İki Nokta Arasındaki Uzaklık
Kartezyen düzlemde iki nokta arasındaki uzaklık, apsisleri ve ordinatları arasındaki farklar kullanılarak Pisagor teoremi yardımıyla bulunur. \( A \) ve \( B \) noktaları arasındaki uzaklık \( \abs{AB} \) şeklinde gösterilir.
\( A(x_1, y_1) \) ve \( B(x_2, y_2) \) olmak üzere,
\( \abs{AB} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \)
\( A(8, -3) \) ve \( B(2, 5) \) noktaları arasındaki uzaklık:
\( \abs{AB} = \sqrt{(2 - 8)^2 + (5 - (-3))^2} \)
\( = \sqrt{(-6)^2 + 8^2} = 10 \)
İSPATI GÖSTER
\( (0, y_1) \) noktasından \( A \) noktasına çizilen kesikli çizgiyi \( x = x_2 \) doğrusuna kadar uzatalım.
Bu doğrunun \( x = x_2 \) doğrusunu kestiği noktaya \( C \) diyelim.
\( y = y_1 \) ve \( x = x_2 \) doğruları eksenlere paralel oldukları için birbirlerini dik keserler, dolayısıyla oluşan \( ABC \) üçgeni bir dik üçgendir.
Üçgenin tabanı \( A \) ve \( B \) noktalarının apsis değerlerinin farkının mutlak değerine eşittir.
\( \abs{AC} = \abs{x_2 - x_1} \)
Üçgenin yüksekliği \( A \) ve \( B \) noktalarının ordinat değerlerinin farkının mutlak değerine eşittir.
\( \abs{BC} = \abs{y_2 - y_1} \)
İki nokta arasındaki uzaklık dik üçgenin hipotenüsüne eşit olduğu için, bu uzunluğu Pisagor teoremini kullanarak hesaplayabiliriz.
\( \abs{AB}^2 = \abs{AC}^2 + \abs{BC}^2 \)
\( \abs{AB} = \sqrt{\abs{AC}^2 + \abs{BC}^2} \)
Bulduğumuz değerleri yerine koyalım.
\( = \sqrt{\abs{x_2 - x_1}^2 + \abs{y_2 - y_1}^2} \)
Bir ifadenin karesi negatif olamayacağı için mutlak değerleri kaldırabiliriz.
\( = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \)
\( A(x_1, y_1) \) noktasının orijine uzaklığı aşağıdaki formülle bulunur.
\( \abs{OA} = \sqrt{x_1^2 + y_1^2} \)
\( A(-12, 5) \) noktasının orijine uzaklığı:
\( \abs{OA} = \sqrt{(-12)^2 + 5^2} = 13 \)
İSPATI GÖSTER
Yukarıda bulduğumuz uzaklık formülünde ikinci nokta olarak \( O(0, 0) \) noktasını kullanalım.
\( \abs{OA} = \sqrt{(x_1 - 0)^2 + (y_1 - 0)^2} \)
\( = \sqrt{x_1^2 + y_1^2} \)
Uzaklık formülünde farkların hangi sırayla alındığı sonucu değiştirmez.
\( (x_2 - x_1)^2 = (x_1 - x_2)^2 \)
\( (y_2 - y_1)^2 = (y_1 - y_2)^2 \)
Dolayısıyla iki nokta arasındaki uzaklık noktaların sırasından bağımsızdır.
\( \abs{AB} = \abs{BA} \)
İki nokta arasındaki uzaklık negatif olamaz.
\( \abs{AB} \ge 0 \)
İSPATI GÖSTER
İki nokta arasındaki uzaklık formülünü yazalım.
\( \abs{AB} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \)
Bir kare ifadesi negatif olamaz.
\( (x_2 - x_1)^2 \ge 0 \)
\( (y_2 - y_1)^2 \ge 0 \)
İki eşitsizliği taraf tarafa toplayalım.
\((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 \ge 0 \)
Bu ifade sıfır ya da pozitif olduğuna göre, karekökü de sıfır ya da pozitif olur.
\( \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \ge 0 \)
\( \abs{AB} \ge 0 \)
İki nokta arasındaki uzaklık, ancak noktalar çakıştığında sıfır olur.
\( A(x_1, y_1) \) ve \( B(x_2, y_2) \) olmak üzere,
\( \abs{AB} = 0 \Longleftrightarrow A = B \)
\( \abs{AB} = 0 \Longleftrightarrow (x_1 = x_2 \) ve \( y_1 = y_2) \)
İSPATI GÖSTER
Bir çift yönlü koşullu önermeyi ispatlamak için her iki yöndeki koşullu önermeyi ayrı ayrı ispatlamalıyız.
