Analitik Düzlemde Nokta

\( A \) noktasının koordinatları arasında verilen ilişkiyi yazalım.

\( k - 5 = \dfrac{2 - 7k}{4} \)

\( 4k - 20 = 2 - 7k \)

\( 11k = 22 \)

\( k = 2 \)

\( A \) noktasının koordinatları aşağıdaki gibi olur.

\( A(2 - 7 \cdot 2, 2 - 5) = A(-12, -3) \)

Buna göre \( A \) noktası III. bölgededir.

\( A \) noktası \( x \) ekseninin altında ya da üstünde bulunabileceği için \( x \) eksenine uzaklığı ordinatının mutlak değerine eşittir.

\( \abs{a - 5} = 3 \)

\( a - 5 = 3 \) ya da \( a - 5 = -3 \)

\( a - 5 = 3 \Longrightarrow a = 8 \)

\( a - 5 = -3 \Longrightarrow a = 2 \)

Buna göre \( a \)'nın alabileceği değerler toplamı \( 2 + 8 = 10 \) olur.

III. bölgede koordinat değerleri \( (-, -) \) olur.

\( A(a, -b) \) noktası III. bölgede ise \( a \lt 0 \) ve \( b \gt 0 \) olur.

Buna göre \( B(-b, -a) \) noktasının koordinat değerleri \( (-, +) \) olur.

Dolayısıyla \( B \) noktası II. bölgededir.

IV. bölgede koordinat değerleri \( (+, -) \) olur.

\( 3a + 15 \gt 0 \) ve \( a - 1 \lt 0 \)

\( a \gt -5 \) ve \( a \lt 1 \)

Buna göre \( a \) değer aralığı aşağıdaki gibidir.

\( -5 \lt a \lt 1 \)

Bu aralıktaki tam sayı değerleri aşağıdaki gibidir.

\( a \in \{-4, -3, -2, -1, 0\} \)

Nokta eksenlere eşit uzaklıkta ise 1. açıortay (\( y = x \)) ya da 2. açıortay (\( y = -x \)) doğruları üzerindedir ve apsis ve ordinat değerlerinin mutlak değerleri birbirine eşittir.

\( \abs{2a - 3} = \abs{-a + 7} \)

Bu denklemin iki çözümü vardır.

Durum 1: \( 2a - 3 = -a + 7 \)

\( 3a = 10 \)

\( a = \dfrac{10}{3} \)

\( a \) değerini yerine yazalım.

\( K(2\frac{10}{3} - 3, -\frac{10}{3} + 7) = K(\frac{11}{3}, \frac{11}{3}) \)

Bu durumda \( K \) noktası I. bölgede bulunur.

Durum 2: \( 2a - 3 = -(-a + 7) \)

\( 2a - 3 = a - 7 \)

\( a = -4 \)

\( a \) değerini yerine yazalım.

\( K(2(-4) - 3, -(-4) + 7) = K(-11, 11) \)

Bu durumda \( K \) noktası II. bölgede bulunur.

Buna göre \( K \) noktası I. ya da II. bölgede bulunabilir ve aşağıdaki şekilde görebileceğimiz gibi her iki durumda da eksenlere eşit uzaklıkta olur.

\( K \) noktasının \( y \) eksenine uzaklığı \( 3 \) br ise apsis değeri \( 3 \) ya da \( -3 \) olabilir.

\( K \) noktasının \( x \) eksenine uzaklığı \( 5 \) br ise ordinat değeri \( 5 \) ya da \( -5 \) olabilir.

Bu iki koşulu sağlayan noktalar aşağıdaki gibidir.

\( (3, 5), (3, -5) (-3, 5), (-3, -5) \)

Bu noktalardan koordinatları çarpımı negatif olanlar \( (3, -5) \) ve \( (-3, 5) \) noktalarıdır.

Buna göre \( K \) noktası \( (3, -5) \) ve \( (-3, 5) \) noktalarından biri olabilir.

\( A \) noktası IV. bölgede olduğuna göre apsis değeri pozitif, ordinat değeri negatif olur.

