Uzaklık Formülleri

İki nokta arasındaki uzaklık formülünü yazalım.

\( \abs{AB} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \)

\( \sqrt{41} = \sqrt{(2 - a)^2 + (-3 - 2)^2} \)

Eşitliğin taraflarının karesini alalım.

\( 41 = (2 - a)^2 + (-5)^2 \)

\( (2 - a)^2 = 16 \)

\( \sqrt{(2 - a)^2} = \sqrt{16} \)

\( \abs{2 - a} = 4 \)

Bu eşitlik iki durumda sağlanır.

Durum 1:

\( 2 - a = 4 \)

\( a = -2 \)

Durum 2:

\( 2 - a = -4 \)

\( a = 6 \)

Buna göre \( a \)'nın alabileceği değerlerin çarpımı \( -2 \cdot 6 = -12 \) olarak bulunur.

Bu iki nokta aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.

\( x \) ekseni üzerindeki \( C \) noktasının koordinatlarına \( C(a, 0) \) diyelim.

\( C \) noktası \( A \) ve \( B \) noktalarına eşit uzaklıktadır.

\( \abs{CA} = \abs{CB} \)

\( \sqrt{(a - 1)^2 + (0 - 2)^2} = \sqrt{(a - (-3))^2 + (0 - 1)^2} \)

Eşitliğin taraflarının karesini alalım.

\( (a - 1)^2 + 4 = (a + 3)^2 + 1 \)

\( a^2 - 2a + 1 + 4 = a^2 + 6a + 9 + 1 \)

\( -8a = 5 \)

\( a = -\dfrac{5}{8} \) bulunur.

\( y = x \) doğrusu üzerindeki noktaların apsis ve ordinat değerleri birbirine eşittir.

\( y = x \) doğrusu üzerindeki \( C \) noktasının koordinatlarına \( C(a, a) \) diyelim.

\( \abs{AC} \) uzaklığını bulalım.

\( \abs{AC} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \)

\( = \sqrt{(a - (-2))^2 + (a - 2)^2} \)

\( = \sqrt{(a + 2)^2 + (a - 2)^2} \)

\( \abs{BC} \) uzaklığını bulalım.

\( \abs{BC} = \sqrt{(a - 2)^2 + (a - 6)^2} \)

\( \abs{AC} = \abs{BC} \) olarak veriliyor.

\( \sqrt{(a + 2)^2 + (a - 2)^2} = \sqrt{(a - 2)^2 + (a - 6)^2} \)

Eşitliğin taraflarının karesini alalım.

\( (a + 2)^2 + (a - 2)^2 = (a - 2)^2 + (a - 6)^2 \)

\( (a + 2)^2 = (a - 6)^2 \)

\( a^2 + 4a + 4 = a^2 - 12a + 36 \)

\( a = 2 \)

\( C(a, a) = C(2, 2) \) olarak bulunur.

\( A \) noktasının \( x \) eksenine olan uzaklığı 8 birimdir. Buna göre \( A \) noktasının \( B \) noktasına olan uzaklığı 2 birimdir.

İki nokta arasındaki uzaklık formülünü kullanalım.

\( {\abs{AB}}^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 \)

\( 2^2 = (5 - 5)^2 + (p - 8)^2 \)

\( 4 = (p - 8)^2 \)

Bu eşitlik iki durumda sağlanır.

Durum 1:

\( p - 8 = 2 \)

\( p = 10 \)

Durum 2:

\( p - 8 = -2 \)

\( p = 6 \)

\( p \)'nin alabileceği değerlerin çarpımı \( 10 \cdot 6 = 60 \) olarak bulunur.

Bu üç nokta arasındaki uzaklıkları bulalım.

\( \abs{AB} = \sqrt{(-2 - (-3))^2 + (-1 - (-3))^2} \)

\( = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5} \)

\( \abs{BC} = \sqrt{(1 - (-2))^2 + (5 - (-1))^2} \)

\( = \sqrt{3^2 + 6^2} = 3\sqrt{5} \)

\( \abs{AC} = \sqrt{(1 - (-3))^2 + (5 - (-3))^2} \)

\( = \sqrt{4^2 + 8^2} = 4\sqrt{5} \)

\( [AC] \) uzunluğunun \( [AB] \) ve \( [BC] \) uzunlukları toplamına eşit olduğunu görüyoruz.