İspat 1: \( (\Longrightarrow) \)
\( \abs{AB} = 0 \Longrightarrow (x_1 = x_2 \) ve \( y_1 = y_2) \)
\( \abs{AB} = 0 \) olduğunu kabul edelim.
\( \abs{AB} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} = 0 \)
Karekökü sıfır olan ifadenin kendisi de sıfırdır.
\( (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 = 0 \)
Bir kare ifadesi negatif olamayacağı için, iki kare ifadesinin toplamı sıfır ise bu iki ifade ayrı ayrı sıfır olmalıdır.
\( (x_2 - x_1)^2 = 0 \)
Karesi sıfır olan ifadenin kendisi de sıfırdır.
\( x_2 - x_1 = 0 \Longrightarrow x_1 = x_2 \)
\( (y_2 - y_1)^2 = 0 \)
\( y_2 - y_1 = 0 \Longrightarrow y_1 = y_2 \)
Buna göre \( \abs{AB} = 0 \) ise \( x_1 = x_2 \) ve \( y_1 = y_2 \) olur.
İspat 2: \( (\Longleftarrow) \)
\( \abs{AB} = 0 \Longleftarrow (x_1 = x_2 \) ve \( y_1 = y_2) \)
\( x_1 = x_2 \) ve \( y_1 = y_2 \) olduğunu kabul edelim.
Uzaklık formülünde \( x_1 \) ve \( y_1 \) yerine \( x_2 \) ve \( y_2 \) yazalım.
\( \abs{AB} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \)
\( = \sqrt{(x_2 - x_2)^2 + (y_2 - y_2)^2} \)
\( = \sqrt{0^2 + 0^2} = 0 \)
Buna göre \( x_1 = x_2 \) ve \( y_1 = y_2 \) ise \( \abs{AB} = 0 \) olur.
Her iki koşullu önerme doğru olduğuna göre, verilen çift yönlü koşullu önerme doğrudur.
Farklı iki nokta arasındaki uzaklık pozitiftir.
\( \abs{AB} \gt 0 \Longleftrightarrow A \ne B \)
\( \abs{AB} \gt 0 \Longleftrightarrow (x_1 \ne x_2 \) veya \( y_1 \ne y_2) \)
İSPATI GÖSTER
Bir çift yönlü koşullu önermeyi ispatlamak için her iki yöndeki koşullu önermeyi ayrı ayrı ispatlamalıyız.
İspat 1: \( (\Longrightarrow) \)
\( \abs{AB} \gt 0 \Longrightarrow (x_1 \ne x_2 \) veya \( y_1 \ne y_2) \)
\( \abs{AB} \gt 0 \) olduğunu kabul edelim.
\( \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \gt 0 \)
Karekökü pozitif olan ifadenin kendisi de pozitiftir.
\( (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 \gt 0 \)
İki kare ifadesinin toplamı sadece iki ifade de sıfır olduğunda sıfır olur. Buna göre iki kare ifadesinin toplamı pozitif ise ifadelerden en az biri pozitif olmalıdır.
Genelliği kaybetmeden, \( (x_2 - x_1)^2 \gt 0 \) olduğunu varsayalım.
Tarafların karekökünü alalım.
\( \abs{x_2 - x_1} \gt 0 \)
Mutlak değerin uzaklık tanımını kullanırsak \( x_1 \) ve \( x_2 \) farkının mutlak değeri pozitif ise bu iki sayı birbirinden farklıdır.
\( x_1 \ne x_2 \)
Buna göre \( \abs{AB} \gt 0 \) ise \( x_1 \ne x_2 \) veya \( y_1 \ne y_2 \) olur.
İspat 2: \( (\Longleftarrow) \)
\( \abs{AB} \gt 0 \Longleftarrow (x_1 \ne x_2 \) veya \( y_1 \ne y_2) \)
\( x_1 \ne x_2 \) veya \( y_1 \ne y_2 \) olduğunu kabul edelim.
Genelliği kaybetmeden, \( x_1 \ne x_2 \) olduğunu varsayalım.
Bu durumda \( \abs{x_2 - x_1} \gt 0 \) olur.
Tarafların karesini alalım.
\( \abs{x_2 - x_1}^2 = (x_2 - x_1)^2 \gt 0 \)
\( (y_2 - y_1)^2 \) ifadesi negatif olamayacağı için, iki kare ifadesinin toplamı mutlaka pozitif olur.
\( (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 \gt 0 \)
Pozitif bir ifadenin karekökü de pozitiftir.
