3'ün bir tam sayı katı olmalıdır.

\( k \in \{0, 3, 6, \ldots, 48\} \)

Ayrıca \( k \) 4'ün bir tam sayı katı olmalıdır.

\( k \in \{0, 4, 8, \ldots 48 \} \)

\( k \)'nın hem 3'ün hem 4'ün katı olduğu değerler 12'nin tam sayı katlarıdır.

\( k \in \{0, 12, 24, 36, 48 \} \)

Buna göre ifadenin açılımındaki 5 terim köklü ifade içermez.

\( (x + y)^n \) formundaki bir ifadenin açılımındaki \( (k + 1) \). terim aşağıdaki formülle bulunur.

\( T_{k + 1} = \binom{n}{k} x^{n - k}y^k \)

Köklü ifade içermeyen terimleri \( (k + 1). \) terim olarak kabul edelim.

\( T_{k + 1} = \binom{105}{k}(3^{\frac{1}{5}})^{105 - k}(7^{\frac{1}{2}})^k \)

\( = \binom{105}{k} 3^{21 - \frac{k}{5}} 7^{\frac{k}{2}} \)

Kök içindeki bir ifadenin kökten kurtulması için ifadenin kuvveti kökün derecesinin bir tam sayı katı olmalıdır.

Buna göre \( (105 - k) \) 5'in bir tam sayı katı olmalıdır.

\( k = \{0, 5, 10, \ldots 105\} \)

Ayrıca \( k \) 2'nin bir tam sayı katı olmalıdır.

\( k = \{0, 2, 4, 6, 8, \ldots 104\} \)

\( k \)'nın hem 5'in hem 2'nin katı olduğu değerler 10'un tam sayı katlarıdır.

\( k = \{0, 10, 20, 30, \ldots, 100\} \)

Buna göre açılımda 11 terim köklü ifade içermez.

\( (x + y)^n \) formundaki bir ifadenin açılımındaki \( (k + 1) \). terim aşağıdaki formülle bulunur.

\( T_{k + 1} = \binom{n}{k} x^{n - k}y^k \)

Tam sayı olan terimleri \( (k + 1) \). terim olarak kabul edelim.

\( T_{k + 1} = \binom{8}{k} (\sqrt{3})^{8 - k}(\dfrac{1}{\sqrt{2}})^k \)

\( = \binom{8}{k} (3^{\frac{1}{2}})^{8 - k}(2^{-\frac{1}{2}})^k \)

\( = \binom{8}{k} 3^{\frac{8 - k}{2}}2^{-\frac{k}{2}} \)

Köklü bir ifadenin kökten kurtulması için ifadenin kuvveti kökün derecesinin bir tam sayı katı olmalıdır.

Buna göre açılımda köklü ifade olmaması için \( k \) çift sayı olmalı ve 2 ve 3'ün üsleri birer tam sayı olmalıdır.

\( k \in \{0, 2, 4, 6, 8\} \)

Bu \( k \) değerlerinde terimler köklü ifade içermezler, ancak terimlerin tam sayı olup olmadığını bulmak için bu terimleri bulalım.

\( T_1 = \binom{8}{0} \cdot 3^{\frac{8 - 0}{2}} \cdot 2^{-\frac{0}{2}} \)

\( = 1 \cdot 3^4 \cdot 2^0 = 81 \)

\( T_3 = \binom{8}{2} \cdot 3^{\frac{8 - 2}{2}} \cdot 2^{-\frac{2}{2}} \)

\( = 28 \cdot 3^3 \cdot 2^{-1} = 378 \)

\( T_5 = \binom{8}{4} \cdot 3^{\frac{8 - 4}{2}} \cdot 2^{-\frac{4}{2}} \)

\( = 70 \cdot 3^2 \cdot 2^{-2} = \dfrac{315}{2} \)

\( T_7 = \binom{8}{6} \cdot 3^{\frac{8 - 6}{2}} \cdot 2^{-\frac{6}{2}} \)

\( = 28 \cdot 3^1 \cdot 2^{-3} = \dfrac{21}{2} \)

\( T_9 = \binom{8}{8} \cdot 3^{\frac{8 - 8}{2}} \cdot 2^{-\frac{8}{2}} \)

\( = 1 \cdot 3^0 \cdot 2^{-4} = \dfrac{1}{16} \)

Buna göre açılımdaki 1. ve 3. terimler olmak üzere 2 terim tam sayıdır.

