Analitik Düzlemde Nokta

\( A \) noktasının ordinatı apsisinin dörtte biridir.

\( k - 5 = \dfrac{2 - 7k}{4} \)

\( 4(k - 5) = 2 - 7k \)

\( 11k = 22 \)

\( k = 2 \)

\( A \) noktasının koordinatlarında \( k = 2 \) değerini yerine koyalım.

\( A(2 - 7(2), 2 - 5) = A(-12, -3) \)

Buna göre \( A \) noktası III. bölgededir.

\( P \) noktası \( y \) ekseni üzerinde olduğuna göre apsis değeri 0'dır.

\( 2n - 6 = 0 \)

\( n = 3 \)

\( P \) noktasının koordinatlarında \( n = 3 \) değerini yerine koyalım.

\( P(2(3) - 6, 3 - 5) = P(0, -2) \)

Buna göre \( P \) noktasının orijine olan uzaklığı \( \abs{-2} = 2 \) birimdir.

\( A \) noktasının \( x \) eksenine olan uzaklığı ordinatının mutlak değerine eşittir.

\( \abs{a - 5} = 3 \)

Bu eşitlik iki durumda sağlanır.

Durum 1:

\( a - 5 = 3 \)

\( a = 8 \)

Durum 2:

\( a - 5 = -3 \)

\( a = 2 \)

Buna göre \( a \)'nın alabileceği değerler toplamı \( 8 + 2 = 10 \) olur.

IV. bölgedeki bir noktanın apsis ve ordinatının işaretleri \( (+, -) \) olur.

\( A \) noktasının apsisi pozitiftir.

\( 3a + 15 \gt 0 \)

\( a \gt -5 \)

\( A \) noktasının ordinatı negatiftir.

\( a - 1 \lt 0 \)

\( a \lt 1 \)

Buna göre \( a \) değer aralığı aşağıdaki gibidir.

\( -5 \lt a \lt 1 \)

Bu aralıktaki tam sayı değerleri aşağıdaki gibidir.

\( a \in \{-4, -3, -2, -1, 0\} \)

Buna göre \( a \)'nın alabileceği 5 tam sayı değeri vardır.

\( A(-a, b) \) noktası IV. bölgededir.

IV. bölgedeki noktaların apsis ve ordinatının işaretleri \( (+, -) \) olur.

\( -a \gt 0 \Longrightarrow a \lt 0 \)

\( b \lt 0 \)

Buna göre \( B(-ab, a) \) noktasının apsis ve ordinatının işaretleri \( (-, +) \) olur.

Dolayısıyla \( B \) noktası II. bölgededir.

\( K \) noktası eksenlere eşit uzaklıkta olduğuna göre, 1. açıortay (\( y = x \)) ya da 2. açıortay (\( y = -x \)) doğrusu üzerindedir ve apsis ve ordinat değerlerinin mutlak değerleri birbirine eşittir.

\( \abs{2a - 3} = \abs{-a + 7} \)

Bu eşitlik iki durumda sağlanır.

Durum 1:

\( 2a - 3 = -a + 7 \)

\( 3a = 10 \)

\( a = \dfrac{10}{3} \)

\( K \) noktasının koordinatlarında bu değeri yerine koyalım.

\( K(2(\frac{10}{3}) - 3, -\frac{10}{3} + 7) = K(\frac{11}{3}, \frac{11}{3}) \)

Bu durumda \( K \) noktası I. bölgede bulunur.

Durum 2:

\( 2a - 3 = -(-a + 7) \)

\( 2a - 3 = a - 7 \)

\( a = -4 \)

\( K \) noktasının koordinatlarında bu değeri yerine koyalım.

\( K(2(-4) - 3, -(-4) + 7) = K(-11, 11) \)

Bu durumda \( K \) noktası II. bölgede bulunur.

Buna göre \( K \) noktası I. ya da II. bölgede bulunur ve aşağıdaki şekilde görülebileceği gibi her iki durumda eksenlere eşit uzaklıkta olur.