\( \abs{AC} = \abs{AB} + \abs{BC} \)

\( 4\sqrt{5} = \sqrt{5} + 3\sqrt{5} \)

Üçgen eşitsizliğine göre, bir üçgende bir kenar uzunluğu her zaman diğer iki kenar uzunlukları toplamından küçüktür. Bu eşitlik bize bu üç noktanın bir üçgen oluşturmadıklarını, dolayısıyla doğrusal olduklarını gösterir.

Noktaların doğrusal olduğunu aşağıdaki şekilde de görebiliriz.

İki noktanın orta noktasının apsis ve ordinat değerleri, bu iki noktanın apsis ve ordinat değerlerinin aritmetik ortalamasına eşittir.

\( a = \dfrac{-2 + 4}{2} \)

\( a = 1 \)

\( -2 = \dfrac{-6 + b}{2} \)

\( b = 2 \)

\( ab = 1 \cdot 2 = 2 \) bulunur.

İki noktanın orta noktasının apsis ve ordinat değerleri, bu iki noktanın apsis ve ordinat değerlerinin aritmetik ortalamasına eşittir.

\( A \) ve \( B \) noktalarının orta noktasına \( C \) diyelim.

\( C\left( \dfrac{t - 1 + t + 3}{2}, \dfrac{2t + 3 + 4t - 1}{2} \right) = C(t + 1, 3t + 1) \)

\( t \) cinsinden parametrik denklemini bulduğumuz doğrunun denklemini bulalım.

\( x = t + 1 \Longrightarrow t = x - 1 \)

Birinci denklemde bulduğumuz \( t \) değerini ikinci denklemde yerine koyalım.

\( y = 3t + 1 \Longrightarrow y = 3(x - 1) + 1 \)

\( y = 3x - 2 \) bulunur.

Buna göre, farklı \( t \) değerleri için oluşan \( [AB] \) doğru parçalarının orta noktaları bir doğru oluşturur.

\( A(x_1, y_1) \) ve \( B(x_2, y_2) \) noktalarını birleştiren doğru parçasını \( k \) oranında içten bölen \( C(x_0, y_0) \) noktasının koordinatları aşağıdaki formülle bulunur.

\( x_0 = \dfrac{x_1 + kx_2}{1 + k} \)

\( y_0 = \dfrac{y_1 + ky_2}{1 + k} \)

Verilen noktaların koordinatlarını bu formüllerde yerine koyalım.

\( x_0 = \dfrac{1 + \frac{1}{3} \cdot 5}{1 + \frac{1}{3}} \)

\( = \dfrac{\frac{8}{3}}{\frac{4}{3}} = 2 \)

\( y_0 = \dfrac{2 + \frac{1}{3} \cdot (-2)}{1 + \frac{1}{3}} \)

\( = \dfrac{\frac{4}{3}}{\frac{4}{3}} = 1 \)

\( C \) noktasının koordinatları \( C(2, 1) \) olarak bulunur.

\( A(x_1, y_1) \) ve \( B(x_2, y_2) \) noktalarını birleştiren doğru parçasını \( k \) oranında dıştan bölen \( C(x_0, y_0) \) noktasının koordinatları aşağıdaki formülle bulunur.

\( x_0 = \dfrac{x_1 - kx_2}{1 - k} \)

\( y_0 = \dfrac{y_1 - ky_2}{1 - k} \)

Verilen noktaların koordinatlarını bu formüllerde yerine koyalım.

\( x_0 = \dfrac{2 - \frac{1}{2} \cdot 6}{1 - \frac{1}{2}} \)

\( = \dfrac{-1}{\frac{1}{2}} = -2 \)

\( y_0 = \dfrac{3 - \frac{1}{2} \cdot (-1)}{1 - \frac{1}{2}} \)

\( = \dfrac{\frac{7}{2}}{\frac{1}{2}} = 7 \)

\( C \) noktasının koordinatları \( C(-2, 7) \) olarak bulunur.

\( 2x - 3y + 7 = 0 \) doğrusu \( A \) noktasından geçtiğine göre, \( A \) noktasının koordinatları doğru denklemini sağlar.