\( (x + y)^n \) formundaki bir ifadenin açılımındaki \( (k + 1) \). terim aşağıdaki formülle bulunur.

\( T_{k + 1} = \binom{n}{k} x^{n - k}y^k \)

Bu formülü verilen ifadeye uygulayalım.

\( T_{k + 1} = \binom{n}{k} (5x)^{n - k}(1)^k = 375x^2 \)

Açılımda \( x^2 \)'li terim \( n - k = 2 \) olduğunda oluşur.

\( \binom{n}{k} (5x)^2 = 375x^2 \)

\( \binom{n}{k} = \binom{n}{n - k} \) özdeşliğini kullanalım.

\( \binom{n}{n - k} 25x^2 = 375x^2 \)

\( \binom{n}{2} 25x^2 = 375x^2 \)

\( \binom{n}{2} = 15 \)

\( \dfrac{n(n - 1)}{2 \cdot 1} = 15 \)

\( n^2 - n - 30 = 0 \)

\( (n - 6)(n + 5) = 0 \)

\( n \) doğal sayı değer alabilir.

\( n = 6 \) olarak bulunur.

\( (x + y)^n \) formundaki bir ifadenin açılımındaki \( (k + 1) \). terim aşağıdaki formülle bulunur.

\( T_{k + 1} = \binom{n}{k} x^{n - k}y^k \)

Binom ifadenin birinci terimi sabit olduğu için \( x^2 \)'li terim \( k = 2 \) olduğunda, \( x^4 \)'li terim \( k = 4 \) olduğunda elde edilir.

Formülde \( k = 2 \) yazarak açılımın 3. terimini bulalım.

\( T_3 = \binom{5}{2} \cdot 3^{5-2} \cdot (kx)^2 \)

\( = 10 \cdot 27 \cdot k^2x^2 \)

Formülde \( k = 4 \) yazarak açılımın 5. terimini bulalım.

\( T_5 = \binom{5}{4} \cdot 3^{5-4} \cdot (kx)^4 \)

\( = 5 \cdot 3 \cdot k^4x^4 \)

\( x^2 \)'li terimin katsayısı \( x^4 \)'lü terimin katsayısının 8 katıdır.

\( 10 \cdot 27 \cdot k^2 = 8 \cdot 5 \cdot 3 \cdot k^4 \)

\( k^2 = \dfrac{9}{4} \)

\( k \) pozitif reel sayı olarak verilmiştir.

\( k = \dfrac{3}{2} \) olarak bulunur.

Verilen ifadenin açılımındaki \( x^2 \) ve \( x^3 \)'lü terimleri bulalım.

\( (5x + t)^4 = \binom{4}{0} \cdot (5x)^4 \cdot t^0 + \binom{4}{1} \cdot (5x)^3 \cdot t^1 + \binom{4}{2} \cdot (5x)^2 \cdot t^2 + \binom{4}{3} \cdot (5x)^1 \cdot t^3 + \binom{4}{4} \cdot (5x)^0 \cdot t^4 \)

\( x^3 \)'lü terim olan 2. terimin katsayısını bulalım.

\( 4 \cdot 125 \cdot t = 500t \)

\( x^2 \)'li terim olan 3. terimin katsayısını bulalım.

\( 6 \cdot 25 \cdot t^2 = 150t^2 \)

\( x^2 \)'li terimin katsayısı \( x^3 \)'lü terimin katsayısının %60'ıdır.

\( \dfrac{60}{100} \cdot 500t = 150t^2 \)

\( 30t = 15t^2 \)

\( t = 2 \) olarak bulunur.