\( A \) ve \( B \) noktaları aynı bölgede olduklarına göre, hem apsislerinin hem de ordinatlarının işareti aynıdır.

\( B \) noktasının apsisi negatif olduğuna göre \( A \) noktasının apsisi de negatiftir.

\( 3a - 12 \lt 0 \)

\( a \lt 4 \)

\( A \) noktasının ordinatı pozitif olduğuna göre \( B \) noktasının ordinatı da pozitiftir.

\( a + 5 \gt 0 \)

\( a \gt -5 \)

\( a \) değer aralığı bulduğumuz iki aralığın kesişim kümesidir.

\( -5 \lt a \lt 4 \)

Buna göre \( a \)'nın alabileceği \( 3 - (-4) + 1 = 8 \) farklı tam sayı değeri vardır.

II. bölgedeki bir noktanın apsis ve ordinatının işaretleri \( (-, +) \) olur.

\( A \) noktası II. bölgededir.

\( \dfrac{m}{n} \lt 0 \)

Buna göre \( m \) ve \( n \) ters işaretlidir.

\( m - n \gt 0 \)

\( m \gt n \)

Buna göre (\( m \) ve \( n \) ters işaretli oldukları için) \( m \) pozitif, \( n \) negatiftir.

\( B(m^2 - n, mn) \) noktasının apsis ve ordinatının işaretlerini inceleyelim.

\( m^2 \) pozitiftir. Pozitif bir sayıdan negatif bir sayı çıkarıldığında sonuç pozitif olur.

\( m^2 - n \gt 0 \)

\( m \) ve \( n \) ters işaretli oldukları için çarpımları negatiftir.

\( mn \lt 0 \)

Buna göre \( B \) noktasının apsis ve ordinatının işaretleri \( (+, -) \) olur.

Dolayısıyla \( B \) noktası IV. bölgededir.

Bir nokta \( 2m + 1 \) birim sağa ötelendiğinde apsisi \( 2m + 1 \) birim artar.

\( A(3, n + 4) \longmapsto A'(2m + 4, n + 4) \)

Bir nokta 6 birim aşağı ötelendiğinde ordinatı 6 birim azalır.

\( A'(2m + 4, n + 4) \longmapsto A''(2m + 4, n - 2) \)

Bu dönüşümler sonucunda \( B \) noktası elde ediliyor.

\( A''(2m + 4, n - 2) = B(-6, 3n - 8) \)

İki noktanın eşitliğinde apsis ve ordinat değerleri ayrı ayrı birbirine eşittir.

\( 2m + 4 = -6 \)

\( m = -5 \)

\( n - 2 = 3n - 8 \)

\( n = 3 \)

\( n - m = 3 - (-5) = 8 \) bulunur.

\( ABCD \) dikdörtgeninin alanını verilen iki üçgenin alanlarının farkı şeklinde yazabiliriz.

\( A(ABDC) = A(AOD) - A(BOC) \)

\( = \dfrac{6 \cdot 7}{2} - \dfrac{4 \cdot 5}{2} \)

\( = 21 - 10 = 11 \) bulunur.

\( B \) noktasından eksenlere birer dikme çizelim.

\( OBA \) bir dik üçgen olduğu için Öklid bağıntısını kullanabiliriz.

\( h^2 = c \cdot k \)

\( 6^2 = 9 \cdot k \)

\( k = 4 \)

Buna göre \( A \) noktasının apsisi \( 9 + k = 13 \) bulunur.

\( A \) noktasından \( x \) eksenine bir dikme çizelim.

\( D \) noktasının apsis değeri \( A \) noktası ile aynı olur.

\( \abs{OD} = 1 \)

\( \abs{DC} = 5 - 1 = 4 \)

\( BAC \) bir dik üçgen olduğu için Öklid bağıntısını kullanabiliriz.