\( 2(n - 4) - 3(2n - 3) + 7 = 0 \)

\( 2n - 8 - 6n + 9 + 7 = 0 \)

\( n = 2 \)

\( A \) noktasının koordinatlarında \( n = 2 \) değerini yerine koyalım.

\( A(2 - 4, 2(2) - 3) = A(-2, 1) \)

\( A \) noktasının orijine olan uzaklığını bulalım.

\( \abs{AO} = \sqrt{x_1^2 + y_1^2} \)

\( = \sqrt{(-2)^2 + 1^2} \)

\( = \sqrt{5} \) bulunur.

Bir nokta 1 birim sola ötelendiğinde apsisi 1 birim azalır.

\( A(-3, 4) \longmapsto A'(-4, 4) \)

Bir nokta 7 birim yukarı ötelendiğinde ordinatı 7 birim artar.

\( A'(-4, 4) \longmapsto B(-4, 11) \)

İki nokta arası uzaklık formülünü kullanarak \( \abs{AB} \) uzaklığını hesaplayalım.

\( \abs{AB} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \)

\( = \sqrt{(-4 - (-3))^2 + (11 - 4)^2} \)

\( = \sqrt{(-1)^2 + 7^2} \)

\( = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \) bulunur.

Verilen bilgileri analitik düzlemde gösterelim.

\( y = -2 \) doğrusu üzerindeki \( A \) noktasının apsisine \( k \) diyelim.

\( A(k, -2) \)

\( A \) noktasının verilen iki noktaya olan uzaklıklarını birbirine eşitleyelim.

\( \abs{AB} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \)

\( = \sqrt{(k - 2)^2 + (-2 - 4)^2} \)

\( = \sqrt{(k - 2)^2 + 36} \)

\( \abs{AC} = \sqrt{(k - (-3))^2 + (-2 - (-5))^2} \)

\( = \sqrt{(k + 3)^2 + 9} \)

\( \abs{AB} = \abs{AC} \)

\( \sqrt{(k - 2)^2 + 36} = \sqrt{(k + 3)^2 + 9} \)

Eşitliğin taraflarının karesini alalım.

\( (k - 2)^2 + 36 = (k + 3)^2 + 9 \)

\( k^2 - 4k + 4 + 36 = k^2 + 6k + 9 + 9 \)

\( 10k = 22 \)

\( k = \dfrac{11}{5} \) bulunur.

Noktaları analitik düzlemde işaretlediğimizde oluşan üçgenin dik kenarları eksenlere paralel olan bir dik üçgen olduğunu görürüz.

Üçgenin kenar uzunluklarını bulalım.

\( \abs{AB} = \abs{10 - (-2)} = 12 \) br

\( \abs{AC} = \abs{-3 - 2} = 5 \) br

\( \abs{BC} = \sqrt{12^2 + 5^2 } = 13 \) br

Buna göre üçgenin çevresi \( 12 + 5 + 13 = 30 \) br olarak bulunur.

Analitik düzlemde iki noktaya eşit uzaklıktaki noktaların kümesi, bu iki noktayı birleştiren doğru parçasının orta noktasından geçen ve bu doğru parçasına dik olan doğrudur.

Verilen iki noktanın ordinat değerleri aynı olduğundan, bu noktalara eşit uzaklıktaki noktalar kümesini oluşturan doğru dikey bir doğrudur.

\( A \) ve \( B \) noktalarının orta noktasının apsisini bulalım.

\( x = \dfrac{x_0 + x_1}{2} \)

\( = \dfrac{-5 + 9}{2} = 2 \)

Buna göre \( A \) ve \( B \) noktalarına eşit uzaklıktaki noktaların kümesi \( x = 2 \) doğrusudur.

Verilen noktalar içinde \( x = 2 \) doğrusu üzerindeki tek nokta (d) seçeneğindeki \( (2, -9) \) noktasıdır.

\( D, E, G \) noktaları bulundukları kenarların orta noktaları olduğuna göre, iki noktanın orta noktası formülü ile bu noktaların koordinatlarını bulalım.

\( x_0 = \dfrac{x_1 + x_2}{2} \)

\( y_0 = \dfrac{y_1 + y_2}{2} \)

\( D \) noktası \( [AB] \) kenarının orta noktasıdır.