Verilen binom ifadelerin açılımı aynı terimlerden oluşur, sadece 2. ve 4. terimlerin işaretleri birbirinin tersi olur, dolayısıyla iki açılımın toplamında bu terimler birbirini götürür.

Buna göre iki açılımın toplamı, 1. ve 3. terimlerin toplamının iki katına eşittir.

\( 2(\binom{3}{0} \cdot 6^3 \cdot x^0 + \binom{3}{2} \cdot 6^1 \cdot x^2) = 540 \)

\( 1 \cdot 216 \cdot 1 + 3 \cdot 6 \cdot x^2 = 270 \)

\( 18x^2 = 54 \)

\( x^2 = 3 \)

Çözüm kümesi: \( x \in \{-\sqrt{3}, \sqrt{3}\} \)

\( (x + y)^n \) formundaki bir ifadenin açılımındaki \( (k + 1) \). terim aşağıdaki formülle bulunur.

\( T_{k + 1} = \binom{n}{k} x^{n - k}y^k \)

\( m + 7n = 0 \) eşitliğini sağlayan terimi \( (k + 1) \). terim olarak kabul edelim.

\( T_{k+1} = \binom{12}{k} \cdot (\dfrac{x^3}{y})^{12 - k} \cdot (\dfrac{y^2}{x^2})^k \)

\( = \binom{12}{k} \cdot \dfrac{x^{36 - 3k}}{y^{12 - k}} \cdot \dfrac{y^{2k}}{x^{2k}} \)

\( = \binom{12}{k} \cdot x^{36 - 5k} \cdot y^{3k - 12} \)

Çarpanların kuvvetleri arasında soruda verilen eşitliği sağlayan \( k \) değerini bulalım.

\( m + 7n = 0 \)

\( (36 - 5k) + 7(3k - 12) = 0 \)

\( 16k - 48 = 0 \)

\( k = 3 \)

Formülde \( k = 3 \) yazarak açılımın 4. terimini bulalım.

\( T_4 = \binom{12}{3} \cdot x^{36 - 5(3)} \cdot y^{3(3) - 12} \)

\( = \binom{12}{3} \cdot x^{21} \cdot y^{-3} \)

\( = 220x^{21}y^{-3} \) olarak bulunur.

İki binom ifadenin açılımındaki terimlerin çarpımları sonucunda \( x^8 \)'li terimi nasıl elde edebileceğimizi bulalım.

Birinci binom ifadenin açılımındaki terimlerde \( x \)'in en yüksek derecesi \( x^3 \) olabilir, bu terim açılımın birinci terimidir.

İkinci binom ifadenin açılımındaki terimlerde \( x \)'in en yüksek derecesi \( x^5 \) olabilir, bu terim açılımın birinci terimidir.

Dolayısıyla her iki açılımdan sadece bu iki terimin çarpımı \( x^8 \)'li terimi verir.

Birinci binom ifadenin birinci terimini bulalım.

\( \binom{3}{0} \cdot x^{3-0} \cdot (-\dfrac{3}{x})^0 \)

\( = 1 \cdot x^3 \cdot 1^0 = x^3 \)

İkinci binom ifadenin birinci terimini bulalım.

\( \binom{5}{0} \cdot (2x)^{5-0} \cdot (\dfrac{2}{x})^0 \)

\( = 1 \cdot 32x^5 \cdot 1 = 32x^5 \)

İki terimin çarpımını bulalım.

\( x^3 \cdot 32x^5 = 32x^8 \)

\( x^8 \)'li terimin katsayısı 32 olarak bulunur.

\( x^4 \)'lü terim her bir binom ifadenin aşağıdaki terimlerinin çarpımı ile elde edilebilir.

2. binom ifadenin açılımındaki tüm terimlerde \( x \)'in derecesi çift sayıdır, dolayısıyla 1. binom ifadenin açılımında çift dereceli terimleri dikkate almamız yeterlidir.