\( a + 4 \gt 0 \Longrightarrow a \gt -4 \)

\( a - 3 \lt 0 \Longrightarrow a \lt 3 \)

\( a \) değer aralığı yukarıdaki iki aralığın kesişim kümesidir.

\( -4 \lt a \lt 3 \)

\( B \) noktası III. bölgede olduğuna göre apsis ve ordinat değerleri negatif olur.

\( b - 2 \lt 0 \Longrightarrow b \lt 2 \)

\( b - 3 \lt 0 \Longrightarrow b \lt 3 \)

\( b \) değer aralığı yukarıdaki iki aralığın kesişim kümesidir.

\( -\infty \lt b \lt 2 \)

\( a + b \) toplamının değer aralığını bulmak için iki eşitsizliği taraf tarafa toplayalım.

\( -\infty \lt a + b \lt 5 \)

\( a + b \lt 5 \) bulunur.

\( P \) noktası \( y \) ekseni üzerinde olduğuna göre apsis değeri 0'dır.

\( 2n - 6 = 0 \)

\( n = 3 \)

\( P \) noktasının koordinatları aşağıdaki gibi olur.

\( P(2 \cdot 3 - 6, 3 - 5) = P(0, -2) \)

Buna göre \( P \) noktasının orijine uzaklığı \( \abs{-2} = 2 \) birimdir.

\( B \) noktasının apsis değeri negatif olduğuna göre \( A \) noktasının apsis değeri de negatif olmalıdır.

\( 3a - 12 \lt 0 \)

\( a \lt 4 \)

\( A \) noktasının ordinat değeri pozitif olduğuna göre \( B \) noktasının ordinat değeri de pozitif olmalıdır.

\( a + 5 \gt 0 \)

\( a \gt -5 \)

\( a \) değer aralığı bulduğumuz iki aralığın kesişim kümesidir.

\( -5 \lt a \lt 4 \)

Buna göre \( a \)'nın alabileceği \( 3 - (-4) + 1 = 8 \) farklı tam sayı değeri vardır.

\( ABCD \) dikdörtgeninin alanını şekildeki iki üçgenin alanlarının farkı şeklinde yazabiliriz.

\( A(ABDC) = A(AOD) - A(BOC) \)

\( = \dfrac{6 \cdot 7}{2} - \dfrac{4 \cdot 5}{2} \)

\( = 21 - 10 = 11 \) bulunur.

\( B \) noktasından eksenlere dik doğrular çizelim.

\( BOA \) bir dik üçgen olduğu için Öklid bağıntısını kullanabiliriz.

\( h^2 = c \cdot k \)

\( 6^2 = 9 \cdot k \)

\( k = 4 \)

Buna göre \( A \) noktasının apsis değeri \( 9 + k = 13 \) bulunur.

\( A \) noktasından \( x \) eksenine dik doğru çizelim.

\( D \) noktasının apsis değeri \( A \) noktası ile aynı olur.

\( \abs{OD} = 1 \)

\( \abs{DC} = 5 - 1 = 4 \)

\( BAC \) bir dik üçgen olduğu için Öklid bağıntısını kullanabiliriz.

\( h^2 = (8 + 1) \cdot 4 = 36 \)

\( h = 6 \)

Buna göre \( x \) eksenine negatif tarafta 6 birim uzaklıktaki \( A \) noktasının ordinat değeri \( a = -6 \) olur.

Verilen \( ABC \) üçgeni ikizkenar üçgendir. Üçgenin I. ve II. bölgeleri birbirine göre simetrik olduğu için I. bölgedeki nokta sayısı II. bölgedeki nokta sayısına eşit olacaktır.

Üçgenin analitik düzleme göre I. bölgede kalan ve koordinatları tam sayı olan noktalarını bulalım.

\( x = 1 \) doğrusu üçgenin kenarını \( (1, 21) \) noktasında keser; bu nedenle \( x = 1 \) doğrusu üzerinde, üçgenin kenarları üzerinde olmayan ve koordinatları \( (1, 1) \) ile \( (1, 20) \) arasında olan 20 nokta vardır.

\( x = 2 \) doğrusu üçgenin kenarını \( (2, 20) \) noktasında keser; bu nedenle \( x = 2 \) doğrusu üzerinde, üçgenin kenarları üzerinde olmayan ve koordinatları \( (2, 1) \) ile \( (2, 19) \) arasında olan 19 nokta vardır.