\( x_0 = \dfrac{2 + 6}{2} = 4 \)

\( y_0 = \dfrac{4 + 8}{2} = 6 \)

\( D(4, 6) \)

\( E \) noktası \( [BC] \) kenarının orta noktasıdır.

\( x_0 = \dfrac{6 + 10}{2} = 8 \)

\( y_0 = \dfrac{8 + 2}{2} = 5 \)

\( E(8, 5) \)

\( G \) noktası \( [DE] \) kenarının orta noktasıdır.

\( x_0 = \dfrac{4 + 8}{2} = 6 \)

\( y_0 = \dfrac{6 + 5}{2} = \dfrac{11}{2} \)

\( G \) noktasının koordinatları \( G(6, \frac{11}{2}) \) olarak bulunur.

\( K \) ve \( L \) noktaları bulundukları kenarların orta noktaları olduğu için \( [KL] \) doğru parçası \( ABC \) üçgeninin orta tabanı olur.

Bir üçgende orta taban uzunluğu taban uzunluğunun yarısıdır.

\( [BC] \) taban uzunluğunu iki nokta arasındaki uzaklık formülü ile bulalım.

\( \abs{BC} = \sqrt{(8 - (-8))^2 + (11 - (-1))^2} \)

\( = \sqrt{12^2 + 16^2} = 20 \)

Buna göre \( x = 10 \) bulunur.

\( A \) noktasından \( x \) eksenine bir dikme çizelim.

\( \abs{OD} = 4 \)

\( \abs{DB} = 5 - 4 = 1 \)

30-60-90° üçgeninde 60°'lik açının gördüğü kenarın uzunluğu 30°'lik açının gördüğü kenarın uzunluğunun \( \sqrt{3} \) katıdır.

\( \abs{AD} = \sqrt{3}\abs{OD} = 4\sqrt{3} \)

\( ADB \) üçgeninde Pisagor teoremini kullanarak \( \abs{AB} \) uzunluğunu bulalım.

\( \abs{AB} = \sqrt{(4\sqrt{3})^2 + 1^2} \)

\( = \sqrt{48 + 1} = 7 \) bulunur.

\( L, M, N \) noktaları \( [KP] \) doğru parçasını 4 eşit parçaya böldüğüne göre, \( M \) noktası \( [KP] \) doğru parçasının, \( N \) noktası \( [MP] \) doğru parçasının, \( L \) noktası da \( [KM] \) doğru parçasının orta noktasıdır.

\( [MP] \) doğru parçası için orta nokta bulma formülünü kullanarak \( N \) noktasının ordinatını bulalım.

\( y_0 = \dfrac{y_1 + y_2}{2} \)

\( f = \dfrac{2 + 6}{2} = 4 \)

\( N(10, f) = N(10, 4) \)

Aynı doğru parçasını kullanarak \( M \) noktasının apsisini bulalım.

\( x_0 = \dfrac{x_1 + x_2}{2} \)

\( 10 = \dfrac{e + 12}{2} \)

\( e = 8 \)

\( M(e, 2) = M(8, 2) \)

\( M(8, 2) \) noktası \( [LN] \) doğru parçasının da orta noktasıdır.

\( [LN] \) doğru parçası için orta nokta bulma formülü kullanarak \( L \) noktasının koordinatlarını bulalım.

\( 8 = \dfrac{c + 10}{2} \)

\( c = 6 \)

\( 2 = \dfrac{d + 4}{2} \)

\( d = 0 \)

\( L(c, d) = L(6, 0) \)

\( [KP] \) doğru parçası için orta nokta bulma formülü kullanarak \( K \) noktasının koordinatlarını bulalım.

\( e = 8 = \dfrac{a + 12}{2} \)

\( a = 4 \)

\( 2 = \dfrac{b + 6}{2} \)

\( b = -2 \)

\( K(a, b) = K(4, -2) \)

\( a + b + c + d + e + f = 4 + (-2) + 6 + 0 + 8 + 4 \)

\( = 20 \) bulunur.

\( B \) noktasının koordinatlarına \( B(0, n) \) diyelim.

\( B \) noktasının koordinatlarını \( A-B \) noktaları arasındaki uzaklık formülünü kullanarak bulalım.