\( x^4 = x^0 \cdot x^4 = x^2 \cdot x^2 = x^4 \cdot x^0 \)

Bu çarpanları ifadelerin binom açılımlarından elde etmeye çalışalım.

Her bir açılımda yukarıdaki koşullara uygun terimleri listeleyelim.

\( (1 + x)^7 = \binom{7}{0} \cdot 1^7 \cdot x^0 + \ldots + \binom{7}{2} \cdot 1^5 \cdot x^2 + \ldots + \binom{7}{4} \cdot 1^3 \cdot x^4 + \ldots \)

\( (2 + x^2)^5 = \binom{5}{0} \cdot 2^5 \cdot (x^2)^0 + \binom{5}{1} \cdot 2^4 \cdot (x^2)^1 + \binom{5}{2} \cdot 2^3 \cdot (x^2)^2 + \ldots \)

Bu açılımlardaki terimleri çarpımları \( x^4 \)'lü terim olacak şekilde çarpalım.

1. açılımın 1. terimi ile 2. açılımın 3. terimi:

\( \binom{7}{0} \cdot 1^7 \cdot x^0 \cdot \binom{5}{2} \cdot 2^3 \cdot (x^2)^2 = 80x^4 \)

1. açılımın 3. terimi ile 2. açılımın 2. terimi:

\( \binom{7}{2} \cdot 1^5 \cdot x^2 \cdot \binom{5}{1} \cdot 2^4 \cdot (x^2)^1 = 1680x^4 \)

1. açılımın 5. terimi ile 2. açılımın 1. terimi:

\( \binom{7}{4} \cdot 1^3 \cdot x^4 \cdot \binom{5}{0} \cdot 2^5 \cdot (x^2)^0 = 1120x^4 \)

Bu üç terimin katsayıları toplamı \( x^4 \)'lü terimin katsayısını verir.

\( 1680 + 1120 + 80 = 2880 \) olarak bulunur.

\( x \)'li terim her bir binom ifadenin aşağıdaki terimlerinin çarpımı ile elde edilebilir.

\( x = x^1 \cdot x^0 = x^0 \cdot x^1 \)

Her bir açılımda yukarıdaki koşullara uygun terimleri listeleyelim.

\( (1 - x)^6 = \binom{6}{0} \cdot 1^6 \cdot (-x)^0 + \binom{6}{1} \cdot 1^5 \cdot (-x)^1 + \ldots \)

\( (3 + x)^4 = \binom{4}{0} \cdot 3^4 \cdot x^0 + \binom{4}{1} \cdot 3^3 \cdot x^1 + \ldots \)

Bu açılımlardaki terimleri çarpımları \( x \)'li terim olacak şekilde çarpalım.

1. açılımın 1. terimi ile 2. açılımın 2. terimi:

\( \binom{6}{0} \cdot 1^6 \cdot (-x)^0 \cdot \binom{4}{1} \cdot 3^3 \cdot x^1 = 108x \)

1. açılımın 2. terimi ile 2. açılımın 1. terimi:

\( \binom{6}{1} \cdot 1^5 \cdot (-x)^1 \cdot \binom{4}{0} \cdot 3^4 \cdot x^1 = -486x \)

Bu iki terimin katsayıları toplamı \( x \)'li terimin katsayısını verir.

\( 108 + (-486) = -378 \) olarak bulunur.

Soruda verilen ifadeyi aşağıdaki şekilde düzenleyelim.

\( (2 - x)^3 \cdot (2 + x)^5 = (2 - x)^3 \cdot (2 + x)^3 \cdot (2 + x)^2 \)

\( = (4 - x^2)^3 \cdot (2 + x)^2 \)

Bu çarpımın açılımındaki \( x^3 \)'lü terim sadece birinci çarpandan gelen \( x^2 \)'li terim ile ikinci çarpandan gelen \( x \)'li terimin çarpımı ile elde edilir.