\( h^2 = \abs{BD} \cdot \abs{DC} \)

\( h^2 = (8 + 1) \cdot 4 = 36 \)

\( h = 6 \)

Buna göre \( x \) eksenine negatif tarafta 6 birim uzaklıkta olan \( A \) noktasının ordinat değeri \( a = -6 \) olur.

Köşe noktalarının koordinatları \( A(x_1, y_1) \), \( B(x_2, y_2) \) ve \( C(x_3, y_3) \) olan üçgenin alanı aşağıdaki formülle bulunur.

\( A(ABC) = \dfrac{1}{2} \abs{x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)} \)

\( 18 = \dfrac{1}{2} \abs{2(5 - m) + 4(m - (-1)) + 6(-1 - 5)}\)

\( 36 = \abs{10 - 2m + 4m + 4 - 36} \)

\( \abs{2m - 22} = 36 \)

Bu eşitlik iki durumda sağlanır.

Durum 1:

\( 2m - 22 = 36 \)

\( m = 29 \)

Durum 2:

\( 2m - 22 = -36 \)

\( m = -7 \)

\( m \)'nin alabileceği değerlerin toplamı \( -7 + 29 = 22 \) olarak bulunur.

Verilen noktaları analitik düzlemde gösterelim.

\( \abs{AO} = 5 \)

\( AOB \) üçgenine Pisagor teoremini uygulayalım.

\( \abs{AB}^2 = \abs{AO}^2 + \abs{BO}^2 \)

\( 10^2 = 5^2 + \abs{BO}^2 \)

\( \abs{BO} = 5\sqrt{3} \)

\( AOC \) üçgenine Pisagor teoremini uyguladığımızda aynı sonucu elde ederiz.

\( \abs{CO} = 5\sqrt{3} \)

\( ABC \) üçgeninin alanını bulalım.

\( A(ABC) = \dfrac{\abs{BC} \cdot \abs{AO}}{2} \)

\( = \dfrac{10\sqrt{3} \cdot 5}{2} \)

\( = 25\sqrt{3} \) bulunur.

Üçgenin köşelerinin koordinatlarını \( A(1, 5) \), \( B(3, 4) \) ve \( C(7, 3) \), bu noktaların \( x \) ekseni üzerindeki izdüşümlerini de \( D(1, 0) \), \( E(3, 0) \) ve \( F(7, 0) \) olarak işaretleyelim.

\( ABC \) üçgeninin alanını iki yöntemle bulabiliriz.

1. yöntem: Analitik

3 noktanın oluşturduğu üçgenin alan formülünü kullanalım.

\( A(1, 5) = A(x_1, y_1) \), \( B(3, 4) = B(x_2, y_2) \) ve \( C(7, 3) = C(x_3, y_3) \) olmak üzere,

\( A(ABC) = \dfrac{1}{2} \abs{(x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_1) - (x_2y_1 + x_3y_2 + x_1y_3)} \)

\( = \dfrac{1}{2} \abs{(1 \cdot 4 + 3 \cdot 3 + 7 \cdot 5) - (3 \cdot 5 + 7 \cdot 4 + 1 \cdot 3)} \)

\( = \dfrac{1}{2} \abs{48 - 46} = 1 \) birimkare

2. yöntem: Geometrik

\( ABC \) üçgeninin alanını \( ADFC \) yamuğunun alanından \( ADEB \) ve \( BEFC \) yamuklarının alanlarını çıkararak bulalım.

\( A(ABC) = A(ADFC) - A(ADEB) - A(BEFC) \)

\( = \dfrac{(5 + 3) \cdot 6}{2} - \dfrac{(5 + 4) \cdot 2}{2} - \dfrac{(4 + 3) \cdot 4}{2} \)

\( = 24 - 9 - 14 = 1 \) birimkare bulunur.

\( B \) noktasından \( x \) eksenine bir dikme çizelim ve \( x \) eksenini kestiği noktaya \( D \) diyelim.