\( {\abs{AB}}^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 \)

\( (2\sqrt{17})^2 = (8 - 0)^2 + (4 - n)^2 \)

\( 68 = 64 + (4 - n)^2 \)

\( (4 - n)^2 = 4 \)

Bu eşitlik iki durumda sağlanır.

Durum 1:

\( 4 - n = 2 \)

\( n = 2 \)

Durum 2:

\( 4 - n = -2 \)

\( n = 6 \)

\( m(\widehat{ABC}) \lt 90° \) olduğuna göre, \( A \) noktasının ordinatı \( B \) noktasının ordinatından daha küçük olmalıdır.

\( n \gt 4 \)

Buna göre \( B(0, 6) \) olur.

\( ABC \) üçgeninin alanını bulalım.

\( A \) noktasının \( y \) eksenine olan uzaklığı 8 birimdir.

\( A(ABC) = \dfrac{\abs{BC} \cdot 8}{2} \)

\( = \dfrac{11 \cdot 8}{2} \)

\( = 44 \) bulunur.

\( C \) noktasından \( x \) eksenine bir dikme çizerek \( CEB \) dik üçgenini oluşturalım.

\( m(\widehat{CEB}) = m(\widehat{BOA}) = 90° \)

\( m(\widehat{EBC}) = m(\widehat{OAB}) = \alpha \)

\( ABCD \) bir karedir.

\( \abs{CB} = \abs{BA} \)

Buna göre tüm iç açıları ve birer benzer kenar uzunluğu eşit aşağıdaki iki üçgen eş üçgenlerdir.

\( \overset{\triangle}{CEB} \cong \overset{\triangle}{BOA} \)

Eş üçgenlerin birbirine karşılık gelen kenarlarının uzunlukları birbirine eşittir.

\( \abs{CE} = \abs{BO} = 2 \)

\( \abs{EB} = \abs{OA} = 3 \)

\( C \) noktasının koordinatları aşağıdaki gibi olur.

\( C(-(3 + 2), 2) = C(-5, 2) \)

Buna göre \( C \) noktasının koordinatları toplamı \( -5 + 2 = -3 \) olarak bulunur.

\( D \) noktasından \( y \) eksenine bir dikme çizerek \( DEC \) dik üçgenini oluşturalım.

\( m(\widehat{DEC}) = m(\widehat{COB}) = 90° \)

\( m(\widehat{EDC}) = m(\widehat{OCB}) = \alpha \)

Buna göre tüm iç açıları eşit aşağıdaki iki üçgen benzer üçgenlerdir.

\( \overset{\triangle}{DEC} \sim \overset{\triangle}{COB} \)

Pisagor teoremini kullanarak \( \abs{BC} \) uzunluğunu bulalım.

\( \abs{BC} = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10 \)

Dikdörtgenin çevresi 30 birimdir.

\( 2(\abs{BC} + \abs{DC}) = 30 \)

\( \abs{DC} = 5 \) br

Benzer üçgenlerde benzer kenarların uzunlukları oranı birbirine eşittir.

\( \dfrac{5}{10} = \dfrac{a}{8} = \dfrac{b}{6} \)

\( a = 4 \) br

\( b = 3 \) br

\( D \) noktasının koordinatları aşağıdaki gibi olur.

\( D(-a, 8 + b) = D(-4, 11) \)

\( D \) noktasının koordinatları çarpımı \( -4 \cdot 11 = -44 \) bulunur.

\( D \) noktasından \( x \) eksenine bir dikme çizerek \( DGA \) dik üçgenini oluşturalım.

\( m(\widehat{DGA}) = m(\widehat{AOB}) = 90° \)

\( m(\widehat{GAD}) = m(\widehat{OBA}) = \alpha \)

\( ABCD \) bir karedir.

\( \abs{DA} = \abs{AB} \)

Buna göre tüm iç açıları ve birer benzer kenar uzunluğu eşit aşağıdaki iki üçgen eş üçgenlerdir.

\( \overset{\triangle}{DGA} \cong \overset{\triangle}{AOB} \)

Eş üçgenlerin birbirine karşılık gelen kenarlarının uzunlukları birbirine eşittir.

\( \abs{AO} = \abs{DG} = 12 \)

\( \abs{GA} = \abs{GO} - \abs{AO} \)

\( = 28 - 12 = 16 \)

Pisagor teoremini kullanarak \( \abs{DA} \) uzunluğunu bulalım.