\( (4 - x^2)^3 \) açılımının 2. terimi:

\( \binom{3}{1} \cdot 4^{3 - 1} \cdot (-x^2)^1 \)

\( = 3 \cdot 16 \cdot (-x^2) = -48x^2 \)

\( (2 + x)^2 \) açılımının 2. terimi:

\( \binom{2}{1} \cdot 2^{2 - 1} \cdot x^1 \)

\( = 2 \cdot 2 \cdot x = 4x \)

İki terimin çarpımını bulalım.

\( -48x^2 \cdot 4x = -192x^3 \)

\( x^3 \)'lü terimin katsayısı -192 olarak bulunur.

İki açılımın terimleri arasındaki çarpma işlemi sonucunda \( x^7 \)'li terimlerin nasıl oluşabileceğini bulalım.

\( (1 - x^3)^3 \) ifadesinin açılımındaki \( x \)'in kuvvetleri 3'ün katı olur.

\( (1 + x^2)^5 \) ifadesinin açılımındaki \( x \)'in kuvvetleri 2'nin katı olur.

Buna göre \( x^7 \)'li terim sadece ilk açılımdan gelen \( x^3 \)'lü terim ile ikinci açılımdan gelen \( x^4 \)'lü terimin çarpımı ile oluşur.

Formülde \( k = 1 \) yazarak birinci açılımın 2. terimini bulalım.

\( T_2 = \binom{3}{1} 1^{3 - 1}(-x^3)^1 \)

\( = -3x^3 \)

Formülde \( k = 2 \) yazarak ikinci açılımın 3. terimini bulalım.

\( T_3 = \binom{5}{2} 1^{5 - 2}(x^2)^2 \)

\( = 10x^4 \)

İki terimin çarpımı bize \( x^7 \)'li terimi verir.

\( (-3x^3) \cdot 10x^4 = -30x^7 \)

Buna göre \( x^7 \)'li terimin katsayısı -30 olarak bulunur.

\( n \) çift sayı olmak üzere \( n \). dereceden bir binom ifadenin \( (\frac{n}{2} + 1) \). terimi ortadaki terimdir.

Verilen ifadelerin açılımında ortadaki terimlerini bulalım.

\( (x + a)^8 \) için ortadaki terim \( \frac{8}{2} + 1 = 5 \). terimdir.

\( T_5 = \binom{8}{4} x^{8 - 4}a^4 \)

\( = 70 x^4a^4 \)

\( (x^2 + a)^4 \) için ortadaki terim \( \frac{4}{2} + 1 = 3 \). terimdir.

\( T_3 = \binom{4}{2} (x^2)^{4 - 2}a^2 \)

\( = 6 x^4a^2 \)

Bulduğumuz iki terim birbirine eşittir.

\( 70x^4a^4 = 6x^4a^2 \)

\( 35a^4 = 3a^2 \)

\( 35a^2 = 3 \)

\( a = \sqrt{\dfrac{3}{35}} = \dfrac{\sqrt{105}}{35} \) bulunur.

Parantez içindeki ifadeyi çarpanlarına ayıralım.

\( (-1 - 2x + x^2 + 2x^3)^7 = (-(1 + 2x) + x^2(1 + 2x))^7 \)

\( = ((1 + 2x)(x^2 - 1))^7 \)

\( = (1 + 2x)^7(x^2 - 1)^7 \)

\( x^2 \)'li terim bu iki açılımdan gelecek aşağıdaki terimlerin çarpımı ile elde edilir. İkinci açılımda \( x \)'li bir terim bulunmayacağı için \( x^2 \)'li terim \( x \cdot x \) çarpımı ile oluşmaz.

\( x^2 = x^0 \cdot x^2 = x^2 \cdot x^0 \)

Birinci açılımın 1. terimi ile ikinci açılımın 7. terimini bulalım.

\( T_1 = \binom{7}{0} 1^{7 - 0}(2x)^0 \)

\( = 1 \)

\( T_7 = \binom{7}{6} (x^2)^{7 - 6}(-1)^6 \)

\( = 7x^2 \)

Bu iki terimin çarpımını bulalım.