\( [BD] \perp [AO] \)

\( \abs{DO} = 8 \), \( \abs{AD} = 2 \), \( \abs{BD} = 4 \)

\( ABCO \) dörtgeninin alanı, oluşan dik üçgen ve yamuğun alanları toplamına eşittir.

\( A(ABCO) = A(ADB) + A(DBCO) \)

\( ADB \) üçgeninin alanını hesaplayalım.

\( A(ADB) = \dfrac{\abs{AD} \cdot \abs{BD}}{2} \)

\( = \dfrac{2 \cdot 4}{2} = 4 \)

\( DBCO \) yamuğunun alanını hesaplayalım.

\( A(DBCO) = \dfrac{(\abs{BD} + \abs{CO}) \cdot \abs{DO}}{2} \)

\( = \dfrac{(4 + 6) \cdot 8}{2} = 40 \)

\( A(ABCO) = 4 + 40 = 44 \) bulunur.

IV. bölgedeki bir noktanın apsis ve ordinatının işaretleri \( (+, -) \) olur.

\( K \) noktası IV. bölgededir.

\( m^3n^4 \lt 0 \) eşitsizliğini inceleyelim.

\( n^4 \) ifadesi pozitiftir, dolayısıyla \( m^3 \) negatif ve \( m \lt 0 \) olur.

\( mn \gt 0 \) eşitsizliğini inceleyelim.

\( m \lt 0 \) olduğuna göre, \( n \lt 0 \) olur.

\( L \) noktasının bulunduğu bölgeyi bulalım.

İki negatif sayının toplamı negatiftir, dolayısıyla \( m + n \) ve \( (m + n)^3 \) ifadeleri negatif olur.

İki negatif sayının çarpımı pozitiftir, dolayısıyla \( -nm \) negatiftir. Negatif bir sayının küp kökü de negatiftir, dolayısıyla \( \sqrt[3]{-nm} \) ifadesi negatif olur.

\( L \) noktasının hem apsisi hem de ordinatı negatif olduğu için nokta III. bölgededir.

\( A \) noktası IV. bölgede olduğuna göre, apsis değeri pozitif, ordinat değeri negatif olur.

\( a + 4 \gt 0 \Longrightarrow a \gt -4 \)

\( a - 3 \lt 0 \Longrightarrow a \lt 3 \)

\( a \) değer aralığı yukarıdaki iki aralığın kesişim kümesidir.

\( -4 \lt a \lt 3 \)

\( B \) noktası III. bölgede olduğuna göre, apsis ve ordinat değerleri negatif olur.

\( b - 2 \lt 0 \Longrightarrow b \lt 2 \)

\( b - 3 \lt 0 \Longrightarrow b \lt 3 \)

\( b \) değer aralığı yukarıdaki iki aralığın kesişim kümesidir.

\( -\infty \lt b \lt 2 \)

\( a + b \) toplamının değer aralığını bulmak için iki eşitsizliği taraf tarafa toplayalım.

\( -\infty \lt a + b \lt 5 \)

Buna göre \( a + b \) toplamının alabileceği en büyük tam sayı değeri 4 olur.

\( B \) noktasından \( x \) ve \( y \) eksenlerine birer dikme çizelim ve eksenleri kestiği noktalara \( E \) ve \( F \) diyelim.

\( B \) noktasının koordinatlarını kullanarak doğru parçalarının uzunluklarını yazalım.

\( \abs{BE} = \abs{BF} = 8 \)

\( m(\widehat{BCE}) = \alpha \) diyelim.

\( m(\widehat{EBA}) = \alpha \)

\( \widehat{EBA} \) ve \( \widehat{BAF} \) iç ters açılardır.

\( m(\widehat{BAF}) = \alpha \)

Açıları ve kenar uzunlukları eşit olan \( BEC \) ve \( BFA \) üçgenleri eş üçgenlerdir.