\( \abs{DA} = \sqrt{12^2 + 16^2} = 20 \)

\( \abs{DF} = \dfrac{\abs{DA}}{2} = 10 \)

Pisagor teoremini kullanarak \( \abs{EF} \) uzunluğunu bulalım.

\( \abs{EF} = \sqrt{10^2 + 10^2} = 10\sqrt{2} \) bulunur.

\( B \) noktasının koordinatlarına \( B(a, b) \) diyelim.

Orta noktaları kullanarak \( [AB] \) ve \( [BC] \) kenarlarına paralel olacak şekilde orta tabanları çizelim.

\( [EF] \parallel [AB] \)

\( [DE] \parallel [BC] \)

Çizilen doğrular \( DEFB \) parelelkenarını oluşturur.

Bir paralelkenarda karşılıklı köşelerin koordinatları toplamları birbirine eşittir.

Köşe noktalarını kullanarak \( B \) noktasının koordinatlarını bulalım.

\( B \) noktasının apsisini bulalım.

\( a + (-2) = -4 + (-3) \)

\( a = -5 \)

\( B \) noktasının ordinatını bulalım.

\( b + 6 = 5 + 2 \)

\( b = 1 \)

\( B(a, b) = B(-5, 1) \) bulunur.

Belirtilen koşulu sağlayan noktaların kümesine \( C(x, y) \) diyelim.

\( C \) noktasının \( A \) noktasına olan uzaklığı \( B \) noktasına olan uzaklığının 3 katıdır.

\( \abs{CA} = 3\abs{CB} \)

\( \sqrt{(x - 5)^2 + (y - (-2))^2} = 3\sqrt{(x - 1)^2 + (y - 2)^2} \)

\( \sqrt{(x - 5)^2 + (y + 2)^2} = 3\sqrt{(x - 1)^2 + (y - 2)^2} \)

Eşitliğin taraflarının karesini alalım.

\( x^2 - 10x + 25 + y^2 + 4y + 4 = 9(x^2 - 2x + 1 + y^2 - 4y + 4) \)

\( x^2 - 10x + 25 + y^2 + 4y + 4 = 9x^2 - 18x + 9 + 9y^2 - 36y + 36 \)

\( 8x^2 - 8x + 8y^2 - 40y + 16 = 0 \)

Verilen koşulu sağlayan noktaların kümesi aşağıdaki denklemle ifade edilir.

\( x^2 + y^2 - x - 5y + 2 = 0 \)

Çemberin analitiği bölümünde göreceğimiz üzere, bu denklem aşağıdaki şekildeki gibi bir çember ifade eder.

Belirtilen koşulu sağlayan noktalar kümesine \( C(x, y) \) diyelim.

\( C \) noktasının \( A \) noktasına ve doğruya uzaklığına \( d \) diyelim. \( d \) değerini hem \( A \) noktası hem de doğru için ayrı ayrı hesaplayalım.

\( C \) noktasının \( A \) noktasına uzaklığını bulalım.

\( d = \sqrt{(x - 3)^2 + (y - 4)^2} \)

\( y = 1 \) yatay bir doğru olduğu için \( C \) noktasının doğruya uzaklığı ordinat değerleri arasındaki farka eşittir.

\( d = \abs{y - 1} \)

İki uzaklık değeri birbirine eşittir.

\( \sqrt{(x - 3)^2 + (y - 4)^2} = \abs{y - 1} \)

Eşitliğin taraflarının karesini alalım.

\( (x - 3)^2 + (y - 4)^2 = (y - 1)^2 \)

\( x^2 - 6x + 9 + y^2 - 8y + 16 = y^2 - 2y + 1 \)

\( x^2 - 6x + 24 = 6y \)

Verilen koşulu sağlayan noktalar kümesi aşağıdaki denklemle ifade edilir.

\( y = \dfrac{1}{6}x^2 - x + 4 \)

Elde ettiğimiz denklem bir parabol denklemidir. Parabol bölümünde göreceğimiz üzere, parabol aynı zamanda bir nokta ve doğruya eşit uzaklıktaki noktalar kümesidir.

Üçgenin köşe noktaları arasındaki uzaklıkları bulalım.