\( \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \gt 0 \)
\( \abs{AB} \gt 0 \)
Buna göre \( x_1 \ne x_2 \) veya \( y_1 \ne y_2 \) ise \( \abs{AB} \gt 0 \) olur.
Her iki koşullu önerme doğru olduğuna göre, verilen çift yönlü koşullu önerme doğrudur.
Bir Noktaya Eşit Uzaklıktaki Noktalar
Bir düzlemde bir \( A \) noktasına sabit bir \( r \gt 0 \) birim uzaklıktaki noktaların kümesi, merkezi \( A \) ve yarıçapı \( r \) olan bir çemberdir.
Bu konuyu daha detaylı şekilde çemberin analitiği bölümünde inceleyeceğiz.
İki Noktaya Eşit Uzaklıktaki Noktalar
Bir düzlemde iki farklı noktaya eşit uzaklıktaki noktaların kümesi, bu iki noktayı birleştiren doğru parçasının orta dikmesidir (doğru parçasının orta noktasından geçen ve doğru parçasına dik olan doğrudur).
Aşağıdaki şekilde \( A \) ve \( B \) noktalarına eşit uzaklıktaki noktaların oluşturduğu \( d \) orta dikme doğrusu gösterilmiştir.
\( A \) ve \( B \) noktalarına eşit uzaklıktaki tüm noktalara \( D(x, y) \) diyelim.
\( D \) noktasının geometrik yer denklemini aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( \abs{AD} = \abs{BD} \)
\( \sqrt{(x - x_1)^2 + (y - y_1)^2} = \sqrt{(x - x_2)^2 + (y - y_2)^2} \)
Eşitliğin taraflarının karesini alalım.
\( (x - x_1)^2 + (y - y_1)^2 = (x - x_2)^2 + (y - y_2)^2 \)
\( x^2 - 2xx_1 + x_1^2 + y^2 - 2yy_1 + y_1^2 = x^2 - 2xx_2 + x_2^2 + y^2 - 2yy_2 + y_2^2 \)
İki taraftaki \( x^2 \) ve \( y^2 \)'ler birbirlerini götürür.
\( - 2xx_1 + x_1^2 - 2yy_1 + y_1^2 = - 2xx_2 + x_2^2 - 2yy_2 + y_2^2 \)
Tüm terimleri tek tarafta toplayalım.
\( 2(x_1 - x_2)x + 2(y_1 - y_2)y - (x_1^2 - x_2^2 + y_1^2 - y_2^2) = 0 \)
Bu denklemdeki \( x_1, y_1, x_2, y_2 \) değerleri \( A \) ve \( B \) noktalarının sabit koordinat değerleri olduğu için, o değerleri yerine koyduğumuzda \( ax + by + c = 0 \) formunda bir doğru denklemi elde ederiz.
Bu yüzden, iki noktaya eşit uzaklıktaki noktalar bir doğru oluşturur.
Üç Noktaya Eşit Uzaklıktaki Noktalar
Bir düzlemde aynı doğru üzerinde (doğrusal) olmayan üç farklı noktaya eşit uzaklıktaki noktaların kümesi tek bir noktadır.
Yukarıda iki nokta için kullandığımız yöntem bu üç noktadan herhangi iki nokta ikilisine uygulandığında, elde edilen orta dikme doğrularının kesişim noktası üç noktaya eşit uzaklıktaki noktayı verir.
Aşağıdaki şekilde \( A, B, C \) noktalarına eşit uzaklıktaki \( D \) noktası gösterilmiştir. \( D \) noktası \( d_1 \) orta dikme doğrusu üzerinde olduğu için \( \abs{DA} = \abs{DB} \), \( d_2 \) orta dikme doğrusu üzerinde olduğu için de \( \abs{DA} = \abs{DC} \) olur, dolayısıyla \( \abs{DA} = \abs{DB} = \abs{DC} \) olur.
Elde edilen bu nokta, \( A, B, C \) noktalarından geçen çemberin merkezidir ve üçgenin çevrel çember merkezi olarak adlandırılır.
Üç nokta aynı doğru üzerinde ise bu üç noktaya eşit uzaklıkta bir nokta bulunmaz.
Aşağıda verilen \( A \) ve \( B \) noktaları arasındaki \( \abs{AB} \) uzaklığını bulunuz.
(a) \( A(1, -2), \quad B(4, 2) \)
(b) \( A(\sqrt{2}, 1), \quad B(3\sqrt{2}, 3) \)
(c) \( A\left(\dfrac{1}{2}, \dfrac{2}{3}\right), \quad B\left(2, -\dfrac{4}{3}\right) \)
Çözümü Göster\( A(x_1, y_1) \) ve \( B(x_2, y_2) \) noktaları arasındaki uzaklık aşağıdaki formülle bulunur.