\( 1 \cdot 7x^2 = 7x^2 \)

Birinci açılımın 3. terimi ile ikinci açılımın 8. terimini bulalım.

\( T_3 = \binom{7}{2} 1^{7 - 2}(2x)^2 \)

\( = 84x^2 \)

\( T_8 = \binom{7}{7} (x^2)^{7 - 7}(-1)^7 \)

\( = -1 \)

Bu iki terimin çarpımını bulalım.

\( 84x^2 \cdot (-1) = -84x^2 \)

\( x^2 \)'li terimin katsayısı bu iki terimin toplanması ile elde edilen terimin katsayısıdır.

\( 7 + (-84) = -77 \) bulunur.

Parantez içindeki ifadeyi çarpanlarına ayıralım.

\( (x^2 + 3x - 4)^6 = ((x + 4)(x - 1))^6 \)

\( = (x + 4)^6(x - 1)^6 \)

\( x^{10} \)'lu terim bu iki açılımdan gelecek aşağıdaki terimlerin çarpımı ile elde edilir.

\( x^{10} = x^6 \cdot x^4 = x^5 \cdot x^5 = x^4 \cdot x^6 \)

Birinci açılımın 1. terimi ile ikinci açılımın 3. terimini bulalım.

\( T_1 = \binom{6}{0} x^{6 - 0}4^0 \)

\( = x^6 \)

\( T_3 = \binom{6}{2} x^{6 - 2}(-1)^2 \)

\( = 15x^4 \)

Bu iki terimin çarpımını bulalım.

\( x^6 \cdot 15x^4 = 15x^{10} \)

Birinci açılımın 2. terimi ile ikinci açılımın 2. terimini bulalım.

\( T_2 = \binom{6}{1} x^{6 - 1}4^1 \)

\( = 24x^5 \)

\( T_2 = \binom{6}{1} x^{6 - 1}(-1)^1 \)

\( = -6x^5 \)

Bu iki terimin çarpımını bulalım.

\( 24x^5 \cdot (-6x^5) = -144x^{10} \)

Birinci açılımın 3. terimi ile ikinci açılımın 1. terimini bulalım.

\( T_3 = \binom{6}{2} x^{6 - 2}4^2 \)

\( = 240x^4 \)

\( T_1 = \binom{6}{0} x^{6 - 0}(-1)^0 \)

\( = x^6 \)

Bu iki terimin çarpımını bulalım.

\( 240x^4 \cdot x^6 = 240x^{10} \)

\( x^{10} \)'lu terimin katsayısı bu üç terimin toplanması ile elde edilen terimin katsayısıdır.

\( 15 + (-144) + 240 = 111 \) olarak buluunur.

\( n \) çift sayı olmak üzere \( n \). dereceden bir binom ifadenin \( (\frac{n}{2} + 1) \). terimi ortadaki terimdir.

Verilen polinomda en yüksek dereceli ifade \( (x + 1)^6 \) olduğuna göre tüm ifadelerin açılımında en yüksek dereceli terim \( x^6 \) olur.

\( P(x) = a_0x^0 + a_1x^1 + \ldots + a_6x^6 \)

Buna göre ortadaki terim \( x^{\frac{6 + 0}{2}} = x^3 \)'lü bir terim olmalıdır.

Verilen polinom tanımdaki ifadelerin açılımlarındaki \( x^3 \)'lü terimleri bulalım.

\( (x + 1)^3 \) için:

\( T_1 = \binom{3}{0} x^{3 - 0} 1^0 = x^3 \)

\( (x + 1)^4 \) için:

\( T_2 = \binom{4}{1} x^{4 - 1} 1^1 = 4x^3 \)

\( (x + 1)^5 \) için:

\( T_3 = \binom{5}{2} x^{5 - 2} 1^2 = 10x^3 \)

\( (x + 1)^6 \) için:

\( T_4 = \binom{6}{3} x^{6 - 3} 1^3 = 20x^3 \)

Bulduğumuz terimlerin toplamı \( P(x) \) polinomunun açılımında ortadaki terim olan \( x^3 \)'lü terimi verir.