\( \abs{AB} = \sqrt{(-3 - (-1))^2 + (-1 - 4)^2} \)

\( = \sqrt{(-2)^2 + (-5)^2} = \sqrt{29} \)

\( \abs{BC} = \sqrt{(3 - (-3))^2 + (-3 - (-1))^2} \)

\( = \sqrt{6^2 + (-2)^2} = \sqrt{40} \)

\( \abs{CA} = \sqrt{(-1 - 3)^2 + (4 - (-3))^2} \)

\( = \sqrt{(-4)^2 + 7^2} = \sqrt{65} \)

Üçgenin uzun kenarının karesi ile diğer iki kenar uzunluklarının kareleri toplamını karşılaştıralım.

\( (\abs{CA})^2 \overset{?}{=} (\abs{AB})^2 + (\abs{BC})^2 \)

\( (\sqrt{65})^2 \overset{?}{=} (\sqrt{29})^2 + (\sqrt{40})^2 \)

\( 65 \overset{?}{=} 29 + 40 \)

\( 65 \lt 69 \)

Eşitlik sağlansaydı Pisagor teoreminden üçgenin bir dik üçgen olduğu sonucuna varabilirdik. Uzun kenarın karesi diğer iki kenar uzunluklarının kareleri toplamından küçük olduğu için uzun kenarı gören açı 90°'den küçük olmalıdır, dolayısıyla üçgen dar açılı bir üçgendir.

Dörtgenin köşe noktaları arasındaki uzaklıkları bulalım.

\( \abs{AB} = \sqrt{(6 - 3)^2 + (-1 - 5)^2} \)

\( = \sqrt{3^2 + (-6)^2} = \sqrt{45} \)

\( \abs{BC} = \sqrt{(2 - 6)^2 + (-3 - (-1))^2} \)

\( = \sqrt{(-4)^2 + (-2)^2} = \sqrt{20} \)

\( \abs{CD} = \sqrt{(-1 - 2)^2 + (3 - (-3))^2} \)

\( = \sqrt{(-3)^2 + 6^2} = \sqrt{45} \)

\( \abs{DA} = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (5 - 3)^2} \)

\( = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{20} \)

Dörtgenin karşılıklı kenar uzunlukları birbirine eşittir, ancak tüm kenar uzunlukları eşit olmadığı için şekil kare ya da eşkenar dörtgen olamaz.

Dörtgenin paralelkenar mı dikdörtgen mi olduğunu anlamak için köşegen uzunluklarını karşılaştıralım.

\( \abs{AC} = \sqrt{(2 - 3)^2 + (-3 - 5)^2} \)

\( = \sqrt{(-1)^2 + (-8)^2} = \sqrt{65} \)

\( \abs{BD} = \sqrt{(-1 - 6)^2 + (3 - (-1))^2} \)

\( = \sqrt{(-7)^2 + 4^2} = \sqrt{65} \)

Dörtgenin köşegen uzunlukları eşit olduğu için şekil bir dikdörtgendir (paralelkenarın köşegen uzunlukları birbirinden farklıdır).

\( A \) noktası IV. bölgede, \( B \) noktası I. bölgede olduğu için \( x \) ekseni \( [AB] \) doğru parçasını içten böler.

\( x \) ekseninin \( [AB] \) doğru parçasını böldüğü orana \( k \) diyelim.

\( A(x_1, y_1) \) ve \( B(x_2, y_2) \) noktalarını birleştiren doğru parçasını \( k \) oranda içten bölen \( C(x_0, y_0) \) noktasının koordinatları aşağıdaki formülle bulunur.

\( x_0 = \dfrac{x_1 + kx_2}{1 + k} \)

\( y_0 = \dfrac{y_1 + ky_2}{1 + k} \)

\( [AB] \) doğru parçasının \( x \) eksenini kestiği noktaya \( C \) diyelim. \( C \) noktası \( x \) ekseni üzerinde olduğu için ordinatı sıfırdır.

\( C(x_0, 0) \)

\( y_0 = \dfrac{-3 + 6k}{1 + k} = 0 \)

\( 0 = -3 + 6m \)

\( m = \dfrac{1}{2} \)

Buna göre \( x \) ekseni verilen iki noktayı birleştiren doğru parçasını \( \frac{1}{2} \) oranında içten böler.