\( \abs{AB} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \)
(a) seçeneği:
\( A(1, -2), \quad B(4, 2) \)
\( \abs{AB} = \sqrt{(4 - 1)^2 + (2 - (-2))^2} \)
\( = \sqrt{3^2 + 4^2} \)
\( = \sqrt{25} = 5 \)
(b) seçeneği:
\( A(\sqrt{2}, 1), \quad B(3\sqrt{2}, 3) \)
\( \abs{AB} = \sqrt{(3\sqrt{2} - \sqrt{2})^2 + (3 - 1)^2} \)
\( = \sqrt{(2\sqrt{2})^2 + 2^2} \)
\( = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \)
(c) seçeneği:
\( A\left(\dfrac{1}{2}, \dfrac{2}{3}\right), \quad B\left(2, -\dfrac{4}{3}\right) \)
\( \abs{AB} = \sqrt{\left( 2 - \dfrac{1}{2} \right)^2 + \left( -\dfrac{4}{3} - \dfrac{2}{3} \right)^2} \)
\( = \sqrt{\left( \dfrac{3}{2} \right)^2 + (-2)^2} \)
\( = \sqrt{\dfrac{25}{4}} = \dfrac{5}{2} \)
\( A(a, 2) \) ve \( B(2, -3) \) noktaları arasındaki uzaklık \( \sqrt{41} \) olduğuna göre, \( a \)'nın alabileceği değerlerin çarpımı kaçtır?
Çözümü Gösterİki nokta arasındaki uzaklık formülünü yazalım.
\( \abs{AB} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \)
\( \sqrt{41} = \sqrt{(2 - a)^2 + (-3 - 2)^2} \)
Eşitliğin taraflarının karesini alalım.
\( 41 = (2 - a)^2 + (-5)^2 \)
\( (2 - a)^2 = 16 \)
\( \sqrt{(2 - a)^2} = \sqrt{16} \)
\( \abs{2 - a} = 4 \)
Bu eşitlik iki durumda sağlanır.
Durum 1:
\( 2 - a = 4 \)
\( a = -2 \)
Durum 2:
\( 2 - a = -4 \)
\( a = 6 \)
Buna göre \( a \)'nın alabileceği değerlerin çarpımı \( -2 \cdot 6 = -12 \) olarak bulunur.
Bu iki nokta aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.
\( 2x - 3y + 7 = 0 \) doğrusu \( A(n - 4, 2n - 3) \) noktasından geçtiğine göre, \( A \) noktasının orijine olan uzaklığı kaçtır?
Çözümü Göster\( 2x - 3y + 7 = 0 \) doğrusu \( A \) noktasından geçtiğine göre, \( A \) noktasının koordinatları doğru denklemini sağlar.
\( 2(n - 4) - 3(2n - 3) + 7 = 0 \)
\( 2n - 8 - 6n + 9 + 7 = 0 \)
\( n = 2 \)
\( A \) noktasının koordinatlarında \( n = 2 \) değerini yerine koyalım.
\( A(2 - 4, 2(2) - 3) = A(-2, 1) \)
\( A \) noktasının orijine olan uzaklığını bulalım.
\( \abs{AO} = \sqrt{x_1^2 + y_1^2} \)
\( = \sqrt{(-2)^2 + 1^2} \)
\( = \sqrt{5} \) bulunur.
\( A(1, 2) \) ve \( B(-3, 1) \) noktalarına eşit uzaklıkta olan ve \( x \) ekseni üzerinde bulunan \( C \) noktasının apsisi nedir?
Çözümü Göster\( x \) ekseni üzerindeki \( C \) noktasının koordinatlarına \( C(a, 0) \) diyelim.
\( C \) noktası \( A \) ve \( B \) noktalarına eşit uzaklıktadır.
\( \abs{CA} = \abs{CB} \)
\( \sqrt{(a - 1)^2 + (0 - 2)^2} = \sqrt{(a - (-3))^2 + (0 - 1)^2} \)
Eşitliğin taraflarının karesini alalım.
\( (a - 1)^2 + 4 = (a + 3)^2 + 1 \)
\( a^2 - 2a + 1 + 4 = a^2 + 6a + 9 + 1 \)
\( -8a = 5 \)
\( a = -\dfrac{5}{8} \) bulunur.
Koordinat düzleminde \( A \) noktası 1 birim sola, 7 birim yukarı ötelendiğinde \( B \) noktası elde ediliyor.
Buna göre \( \abs{AB} \) uzaklığı kaçtır?