\( x^3 + 4x^3 + 10x^3 + 20x^3 = 35x^3 \) bulunur.

Verilen polinomda en yüksek dereceli ifade \( (x - 2)^5 \) olduğuna göre tüm ifadelerin açılımında en yüksek dereceli terim \( x^5 \) olur.

Polinomun açılımdaki terimler \( x \)'in azalan kuvvetlerine göre dizildiğinde baştan 4. terim \( x^2 \)'li terim olur.

\( P(x) = a_5x^5 + a_4x^4 + \ldots + a_0x^0 \)

Verilen polinom tanımdaki ifadelerin açılımlarındaki \( x^2 \)'li terimleri bulalım.

\( (x - 2)^2 \) için:

\( T_0 = \binom{2}{0} x^{2 - 0} (-2)^0 = x^2 \)

\( (x - 2)^3 \) için:

\( T_1 = \binom{3}{1} x^{3 - 1} (-2)^1 = -6x^2 \)

\( (x - 2)^4 \) için:

\( T_2 = \binom{4}{2} x^{4 - 2} (-2)^2 = 24x^2 \)

\( (x - 2)^5 \) için:

\( T_3 = \binom{5}{3} x^{5 - 3} (-2)^3 = -80x^2 \)

Bulduğumuz terimlerin toplamı \( P(x) \) polinomunun açılımındaki 4. terim olan \( x^2 \)'li terimi verir.

\( x^2 - 6x^2 + 24x^2 - 80x^2 = -61x^2 \) bulunur.

\( (x + y)^n \) formundaki bir ifadenin açılımındaki \( (k + 1) \). terim aşağıdaki formülle bulunur.

\( T_{k + 1} = \binom{n}{k} x^{n - k}y^k \)

\( = \binom{25}{k} 1^{25 - k}(\dfrac{x}{3})^k \)

\( = \binom{25}{k} \dfrac{x^k}{3^k} \)

Buna göre \( (k + 1) \). terimin katsayısı aşağıdaki gibi olur.

\( \dfrac{\binom{25}{k}}{3^k} \)

Kombinasyon formülü ile binom katsayısının açılımını yazalım.

\( = \dfrac{25!}{k! \cdot (25 - k)! \cdot 3^k} \)

Soruda bu katsayının en büyük değeri sorulmaktadır.

Bu katsayıyı bir sayı dizisi olarak tanımlayalım.

\( (c_k) = \dfrac{25!}{k! \cdot (25 - k)! \cdot 3^k} \)

Sayı dizisindeki \( (k + 1) \). terimin formülünü yazalım.

\( (c_{k+1}) = \dfrac{25!}{(k + 1)! \cdot (25 - (k + 1))! \cdot 3^{k+1}} \)

\( = \dfrac{25!}{(k + 1)! \cdot (24 - k)! \cdot 3^{k+1}} \)

\( c_{k+1} \gt c_k \) olduğu sürece dizinin terimleri büyümektedir. Bir diğer ifadeyle dizinin terimlerinin büyüğü aralıkta \( (k + 1) \). terimin \( k \). terime oranı 1'den büyük olur.

\( \dfrac{c_{k+1}}{c_k} = \dfrac{\frac{25!}{(k + 1)! \cdot (24 - k)! \cdot 3^{k+1}}}{\frac{25!}{k! \cdot (25 - k)! \cdot 3^k}} \)

\( = \dfrac{25 - k}{3 \cdot (k + 1)} \gt 1 \)

\( 25 - k \gt 3k + 3 \)

\( 4k \lt 22 \)

Buna göre \( k \le 5 \) aralığında açılımın katsayıları büyür, \( k \gt 5 \) aralığında küçülür.

Buna göre katsayı en büyük değerini \( k = 5 \) olduğunda alır, yani binom açılımının katsayısı en büyük terimi \( (k + 1) = 6 \). terim olur.