\( \overset{\triangle}{BEC} \cong \overset{\triangle}{BFA} \)

Oluşan bölgelerin alanlarına değer verelim.

Eş üçgen oldukları için \( A(BEC) = A(BFA) = S \) diyelim.

\( A(BEOA) = M \) diyelim.

Soruda istenen alanı yazalım.

\( A(ABCO) = S + M = A(BEOF) \)

\( A(BEOF) = \abs{BF} \cdot \abs{FO} \)

\( = 8 \cdot 8 = 64 \) bulunur.

Üçgenin köşelerini analitik düzlemde işaretleyelim.

Şekilde görülebileceği gibi, üçgenin \( [AB] \) kenarı \( x \) eksenine paraleldir.

Üçgenin \( [AB] \) kenarını taban, \( [DC] \) doğru parçasını da yükseklik olarak kullanarak üçgenin alanını hesaplayabiliriz.

\( \abs{AB} = 2x + 3 - (-x) = 3x + 3 \)

\( \abs{DC} = 2x - (5 - 3x) = 5x - 5 \)

Üçgenin alanı 60 birimkaredir.

\( A(ABC) = \dfrac{\abs{AB} \cdot \abs{DC}}{2} = 60 \)

\( \dfrac{(3x + 3)(5x - 5)}{2} = 60 \)

\( 3(x + 1) \cdot 5(x - 1) = 120 \)

\( x^2 - 1 = 8 \)

\( x \) negatif olarak veriliyor.

\( x = -3 \) olarak bulunur.

Düzgün altıgenin ağırlık merkezine \( G \), bir kenar uzunluğuna \( 2a \) diyelim.

\( B \) noktasından \( y \) eksenine bir dikme çizelim ve \( y \) eksenini kestiği noktaya \( H \) diyelim.

\( [BH] \perp [AO] \)

Düzgün altıgende köşelerden merkeze çizilen doğrular 6 eşkanar üçgen oluşturur.

\( [BH] \) doğrusu \( ABG \) üçgeninde kenarortay ve açıortay doğrusudur. Buna göre açıları ve kenar uzunlukları aşağıdaki gibi olur.

\( m(\widehat{ABH}) = m(\widehat{HBG}) = 30° \)

\( m(\widehat{BAG}) = m(\widehat{BGA}) = 60° \)

\( \abs{AH} = \abs{HG} = a \)

\( 30-60-90° \) özel üçgeninde 60°'lik açının gördüğü kenar uzunluğu \( 30° \)'lik açının gördüğü kenar uzunluğunun \( \sqrt{3} \) katıdır.

\( \abs{BH} = a\sqrt{3} \)

\( B \) noktasının \( y \) eksenine olan uzaklığı, noktanın apsisinin mutlak değerine eşittir.

\( B \) noktasının apsisi -6 olarak veriliyor.

\( \abs{BH} = a\sqrt{3} \)

\( 6 = a\sqrt{3} \)

\( a = 2\sqrt{3} \)

\( E \) noktasının koordinatlarını bulalım.

\( E \) noktasından \( y \) eksenine bir dikme çizelim ve \( y \) eksenini kestiği noktaya \( K \) diyelim.

\( [EK] \perp [AO] \)

\( B \) ve \( E \) noktalarının \( y \) eksenine olan uzaklıkları eşittir.

\( \abs{BH} = \abs{EK} = a\sqrt{3} = 6 \)

\( E \) noktasının ordinatı \( \abs{KO} \) değerine eşittir.

\( \abs{KO} = \abs{KD} + \abs{DO} = a + \sqrt{3} \)

\( = 3\sqrt{3} \)

\( E(6, 3\sqrt{3}) \) bulunur.

Verilen \( ABC \) üçgeni bir ikizkenar üçgendir. Üçgenin I. ve II. bölgeleri birbirine göre simetrik olduğu için I. bölgedeki nokta sayısı II. bölgedeki nokta sayısına eşit olur.