Çözümü GösterNoktaların koordinatlarına \( A(x_1, y_1) \) ve \( B(x_2, y_2) \) diyelim.
\( \abs{AB} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \)
Noktaların koordinatlarını bilmesek de koordinatları arasındaki farkları kullanarak aralarındaki uzaklığı bulabiliriz.
Bir nokta 1 birim sola ötelendiğinde apsisi 1 birim azalır, 7 birim yukarı ötelendiğinde ordinatı 7 birim artar.
\( = \sqrt{(-1)^2 + 7^2} \)
\( = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \) bulunur.
\( A(-2, 2) \) ve \( B(2, 6) \) noktalarının \( y = x \) doğrusu üzerindeki \( C \) noktasına uzaklıkları eşit olduğuna göre, \( C \) noktasının koordinatları nedir?
Çözümü Göster\( y = x \) doğrusu üzerindeki noktaların apsis ve ordinat değerleri birbirine eşittir.
\( y = x \) doğrusu üzerindeki \( C \) noktasının koordinatlarına \( C(a, a) \) diyelim.
\( \abs{AC} \) uzaklığını bulalım.
\( \abs{AC} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \)
\( = \sqrt{(a - (-2))^2 + (a - 2)^2} \)
\( = \sqrt{(a + 2)^2 + (a - 2)^2} \)
\( \abs{BC} \) uzaklığını bulalım.
\( \abs{BC} = \sqrt{(a - 2)^2 + (a - 6)^2} \)
\( \abs{AC} = \abs{BC} \) olarak veriliyor.
\( \sqrt{(a + 2)^2 + (a - 2)^2} = \sqrt{(a - 2)^2 + (a - 6)^2} \)
Eşitliğin taraflarının karesini alalım.
\( (a + 2)^2 + (a - 2)^2 = (a - 2)^2 + (a - 6)^2 \)
\( (a + 2)^2 = (a - 6)^2 \)
\( a^2 + 4a + 4 = a^2 - 12a + 36 \)
\( a = 2 \)
\( C(a, a) = C(2, 2) \) olarak bulunur.
\( A(5, 8) \) noktasının \( x \) eksenine olan uzaklığı \( B(5, p) \) noktasına olan uzaklığının 4 katı olduğuna göre, \( p \)'nin alabileceği değerlerin çarpımı kaçtır?
Çözümü Göster\( A \) noktasının \( x \) eksenine olan uzaklığı 8 birimdir. Buna göre \( A \) noktasının \( B \) noktasına olan uzaklığı 2 birimdir.
İki nokta arasındaki uzaklık formülünü kullanalım.
\( {\abs{AB}}^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 \)
\( 2^2 = (5 - 5)^2 + (p - 8)^2 \)
\( 4 = (p - 8)^2 \)
Bu eşitlik iki durumda sağlanır.
Durum 1:
\( p - 8 = 2 \)
\( p = 10 \)
Durum 2:
\( p - 8 = -2 \)
\( p = 6 \)
\( p \)'nin alabileceği değerlerin çarpımı \( 10 \cdot 6 = 60 \) olarak bulunur.
Koordinat düzleminde \( A \) noktası \( y = -2 \) doğrusu üzerinde ve \( B(2, 4) \), \( C(-3, -5) \) noktalarına eşit uzaklıkta olduğuna göre, \( A \) noktasının apsisi kaçtır?
Çözümü GösterVerilen bilgileri koordinat düzleminde gösterelim.
\( y = -2 \) doğrusu üzerindeki \( A \) noktasının apsisine \( k \) diyelim.
\( A(k, -2) \)
\( A \) noktasının verilen iki noktaya olan uzaklıklarını birbirine eşitleyelim.
\( \abs{AB} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \)
\( = \sqrt{(k - 2)^2 + (-2 - 4)^2} \)
\( = \sqrt{(k - 2)^2 + 36} \)
\( \abs{AC} = \sqrt{(k - (-3))^2 + (-2 - (-5))^2} \)
\( = \sqrt{(k + 3)^2 + 9} \)
\( \abs{AB} = \abs{AC} \)
\( \sqrt{(k - 2)^2 + 36} = \sqrt{(k + 3)^2 + 9} \)
Eşitliğin taraflarının karesini alalım.
\( (k - 2)^2 + 36 = (k + 3)^2 + 9 \)
\( k^2 - 4k + 4 + 36 = k^2 + 6k + 9 + 9 \)
\( 10k = 22 \)
\( k = \dfrac{11}{5} \) bulunur.
Koordinat düzleminde köşeleri \( A(-2, 2) \), \( B(10, 2) \) ve \( C(-2, -3) \) olan üçgenin çevresi kaç birimdir?