\( d \) doğrusunun \( [AB] \) doğru parçasını böldüğü noktaya \( C \), böldüğü orana \( m \) diyelim.

\( A(x_1, y_1) \) ve \( B(x_2, y_2) \) noktalarını birleştiren doğru parçasını \( k \) oranda içten bölen \( C(x_0, y_0) \) noktasının koordinatları aşağıdaki formülle bulunur.

\( x_0 = \dfrac{x_1 + kx_2}{1 + k} \)

\( y_0 = \dfrac{y_1 + ky_2}{1 + k} \)

\( d \) doğrusu üzerindeki \( C \) noktasının koordinatlarını bulalım.

\( x_0 = \dfrac{2 + 4m}{1 + m} \)

\( y_0 = \dfrac{-1 + 3m}{1 + m} \)

\( C(\dfrac{2 + 4m}{1 + m}, \dfrac{-1 + 3m}{1 + m}) \)

\( C \) noktası \( d \) doğrusu üzerinde olduğuna göre koordinatları doğru denklemini sağlar.

\( 2(\dfrac{2 + 4m}{1 + m}) + 3(\dfrac{-1 + 3m}{1 + m}) - 12 = 0 \)

\( \dfrac{4 + 8m - 3 + 9m}{1 + m} = 12 \)

\( 17m + 1 = 12 + 12m \)

\( m = \dfrac{11}{5} \)

Buna göre \( d \) doğrusu \( [AB] \) doğru parçasını \( \frac{11}{5} \) oranında böler.

Köşelerinin koordinatları \( A(x_1, y_1) \), \( B(x_2, y_2) \), \( C(x_3, y_3) \) ve \( D(x_4,y_4) \) olan bir paralelkenarının köşe koordinatları arasında aşağıdaki ilişki vardır.

\( x_1 + x_3 = x_2 + x_4 \)

\( y_1 + y_3 = y_2 + y_4 \)

\( D \) noktasının apsisini bulalım.

\( 6 + 8 = 13 + x_4 \)

\( x_4 = 1 \)

\( D \) noktasının ordinatını bulalım.

\( 18 + 10 = 20 + y_4 \)

\( y_4 = 8 \)

\( D(x_4, y_4) = (1, 8) \)

\( \dfrac{\abs{DE}}{\abs{CE}} = \dfrac{5}{2} \) oranı için doğru uzunluklarını yazalım.

\( \abs{DE} = 5k \) ve \( \abs{CE} = 2k \) diyelim.

Paralelkenarda karşılıklı kenar uzunlukları eşittir.

\( \abs{AB} = \abs{CD} = 7k \)

\( ABF \) ve \( EDF \) üçgenleri paralellikten dolayı benzer üçgenlerdir.

\( \overset{\triangle}{ABF} \sim \overset{\triangle}{EDF} \)

Benzer üçgenlerin kenar uzunlukları arasında orantı kuralım.

\( \dfrac{\abs{AB}}{\abs{BF}} = \dfrac{\abs{ED}}{\abs{DF}} \)

\( \dfrac{7k}{\abs{BF}} = \dfrac{5k}{\abs{DF}} \)

\( \abs{BF} = 7m \) ve \( \abs{DF} = 5m \) diyelim.

\( A(x_1, y_1) \) ve \( B(x_2, y_2) \) noktalarını birleştiren doğru parçasını \( k \) oranında içten bölen \( C(x_0, y_0) \) noktasının koordinatları aşağıdaki formülle bulunur.

\( x_0 = \dfrac{x_1 + kx_2}{1 + k} \)

\( y_0 = \dfrac{y_1 + ky_2}{1 + k} \)

Bu formülleri \( D \) ve \( B \) noktalarını birleştiren doğru parçasını \( \frac{5}{7} \) oranında bölen \( F \) noktasına uygulayalım.

\( x_0 = \dfrac{1 + \frac{5}{7} \cdot 13}{1 + \frac{5}{7}} \)

\( = \dfrac{\frac{72}{7}}{\frac{12}{7}} = 6 \)

\( y_0 = \dfrac{8 + \frac{5}{7} \cdot 20}{1 + \frac{5}{7}} \)

\( = \dfrac{\frac{156}{7}}{\frac{12}{7}} = 13 \)

\( F(6, 13) \) olarak bulunur.