\( \vdots \)

\( x = 20 \) doğrusu üçgenin kenarını \( (20, 2) \) noktasında keser; bu nedenle \( x = 20 \) doğrusu üzerinde, üçgenin kenarları üzerinde olmayan ve koordinatları \( (20, 1) \) ile \( (20, 1) \) arasında olan 1 nokta vardır.

\( x = 21 \) doğrusu üçgenin kenarını \( (21, 1) \) noktasında keser; bu nedenle \( x = 21 \) doğrusu üzerinde, üçgenin kenarları üzerinde olmayan nokta yoktur.

Buna göre analitik düzlemin I. bölgesinde bulunan nokta sayısı \( 20 + 19 + \ldots + 1 = \dfrac{20 \cdot (20 + 1)}{2} = 210 \) olur.

Analitik düzlemin II. bölgesinde de eşit miktarda, yani 210 nokta vardır.

Son olarak \( y = 0 \) doğrusu üzerinde olan ve üçgenin kenarları üzerinde olmayan nokta sayısını bulalım.

\( y = 0 \) doğrusu üzerinde, üçgenin kenarları üzerinde olmayan ve koordinatları \( (0, 1) \) ile \( (0, 21) \) arasında olan 21 nokta vardır.

Buna göre üçgeninin içinde koordinatları tam sayı olan ve üçgenin kenarları üzerinde olmayan \( 210 + 210 + 21 = 441 \) nokta vardır.

Üçgenin köşelerini analitik düzlemde işaretleyelim.

Şekilde görülebileceği gibi, üçgenin \( [AB] \) kenarını taban, \( [DC] \) doğru parçasını da yükseklik olarak kullanarak üçgenin alanını hesaplayabiliriz.

\( \abs{AB} = 2x + 3 - (-x) = 3x + 3 \)

\( \abs{DC} = 2x - (5 - 3x) = 5x - 5 \)

Üçgenin alanı 60 birimkaredir.

\( A(ABC) = \dfrac{\abs{AB} \cdot \abs{DC}}{2} = 60 \)

\( \dfrac{(3x + 3) \cdot (5x - 5)}{2} = 60 \)

\( 3(x + 1) \cdot 5(x - 1) = 120 \)

\( x^2 - 1 = 8 \)

\( x = 3 \) olarak bulunur.

Üçgenin köşelerinin koordinatlarını \( A(1, 5) \), \( B(3, 4) \) ve \( C(7, 3) \), bu noktaların \( x \) ekseni üzerindeki izdüşümlerini de \( D(1, 0) \), \( E(3, 0) \) ve \( F(7, 0) \) olarak işaretleyelim.

\( ABC \) üçgeninin alanını iki yöntemle bulabiliriz.

Yöntem 1: Analitik Yöntem

3 noktanın oluşturduğu üçgenin alan formülünü kullanalım.

\( A(1, 5) = A(x_1, y_1) \), \( B(3, 4) = B(x_2, y_2) \) ve \( C(7, 3) = C(x_3, y_3) \) olmak üzere,

\( A(ABC) = \dfrac{1}{2} \abs{(x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_1) - (x_2y_1 + x_3y_2 + x_1y_3)} \)

\( = \dfrac{1}{2} \abs{(1 \cdot 4 + 3 \cdot 3 + 7 \cdot 5) - (3 \cdot 5 + 7 \cdot 4 + 1 \cdot 3)} \)

\( = \dfrac{1}{2} \abs{48 - 46} = 1 \) birimkare

Yöntem 2: Geometrik Yöntem

\( ABC \) üçgeninin alanını \( ADFC \) yamuğunun alanından \( ADEB \) ve \( BEFC \) yamuklarının alanlarını çıkararak bulalım.

\( A(ABC) = A(ADFC) - A(ADEB) - A(BEFC) \)

\( = \dfrac{(5 + 3) \cdot 6}{2} - \dfrac{(5 + 4) \cdot 2}{2} - \dfrac{(4 + 3) \cdot 4}{2} \)

\( = 24 - 9 - 14 = 1 \) birimkare