Çözümü GösterNoktaları koordinat düzleminde işaretlediğimizde oluşan üçgenin dik kenarları eksenlere paralel olan bir dik üçgen olduğunu görürüz.
Üçgenin kenar uzunluklarını bulalım.
\( \abs{AB} = \abs{10 - (-2)} = 12 \) br
\( \abs{AC} = \abs{-3 - 2} = 5 \) br
\( \abs{BC} = \sqrt{12^2 + 5^2 } = 13 \) br
Buna göre üçgenin çevresi \( 12 + 5 + 13 = 30 \) br olarak bulunur.
Koordinat düzleminde \( A \) ve \( B \) noktaları şekildeki gibi veriliyor.
Buna göre aşağıdaki koordinatlardan hangisi \( A \) ve \( B \) noktalarına eşit uzaklıktadır.
(a) \( (3, 6) \)
(b) \( (1, 0) \)
(c) \( (3, 3) \)
(d) \( (2, -9) \)
(e) \( (0, 2) \)
Çözümü GösterKoordinat düzleminde iki noktaya eşit uzaklıktaki noktaların kümesi, bu iki noktayı birleştiren doğru parçasının orta noktasından geçen ve bu doğru parçasına dik olan doğrudur.
Verilen iki noktanın ordinat değerleri aynı olduğundan, bu noktalara eşit uzaklıktaki noktalar kümesini oluşturan doğru dikey bir doğrudur.
\( A \) ve \( B \) noktalarının orta noktasının apsisini bulalım.
\( x = \dfrac{x_0 + x_1}{2} \)
\( = \dfrac{-5 + 9}{2} = 2 \)
Buna göre \( A \) ve \( B \) noktalarına eşit uzaklıktaki noktaların kümesi \( x = 2 \) doğrusudur.
Verilen noktalar içinde \( x = 2 \) doğrusu üzerindeki tek nokta (d) seçeneğindeki \( (2, -9) \) noktasıdır.
Yukarıdaki şekilde \( A \) noktasının apsis değeri 4 olduğuna göre, \( \abs{AB} \) kaç birimdir?
Çözümü Göster\( A \) noktasından \( x \) eksenine bir dikme çizelim.
\( \abs{OD} = 4 \)
\( \abs{DB} = 5 - 4 = 1 \)
30-60-90° üçgeninde 60°'lik açının gördüğü kenarın uzunluğu 30°'lik açının gördüğü kenarın uzunluğunun \( \sqrt{3} \) katıdır.
\( \abs{AD} = \sqrt{3}\abs{OD} = 4\sqrt{3} \)
\( ADB \) üçgeninde Pisagor teoremini kullanarak \( \abs{AB} \) uzunluğunu bulalım.
\( \abs{AB} = \sqrt{(4\sqrt{3})^2 + 1^2} \)
\( = \sqrt{48 + 1} = 7 \) bulunur.
\( ABCD \) dikdörtgeninin çevresi 30 birim olduğuna göre, \( D \) noktasının koordinatları çarpımı kaçtır?
Çözümü Göster\( D \) noktasından \( y \) eksenine bir dikme çizerek \( DEC \) dik üçgenini oluşturalım.
\( m(\widehat{DEC}) = m(\widehat{COB}) = 90° \)
\( m(\widehat{EDC}) = m(\widehat{OCB}) = \alpha \)
Buna göre tüm iç açıları eşit aşağıdaki iki üçgen benzer üçgenlerdir.
\( \overset{\triangle}{DEC} \sim \overset{\triangle}{COB} \)
Pisagor teoremini kullanarak \( \abs{BC} \) uzunluğunu bulalım.
\( \abs{BC} = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10 \)
Dikdörtgenin çevresi 30 birimdir.
\( 2(\abs{BC} + \abs{DC}) = 30 \)
\( \abs{DC} = 5 \) br
Benzer üçgenlerde benzer kenarların uzunlukları oranı birbirine eşittir.
\( \dfrac{5}{10} = \dfrac{a}{8} = \dfrac{b}{6} \)
\( a = 4 \) br
\( b = 3 \) br
\( D \) noktasının koordinatları aşağıdaki gibi olur.
\( D(-a, 8 + b) = D(-4, 11) \)
\( D \) noktasının koordinatları çarpımı \( -4 \cdot 11 = -44 \) bulunur.
\( ABCD \) bir kare olmak üzere,
\( \abs{DE} = \abs{EC}, \quad \abs{DF} = \abs{FA} \)
\( D(-28, 12) \)
olduğuna göre, \( \abs{EF} = x \) kaç birimdir?