I. bölgede kalan ve koordinatları tam sayı olan noktaların sayısını bulalım.

\( x = 1 \) doğrusu üçgenin kenarını \( (1, 21) \) noktasında keser; bu nedenle \( x = 1 \) doğrusu üzerinde olan, üçgenin kenarları üzerinde olmayan ve koordinatları \( (1, 1) \) ile \( (1, 20) \) arasında olan 20 nokta vardır.

\( x = 2 \) doğrusu üçgenin kenarını \( (2, 20) \) noktasında keser; bu nedenle \( x = 2 \) doğrusu üzerinde olan, üçgenin kenarları üzerinde olmayan ve koordinatları \( (2, 1) \) ile \( (2, 19) \) arasında olan 19 nokta vardır.

\( \vdots \)

\( x = 20 \) doğrusu üçgenin kenarını \( (20, 2) \) noktasında keser; bu nedenle \( x = 20 \) doğrusu üzerinde olan, üçgenin kenarları üzerinde olmayan ve koordinatları \( (20, 1) \) ile \( (20, 1) \) arasında olan 1 nokta vardır.

\( x = 21 \) doğrusu üçgenin kenarını \( (21, 1) \) noktasında keser; bu nedenle \( x = 21 \) doğrusu üzerinde olan, üçgenin kenarları üzerinde olmayan nokta yoktur.

Analitik düzlemin I. bölgesinde bulunan nokta sayısını ardışık sayıların toplam formülü ile bulalım.

\( 20 + 19 + \ldots + 1 = \dfrac{20(20 + 1)}{2} \)

\( = 210 \)

Analitik düzlemin II. bölgesinde de eşit sayıda, yani 210 nokta vardır.

Son olarak \( y = 0 \) doğrusu üzerinde olan ve üçgenin kenarları üzerinde olmayan nokta sayısını bulalım.

\( y = 0 \) doğrusu üzerinde, üçgenin kenarları üzerinde olmayan ve koordinatları \( (0, 1) \) ile \( (0, 21) \) arasında olan 21 nokta vardır.

Buna göre, istenen koşulları sağlayan \( 210 + 210 + 21 = 441 \) nokta vardır.

Soruyu analitik düzlem üzerinde modelleyerek çözelim.

Eksenler üzerindeki noktaları gözardı ederek koordinat düzleminin birinci bölgesinde eşitsizliği sağlayan noktaları bulalım.

\( x = 1 \) için: \( y \in \underbrace{\{ 1, 2, \ldots, 13 \}}_\text{13 adet} \)

\( x = 2 \) için: \( y \in \underbrace{\{ 1, 2, \ldots, 12 \}}_\text{12 adet} \)

\( \vdots \)

\( x = 13 \) için: \( y \in \underbrace{\{ 1 \}}_\text{1 adet} \)

1. bölgedeki \( (x, y) \) ikililerinin toplam sayısını ardışık sayıların toplam formülü ile bulalım.

\( 1 + 2 + \ldots + 13 = \dfrac{13 \cdot 14}{2} = 91 \)

İfadeler mutlak değer içinde olduğu için bu noktaların diğer bölgelerdeki yansımaları da eşitsizliği sağlar.

\( 4 \cdot 91 = 364 \) nokta

Bu noktalara eksenler üzerinde bulunan noktaları ekleyelim.

\( x \) ekseni üzerinde \( (14, 0) \) ve \( (-14, 0) \) arasında 29 nokta eşitsizliği sağlar.

\( y \) ekseni üzerinde \( (0, 14) \) ve \( (0, -14) \) arasında 29 nokta eşitsizliği sağlar.

\( (x, y) = (0, 0) \) noktası iki eksen üzerinde de bulunduğu için iki eksen üzerindeki noktaların toplamından 1 çıkarmalıyız.

\( 364 + 29 + 29 - 1 = 421 \) ikili bulunur.