Çözümü Göster\( D \) noktasından \( x \) eksenine bir dikme çizerek \( DGA \) dik üçgenini oluşturalım.
\( m(\widehat{DGA}) = m(\widehat{AOB}) = 90° \)
\( m(\widehat{GAD}) = m(\widehat{OBA}) = \alpha \)
\( ABCD \) bir karedir.
\( \abs{DA} = \abs{AB} \)
Buna göre tüm iç açıları ve birer benzer kenar uzunluğu eşit aşağıdaki iki üçgen eş üçgenlerdir.
\( \overset{\triangle}{DGA} \cong \overset{\triangle}{AOB} \)
Eş üçgenlerin birbirine karşılık gelen kenarlarının uzunlukları birbirine eşittir.
\( \abs{AO} = \abs{DG} = 12 \)
\( \abs{GA} = \abs{GO} - \abs{AO} \)
\( = 28 - 12 = 16 \)
Pisagor teoremini kullanarak \( \abs{DA} \) uzunluğunu bulalım.
\( \abs{DA} = \sqrt{12^2 + 16^2} = 20 \)
\( \abs{DF} = \dfrac{\abs{DA}}{2} = 10 \)
Pisagor teoremini kullanarak \( \abs{EF} \) uzunluğunu bulalım.
\( \abs{EF} = \sqrt{10^2 + 10^2} = 10\sqrt{2} \) bulunur.
\( A(5, -2) \) noktasına olan uzaklığı \( B(1, 2) \) noktasına olan uzaklığının 3 katı olan noktaların geometrik yer denklemi nedir?
Çözümü GösterBelirtilen koşulu sağlayan noktaların kümesine \( C(x, y) \) diyelim.
\( C \) noktasının \( A \) noktasına olan uzaklığı \( B \) noktasına olan uzaklığının 3 katıdır.
\( \abs{CA} = 3\abs{CB} \)
\( \sqrt{(x - 5)^2 + (y - (-2))^2} = 3\sqrt{(x - 1)^2 + (y - 2)^2} \)
\( \sqrt{(x - 5)^2 + (y + 2)^2} = 3\sqrt{(x - 1)^2 + (y - 2)^2} \)
Eşitliğin taraflarının karesini alalım.
\( x^2 - 10x + 25 + y^2 + 4y + 4 = 9(x^2 - 2x + 1 + y^2 - 4y + 4) \)
\( x^2 - 10x + 25 + y^2 + 4y + 4 = 9x^2 - 18x + 9 + 9y^2 - 36y + 36 \)
\( 8x^2 - 8x + 8y^2 - 40y + 16 = 0 \)
Verilen koşulu sağlayan noktaların kümesi aşağıdaki denklemle ifade edilir.
\( x^2 + y^2 - x - 5y + 2 = 0 \)
Çemberin analitiği bölümünde göreceğimiz üzere, bu denklem aşağıdaki şekildeki gibi bir çember ifade eder.
\( A(3, 4) \) noktasına ve \( y = 1 \) doğrusuna olan uzaklıkları eşit olan noktaların geometrik yeri denklemi nedir?
Çözümü GösterBelirtilen koşulu sağlayan noktalar kümesine \( C(x, y) \) diyelim.
\( C \) noktasının \( A \) noktasına ve doğruya uzaklığına \( d \) diyelim. \( d \) değerini hem \( A \) noktası hem de doğru için ayrı ayrı hesaplayalım.
\( C \) noktasının \( A \) noktasına uzaklığını bulalım.
\( d = \sqrt{(x - 3)^2 + (y - 4)^2} \)
\( y = 1 \) yatay bir doğru olduğu için \( C \) noktasının doğruya uzaklığı ordinat değerleri arasındaki farka eşittir.
\( d = \abs{y - 1} \)
İki uzaklık değeri birbirine eşittir.
\( \sqrt{(x - 3)^2 + (y - 4)^2} = \abs{y - 1} \)
Eşitliğin taraflarının karesini alalım.
\( (x - 3)^2 + (y - 4)^2 = (y - 1)^2 \)
\( x^2 - 6x + 9 + y^2 - 8y + 16 = y^2 - 2y + 1 \)
\( x^2 - 6x + 24 = 6y \)
Verilen koşulu sağlayan noktalar kümesi aşağıdaki denklemle ifade edilir.
\( y = \dfrac{1}{6}x^2 - x + 4 \)
Elde ettiğimiz denklem bir parabol denklemidir. Parabol bölümünde göreceğimiz üzere, parabol aynı zamanda bir nokta ve doğruya eşit uzaklıktaki noktalar kümesidir.
\( A(-1, 4), B(-3, -1), C(3, -3) \) noktalarının oluşturduğu \( ABC \) üçgeninin iç açıları cinsinden tipini bulunuz (dar, dik, geniş açılı vb.).
Çözümü GösterÜçgenin köşe noktaları arasındaki uzaklıkları bulalım.
\( \abs{AB} = \sqrt{(-3 - (-1))^2 + (-1 - 4)^2} \)
\( = \sqrt{(-2)^2 + (-5)^2} = \sqrt{29} \)
\( \abs{BC} = \sqrt{(3 - (-3))^2 + (-3 - (-1))^2} \)
\( = \sqrt{6^2 + (-2)^2} = \sqrt{40} \)
\( \abs{CA} = \sqrt{(-1 - 3)^2 + (4 - (-3))^2} \)
\( = \sqrt{(-4)^2 + 7^2} = \sqrt{65} \)
Üçgenin uzun kenarının karesi ile diğer iki kenar uzunluklarının kareleri toplamını karşılaştıralım.
\( (\abs{CA})^2 \overset{?}{=} (\abs{AB})^2 + (\abs{BC})^2 \)
\( (\sqrt{65})^2 \overset{?}{=} (\sqrt{29})^2 + (\sqrt{40})^2 \)
\( 65 \overset{?}{=} 29 + 40 \)
\( 65 \lt 69 \)
Eşitlik sağlansaydı Pisagor teoreminden üçgenin bir dik üçgen olduğu sonucuna varabilirdik. Uzun kenarın karesi diğer iki kenar uzunluklarının kareleri toplamından küçük olduğu için uzun kenarı gören açı 90°'den küçük olmalıdır, dolayısıyla üçgen dar açılı bir üçgendir.
\( A(-2, 3), B(2, -1), C(4, 5) \) noktalarının oluşturduğu \( ABC \) üçgeninin kenar uzunlukları cinsinden tipini bulunuz (eşkenar, ikizkenar, çeşitkenar).
Çözümü GösterÜçgenin köşe noktaları arasındaki uzaklıkları bulalım.
\( \abs{AB} = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (-1 - 3)^2} \)
\( = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \)
\( \abs{BC} = \sqrt{(4 - 2)^2 + (5 - (-1))^2} \)
\( = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \)
\( \abs{CA} = \sqrt{(-2 - 4)^2 + (3 - 5)^2} \)
\( = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \)
Bulunan kenar uzunluklarını karşılaştıralım.
\( \abs{BC} = \abs{CA} = 2\sqrt{10} \)
\( \abs{AB} = 4\sqrt{2} \)
Üçgenin iki kenar uzunluğu birbirine eşit ve üçüncü kenardan farklı olduğu için \( ABC \) bir ikizkenar üçgendir.
\( A(3, 5), B(6, -1), C(2, -3), D(-1, 3) \) noktalarının oluşturduğu \( ABCD \) dörtgeninin tipini bulunuz (kare, dikdörtgen, paralelkenar, eşkenar dörtgen vb.).
Çözümü GösterDörtgenin köşe noktaları arasındaki uzaklıkları bulalım.
\( \abs{AB} = \sqrt{(6 - 3)^2 + (-1 - 5)^2} \)
\( = \sqrt{3^2 + (-6)^2} = \sqrt{45} \)
\( \abs{BC} = \sqrt{(2 - 6)^2 + (-3 - (-1))^2} \)
\( = \sqrt{(-4)^2 + (-2)^2} = \sqrt{20} \)
\( \abs{CD} = \sqrt{(-1 - 2)^2 + (3 - (-3))^2} \)
\( = \sqrt{(-3)^2 + 6^2} = \sqrt{45} \)
\( \abs{DA} = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (5 - 3)^2} \)
\( = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{20} \)
Dörtgenin karşılıklı kenar uzunlukları birbirine eşittir, ancak tüm kenar uzunlukları eşit olmadığı için şekil kare ya da eşkenar dörtgen olamaz.
Dörtgenin paralelkenar mı dikdörtgen mi olduğunu anlamak için köşegen uzunluklarını karşılaştıralım.
\( \abs{AC} = \sqrt{(2 - 3)^2 + (-3 - 5)^2} \)
\( = \sqrt{(-1)^2 + (-8)^2} = \sqrt{65} \)
\( \abs{BD} = \sqrt{(-1 - 6)^2 + (3 - (-1))^2} \)
\( = \sqrt{(-7)^2 + 4^2} = \sqrt{65} \)
Dörtgenin köşegen uzunlukları eşit olduğu için şekil bir dikdörtgendir (paralelkenarın köşegen uzunlukları birbirinden farklıdır).